דף נוסחאות :כפל מקוצר x − y = ( x − y )( x + y ) 2 :בינום ניוטון ( a + b) n 2 ( x ± y ) 2 = x 2 ± 2 xy + y 2 n = ∑ Cnk ⋅ a n − k ⋅ b k ( x ± y )3 = x3 ± 3x 2 y + 3 xy 2 ± y 3 k =0 x3 + y 3 = ( x + y )( x 2 − xy + y 2 ) n n! C = = k k !(n − k )! k n x3 − y 3 = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 xz + 2 yz x n − y n = ( x − y )( x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 + … + y n −1 ) y=ax+b :(מעלה ראשונה )קו ישר 2 :(מעלה שנייה )פרבולה y= ax + bx + c 2 b b − , c − :קודקוד הפרבולה 4a 2a :פתרונות למשואה ממעלה שנייה :פולינום כללי n n −1 p ( x) = an x + an −1 x + … + a1 x + a0 :נוסחאות וייטה a x1 + x2 + … + xn = − n −1 an −b ± b 2 − 4ac x1 , x2 = 2a 2 ∆ = b − 4ac ∆=0 :פתרון יחיד ∆> 0 :שני פתרונות ∆<0 :אין פתרון (−1) n a0 x1 ⋅ x2 ⋅… ⋅ xn = an a = x ⇔ log x = b b a a log ax :לוגריתמים a, x > 0 x = x m−n n x ( x m ) n = x mn =x m, a, x, y > 0 log e ( x) = ln( x) log m ( x) = log10 ( x) = log( x) :סדרה הנדסית q – המנה בין שני איברים an = a1q n −1 S= a1q − a1 = q −1 a1 ( q n − 1) q −1 q ≠1 a1 : −1 < q < 1 כאשר 1− q 1 xm x m y m = ( xy ) m x −m = log a ( x n ) = n ⋅ log a ( x) m, a ≠ 1 Sn = x m x n = x m+n m x log a = log a ( x) − log a ( y ) y log a ( xy ) = log a ( x) + log a ( y ) n :חזקות log a ( x) log a (m) m x ym x = y :נוסחאות וייטה פתרונות המשוואה הריבועיתx1,x2 יהיו b x1 + x 2 = − a c x1 ⋅ x 2 = a :ערך מוחלט -a<x<a ⇔ |x|<a m x<-a or x>a ⇔ |x|>a x2 = x x⋅ y = x ⋅ y :סדרה חשבונית d - ההפרש בין שני איברים x x = y y an = a1 + d ⋅ (n − 1) x − y ≤ x+ y ≤ x + y a +a Sn = 1 n n 2 n S n = [2a1 + (n − 1)d ] 2 :סכומים n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + 32 + … + n 2 = 6 1+ 2 + 3 +… + n = n( n + 1) 1 + 2 + 3 +… + n = 2 3 3 3 3 2 sin(− x) = − sin( x) cos(− x) = cos( x) tan(− x) = − tan( x) :משפטי הסינוס והקוסינוס a b c = = = 2R sin(α ) sin( β ) sin(γ ) c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos(γ ) b α γ c sin( x + 2π ) = sin( x) cos( x + 2π ) = cos( x) tan( x + 2π ) = tan( x) a β sin(π ± x) = ∓ sin( x) cos(π ± x) = − cos( x) tan(π ± x) = ± tan( x) :זווית כפולה 2 tan(α ) 2 cot(α ) sin(2α ) = 2sin(α ) cos(α ) = = 2 1 + tan (α ) 1 + cot 2 (α ) 1 − tan 2 (α ) cot 2 (α ) − 1 = cos(2α ) = cos (α ) − sin (α ) = 1 + tan 2 (α ) cot 2 (α ) + 1 2 2 cos(2α ) = 2 cos 2 (α ) − 1 = 1 − 2sin 2 (α ) 2 tan(α ) tan(2α ) = 1 − tan 2 (α ) :סכום והפרש פונקציות α ± β α ∓ β sin(α ) ± sin( β ) = 2sin cos 2 2 α + β α − β cos(α ) + cos( β ) = 2 cos cos 2 2 α + β α − β cos(α ) − cos( β ) = −2sin sin 2 2 sin(α ± β ) tan(α ) ± tan( β ) = cos(α ) ⋅ cos( β ) sin( β ± α ) cot(α ) ± cot( β ) = sin(α ) ⋅ sin( β ) :טריגונומטריה π sin( x) = cos − x 2 π cos( x) = sin − x 2 π tan( x) = cot − x 2 sin( x) cos( x) tan( x) = cot( x) = cos( x) sin( x) sin 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1 1 1 + tan 2 ( x) = cos 2 ( x) 1 1 + cot 2 ( x) = sin 2 ( x) :סכום והפרש זוויות sin(α ± β ) = sin(α ) cos( β ) ± sin( β ) cos(α ) cos(α ± β ) = cos(α ) cos( β ) ∓ sin(α ) sin( β ) tan(α ) ± tan( β ) 1 ∓ tan(α ) tan( β ) cot( β ) cot(α ) ∓ 1 cot(α ± β ) = cot( β ) ± cot(α ) tan(α ± β ) = :חצי זווית 1 − cos(α ) α sin = ± 2 2 1 + cos(α ) α cos = ± 2 2 sin(α ) α 1 − cos(α ) tan = = sin(α ) 1 + cos(α ) 2 1 − cos(α ) α tan 2 == 1 + cos(α ) 2 :מכפלת פונקציות x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) 0 1 0 12 3 3 2 1 3 1 1 2 2 2 2 3 2 1 0 -1 12 0 -1 0 3 0 - 1 3 0 0 1 [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 1 cos(α ) cos( β ) = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ] 2 1 sin(α ) sin( β ) = [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ] 2 sin(α ) cos( β ) = y = xn n = 2k40 y=n x 35 30 25 20 15 10 5 0 -10 y = xn -5 0 5 10 n = 2k300 +1 -10 y=n x -100 0 5 10 -10 -5 n = 2k1.2 y = ax a >1 1 0.6 0.4 0.2 0 5 10 n = 2k1.5+ 1 -10 y = ax 0.5 0.5 0 0 0 5 10 2 0 -6 -0.5 0 5 2 y =0log a ( x) -10 -5 -2 0 2 4 6 8 6 8 0 < a <1 0 2 -8 y = arcsin( x) 2 4 6 8 1.5 1 0.5 -1.5 -0.5 0 -1 5 0 -1.5 10 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 -0.5 -2 -1 -2.5 -1.5 -3 -2 y = sin( x) 70 60 y = arccos( x) 3.5 1.5 3 1 2.5 0.5 2 0 -6 -4 -2 1.5 0 2 4 6 8 1 -0.5 0.5 -1 0 5 0 10 y = cos( x) -1.5 -1.5 1.5 y = arctan( x) -1 -0.5 0 1 0.8 1 0.6 0.4 0.5 0.2 0 0 -6 -4 -2 0 -0.5 10 0 -1 4 -1 50 40 30 20 10 -2 -6 0 -0.5 -4 -4 60 0 -1.5 1 0 < a < 170 0.5 -5 1 -5 1 -10 1.5 10 0 0 y = x−n 1.5 50 40 30 20 0.8 -5 4 -1.5 -2 -300 -10 2 0.5 0 -200 y = x−n 2 :גרפים של פונקציות חשובות -5 8 6 1.5 1 0 y = tan( x) 2.5 n = 2k 2+ 1 100 a >1 2.5 -5 200 -10 y =3 log a ( x) n = 2k 3 -1 0 5 10 -1.5 2 4 6 8 -1.5 -1 -0.5 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0.5 1 1.5