Capítulo 1 El álgebra de los números complejos

Apuntes de Álgebra Lineal
Capítulo 1
El álgebra de los números complejos
1.1.
Los números complejos
1.1.1.
La unidad imaginaria
Los números complejos aparecieron históricamente cuando los matemáticos aceptaron la
posibilidad de realizar operaciones aritméticas en las que interviniese una raíz cuadrada de
un número negativo. Al principio esto fué aceptado con mucha cautela solamente en aquellos
casos en los que dicha raíz cuadrada acababa siendo elevada al cuadrado, recuperándose así un
número “real”.
Estas manipulaciones aritméticas “formales” se pueden justificar aceptando un número
“imaginario”, denotado i y llamado unidad imaginaria, caracterizado por la propiedad de que
su cuadrado es igual a −1:
i2 = −1.
(1.1)
deja de tener excepciones. En otras palabras: Al introducir una raíz del polinomio p( x ) = x2 + 1
se están obteniendo automáticamente dos raíces (posiblemente coincidentes) para todos los polinomios de
segundo grado con coeficientes reales. En realidad esto va aún más lejos, pues como resultará claro
más tarde cuando veamos que todo número complejo no nulo tiene dos raíces cuadradas, la fórmula (1.2) sirve para hallar las raíces de cualquier polinomio de segundo grado con coeficientes
complejos.
1 Ejercicio de tarea. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
z2 − 2z + 5 = 0 ,
(b)
z2 − 2iz + 8 = 0
Solución: (a) z1 , z2 = 1 ± 2i, (b) z1 = 4i, z2 = −2i.
(a)
1
Versión de 21 de noviembre de 2016, 22:27 h.
La introducción de este número i tiene unas enormes consecuencias que, sin duda fueron
insospechadas al principio, pero lo que sí estuvo claro desde el principio es que el número i nos
permite calcular la raíz cuadrada de todo número real negativo (por ejemplo, si√x = −4 entonces
el número a = − x = 4 es√positivo, por√lo que conocemos su raíz cuadrada: a = 2. Entonces
el cuadrado del número a i = 2i es ( a i )2 = 22 i2 = 4(−1) = −4 por lo que el número 2i es
una raíz cuadrada de −4). Además, el número i nos permite calcular las soluciones de cualquier
ecuación de segundo grado, pues la fórmula
√
−b ± b2 − 4ac
x=
(1.2)
2a
1.1. Los números complejos
1.1.2.
1. El álgebra de los números complejos
Definición de los números complejos
La simple propiedad (1.1), junto con las demás propiedades de las operaciones aritméticas,
nos permite deducir el valor de todas las potencias positivas de la unidad imaginaria:
i1 = i,
i2 = −1,
i3 = −i,
i4 = 1,
i5 = i,
i6 = −1,
...
(1.3)
y así sucesivamente, repitiéndose el ciclo de los cuatro valores i, −1, −i, 1.
Así pues, si se quiere evaluar cualquier función polinómica, p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn , en
t = i el resultado siempre será (después de reodenar términos) una expresión de la forma
p(i ) = x + yi
donde x e y dependen de los coeficientes del polinomio p(t):
x = a0 − a2 + a4 − · · ·
e
y = a1 − a3 + a5 − · · ·
(1.4)
Ejemplo: Si queremos evaluar la función polinómica p(t) = 2 − 3t + t2 − t3 en t = i, necesitamos usar i2 = −1 e i3 = i2 i = (−1)i = −i, de forma que tenemos:
p(i ) = 2 − 3i + i2 − i3 = 2 − 3i + (−1) − (−i ) = 1 − 2i .
2 Ejercicio de tarea. Escribir las fórmulas (1.4) para x e y en el caso general de un polinomio de
grado n, p(t) = a0 + a1 t + · · · + an tn , usando el símbolo de sumatorio. Para simplificar puedes
suponer que el grado del polinomio, n, es par. ¿Cómo serían las fórmulas si n fuese impar?
Según lo anterior, todo polinomio evaluado en i nos da como resultado un polinomio en i
de grado menor que dos (es decir, de grado uno o de grado cero). Esto nos lleva a una de las
posibles definiciones de los números complejos que es la siguiente:
Definición: Los números complejos son los polinomios de coeficientes reales de grado menor
que dos en una indeterminada i, llamada unidad imaginaria, que tiene la propiedad i2 = −1.
Entre estos polinomios, los homogéneos de grado 1 (es decir, de la forma z = bi) se llaman
imaginarios puros (mientras que los homogéneos de grado cero son, claramente, los números
rales).
Existen otras definiciones menos formales y más “geométricas” de los números complejos,
pero la anterior nos permite explicar las operaciones aritméticas de los números complejos sin
dar definiciones nuevas y usando sólo conceptos ya conocidos.
1.1.3.
Suma, resta y multiplicación
Tratando a los números complejos como polinomios en i y teniendo en cuenta la propiedad fundamental de la unidad imaginaria i2 = −1, resulta sencillo realizar con los números
complejos las operaciones aritméticas de sumar, restar y multiplicar.
