Anexo 2.13: Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales

ELC-33103
Teoría de Control
Anexo 2.13
Respuesta
R
t Transitoria
T
it i de
d
Sistemas Lineales e
Invariantes en el Tiempo
Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
fglongatt@ieee.org
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Ejemplo
• Empleando el criterio de Routh, determine el valor de
K, que garantice que el sistema es estable.
R s 


TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
K
1
s  2s  1s  4
C s 
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
R s 

K

1
s  2s  1s  4
C s 
• El diagrama de bloque dado queda reducido de la
siguiente manera:
R s 


K
s  2 s  1s  4 
C s 
C (s)
K
 3
R( s ) s  7 s 2  14 s  (8  K )
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
R s 

K

R s 


1
s  2s  1s  4
K
s  2 s  1s  4 
C s 
C s 
• De donde se obtiene que:
C ( s)
K
 3
R( s ) s  7 s 2  14 s  (8  K )
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
C (s)
K
 3
R( s ) s  7 s 2  14 s  (8  K )
• Por tanto el polinomio característica será:
Ps   s 3  7 s 2  14 s  8  K 
• Por tanto el arreglo queda de la manera siguiente:
3
s
2
s
a0
a1
1
b1
c1
s
s0
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
a2
a3
a0  1
a1  7
a 2  14
a3  8  K
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
3
1
s2
7
1
b1
s0
c1
s
s
14
8  K 
Ps   s 3  7 s 2  14 s  8  K 
• P
Para calcular
l l los
l coeficientes
fi i t que hacen
h
f lt para
falta
completar el arreglo son lo siguientes:
a0 a 2
1 14


a1 a3
7 8  K 90  K
b1 


a1
7
7
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
s3 1
s
2
7
s1
b1
0
c1
s
14
8  K 
Ps   s 3  7 s 2  14 s  8  K 
• P
Para calcular
l l los
l coeficientes
fi i t que hacen
h
f lt para
falta
completar el arreglo son lo siguientes:
7
8 K
 90  K

0
b1 0
7

c 
 8 K
90  K
b1
7
a1
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
a3
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
• Ahora el arreglo queda de la manera siguiente:
s3 1
s2 7
90  K
1
s
7
s0 8  K
14
8 K
• Las condiciones para este caso son las siguientes:
I
II
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
90  K
0
7
8 K  0
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
• Las condiciones para este caso son las siguientes:
I
II
90  K
0
7
K  90
8 K  0
K  8
• Por tanto ene este caso el valor de K se encuentra
entre los siguientes valores:
8  K  90
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
 8  K  90
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008
Resolución
• Finalmente la solución resulta ser:
 8  K  90
Ps   s  7 s  14 s  8  K 
3
2
8  K  90
TEORIA DE CONTROL
Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales
Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, fglongatt@ieee.org
Copyright © 2008