Anexo 2.1: Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales

ELC-33103
Teoría de Control
Anexo 2.1
Respuesta
R
t Transitoria
T
it i de
d
Sistemas Lineales e
Invariantes en el Tiempo
Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
fglongatt@ieee.org
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• En el sistema de la siguiente Figura, x(t) es el
desplazamiento de entrada y θ(t) es el desplazamiento
angular de salida.
xt 
Entrada
b
L

k
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Salida
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Suponga que las masas
involucradas
son
tan
pequeñas que pueden no
considerarse.
• Suponga que todos los
movimientos
tienen
la
restricción de ser pequeños;
por tanto, el sistema se
considera lineal.
lineal
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
xt 
b
L

k
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Las condiciones iníciales
para x y θ son cero,
xt 
x(0-)= 0
b
θ( ) = 0.
0


x t  0  0
L

 t  0    0
k
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• La ecuación para el sistema es:
xt 
b
L
M  Lsen

sen  
L  M
k
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Fresorte  kM
Fpiston  bx  M 
Diagrama de Cuerpo Libre
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• De tal modo que la ecuación dinámica del sistema
resulta:
Fresorte  Fpsiton  kM  bx  M 
kM
 b x  M

kL  b x  L
k

L  L  x
b


Fresorte  kM
Fpiston  bx  M 
Diagrama
g
de Cuerpo
p Libre
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
k

L  L  x
b
• Tomando la transformada de Laplace en ambos
miembros de la ecuación anterior resulta:
k 

 Ls  L s   sX s 
b 

 s 
s

X s  Ls  k
b
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se observa claramente que se trata de un sistema de
primer orden:
 s 
s

X s  Ls  k
b
• Si la entrada es un escalón unitario se tiene:
xt 
b
L

k
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• La entrada de un escalón unitario resulta X(s) = 1/s
 s  
s
X s 
k
Ls 
b
s
1

 s  
k s
Ls 
b
 s  
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
1
k
Ls 
b
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
s  
1
k
Ls 
b
• Aplicando la transformada inversa de Laplace en
ambos miembros ecuación resulta:
1
 t   e
L
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
k
 t
b
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• La grafica general de la respuesta en el tiempo es:
1
1
L
1
 t   e
L
k
 t
b
Respuesta c(tt)
R
0.8
 t 
0.6
0.4
k
1 bt
 t   e
L
0.2
0
0
Tiempo
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se procede a efectuar una
simulación de la respuesta
temporal del sistema de primer
orden, empleando MathWork®
Matlab™.
• Se introduce los valores de las
constantes de los dispositivos en
el command line de Matlab™.
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
L 1
L = 1.00
b = 1.00
k = 0.25
L 1
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se define la función de transferencia del sistema
(SYS) empleando la función en Matlab® TF.
>> sys=tf([1 0],[L (k/b)])
Transfer function:
s
-------s + 0.25
>>
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se procede a determinar la respuesta del sistema ante
una entrada de escalón unitario.
• Para ello se emplea el comando STEP.
>> step(sys)
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Matlab® automáticamente genera la grafica de la
respuesta temporal del sistema
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Otra forma de evaluar la respuesta transitoria de un
sistema, es el uso de Simulink, que es una
herramienta con una interfaz de usuario sumamente
útil.
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Descargar y abrir en Matlab el modelo denominado:
Ogata4 1.mdl, el cual es el modelo desarrollado por
Ogata4_1.mdl,
el Prof. Francisco Gonzalez-Longatt, para mostrar la
respuesta transitoria del sistema Brazo-fricciónresorte.
xt 
b
L

k
Enlace ppara descargar
g el archivo:
http://www.giaelec.org/fglongatt/TeoriaControlI.html
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Una vez abierto el modelo:
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se procede a ajustar los valores asociados a los
parámetros del modelo:
L = 1.00
b = 1.00
k = 0.25
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Se procede a ejecutar la simulación
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Botón para
ejecutar la
simulación
l ó
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• La Grafica de la respuesta en el tiempo:
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Nótese en este caso, que la
respuesta comienza en t =
1 segundo, debido a que el
bloque de escalón esta
configurado para que el
cambio se produzca en ese
i t t de
instante
d tiempo.
ti
• Ver el cuadro de dialogo
asociado..
asociado
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
1. Ejemplo
• Resulta fácilmente evidente que si la relación k/b, es
grande, la respuesta θ(t), se aproxima a una senal de
pulso.
1
1
 t   e
L
k
 t
b
0.9
b  100.0
0.8
0.7
b  10.0
0.6
0.5
0.4
b  1.0
0.3
0.2
0.1
0
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008