Ejemplo: Dados dos polinomios de primer grado en la indeterminada t, p(t) = a + bt, q(t) =
c + dt, su suma, resta y producto son:
p(t) + q(t) = ( a + c) + (b + d) x ,
p(t) − q(t) = ( a − c) + (b − d) x ,
p(t)q(t) = ( a + bx )(c + dx )
= ac + ( ad + bc) x + bdx2 .
2
1. El álgebra de los números complejos
1.1. Los números complejos
Igualmente, dados dos números complejos, z = a + bi, w = c + di, su suma, resta y producto
son:
z + w = ( a + c ) + ( b + d )i ,
z − w = ( a − c ) + ( b − d )i ,
zw = ( a + bi )(c + di ) = ac + ( ad + bc)i + bdi2
= ac + ( ad + bc)i + bd(−1)
= ( ac − bd) + ( ad + bc)i.
3 Ejercicio de tarea. ¿Qué valores han de tener los coeficientes a y b del número complejo a + bi
para que se cumpla ( a + bi )(3 + 4i ) = 1?
1.1.4.
Ejercicios para practicar
En los ejercicios 1 a 8 calcula el valor de la expresión dada, donde z = 2 − 2i, w = 3 +
u = 3i.
Solución: 6 + 6i
I 8. z4 .
I 6. wu.
Solución: −64
Solución: (6 +
π
2)
+ ( π2 − 6)i
Solución: −8i
1.1.5.
I 5. zu.
I 3. w + u.
Solución: − 3π
4 + 9i
Solución: 5 + ( π4 − 2)i
I 7. z2 .
Solución: 2 + i
I 4. zw.
I 2. z + u.
y
Solución: 3 + ( π4 + 3)i
I 1. z + w.
π
4i
Parte real y parte imaginaria de un número complejo
Se llama parte real de un número complejo z, y se denota Re(z), a su coeficiente de grado
cero y parte imaginaria, denotada Im(z), al de grado 1. Si x e y son dos números reales, entonces: Definición de
Para
z = x + yi
se tiene:
Re(z) = x,
Im(z) = y.
Ejemplo: La parte real del número complejo z = 3 + 4i es Re(z) = 3, mientras que su parte imaginaria es Im(z) = 4. Obsérvese que tanto la parte real como la parte imaginaria son
números reales.
Para todo número complejo z se cumple que z es igual a su parte real sumada con el producto
de su parte imaginaria multiplicada por la unidad imaginaria i. Dicho de otra forma, se cumple
siempre la identidad
z = Re(z) + Im(z)i.
¡Cuidado! A muchos estudiantes les gustaría que todo número complejo fuese igual a la suma
de su parte real y su parte imaginaria, pero esto no es cierto (sería el mismo error que decir
que la parte imaginaria de 3 + 4i es 4i cuando en realidad la parte imaginaria de 3 + 4i es
simplemente 4). Aunque al estudiante le choque un poco al principio, la definición dada de las
partes real e imaginaria (según la cual ambas partes son números reales) es la más útil desde el
punto de vista matemático.
4 Ejercicio de tarea. Demostrar que para todo número complejo z se cumple
Re(z i ) = −Im(z)
y
3
Im(z i ) = Re(z).
las partes real
e imaginaria.
1.2. División de números complejos
1. El álgebra de los números complejos
5 Ejercicio de tarea. Demostrar que dados dos números complejos z, w las partes real e imaginaria del producto zw tienen estas propiedades:
Re(zw) = Re(z)Re(w) − Im(z)Im(w),
Im(zw) = Re(z)Im(w) + Im(z)Re(w).
¿Qué fórmulas de trigonometría son similares a éstas?
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 1, Ejercicio 2, Ejercicio 3, Ejercicio 4, Ejercicio 5.
1.2.
División de números complejos
Ya sabemos dividir un número complejo entre otro en el caso particular de que ese otro (el
divisor) sea real, pues en ese caso basta dividir tanto la parte real como la parte imaginaria del
número complejo entre el número real que es el divisor. Por ejemplo,
3 − 6i
3 6
= − i = 1 − 2i.
3
3 3
La cuestión, por tanto, es: ¿Cómo dividir números complejos cualesquiera? Aquél que haya
sabido hacer el Ejercicio 3 ya sabe dividir números complejos cualesquiera, pues para dividir
a + bi entre p + qi basta hallar los números x e y tales que ( x + yi )( p + qi ) = a + bi, lo cual es
un problema muy parecido a lo que planteaba dicho ejercicio.
En realidad, lo que plantea en el Ejercicio 3 es calcular el inverso del número 3 + 4i. Calcular
inversos es una forma de realizar la división de números complejos, pues para dividir z entre w
basta multiplicar z por el inverso de w:
z
1
= z × = z w −1 .
w
w
Por tanto, para dividir complejos basta aprender a calcular inversos de complejos (y luego usar
la multiplicación).
Vamos a ver ahora otra forma de dividir complejos sin necesidad de calcular primero un
inverso. Este método lo que hace es convertir un problema de dividir dos complejos en un problema
de dividir un número complejo entre un número real.
