La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: f (x) = P (X = x), para cualquier número real x. La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: f (x) = P (X = x), para cualquier número real x. Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras. La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: f (x) = P (X = x), para cualquier número real x. Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras. Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado, X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6. X 0 1 2 3 4 5 P(X = x) 0.4019 0.4019 0.1608 0.03215 0.003215 0.0001286 MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO Recordad la media de una variable estadística: MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO Recordad la media de una variable estadística: Junto con la definición frecuentista de probabilidad Ejemplo: valor esperado de la suma del resultado de lanzar dos dados Al aplicar la fórmula anterior obtenemos: Ejemplo: el valor esperado y los juegos justos. En los juegos de azar es importante la variable aleatoria X = beneficio del jugador = (ganancia neta) − (recursos invertidos) El juego consiste en ● una caja con 7 bolas blancas y 4 bolas negras. ● Tu pones 1€ y yo pongo x€. ● Sacamos una bola al azar. ● Si es negra, ganas tú (te quedas con todo) ● Si es blanca, gano yo (me quedas con todo) ● ¿Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo? VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Recordad la varianza de una variable estadística: Junto con la definición frecuentista de probabilidad Ejemplo: varianza de la suma del resultado de lanzar dos dados Al aplicar la fórmula anterior obtenemos: Ejemplo: media y varianza de una variable Bernoulli(p) Si X ~ Bernoulli(p), entonces, aplicando la definición, tenemos = 0·P(X=0) + 1·P(X=1) = 0·q + 1·p = p = (0 - p)² · P(X = 0) + (1 – p)²·P(X = 1) = p² · q + (1-p)² p = p² · q + q² p = p · q · (p + q) = p·q Ejemplo: media y varianza de una variable B(n,p) Si llamamos Xi al i - ésimo experimento Bernoulli y X ~ B(n,p), se puede interpretar X = X1 + X2 + ... + Xn ¿Podemos calcular la media y la varianza de X a partir de la de cada variable Bernuilli Xi? OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS: Retomando el ejemplo anterior: E(X) = E(X1) + E(X2 ) + ... + E(Xn) = n·p Var = Var(X1) + Var(X2 ) + ... + Var(Xn) = n·p·(1-p) La función de distribución (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: F (x )=P (x⩽X ) para cualquier número real x. Observa que ● La función de densidad se corresponde con la frecuencia relativa. ● La función de distribución se corresponde con la frecuencia relativa acumulada. Función de densidad de probabilidad Función de distribución de probabilidad Ejemplo: lanzamiento de un dado, funciones de densidad y de distribución X 1 2 3 4 5 6 f(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado, X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6. X ~ B(5, 1/6) X 0 1 2 3 4 5 P(X = x) 0.4019 0.4019 0.1608 0.03215 0.003215 0.0001286 P(x<=X) 0.4019 0.8038 0.9645 0.9967 0.9999 1.0000