PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS Cálculo en Varias Variables Clase 21. Retroalimentación Ejemplo 1.Considere la curva 3 : e 2x y sen 1 e xy 2 x2 x 1 0. Muestre que puede representarse localmente alrededor de (o vecindad) 0, 0 como el gráfico de una función de la forma x y . Justifique su respuesta. Además calcule 0. Solución. a) En primer lugar definimos la función 3 2 f x, y e 2x y sen 1 e xy x 2 x 1. En segundo lugar comprobamos que se cumplen las condiciones del Teorema de la función implícita: (i) f 0, 0 0. (Sí se verifica) (ii)Existen las derivadas parciales y son continuas en un entorno( o vecindad) 0, 0 de R 2 , por ser funciones polinómicas o composición de polinomios con la trigonométrica. 3 2 f x, y e 2x y sin 1 e xy x 2 x 1 x x 2 2 f y 3 2x 2 xy 2 x, y 2e 2x cos x e 1 y 2 e xy cos x 2 e xy 1 1, x 2 f 2x y 3 xy 2 2 2 y 3 2x xy 2 x, y e sin 1 e x x 1 3y e 2xye cos x 2 e xy 1 . y y f (iii) Además, x 0, 0 3 0 (Sí se verifica). Por tanto se verifica que se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita para la función f en un entorno del punto 0, 0 .Luego, puede representarse localmente alrededor de 0, 0 como el gráfico de una función de la forma x y b) Por lo verificado en la parte a), podemos aplicar el Teorema de la Función Implícita en un entorno del punto 0, 0 .En dicho entorno( o vecindad), la ecuación f x, y 0 define implícitamente y en función de x, es decir, existe una función : , R , con 0 definida en un entorno en R de x 0 V B 0 , tal que f y , y 0. Además, 0 f y f x 0 ,0 0 ,0 0 3 0. Ejemplo 2.Considere la superficie 2y S : x e x arctan z 2. a)Muestre que S puede representarse localmente alrededor( o vecindad) de 1, 0, 0 como el gráfico de una funcíón de la forma x g y, z . Justifique su respuesta. g g b)Calcule 0, 0 y 0, 0 . . Hallar el plano tangente a la superficie x g y, z en el y z punto 1, 0, 0 . Solución a)En primer lugar definimos la función que aparece en la ecuación. Sea 2y F x, y, z x e x arctan z. F es de clase C 1 R 3 , es decir, F tienen dervadas parciales continuas en R 3 , por ser funciones polinómicas, trigonométrica o composición de polinomios con exponencial, las cuales son funciones continuas. 2y 2 2y F x, y, z x e x arctan z 1 x2 e x y x x F y F z x, y, z y x e 2y x arctan z 2y x 1 arctan z . z2 1 2, conjunto de nivel de F. x, y, z x e z Notemos que S : F x, y, z N. Chau 1 2 x e 2 x y En segundo lugar comprobamos que se cumplen las condiciones del Teorema de la función implícita: (i) F 1, 0, 0 1 e 0 arctan 0 2. 2 2y (iii) Fx 1, 0, 0 1 x2 e x y 1 0 (Sí se verifica) 1,0,0 Entonces por el teorema de la función implícita, localmente alrededor de un entorno( o vecindad) de 1, 0, 0 es posioble representar S como el gráfico de una función de con derivadas parciales continuas( es de clase C 1 , g : V R2 R y, z x g y, z definida en un entorno, V de 0, 0 tal que g 0, 0 1, y F g y, z , y, z 0 para todo y, z V. b)Además, se tiene que F y g y, z , y, z g F z g y, z , y, z g y, z , y, z para cada y, z V. y z F x g y, z , y, z Fx g y, z , y, z Haciendo y 0, z 0, y g 0, 0 0, en las ecuaciones anteriores, se obtiene que F y 1, 0, 0 2 g g F z 1, 0, 0 1 0, 0 2, 0, 0 1. 1 1 y z F x 1, 0, 0 F x 1, 0, 0 Sea Q g 0, 0 , 0, 0 1, 0, 0 . La ecuación cartesiana del plano tangente a la gráfica de la función g en el punto Q es P : x g 0, 0 y 0 g y 0, 0 z 0 g z 0, 0 P:x 1 P:x y y 2 2y 1 z 0. z Ejemplo 3.Si w f x, y, z xt sen t, x2 e z arctan 1 y2 z2 , donde t2 yt 2t, Calcule dw en t 0. dt Solución. Aplicando la regla de la cadena, el resultado es: w dx w dy dw dt x dt y dt Además se tiene: w w 2xe z , y x 1 1 x2 y2 z2 2 w z e z arctan 1 dx dt cos t, dy dt x2 y2 z2 1, dz dt 2t t3 zt t. w dz . z dt 1 1 1 3t 2 1. 