La clave es un antiguo método llamado racionalización que sirve para convertir una fracción
con denominador irracional como esta
5
√
2− 2
en otra equivalente cuyo denominador no tenga raíces.1 La forma de hacerlo es “multiplicar
numerador y denominador
√ por el conjugado del denominador”. El conjugado de una suma de
√
raíces cuadradas a + b es el resultado
de cambiar
√
√ de signo a una de ellas (de forma que esa
√
√
suma tendría dos conjugados, a − b y − a + b, aunque cualquiera de los dos valdría). Por
ejemplo, para racionalizar la fracción anterior haríamos esto:
√
√
√
√
5
5(2 + 2)
10 + 5 2
10 + 5 2
10 + 5 2
√ =
√
√ =
.
√ 2 = 4−2 =
2
2− 2
(2 − 2)(2 + 2)
22 − 2
1 Esto era importante en la época anterior a las calculadoras porque en los cálculos a mano con lápiz y papel, dividir
entre un irracional es mucho más dificil que multiplicar por un irracional.
4
1. El álgebra de los números complejos
1.2. División de números complejos
¿Cómo se aplica este método a la división de números complejos? La respuesta es evidente
si vemos este cociente de números complejos
a + bi
x + yi
de esta forma:
√
a + b −1
√ .
x + y −1
Entonces vemos que para calcular este cociente multiplicamos numerador
y denominador por
√
el número complejo “conjugado del denominador” x − yi = x − y −1 y mágicamente (a menos
que el denominador fuese cero) la fracción se convierte en otra equivalente pero cuyo denominador es un número real positivo por ser una suma de cuadrados de números reales:
( x + yi )( x − yi ) = x2 − (yi )2 = x2 − y2 i2 = x2 − y2 (−1) = x2 + y2 ,
(1.5)
lo cual nos permite calcular:
a + bi
( a + bi )( x − yi )
( a + bi )( x − yi )
=
=
.
x + yi
( x + yi )( x − yi )
x 2 + y2
(1.6)
De esta forma, el problema de dividir complejos se reduce a uno de multiplicar complejos y
uno de dividir un complejo entre un número real positivo.
Evidentemente este método también puede usarse para calcular el inverso de un número
complejo, como se detalla a continuación.
El inverso de un complejo
Suponiendo que x e y son números reales que no son ambos cero (es decir, suponiendo que
el complejo x + yi no es cero), la fórmula (1.6) nos da que el inverso de x + yi es igual a:
( x + yi )−1 =
1
x − yi
.
= 2
x + yi
x + y2
(1.7)
Ejemplos:
(1) El inverso de i:
(2) El inverso de 1 + 2i:
1.2.1.
1
−i
−i
=
=
= −i.
i
i (−i )
1
1
1 − 2i
1 − 2i
(1 + 2i )−1 =
= 2
=
= 15 (1 − 2i ).
2
1 + 2i
5
1 +2
i −1 =
Ejercicios para practicar
En los dos siguientes ejercicios halla las dos soluciones de la ecuación de segundo grado
dada.
I 2. z2 − 2iz + 8 = 0.
Solución: z1 , z2 = −2i, 4i
−i. Usa esos resultados para resolver
√
√
√ 3)i /2, z2 = (1 − 3) + (−3 − 3)i /2.
5
3) + (−3 +
√
√
Solución: z1 , z2 =
1
4
±
11
4 i
√
I 3. Calcula el valor de (1 + i )2 y deduce de ello el valor de
z2 − (1 − 3i )z − (2 + 3i ) = 0.
Solución: z1 = (1 +
I 1. 4z2 − 2z + 3 = 0.
1.3. Representación gráfica
I 4. Usando el valor de
√
1. El álgebra de los números complejos
−i obtenido en el ejercicio anterior, resuelve la ecuación
4z2 − (8 − 4i )z + 3 = 0.
Solución: z1 = (2 +
√
2) + (−1 −
√
√
√ 2)i /2, z2 = (2 − 2) + (−1 + 2)i /2.
I 5. Calcula el valor de (2 + i )2 y usa el resultado para resolver la ecuación
z2 − (1 − 3i )z − (2 + 3i ) = 0.
Solución: (2 + i )2 = 3 + 4i; z1 , z2 = 2i ± (2 + i )
√
√
2 + 2 2z − 2 3i = 0. Pista: Resultará útil tener a mano el resultado de (√3 + i )2 y deducir de ello
I 6. Resuelve
p z √
el valor de
1+
3i
√
√
√
√
Solución: z1 = (− 2 + 3) + i, z2 = (− 2 − 3) − i.
3i (ejercicio anterior) para resolver z2 − 2iz − (2 +
2) i , z2 =
√1
2
−
√
3 + (−1 +
√
√
2)i / 2.
1.3.
√
√
√
3i ) = 0.
3 + (1 +
1+
√
p
Solución: z1 =
I 7. Usa el valor de
Representación gráfica de los números complejos
Igual que los números reales pueden representarse gráficamente
en una recta, los números complejos pueden representarse gráficamente en un plano.
La representación gráfica de un número complejo en un plano
coordenado es el punto cuyas coordenadas son las partes real e imaginaria de número complejo. Concretamente, la abscisa del punto es
la parte real y la ordenada del punto es la parte imaginaria del número
complejo dado. En otras palabras, la representación geométrica de un
número complejo z = x + yi es el punto del plano con coordenadas ( x, y).
x+ä y
y
x
Se llama plano complejo a un plano coordenado en el que sus puntos han sido puestos en
correspondencia con los números complejos en la forma que se acaba de explicar.
Igual que la representación gráfica de los números reales en la recta nos permite relacionar
e identificar las propiedades aritméticas de los números reales con las propiedades geométricas
de la recta, también la representación gráfica de los números complejos en el plano, nos permite
tanto interpretar geométricamente las propiedades aritméticas de los números complejos como
deducir conceptos y propiedades algebraicas de los números complejos a partir de los conceptos
geométricos del plano.
Ejemplo La representación gráfica de los números complejos
1, i, −1, −i es la que aparece en la figura de la derecha:
6 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente en un mismo sistema
de ejes coordenados los números complejos siguientes:
π
π
(a) z = 2 + i , (b) z = −2 − i , (c) z = i , (d) z = ln 2 + i .
3
4
i
-1
1
-i
7 Ejercicio de tarea. Representa gráficamente, cada uno en un sistema de ejes coordenados distinto los conjuntos de números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:
(a) Re(z + 3) = Im(z) ,
1.3.1.
(b) Re(z) ≤ 1 ,
(c) Re(z) + Im(z) ≤ 0 ,
Círculo unitario y circunferencia unidad
6
(d) Re(z)2 + Im(z)2 ≤ 1 .
1. El álgebra de los números complejos
1.4. Conceptos geométricos
La identidad sen2 θ + cos2 θ = 1 (torema de Pitágoras) implica que la representación gráfica de los números complejos
de la forma z = cos θ + i sen θ para cualquier número real θ
es la circunferencia con centro en el origen y radio 1, la cual
se conoce como la circunferencia unidad del plano complejo.
i
x+ yi
1
y ‡ senHΘL
Θ
x ‡ cosHΘL 1
-1
El círculo cuya circunferencia es la circunferencia unidad
se conoce como el círculo unitario.
-i
1.3.2.
Sobre el significado geométrico del producto de números complejos
Ya que los números complejos tienen como representación geométrica los puntos del plano
coordenado, y dado que la suma tiene una clara interpretación geométrica (complección del
paralelogramo) podemos preguntarnos si la multiplicación de números complejos tiene también
alguna interpretación geométrica sencilla. Los casos más sencillos son objeto de los ejercicios 8 y
9 que piden respectivamente demostrar que multiplicar un número complejo x + yi por un número
real positivo λ transforma el punto ( x, y) mediante una homotecia de razón λ y que multiplicar un
número complejo x + yi por la unidad imaginaria i transforma el punto ( x, y) mediante un giro de 90◦ .
Usando la propiedad distributiva de la multiplicación se pueden usar estos resultados para
deducir la interpretación geométrica general de la multiplicación de números complejos. Otra
forma en que también puede obtenerse dicha interpretación geométrica se indica en la siguiente
sección en el Ejercicio 11 y también en la segunda consecuencia de la fórmula de Euler.
8 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi
por un número real positivo λ transforma el punto que representa a z mediante una homotecia
de razón λ.
9 Ejercicio de tarea. Demuestra que la operación de multiplicar un número complejo z = x + yi
por la unidad imaginaria i transforma el punto que representa a z mediante un giro de 90◦ .
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 6, Ejercicio 7, Ejercicio 8, Ejercicio 9.
1.4.
Conceptos geométricos en los números complejos.
1.4.1.
Módulo y Argumento de los números complejos
Módulo
Igual que para los números reales, se define el módulo de un número complejo z = x + yi
como la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto ( x, y) que lo representa en el
plano. Esta distancia se denota |z| = | x + yi |. Por el Teorema de Pitágoras,
Definición de
módulo.
| x + yi | =
q
7
x 2 + y2 .
1.4. Conceptos geométricos
1. El álgebra de los números complejos
Argumento
Además del módulo, en el plano existe otra cantidad geométrica asociada con cada número
complejo x + yi: La dirección del vector ( x, y) medida por sus cosenos directores2
cos θ = p
x
x2
+ y2
sen θ = p
,
y
x2
+ y2
(1.8)
donde θ es el ángulo que el vector ( x, y) forma con el semieje positivo de las x, es decir, θ es la
coordenada angular de las coordenadas polares del plano. Este ángulo nos permite expresar el
número complejo z = x + yi en la forma
z = |z|(cos θ + i sen θ ).
Definición de
argumento.
Definición: El argumento, θ = arg(z), de un número complejo z = x + yi es el único ángulo o
número real módulo 2π determinado por las ecuaciones (1.8).
En resumen: módulo y argumento de un número complejo z = x + yi no son más que las
coordenadas polares (r, θ ) del punto con coordenadas cartesianas ( x, y) que lo representa en el
plano. Dicho de otra forma: Si z = x + yi
(
(
x = r cos θ
|z| = r,
las expresiones
son equivalentes a
y = r sen θ
arg(z) = θ.
¡Cuidado! El argumento de un número complejo no es estrictamente un número real, sino
un ángulo o “número real módulo 2π”. La representación numérica de un ángulo sólo está
definida salvo un número entero de vueltas completas. En otras palabras, si θ es un número
que representa el argumento del número complejo z, también θ + 2kπ (para cualquier entero k)
representa el argumento de z.
Los complejos de módulo 1
Los números complejos de módulo 1 constituyen la circunferencia unidad del plano complejo, es decir, la circunferencia de centro cero y radio 1. Estos números complejos son de la forma
cos θ + i sen θ:
|z| = 1 si y sólo si z = cos θ + i sen θ.
10 Ejercicio de tarea. Sean w = cos α + i sen α y z = cos β + i sen β dos números complejos de
módulo 1, de argumentos respectivos α y β. Demuestra que el producto wz es también un
número complejo de módulo 1 y que su argumento es la suma de los argumentos, arg(wz) =
α + β.
2 Este término, hoy día casi en desuso, se refiere a los cosenos de los dos ángulos α , α que el vector forma con los
x
y
semiejes positivos. Como los ejes son perpendiculares, basta conocer el ángulo α x que el vector forma con el semieje
positivo de las x, siendo los cosenos directores:
`1 = cos α x ,
`2 = cos αy = sen α x .
8
1. El álgebra de los números complejos
1.4. Conceptos geométricos
11 Ejercicio de tarea. Sean w = x + yi y z = a + bi dos números complejos. Demuestra que la
representación gráfica del número complejo producto, wz, es el resultado de transformar el
punto z mediante un giro de ángulo igual a α = arg(w), seguido de una homotecia de razón
igual a |w|, tal como se muestra en la siguiente figura.
wz
z
w¤ z¤
z¤
Α
w¤
Α
w
Desafío para estudiantes avanzados. Usa una regla graduada para medir en la gráfica del
Ejercicio 11 las longitudes |w|, |z| y |wz|, así como las distancias de w a los ejes. Usa los valores
obtenidos para calcular las partes real e imaginaria de w.
Solución: Re(w) = 2 + e1 , Im(w) = 1 + e2 donde e1 y e2 dependen de los errores de medida.
1.4.2.
El conjugado y su relación con el módulo y con el inverso
Definición: Se llama conjugado de un número complejo z = x + yi, y se denota z, al número
complejo que tiene la misma parte real que z y parte imaginaria cambiada de signo:
Definición del
z = x + y i = x − y i.
conjugado de
(1.9) un número
complejo.
Propiedades del conjugado
La principal propiedad del conjugado (y la principal razón para hacer esta definición) es la
ecuación (1.5) según la cual el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado
de su módulo:
zz = |z|2 .
(1.10)
De esto se deduce inmediatamente la siguiente caracterización de los números complejos de
módulo 1 (o elementos de la circunferencia unidad):
Un número complejo z tiene módulo igual a 1 si y sólo si su conjugado es igual a su inverso:
|z| = 1 si y sólo si z−1 = z.
Además de las anteriores, se cumplen las siguientes propiedades del conjugado, que el estudiante debe demostrar como ejercicio:
12 Ejercicio de tarea. Al cambiar de signo dos veces a la parte imaginaria, se queda como estaba,
por tanto: El conjugado del conjugado es el número de partida:
z = z.
9
(1.11)
1.4. Conceptos geométricos
1. El álgebra de los números complejos
13 Ejercicio de tarea. El conjugado de una suma es la suma de los conjugados:
z + w = z + w.
(1.12)
14 Ejercicio de tarea. El conjugado de un producto (o potencia) es el producto (o potencia) de los
conjugados:
(a) z w = z w ,
(b) z2 = z2 ,
(c) zk = zk .
(1.13)
15 Ejercicio de tarea. Al sumarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte real
multiplicada por 2:
z + z = 2 Re(z)
(1.14)
16 Ejercicio de tarea. Al restarle a un número complejo su conjugado se obtiene la parte imaginaria multiplicada por 2i:
z − z = 2i Im(z)
(1.15)
Como consecuencia de (1.15):
17 Ejercicio de tarea. El conjugado de un número real es él mismo:
z=z
si y sólo si
Im(z) = 0.
(1.16)
Aplicaciones del conjugado
1.–
La primera aplicación del conjugado es la regla (1.6) para dividir números complejos:
Para calcular una fracción de números complejos se multiplican numerador y denominador por el
conjugado del denominador.
Esto, ahora, lo podemos escribir, usando el módulo y el conjugado, de esta forma:
z
zw
zw
=
=
.
w
ww
| w |2
(Ver el handout División de Números Complejos.)
2.– La segunda aplicación del conjugado es la “fórmula del inverso” (1.7), que ahora podemos
reescribir así:
z
1
.
(1.17)
z −1 = =
z
| z |2
3.– La tercera aplicación del conjugado es su relación con las partes real e imaginaria. Como consecuencia de las propiedades enunciadas en los ejercicios de tarea 15 y 16 tenemos las
fórmulas
z+z
z−z
z−z
,
Im(z) =
=
i.
Re(z) =
2
2i
2
10
1. El álgebra de los números complejos
1.5. La fórmula de Euler
4.– Otra importante aplicación del conjugado es la demostración de que las raíces complejas no reales que pueda tener un polinomio de coeficientes reales aparecen siempre en pares
conjugados z, z:
Proposición: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es un número complejo, entonces
p ( z ) = p ( z ).
(1.18)
Demostración:
p ( z ) = a0 + a1 z + a1 z2 + · · · + a n z n
= a0 + a1 z + a n z2 + · · · + a n z n
(por la propiedad (1.12).)
zn
(por la propiedad (1.13) (a).)
2
n
(por la propiedad (1.13) (c).)
2
n
(por la propiedad (1.16).)
= a0 + a1 z + a n
z2
+ · · · + an
= a0 + a1 z + a n z + · · · + a n z
= a0 + a1 z + a n z + · · · + a n z = p ( z ).
Corolario: Si p( x ) es un polinomio de coeficientes reales y z es una raíz de p( x ) (es decir
p(z) = 0) entonces el conjugado de z también lo es: p(z) = p(z) = 0 = 0. Por tanto:
Las raíces complejas no reales de un polinomio de coeficientes reales aparecen en pares conjugados.
Desafío para estudiantes avanzados. Demostrar que si p(z) es un polinomio de coeficientes
complejos y cumple la propiedad p(z) = p(z) entonces todos los coeficientes de p(z) son reales.
Sugerencia: Usar inducción en el grado de p.
5.– Por último, también se deduce de las propiedades del conjugado, combinadas con la ecuación (1.10), que el módulo de un producto es igual al producto de los módulos:
| z w | = | z | | w |.
En efecto: |z w|2 = (zw)zw = z w z w = zz ww = |z|2 |w|2 .
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 10, Ejercicio 11, Ejercicio 12, Ejercicio 13, Ejercicio 14, Ejercicio 15, Ejercicio
16, Ejercicio 17.
1.5.
La fórmula de Euler
La fórmula de Euler es la base para poder evaluar la función exponencial en cualquier número complejo. Dicha fórmula nos dice que la exponencial de un complejo imaginario puro es un
número complejo cuyas partes real e imaginaria estéan dadas respectivamente por las funciones
trigonométricas coseno y seno. Concretamente la fórmula de Euler establece que para cualquier
número real θ,
eiθ = cos θ + i sen θ.
Usando esta fórmula y las leyes de los exponentes se calcula fácilmente la exponencial de cualquier número complejo z = x + yi:
ez = e x+yi = e x eyi = e x (cos y + i sen y)
11
1.5. La fórmula de Euler
1. El álgebra de los números complejos
La función exponencial
La función exponencial se puede definir de varias formas equivalentes, pero la forma fundamental de calcularla es mediante la serie de potencias que aparece en la siguiente fórmula:
ex =
∞
∑
n =0
xn
= 1 + x + 12 x2 + 16 x3 + · · ·
n!
(1.19)
Esta fórmula es la serie de Taylor de la función exponencial y se explica y se demuestra en los
cursos de cálculo infinitesimal. Aquí sólo la usaremos con fines ilustrativos y como motivación.
En cualquier caso es importante que el estudiante se familiarize con ella y con los razonamientos que haremos con ella a continuación ya que esto será de enorme ayuda en muchas otras
asignaturas.
De la función exponencial a la fórmula de Euler
Si en la serie de Taylor (1.19) de la función exponencial se pone como x un imaginario puro,
x = iθ, entonces, debido a que in = ±1 para n par e in = ±i para n impar, todos los términos de
grado par en x son números reales y los de grado impar, imaginarios. En consecuencia la serie
se separa en dos partes dando lugar a una suma de dos series, una todos cuyos términos son
reales y la otra todos cuyos términos son imaginarios:
eiθ =
∞
(iθ )n
= 1 + 21 (iθ )2 + · · · + iθ + 61 (iθ )3 + · · ·
n!
n =0
= 1 − 21 θ 2 + · · · + i θ − 16 θ 3 + · · ·
∑
= a + b i.
Así obtenemos dos series de números reales que definen sendos números a = 1 − 12 θ 2 + · · · y
b = θ − 61 θ 3 + · · · , los cuales son, por tanto, las partes real e imaginaria de eiθ . Se demuestra en
los cursos de Cálculo que la serie de a es la serie de Taylor de la función coseno y que la de b
es la serie de Taylor de la función seno, de forma que se llega a la conclusión de que las partes
real e imaginaria de eiθ son a = cos θ y b = sen θ; es decir, se llega a la fórmula de Euler:
eiθ = cos θ + i sen θ.
Esta fórmula tiene una enorme importancia en las aplicaciones de los números complejos.
Su demostración se basa únicamente en la ecuación i2 = −1 y en las series de Taylor de las
funciones seno, coseno y exponencial. Vamos a ver ahora otras formas sencillas de deducirla sin
recurrir a las series de Taylor.
Deducciones elementales de la fórmula de Euler
Primera:
Consideremos la función
f (t) = cos t + i sen t.
(1.20)
Vamos a ver que esta función se puede expresar también en términos de la función exponencial.
Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
f 0 (t) = − sen t + i cos t = i2 sen t + i cos t = i (i sen t + cos t) = i f (t).
12
(1.21)
1. El álgebra de los números complejos
1.5. La fórmula de Euler
Esto significa que la función f (t) tiene las propiedades
f 0 (t)
= i,
f (t)
f (0) = 1 ,
de donde, integrando de 0 a θ,
Z θ 0
f (t)
0
f (t)
dt =
Z θ
0
i dt ,
[ln f (t)]0θ = i [t]0θ ,
ln f (θ ) = iθ ,
f (θ ) = eiθ ,
es decir:
eiθ = cos θ + i sen θ.
Segunda:
La siguiente demostración es parecida a la anterior pero sólo usa las reglas de derivación.
Consideremos la función
cos t + i sen t
f (t) =
.
(1.22)
eit
Vamos a ver que esta función es una función constante calculando su derivada y viendo que es
cero. Aplicando a f (t) las reglas del cálculo de derivadas:
(− sen t + i cos t)eit − (cos t + i sen t)ieit
− sen t + i cos t − (i cos t − sen t)
=
eit eit
eit
− sen t + i cos t − i cos t + sen t
=
= 0.
eit
f 0 (t) =
(1.23)
Puesto que f (t) es una función constante, su valor es para todo t igual a su valor en t = 0, pero
i sen 0
f (0) = cos 0+
= 1+1i·0 = 1, luego f (t) = 1 para todo t, o sea:
ei0
cos t + i sen t
= 1.
eit
(1.24)
que es equivalente a la fórmula de Euler.
Tercera:
La tercera demostración de la fórmula de Euler se basa en la propiedad
p(z) = p(z)
(1.25)
del conjugado, la cual es válida no sólo cuando p(z) es un polinomio, sino también cuando es
una función analítica real cualquiera y, en particular, para la función exponencial:
ez = ez .
(1.26)
No vamos a demostrar la propiedad (1.25) para todas las funciones analíticas, pero sí queremos
remarcar que la demostración de (1.26) a partir de la fórmula (1.19) que define a la función
exponencial es exactamente igual que la demostración de la propiedad (1.25) de los polinomios.
Suponiendo conocida la ecuación (1.26), se deduce que para todo número complejo de la
forma eiθ su conjugado es igual a su inverso y por tanto, según zz = |z|2 , eiθ tiene módulo igual
a 1:
eiθ = eiθ = e−iθ por tanto: |eiθ | = 1.
13
1.5. La fórmula de Euler
1. El álgebra de los números complejos
En consecuencia, existe una función α(θ ) tal que α(0) = 0 y
eiθ = cos α(θ ) + i sen α(θ ).
Derivando ambos miembros de esta igualdad se deduce que la derivada de α es constante e
igual a 1. Puesto que α(0) = 0, deducimos que α es la función identidad: α(θ ) = θ y por tanto
eiθ = cos θ + i sen θ.
Cartel de anuncio de una conferencia de matemáticas en la
Universidad de Santiago de Compostela en 2012.
18 Ejercicio de tarea. Demuestra que la derivada de la función f (θ ) = cos α(θ ) + i sen α(θ ) es:
f 0 (θ ) = α0 (θ ) − sen α(θ ) + i cos α(θ )
y que el paréntesis que multiplica a α0 (θ ) es igual a la derivada de eiθ respecto a θ.
Una identidad famosa
Un caso particular de la fórmula de Euler que es especialmente famoso es el que se obtiene
al poner θ = π teniendo en cuenta que cos π = −1 y sen π = 0. Entonces se obtiene:
eπi = −1 ,
que se puede reescribir como:
eπi + 1 = 0.
Esta última es una expresión en la que los cinco números más importantes de las matemáticas
están relacionados entre sí mediante las tres operaciones fundamentales de la aritmética (sumar,
multiplicar y elevar a una potencia).
19 Ejercicio de tarea. Deducir la ecuación (1.26) a partir de la fórmula de Euler teniendo cuidado
en considerar que z es un número complejo cualquiera, no sólo un imaginario puro.
20 Ejercicio de tarea. Evalúa la función exponencial, ez , en los siguientes números complejos:
π
π
(b) z = ln 2 + i
(a) z = i ,
3
4
Solución: (a)
1
2
+
3
2 i,
√
(b)
√
2(1 + i ).
14
1. El álgebra de los números complejos
1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 18, Ejercicio 19, Ejercicio 20.
1.6.
