NOTACIÓN: n (X1 , . . . , Xn ) muestra aleatoria de X: x̄ = 1X xi n n s2 = i=1 1 X (xi − x̄)2 n−1 i=1 INTERVALOS DE CONFIANZA 1) X ∼ N (µ, σ) * Intervalos de confianza 1 − α para µ : a) σ conocida: σ I = x̄ ∓ zα/2 √ n b) σ desconocida: I= s x̄ ∓ tn−1;α/2 √ n * Intervalo de confianza 1 − α para σ 2 : I= (n − 1)s2 (n − 1)s2 , χ2n−1;α/2 χ2n−1;1−α/2 1 ! 2) X ∼ Bernoulli(p)(muestras grandes) Intervalo de confianza 1 − α para p : r x̄ ∓ zα/2 I= x̄(1 − x̄) n ! 3) Intervalo de confianza para la media µ de una población no necesariamente normal (muestras grandes) s I = x̄ ∓ zα/2 √ n 4) Dos poblaciones normales independientes X ∼ N (µ1 , σ1 ); (X1 , . . . , Xn1 ) m. a. de X; se calcula x̄ y s21 . Y ∼ N (µ2 , σ2 ); (Y1 , . . . , Yn2 ) m. a. de Y ; se calcula ȳ y s22 . s2p = (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2 * Intervalos de confianza 1 − α para µ1 − µ2 : a) σ1 , σ2 desconocidas, σ1 = σ2 : r I= x̄ − ȳ ∓ tn1 +n2 −2;α/2 sp 1 1 + n1 n2 b) σ1 , σ2 desconocidas, σ1 6= σ2 : s I = x̄ − ȳ ∓ tf ;α/2 s21 s22 + n1 n2 donde f es el entero más próximo a (s21 /n1 + s22 /n2 )2 (s21 /n1 )2 n1 −1 + (s22 /n2 )2 n2 −1 * Intervalo de confianza 1 − α para σ12 /σ22 : s21 /s22 s21 , F I= Fn1 −1,n2 −1;α/2 s22 n2 −1,n1 −1;α/2 5) Comparación de proporciones (muestras grandes e independientes) X ∼ B(1, p1 ); (X1 , . . . , Xn1 ) m. a. de X Y ∼ B(1, p2 ); (Y1 , . . . , Yn2 ) m. a. de Y Intervalo de confianza 1 − α para p1 − p2 : I = x̄ − ȳ ∓ zα/2 s x̄(1 − x̄) ȳ(1 − ȳ) + n1 n2 2 CONTRASTES DE HIPÓTESIS NOTACION: α = nivel de significación del contraste n = tamaño de la muestra H0 = hipótesis nula R = región crı́tica o de rechazo de H0 1) X ∼ N (µ, σ) s R = |x̄ − µ0 | > tn−1;α/2 √ n s R = x̄ − µ0 > tn−1;α √ n s R = x̄ − µ0 < tn−1;1−α √ n ∈ / χ2n−1;1−α/2 , χ2n−1;α/2 2 > χn−1;α 2 < χn−1;1−α H0 : µ = µ0 (σ desconocida); H0 : µ ≤ µ0 (σ desconocida); H0 : µ ≥ µ0 (σ desconocida); n−1 2 H0 : σ = σ0 ; R = 2 s σ0 n−1 2 H0 : σ ≤ σ0 ; R = 2 s σ0 n−1 2 H0 : σ ≥ σ0 ; R = s σ02 2) X ∼ Bernoulli(p) (muestras grandes) ( ) r p0 (1 − p0 ) H0 : p = p0 ; R = |x̄ − p0 | > zα/2 n ( ) r p0 (1 − p0 ) H0 : p ≤ p0 ; R = x̄ − p0 > zα n ) ( r p0 (1 − p0 ) H0 : p ≥ p0 ; R = x̄ − p0 < z1−α n (tn−1;1−α = −tn−1;α ) (z1−α = −zα ) 3) Contrastes para la media de una población no necesariamente normal (muestras grandes) s H0 : µ = µ0 (σ desconocida); R = |x̄ − µ0 | > zα/2 √ n s H0 : µ ≤ µ0 (σ desconocida); R = x̄ − µ0 > zα √ n s H0 : µ ≥ µ0 (σ desconocida); R = x̄ − µ0 < z1−α √ (z1−α = −zα ) n 4) Dos poblaciones normales independientes X ∼ N (µ1 , σ1 ); (X1 , . . . , Xn1 ) m. a. de X; se calcula x̄ y s21 . Y ∼ N (µ2 , σ2 ); (Y1 , . . . , Yn2 ) m. a. de Y ; se calcula ȳ y s22 . (n1 − 1)s21 + (n2 − 1)s22 n1 + n2 − 2 r 1 1 R = |x̄ − ȳ| > tn1 +n2 −2;α/2 sp + n1 n2 s s21 s2 R = |x̄ − ȳ| > tf ;α/2 + 2 n1 n2 r 1 1 R = x̄ − ȳ > tn1 +n2 −2;α sp + n1 n2 s2p = H0 : µ1 = µ2 (σ1 = σ2 ); H0 : µ1 = µ2 (σ1 6= σ2 ); H0 : µ1 ≤ µ2 (σ1 = σ2 ); 3 H0 : µ1 ≤ µ2 (σ1 6= σ2 ); H0 : µ1 ≥ µ2 (σ1 = σ2 ); H0 : µ1 ≥ µ2 (σ1 6= σ2 ); s21 2 s22 s1 R= 2 s22 s1 R= s22 H0 : σ1 = σ2 ; H0 : σ1 ≤ σ2 ; H0 : σ1 ≥ σ2 ; R= s s22 s21 + R = x̄ − ȳ > tf ;α n1 n2 r 1 1 R = x̄ − ȳ < tn1 +n2 −2;1−α sp + n1 n2 s s21 s2 R = x̄ − ȳ < tf ;1−α + 2 n1 n2 ∈ / Fn1 −1;n2 −1;1−α/2 , Fn1 −1;n2 −1;α/2 > Fn1 −1;n2 −1;α < Fn1 −1;n2 −1;1−α donde f = entero más próximo a (s21 /n1 + s22 /n2 )2 (s21 /n1 )2 n1 −1 + (s22 /n2 )2 n2 −1 ANÁLISIS DE LA VARIANZA (ANOVA) Rechazamos la hipótesis de igualdad de medias H0 : µ1 = . . . = µI , al nivel de significación α, cuando PI 2 i=1 ni (ȳi• − ȳ•• ) F = PI PnI − 1 > FI−1;n−I;α 2 i j=1 (yij − ȳi• ) i=1 n−I Tabla ANOVA: Fuentes de variación (FV) Explicada o Entre grupos Suma de cuadrados (SC) I X SCE = ni (ȳi• − ȳ•• )2 Grados de libertad (gl) Varianzas o Cuadrados medios (CM) I −1 s2e = SCE I −1 (yij − ȳi• )2 n−I s2R = SCR n−I (yij − ȳ•• )2 n−1 i=1 Residual o Dentro de los grupos SCR = Total SCT = ni I X X i=1 j=1 ni I X X i=1 j=1 4 Estadı́stico F