תרגיל 9 – גבולות (ii)

Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
(ii) ‫ – גבולות‬9 ‫תרגיל‬
lim
x→ π
2
1 + cos (2x)
(‫)ד‬
1 − sin x
lim
x→0
lim tan x (‫)ח‬
:(‫ חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים‬.1
tan x − cot x
tan x − 1
lim
(‫ )ב‬limπ
(‫)א‬
x→ π
x→
cos
(2x)
sin
x − cos x
4
4
sin x − tan x
(‫)ג‬
sin2 x
lim x cot (πx) (‫)ז‬
x→∞
lim
x→0
x→0
tan x − sin x
(‫)ו‬
x3
lim
x→2π
cos (2x) − 1
(‫)ה‬
sin x
‫פתרונות‬
:‫)א( מתקיים‬
lim
x→ π
4
√
tan x − 1
tan x − 1
1
2
= limπ
= limπ
=√ = 2
x→
x→
sin x − cos x
2
4 cos x (tan x − 1)
4 cos x
:‫)ב( מתקיים‬
limπ
x→ 4
2
sin x
cos x
2
x
sin x−cos x
− cos
−1
sin x
sin x cos x
= limπ
= −2
= limπ
2
2
x→
x→
cos (2x)
4 cos x − sin x
4 sin x cos x
tan x − cot x
= limπ
x→ 4
cos (2x)
:‫)ג( מתקיים‬
sin x − tan x
x→0
sin2 x
lim
cos x−1
1 − cos1 x
cos x − 1
= lim cos x = lim
x→0
x→0 sin x
x→0 sin x cos x
sin x
cos x − 1
cos (x − 1)
2x
= lim 2
= lim
·
=0·1=0
x→0
x→0
sin (2x)
x
sin (2x)
=
lim
(‫ חישבנו בכיתה‬limx→0
cos x−1
x
‫)את הגבול‬
:‫)ד( מתקיים‬
limπ
x→ 2
1 + cos (2x)
1 − sin x
1 + 1 − sin2 x − sin2 x
1 + cos2 x − sin2 x
= limπ
x→ 2
1 − sin x
1 − sin x
=
limπ
x→ 2
2 − 2 sin2 x
1 − sin2 x
(1 − sin x) (1 + sin x)
= 2 limπ
= 2 limπ
x→ 2 1 − sin x
x→ 2
x→ 2 1 − sin x
1 − sin x
= 2 limπ (1 + sin x) = 4
=
limπ
x→ 2
:‫)ה( מתקיים‬
lim
x→2π
cos (2x) − 1
sin x
2
=
=
1 − sin x − sin2 x − 1
sin x
2
cos x − sin x − 1
= lim
x→2π
x→2π
sin x
sin2 x
−2 lim
= −2 lim sin x = 0
x→2π sin x
x→2π
lim
1
2
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:(‫)ו( מתקיים )נעזרנו פה בכפל בצמוד‬
lim
x→0
tan x − sin x
x3
sin x
x
sin x
= lim
x→0 x
sin x
= lim
x→0 x
=
=
lim
x→0
1
cos x
−1
sin x 1 − cos x
· 2
x
x cos x
1 − cos x 1 + cos x
· 2
·
x cos x 1 + cos x
1 − cos2 x
· 2
x cos x (1 + cos x)
·
x2
= lim
x→0
1
sin x sin2 x
1
1
·
·
=1·1·
=
2
x→0 x
x
cos x (1 + cos x)
1·2
2
lim
:‫)ז( מתקיים‬
πx
cos (πx)
1
·
=
x→0 sin (πx)
π
π
lim x cot (πx) = lim
x→0
.(‫ הנה מחזורית ולא קבועה‬tan x ‫)ח( גבול זה אינו קיים )הפונקציה‬
:(‫ חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים‬.2
√
1− x−2
sin (3x)
4x2 + 1
√
lim
(‫)ב‬
lim
(‫)ג‬
lim
(‫)א‬
√
2
x→∞
x→3
x→0
x −9
x−1
x+2− 2
√
lim
p
x→∞
x4 − 3x2 − 1 − x2 (‫)ד‬
‫פתרונות‬
:‫)א( נוציא גורם משותף בכפייה‬
q
x 4+
lim
x→∞
1
x2
x−1
√
√
sin (3x)
x+2+ 2
√ ·√
√
lim √
x→0
x+2− 2
x+2+ 2
x
= lim
·
x→∞ x − 1
r
4+
√
1
=1· 4=2
2
x
:‫)ב( נכפול בצמוד‬
√
√ x+2+ 2
sin 3x
·
x+2−2
√
√ √
√
sin 3x
= lim
·3
x+2+ 2 =1·3·2 2=6 2
x→0 3x
=
√
1− x−2
1+ x−2
√
lim
·
x→3 (x − 3) (x + 3) 1 +
x−2
lim
x→0
:‫)ג( נכפול בצמוד‬
√
=
=
=
1 − (x − 2)
√
(x − 3) (x + 3) 1 + x − 2
x−3
√
− lim
x→3 (x − 3) (x + 3) 1 +
x−2
1
1
1
=
√
− lim
=
x→3 (x + 3) 1 +
6·2
12
x−2
lim
x→3
2
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:‫)ד( נכפול בצמוד‬
√x4 − 3x2 − 1 + x2
p
x4 − 3x2 − 1 − x2 · √
x→∞
x4 − 3x2 − 1 + x2
lim
x4 − 3x2 − 1 − x4
lim √
x→∞
x4 − 3x2 − 1 + x2
−3x2 − 1
lim
q
x→∞ 2
x
1 − x32 − x14 + 1
=
=
−3x2 − 1
·q
x→∞
x2
1−
=
(−3) ·
=
lim 1 +
x→∞
3x
4 + 2x2
x
lim (1 + sin x) sin x (‫)ג‬
x→0
1
lim (1 + sin x) sin(2x) (‫)ח‬
lim
x→∞
x→0
x+3
x+2
3
x2
−
1
x4
+1
1
3
=−
2
2