2ye z x2 y2 1 2ze z x2 y2 z2 z2 2 2 Luego, dw dt 1 1 2xe z x2 y2 e z arctan 1 N. Chau 2 z2 x2 2 y2 cos t z2 1 1 1 2ye z x2 y2 1 2ze z x2 y2 z2 z 2 2 2 2t t 3t 2 1 Cuando t 0: x0 0, y0 0, z0 0. Sustituyendo los valores de las variables intermedias x e y en t dw dt 0 2 cos 0 1 1 dw 1 . 4 dt Ejemplo 4.Sea g : R 2 Si h t g t, t cos t Solución Sea t x t ,y t 0 1 20 2 1 0 0: 0 e 0 arctan 1 1 1 2 30 2 1 R una función diferenciable tal que Jg 0, 1 1 2 . 1 , calcule h 0 . t, t cos t 1 entonces 1, cos t t 1, cos t t t sin t . t sin t Entonces h t g t t . Cuando t 0: 0 0, 1 0 g 0, 1 0 1, 2 1, 1 1. g 0 h t Ejemplo 5.Encuentre la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función de f x, y x 2 3xy y 2 , x, y R 2 en el punto, donde dicho plano contiene a la recta L:P 0, 0, 1 t 1, 1, 0 , t R. Solución Llamemos al punto de tangencia P 0 x0, y0, z0 S : z f x, y . Entonces se tiene que 2 2 z 0 x 0 3x 0 y 0 y 0 1 Sea S : F x, y, z f x, y z x 2 3xy y 2 z, entonces el vector normal al plano tangente será f x x, y , f y x, y , 1 2x 0 3y 0 , 3x 0 2y 0 , 1 F P0 Como L P entonces F P 0 A 1, 1, 0 F P0 A 0 2x 0 3y 0 , 3x 0 2y 0 , 1 1, 1, 0 0 5x 0 5y 0 0 y obtenemos y0 x0 2 . 2 2 Luego en 1 : x 0 3x 0 x 0 x0 z0 0 z0 x 20 2 F P0 x0, x0, 1 Así, P 0 x0, x0, x0 2x 0 3 x 0 , 3x 0 2 x 0 , 1 La ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto P 0 x 0 , y 0 , z 0 es: x0, x0, 1 0 P : x x 0 , y x 0 , z x 20 P : x0 x x0 x0 y x0 z x 20 0 3 2 El punto 0, 0, 1 L P : x0 0 x0 x0 0 x0 1 x 0 0 entonces x 20 1 0, de donde x 0 1. Luego, y 0 1 y z0 1. Así, los puntos de tangencias son :P 0 1, 1, 1 y P 0 1, 1, 1 . La ecuación del plano tangente a la superficie S en los puntosP 0 1, 1, 1 y P 0 1, 1, 1 son : P: 1x 1 y 1 z 1 0 P : y x z 1 0, P : x 1 1y Ejemplo 6. Dada la función: N. Chau 3 1 z 1 0 P:x y z 1 0. f x, y ln 1 x 2 y 2 arctan x 2 a)Halle los puntos críticos de la función f b)Determine los valores extremos locales de f. Solución a)Determinación de los puntos críticos: 2y 2x 2x , f x, y f x, y 2 2 4 2 x y x y 1 x 1 x y2 1 x2 x4 y2 2x x4 1 0 x2 y2 1 2y x2 y2 1 0 . Por lo tanto los P.C. son: 0, 0 , 1, 0 , 1, 0 . Ahora: 2 2 x2 y2 1 2 4 f x, y 2 2 2 2 1 , f x, y 2 3x 2 4 x y 1 x 1 x y2 2 4xy f x, y . 2 x y x y2 1 2 |Hf x, y | 2 x2 y2 1 x2 y2 1 2 x4 1 2 2 3x 4 1 2 2 x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 1 x2 y2 1 2 x 2 2 , 4xy y2 1 2 2 Luego, P.C: x, y 2 f x 2 2 x, y f x, y y2 2 f x, y x y |Hf x, y | Conclusión 0 Falla el criterio 0, 0 0 0 0 1, 0 1 1 0 Min. Rel 1, 0 1 1 0 Min. Rel b)Analizando en 0, 0 :f 0, 0 0. Considerando el camino C : x 0 en B 0, 0 , r se tiene que ln 1 0 f 0, 0 . gy f 0, y ln 1 y 2 Considerando el camino C : y 0 en B 0, 0 , r se tiene que gx f x, 0 ln 1 x 2 arctan x 2 3 2 2x x 1 2x 3 x 1 x 1 g x 6 4 2 x x x 1 x4 1 x2 y2 1 g x 0, si x 0 0, si x 0 g x Por tanto (0,0) es un punto silla. Si deseas practicar ejercicios de máximos y mínimos de funciones mutivariables, te recomiendo Wolfran Alpha. Sólo tienes que modificar el ejercicio que está en el ejemplo y colocar el que deseas consultar. Para valores máximos, clic AQUÍ https://www.wolframalpha.com/input/?i maximize 4x%2B5y subject to x%2B2y %3C%3D Para valores mínimos, clic AQUÍ https://www.wolframalpha.com/input/?i minimize 5 %2B 3x - 4y - x%5E2 %2B x y Para puntos de silla, clic AQUI https://www.wolframalpha.com/input/?i saddle points of 4xy%C2%B2-2x%C2%B2y-x Nota:Extremos de funciones de dos variables – GeoGebra https://www.geogebra.org/m/b7fVdNeH N. Chau 4
