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Calculadora ClassPad
Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones y optimización.
Nivel: 1º y 2º de Bachiller
Comentario:
La siguiente actividad que propongo es para la evaluación de los conceptos de
análisis de funciones y unas aplicaciones de las mismas. El objetivo es ver que el
alumno comprende la teoría como para realizar los cálculos y analisis directamente
con la calculadora, aunque en el desarrollo de los ejercicios se pida la verificación de
los datos obtenidos es para que el alumno también pueda adquirir la destreza de
saber obtener los resultados con las operaciones que correspondan a cada uno.
Podemos considerar siempre que para que el alumno tenga claro el objetivo de los
ejercicios, así también como desarrollarlos, dar un ejemplo de la resolución de un
ejemplo como lo he hecho en el primero de los varios ejercicios expuestos a
continuación.
El ejercicio desarrollado por el profesor con los alumnos debe de ser lo mas amplio
posible. El profesor también debe de aclarar que la resolución de los demás ejercicios
propuestos no siempre se realiza de una forma única y que cada alumno es libre de
escoger el cálculo o camino que mejor lo crea. El profesor debe de comprender esto
y considerarlo, pues aunque muchas veces un alumno tome un camino mas largo no
implica que no sepa realizar los cálculos o que no sepa la teoría.
De mi propia experiencia al realizar varios ejercicios, me he dado cuenta que al
realizarlos, aunque parecidos, he tomado caminos distintos en la resolución. Realizar
varios ejercicios me ha dado la posibilidad de ir descubriendo más y mas las muchas
varias opciones que tiene la calculadora para resolver ejercicios similares. De la
misma manera, el alumno irá descubriendo las múltiples opciones de la calculadora.
El profesor, por supuesto, puede de todos modos recomendar al alumno el camino
mas corto, pero aún así no dejar de valorar el camino tomado por el alumno. Esto es
importante de saber comprenderlo, pues en el momento de dar una puntaje a cada
ejercicio propuesto, aunque el desarrollo sea el más largo, aun así debe tener la
misma valoración que un calculo directo. Esto no desvaloriza el trabajo realizado por
el alumno.
Por ejemplo, en el segundo ejercicio propuesto, si el alumno puede sacar las
conclusiones directamente de los datos que le proporciona la calculadora, es porque
ha sabido coger el camino mas corto pero ha comprendido perfectamente dichos
datos porque tiene claro la teoría.
Mi forma de valorar numéricamente cada ejercicio es de 2 puntos para cada ítem
desarrollado o concluido. La razón de valorarlo con un número par es por considerar
de valorar con 1 punto parte del ejercicio que el alumno ha realizado aunque el error
haya sido por razón de desatención, por ejemplo hacer mal el calculo por escribir 2
envés de 5, etc...
Ha continuación, en la primera parte, el enunciado de los ejercicios propuestos. En la
segunda parte os doy una alternativa de resolución de cada uno de ellos, pero siendo
el primero el realizado paso a paso como ejemplo realizado por el profesor en clase.
JVGO.
Ejercicios de Análisis y optimización
Nivel: 1º y 2º de Bachiller.
1) Sea la función y = x 4 − 3x 2 + 2 . Realizar la gráfica y luego con la
tabla de valores de los puntos críticos de en X, f(x), f´(x) y f´´(x)
obtenido con la calculadora, analizar y determina:
a) Dominio de definición
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Coordenadas de los puntos mínimos y máximos
d) Puntos de inflexión
e) Intervalos de concavidad y convexidad
f) Verifica los valores obtenidos anteriormente realizando las
operaciones correspondientes
2) Realiza la gráfica de la función
f ( x) =
1 3 1 2
x − x − 2x + 2
3
2
analizando los
puntos de cortes con los ejes de coordenadas, máximos y mínimos,
intervalos de crecimiento y decrecimiento. Has un resumen de los
valores obtenidos.
3) Determina a , b , c , d de modo que la curva
tenga puntos críticos en (0,4) y (2,0)
y = ax3 + bx 2 + cx + d
4) Halla dos números cuya suma es 18, si el producto de uno por el
cuadrado del otro ha de ser máximo.
5) Los lados iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 4 cm.
Hallar la longitud de la base si el área es un máximo.
6) Se desea hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima
inscripto en una circunferencia de radio 5 cm.
7) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal, en el punto de
abscisa 3 de la parábola y = 1 x 2
4
8) Hallar las ecuaciones de la tangente y normal de la curva
y=
5x2
1 + x2
en el punto x=2.
9) Sabemos que la función f ( x) = ax 2 + bx tiene un máximo en el punto
(3,8). Halle los valores de a y b.