:(‫ חשבו את הגבולות הבאים )או קבעו שאינם קיימים‬.3
x
2x
9
1
lim 1 +
(‫)ב‬
lim 1 +
(‫)א‬
x→∞
x→∞
x
3x
1
(‫)ד‬
1
lim
2x
lim
(‫)ז‬
x→∞
2x2 − 1
2x2 + 2
x
(‫)ו‬
1/x
lim (1 + tan (3x))
x→0
(‫)ה‬
‫פתרונות‬
:‫)א( מתקיים‬
lim
x→∞
1
1+
3x
2x
= lim
x→∞
1
1+
3x
2x
3x ! 3x
2
= e3
:‫)ב( מתקיים‬
x
1 x !9
9
1 9
lim 1 +
= lim
1+ 1
= e9
x→∞
x→∞
x
x
9
:‫)ג( מתקיים‬
lim (1 + sin x)
1
sin x
x→0
,‫; אבל שניהם יוצאים שווים‬0‫אין גבול ב־‬
1
sin x ‫ול־‬
= lim
x→0
1+
1
1
sin x
sin1 x
=e
‫ מאחר‬,‫ צריך לבדוק פה גבול מימין וגבול משמאל‬,‫)למעשה‬
(e ‫וערכם‬
3
‫‪Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes‬‬
‫)ד( מתקיים‪:‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪4+2x2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪= e2‬‬
‫‬
‫‪3x2‬‬
‫‪4+2x2‬‬
‫·‪x‬‬
‫‪4+2x2‬‬
‫‪3x‬‬
‫∞→‪limx‬‬
‫‪=e‬‬
‫‪‬‬
‫!‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4+2x2‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪= lim  1 +‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪4 + 2x2‬‬
‫‬
‫‪lim 1 +‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)ה( מתקיים‪:‬‬
‫)‪tan(3x‬‬
‫‪x‬‬
‫)‪tan(3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪= elimx→0‬‬
‫כעת נותר לכם לחשב את הגבול‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪! tan(3x‬‬
‫‪‬‬
‫)‪tan(3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪tan(3x‬‬
‫‪= lim  1 +‬‬
‫‪1/x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫))‪lim (1 + tan (3x‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪ limx→0‬וקיבלתם את התוצאה!‬
‫)ו(‪),‬ז( המטרה היא להעביר את השבר שבפנים לצורה של ‪ 1‬ועוד משהו קטן‪ .‬נעשה זאת בסעיף זה ו׳‪ ,‬ובסעיף ז׳ הפתרון‬
‫דומה‪ .‬מתקיים‪:‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2x2 + 2 − 3‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪2x2 + 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪−3‬‬
‫‪lim 1 + 2‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‬
‫‪lim‬‬
‫=‬
‫‪2x2 − 1‬‬
‫‪2x2 + 2‬‬
‫‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫=‬
‫ומפה הפתרון כרגיל‪.‬‬
‫)ח( פתרו זאת בעזרת סעיף ג׳ ובעזרת הזהות עבור סינוס של זווית כפולה‪.‬‬
‫‪ .4‬נתונה הפונקציה‬
‫)‪(x + 1) (x − 1‬‬
‫)‪x (x − 2‬‬
‫= )‪f (x‬‬
‫חשבו את הגבולות הבאים‪:‬‬
‫)א( )‪lim f (x‬‬
‫‪x→0+‬‬
‫)ד( )‪lim f (x‬‬
‫‪x→2−‬‬
‫)ב( )‪lim f (x‬‬
‫‪x→0−‬‬
‫)ה( )‪lim f (x‬‬
‫∞→‪x‬‬
‫)ג( )‪lim f (x‬‬
‫‪x→2+‬‬
‫)ו( )‪lim f (x‬‬
‫∞‪x→−‬‬
‫פתרונות‬
‫)א( מתקיים‪:‬‬
‫)‪1 (x + 1) (x − 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫∞=‬
‫‪x‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪2 x→0+ x‬‬
‫‪lim f (x) = lim‬‬
‫‪x→0+‬‬
‫‪x→0+‬‬
‫)ב( מתקיים‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪1 (x + 1) (x − 1‬‬
‫·‬
‫=‬
‫‪lim‬‬
‫∞‪= −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x−2‬‬
‫‪2 x→0− x‬‬
‫‪4‬‬
‫‪lim f (x) = lim−‬‬
‫‪x→0‬‬
‫‪x→0−‬‬
Mathematics, Summer 2011 / Exercise 9 – Notes
:‫)ג( מתקיים‬
lim f (x) = lim+
x→2+
x→2
1
(x − 1) (x + 1)
3
1
·
=
lim
=∞
x−2
x
2 x→2+ x − 2
:‫)ד( מתקיים‬
lim f (x) = lim−
x→2−
x→2
1
(x − 1) (x + 1)
3
1
·
=
lim
= −∞
x−2
x
2 x→2− x − 2
:‫)ה( מתקיים‬
x2 − 1
=1
x→∞ x2 − 2x
lim f (x) = lim
x→∞
.‫)ו( בדיוק כמו סעיף ה׳‬
5