Parte 2

Ejemplo: el valor esperado y los juegos justos.
En los juegos de azar es importante la variable aleatoria
X = beneficio del jugador = (ganancia neta) − (recursos invertidos)
El juego consiste en
● una caja con 7 bolas blancas y 4 bolas negras.
● Tu pones 1€ y yo pongo x€.
● Sacamos una bola al azar.
● Si es negra, ganas tú (te quedas con 1+x€ )
● Si es blanca, gano yo (me quedas con 1+x€)
●
¿Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo?
Ejemplo: media y varianza de una variable Bernoulli(p)
Si X ~ Bernoulli(p), entonces, aplicando la definición, tenemos
= 0·P(X=0) + 1·P(X=1) = 0·q + 1·p = p
= (0 - p)² · P(X = 0) + (1 – p)²·P(X = 1)
= p² · q + (1-p)² p
= p² · q + q² p
= p · q · (p + q) = p·q
Ejemplo: media y varianza de una variable B(n,p)
Si llamamos Xi al i - ésimo experimento Bernoulli y X ~ B(n,p), se puede interpretar
X = X1 + X2 + ... + Xn
¿Podemos calcular la media y la varianza de X a partir de la de cada variable Bernuilli Xi?
OPERACIONES CON VARIABLES ALEATORIAS:
Retomando el ejemplo anterior:
E(X) = E(X1) + E(X2 ) + ... + E(Xn) = n·p
Var = Var(X1) + Var(X2 ) + ... + Var(Xn) = n·p·(1-p)
Un determinado carácter se hereda con probabilidad p = 0.15
Si la descendencia es de 50 individuos. ¿Qué probabilidad hay
● de que al menos 30 presenten dicho carácter?
● de que lo presenten entre 17 y 31 individuos?
Votaciones de las CUP
● El problema
● La solución
Ejemplo: en un referéndum (votar a favor o en contra) participan 3030 personas.
Se estima que la probabilidad de votar a favor de la propuesta es 0.5
● ¿Cuál es el resultado esperado?
● ¿Cuál es la probabilidad de empate?
X= “nº de votos a favor de entre 3030, con probabilidad de éxito = 0.5”
Valor esperado
= n·p = 3030 · 0.5 = 1515
Probabilidad de empate P(X = 1515); cálculo con R, GeoGebra,...
La función de distribución (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la
función definida mediante:
F (x )=P (x ⩽X )
para cualquier número real x.
Observa que
● La función de densidad se corresponde con la frecuencia relativa.
● La función de distribución se corresponde con la frecuencia relativa acumulada.
Función de densidad
de probabilidad
Función de distribución
de probabilidad
Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado,
X = “nº de seises en 5 lanzamientos”. Éxito = sacar 6.
X ~ B(5, 1/6)
X
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0.4019
0.4019
0.1608
0.03215
0.003215
0.0001286
P(x<=X)
0.4019
0.8038
0.9645
0.9967
0.9999
1.0000
¿Probabilidad de obtener 2 seises?
P(X=2) = 0.1961
¿Probabilidad de obtener entre 2 y 4 seises?
P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 0.1608 + 0.03215 + 0.003215 = 0.1961
P(X<=4) – P(X<=1) = 0.9999 – 0.8038 = 0.1961
¿Probabilidad de obtener más de 1 seis?
P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
1- P(X<=1) = 1 – 0.8038 = 0.1962
c
PFM Biología de la Conservación Gestión de Ecosistemas
Tomás González Sousa
PFM Biología de la Conservación Gestión de Ecosistemas
Tomás González Sousa
Foto de Castro et al (en revisión)
Recuento ficticio
Simplifica cálculos
Foto de
Castro et al (en revisión)
Distancia
metros
Número
bellotas
0 a 10
25
10 a 20
35
20 a 30
20
30 a 40
15
40 a 50
5
Fabricar una función que permita calcular la probabilidad de que se
esconda una bellota a una determinada distancia del comedero.
●
●
Suponer que la distancia máxima es 50 metros
Suponer que las bellotas se distribuyen uniformemente en cada clase
Nota: en esta publicación se trabaja un problema análogo, pero con urracas y nueces
Ejemplo. Una aproximación a la variable aleatoria continua.
X = “distancia a la que hay (al menos) una bellota escondida”.
Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua.
Sección 5.5 del libro (pero hemos dado un pequeño salto)
Ejemplo: la siguiente es una función de densidad de probabilidad
de una variable continua
Calcular la probabilidad
P (0⩽ X⩽1)
Usa una máquina, como Wolframalpha, GeoGebra, Wiris,...
Función de soporte compacto en el intervalo [a, b]: es una función que vale 0 fuera de
ese intervalo.
Ejemplo:
●
●
Comprobar que es una función de densidad de probabilidad.
Calcular P (0⩽ X⩽1) P (1/4⩽X ⩽1/2)
Sol: 0.5 y 0.11, respectivamente
Sumas de Darboux
Ejemplo: calcular el valor esperado de la función
Sol: 0.1
Ejemplo: calcular la varianza de la función
Sol: 0.2
La función de distribución de una v.a. continua:
Es el equivalente a la función de probabilidad acumulada y, en le caso de una variable
aleatoria continua está definida por
k
F (k)=P (X ⩽k)= ∫ f ( x)dx
−∞
Donde f(x) es la función de densidad de X y k es un número cualquiera
Ejercicio: Calcular la función de distribución de probabilidad del ejemplo del arrendajo
Ejercicio: si X tiene por función de densidad de probabilidad
calcular su función de distribución de probabilidad.
Sección 5.5 del libro