ACTIVIDAD FINAL
(Desarrollo completo del primer ejercicio)
Tema: Ejercicios varios sobre Análisis de funciones
Nivel: 1º y 2º de Bachiller
y = x 4 − 3 x 2 + 2 . Realizar la gráfica y luego con la tabla de valores de los
puntos críticos de en X, f(x), f´(x) y f´´(x) obtenido con la calculadora, analizar y
determina:
Dominio de definición
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Coordenadas de los puntos mínimos y máximos
Puntos de inflexión
Intervalos de concavidad y convexidad
Verifica los valores obtenidos anteriormente realizando las operaciones correspondientes
1) Sea la función
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Desarrollo:
(Desarrollo completo del primer ejercicio)
1) Abrimos en el menú principal el ícono
2) Tenemos la siguiente pantalla,
y luego damos al ícono
3) Obtenemos la siguiente pantalla:
y luego damos al ícono
4) Tenemos la siguiente pantalla donde escribimos en la primera línea la función de estudio y
damos al ícono :
Para así obtener la grafica en la parte mitad inferior:
5) En la línea de los ¨menús¨ encontramos el siguiente ícono:
la siguiente tabla:
, damos click y tenemos
6) Procedemos a interpretar dicha tabla para contestar a las preguntas del ejercicio:
a) Dominio de definición: Según lo podemos observar en la gráfica corresponde todos los
números reales, además ya en la teoría hemos estudiado que el dominio de definición de un
D om ( f ) = R
polinomio es el conjunto de los números reales.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Para ello debemos tener los puntos criticos máximos y minimos. Para estos puntos las derivadas
son iguales a cero. En la segunda línea tenemos los valores donde la primera derivada es igual
a cero:
f´(x) = 0 en x= -1,2 , x=0 , x=1.22 , además tenemos los signos de las primeras derivadas
para valores intermedios a los puntos críticos. Sabemos que cuando:
- : (−∞; −1.22) ∪ (0; +1.22)
+ : (−1.22;0) ∪ (1.22; +∞)
f´(x) < 0 f(x) es decreciente, esta indicado por el signo negativo
f´(x) > 0 f(x) es creciente, esta indicado por el signo positivo
c) Coordenadas de los puntos mínimos y máximos
Recordamos que en los puntos mínimos f´´ (x) >0, y en los máximos f´´(x)<0
Consideramos entonces la tercera línea donde tenemos los valores de f´´ (x) para los puntos
críticos donde f´ (x) = 0
Vemos que f´´(-1.2) = 12 > 0, en x= -1,2 tenemos un mínimo
Vemos que f´´(0) = -6 < 0, en x=0 tenemos un máximo
Vemos que f´´ (1.22)=12 > 0, en x=1.22 tenemos un mínimo
Las imágenes correspondientes a dichos puntos los tenemos en la cuarta línea:
Para x=-1.2 , f(-1.2) = -0.2 P min (-1.22; - 0.2)
Para x= 0 , f(0) = 2 P max ( 0 , 2 )
Para x=1.22, f(1.22) = -0.2 P min (1.22; -0.2)
d) Puntos de inflexión:
Sabemos que los puntos de inflexión son los puntos donde la segunda derivada es igual a cero.
Vemos en la tercera linea:
Los puntos donde f´´ (x) = 0 es en x: -0.7
estan en la última linea:
y en x= 0.7. Las imágenes para dichos puntos
Para x= -0.7, f(-0.7) = 0.75 PI (-0,7 ; 0.75)
Para x= 0.7, f(0.7) = 0.75 PI ( 0.7 ; 0.75 )
e) Curvaturas
Sabemos que la grafica de f(x) es concava para los valores de x donde f´´(x) > 0 ( + ) y es
convexa para los valores de x donde f´´ (x) < 0 ( - ). Consideramos entonces la tercera linea:
f´´ (x) > 0 indicado por + en los intervalos (−∞; −0.7) ∪ (0.7; +∞) , son los intervalos cóncavos
f´´(x) < 0 indicado por – en el intervalo (-0.7 ; 0.7 ), es el intervalo convexo.
f) Verificamos los valores obtenidos realizando las derivadas correspondientes y valorándolos
en cada punto según corresponda.
1 3 1 2
x − x − 2 x + 2 analizando los puntos de cortes
3
2
con los ejes de coordenadas, máximos y mínimos, intervalos de crecimiento y
decrecimiento. Has un resumen de los valores obtenidos.
2) Realiza la gráfica de la función
f ( x) =
Resumen:
Puntos de intersección con el eje X: ( -2.28 ; 0) , ( 0.92 ; 0 ) y ( 2.86 ; 0 )
Punto de intersección con el eje Y: ( 0 ; 2 )
Punto Máximo: ( -1 ; 3.17 )
Punto mínimo: ( 2 ; -1.33 )
Intervalos de crecimientos:
(−∞; −1) ∪ (2; +∞)
Intervalo de decrecimiento: ( − 1 ; 2 )
Punto de inflexión: ( 0.5 ; 0.92 )
Intervalo convexo: ( − ∞ ; 0 . 5 )
Intervalo cóncavo: (0.5; +∞ )
a , b , c , d de modo que la curva y = ax3 + bx 2 + cx + d tenga puntos críticos
en (0,4) y (2,0)
3) Determina
4) Halla dos números cuya suma es 18, si el producto de uno por el cuadrado del otro ha de
ser máximo.
5) Los lados
iguales de un triángulo isósceles miden cada uno 4 cm. Hallar la longitud de la
base si el área es un máximo.
6) Se desea hallar las dimensiones de un rectángulo de área máxima
inscripto en una circunferencia de radio 5 cm.
7) Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal, en el punto de
abscisa 3 de la parabola y = 1 x 2
4
VERIFICACION
8) Hallar las ecuaciones de la tangente y normal de la curva
y=
5x2
1 + x2
en el punto x=2.
9) Sabemos que la función f ( x) = ax 2 + bx tiene un máximo en el punto
(3,8). Halle los valores de a y b.
Autor: Juan Vicente González Ovando
Correo Electrónico: jvgo67@yahoo.com