Programación Matemática para Economistas 1 4.- Dado el problema de programación multiobjetivo: Min f 1 (x1 , x 2 , x3 ) = 2x1 − x 2 + 3x3 Min f 2 (x1 , x 2 , x3 ) = − x1 + x 2 − 2x3 s.a. 6x1 − 3x 2 + 3x3 ≤ 10 − x1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15 x1 ≤ 13 x1 , x 2 , x 3 ≥ 0 imponemos que f1(x1, x2, x3) = 10, en el primer nivel de prioridad, y que f2(x1, x2, x3) ≤ 0, en el segundo. Determine el problema Lexmin que tendríamos que resolver indicando qué problema se plantea en cada uno de los niveles. ¿Sería el punto (0, 11, 7) solución satisfactoria? Solución: La primera meta es 2x1 – x2 + 3x3 = 10, que se transforma en 2x1 – x2 + 3x3 + n1 - p1 = 10, siendo la función de realización correspondiente a este primer nivel de prioridad h1(n1, p1) = n1 + p1 En segundo lugar, se impone –x1 + x2 – 2x3 ≤ 0, entonces, –x1 + x2 – 2x3 + n2 - p2 = 0 y h2(n2, p2) = p2. Con estas condiciones el problema de programación por metas resultante es: lexmin (n 1 + p 1 , p 2 ) s.a. 6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10 − x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15 x 1 ≤ 13 2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10 x 1 + x 2 - 2x 3 + n 2 - p 2 = 0 x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 , n 2 , p 2 ≥ 0 Nivel 1: ©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz Programación Matemática para Economistas 2 min n 1 + p 1 s.a. 6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10 − x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15 x 1 ≤ 13 2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10 x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 ≥ 0 Nivel 2: min p2 s.a. 6x 1 − 3x 2 + 3x 3 ≤ 10 − x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 15 x 1 ≤ 13 2x 1 - x 2 + 3x 3 + n 1 - p 1 = 10 n1 + p 1 = 0 x 1 + x 2 - 2x 3 + n 2 - p 2 = 0 x1 , x 2 , x 3 ,n1 , p 1 , n 2 , p 2 ≥ 0 Para que el punto (0, 11, 7) sea solución satisfactoria, debe verificar todas las restricciones del problema y además satisfacer las metas. Comprobémoslo, sustituyéndolas en dicho punto. Restricciones del problema: 0 – 33 + 21 = -12 ≤ 10 0 + 22 – 7 = 15 ≥ 15 0 ≤ 13 Primera meta: 0 – 11 + 21= 10 = 10 Segunda meta: 0 +11 –14 = -3 ≤ 0 Puesto que se ha comprobado que el punto (0, 11, 7) verifica todas las restricciones del problema y además satisface las metas, podemos afirmar que es solución satisfactoria. ©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz