Integral Calculus 201-NYB-05 Vincent Carrier Exercise Sheet 9 3.3 Trigonometric Integrals Solve the following integrals. Z 1. Z 4 sin θ cos θ dθ Z 4. 7. Z 10. 5. 8. Z 2 13. Z 16. Z 19. Z 22. 1 dθ 1 − sin θ sin2 θ dθ cos θ − 1 25. 3 3 28. Z 31. Z 1 dθ sec θ tan θ sin2 θ dθ cos4 θ 1 dθ sec θ + 1 cos2 θ dθ sin2 θ sin4 θ dθ cos2 θ sin 2θ cos θ dθ Z 20. cos 2θ dθ cos θ − sin θ 5 sec θ tan θ dθ Z 26. 4 sec θ dθ Z 29. 4 tan θ dθ Z 32. Z 35. 4 sin θ dθ 23. sec θ tan θ dθ Z 14. Z 2 2 Z √ 3. cos θ sin3 θ dθ sec θ dθ sec θ − tan θ sec3 θ dθ tan2 θ Z sin2 θ dθ cos θ Z sin3 θ dθ cos6 θ 6. 9. Z 12. Z 17. tan θ dθ Z 11. Z cos 2θ dθ sin θ cos3 θ √ dθ 3 sin θ sin θ dθ Z 1 dθ cos2 θ cos 3θ dθ Z 2. Z 5 cos θ dθ Z 34. 3 sin2 θ cos2 θ dθ Z cos θ dθ 1 + cos θ Z sin θ cos θ dθ cos2 θ − sin2 θ 15. 18. Z 21. sin 4θ cos θ dθ Z √ 3 tan θ sec4 θ dθ 24. Z 27. Z sec θ dθ tan2 θ Z tan3 θ dθ sec θ Z 1 dθ sec θ tan2 θ 30. 33. 36. tan3 θ dθ Answers: 1. − cos5 θ cos7 θ + +C 5 7 2. 3. − 2(cos θ)3/2 2(cos θ)7/2 + +C 3 7 4. sin θ − 5. θ sin 2θ − +C 2 4 7. tan θ + C 9. 1 1 − +C 5 cos5 θ 3 cos3 θ 11. tan θ − 3θ sin 2θ + +C 2 4 3(sin θ)2/3 3(sin θ)8/3 − +C 2 8 2 sin3 θ sin5 θ + +C 3 5 6. ln | sec θ + tan θ| − sin θ + C 8. − cot θ − θ + C 10. θ sin 6θ + +C 2 12 12. θ sin 4θ − +C 8 32 2 cos3 θ +C 3 13. tan θ + sec θ + C 14. − 15. − csc θ + cot θ + θ + C 16. − ln | csc θ + cot θ| + 2 cos θ + C 17. 3θ sin 2θ sin 4θ − + +C 8 4 32 19. − sin θ − θ + C 21. − 8 cos5 θ 4 cos3 θ + +C 5 3 18. − ln | cos 2θ| +C 4 20. sin θ − cos θ + C 22. tan θ − θ + C 23. sec5 θ +C 5 24. 25. sec5 θ sec3 θ − +C 5 3 26. tan θ + 27. tan2 θ + ln | cos θ| + C 2 28. − ln | csc θ + cot θ| + cos θ + C 29. tan3 θ − tan θ + θ + C 3 30. − csc θ + C 31. tan3 θ +C 3 32. tan θ + sec θ + C 3(tan θ)4/3 3(tan θ)10/3 + +C 4 10 tan3 θ +C 3 33. sec θ + cos θ + C 34. − csc θ + cot θ + θ + C 35. ln | sec θ + tan θ| − csc θ + C 36. − csc θ − sin θ + C