Consecuencias de la fórmula de Euler
Seno y coseno de un ángulo suma
Gracias a la fórmula de Euler podemos deducir de forma rápida y sencilla las fórmulas trigonométricas de adición de ángulos que tanto cuesta recordar. Si queremos escribir las fórmulas
del seno y coseno de α + β no tenemos más que aplicar la fórmula de Euler a ambos miembros
de la igualdad:
ei(α+ β) = eiα eiβ
con lo que se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α + i sen α
cos β + i sen β
Desarrollando el miembro de la derecha se obtiene:
cos(α + β) + i sen(α + β) = cos α cos β − sen α sen β + i sen α cos β + cos α sen β
e igualando las partes reales e imaginarias tenemos las buscadas fórmulas de adición:
sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β
cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β.
De estas fórmulas se deducen fácilmente las correspondientes a la tangente de un ángulo
suma, así como las del seno coseno y tangente de un ángulo doble y de un ángulo mitad.
21 Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo suma para deducir la fórmula del
coseno de un ángulo doble y usa el teorema de Pitágoras sen2 x + cos2 x = 1 para expresar la
fórmula obtenida solamente en términos del seno y solamente en términos del coseno.
Solución: cos 2α = cos2 α − sen2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sen2 α.
22 Ejercicio de tarea. Usa la fórmula del coseno de un ángulo doble para deducir la fórmula del
coseno de un ángulo mitad y la fórmula del seno de un ángulo mitad.
Solución: cos
α
2
=
q
1+cos α
,
2
sen
α
2
=
q
1−cos α
.
2
Significado geométrico de la multiplicación de números complejos
Otra clara consecuencia de la fórmula de Euler es la interpretación geométrica del producto
de números complejos. Si arg(z) = α y arg(w) = β, entonces zw = |z||w|ei(α+ β) :
El producto de dos números complejos tiene por módulo el producto de los módulos y tiene por argumento la suma de los argumentos.
15
1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler
1. El álgebra de los números complejos
Forma binómica y forma exponencial de un complejo
Todo número complejo tiene dos formas de ser expresado. Por un lado tenemos la expresión
en términos de su parte real y su parte imaginaria que ya conocemos y que se conoce como la
forma binómica:
z = Re(z) + Im(z)i.
Por otro lado tenemos la forma exponencial:
z = |z|ei arg(z) .
23 Ejercicio de tarea. Calcula cada uno de los siguientes números complejos y expresa el resultado
tanto en forma binómica como en forma exponencial:
(a)
i 7 − i −7
,
−2i
(b)
1
1+ i
1
1− i
−
+
1
−1+ i
1
−1− i
.
El conjugado de una exponencial
De la fórmula de Euler se deduce también la siguiente propiedad del conjugado: Para todo
número complejo z,
ez = ez
(1.27)
Demostración:
Sea z = x + yi. Entonces:
e x+yi = e x eyi = e x eyi = e x (cos y + i sen y) = e x (cos y − i sen y) = e x e−yi = e x−yi = e x+yi
Potencias y raíces enésimas
Elevar un número complejo a un exponente entero no tiene más dificultad que la de multiplicar ese número complejo por sí mismo varias veces. Sin embargo, gracias a la fórmula de
Euler, podemos hacerlo de una forma mucho más rápida y sencilla que además sirve para elevar
un complejo a cualquier exponente real aunque no sea entero.
Lo primero que hacemos es expresar el número en forma módulo-argumental, es decir, si
nos dan el número z = x + yi, ponemos
q
√
z = reiθ calculando r = zz = x2 + y2 , θ = arg(z).
Teorema de Moivre.
Si z = reiθ entonces
z p = r p eipθ .
Corolario:
(1.28)
Cálculo de una raíz n-ésima de un número complejo.
Si z es un número complejo y su módulo es r y su argumento θ (z = r eiθ ), el número
√
complejo de módulo n r y de argumento nθ es una raíz n-ésima de z:
√
n
θ
r ei n
n
= z.
24 Ejercicio de tarea. Calcula una raíz cuadrada del número 4ei
16
2π
3
π
y una raíz cúbica de 8i = 8ei 2 .
1. El álgebra de los números complejos
1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler
El resultado anterior es la base para el cálculo de todas las raíces n-ésimas de cualquier
número complejo. Lo único que nos falta ahora es saber que todo número complejo tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas y saber cómo calcularlas (de momento sólo sabemos calcular
una de ellas).
Raíces cuadradas
Todo número real positivo tiene dos raíces cuadradas reales de signos opuestos. Todo número real negativo tiene dos raíces cuadradas que son imaginarios puros opuestos. Veamos ahora
cómo se calculan las dos raíces cuadradas de un número complejo cualquiera:
En principio, por las leyes de los exponentes, una raíz cuadrada se puede obtener elevando
al exponente 21 . Según la fórmula de Moivre,
√
1
z = z 2 = reiθ
12
1
= r 2 eiθ
21
=
√
θ
r · ei 2 .
Sin embargo, debido a que un número real α representa el mismo argumento que el número
α + 2π, resulta que el doble de α y el doble de α + π representan el mismo argumento. Esto
implica que, aunque 2θ y 2θ + π pueden representar argumentos distintos, sus dobles representan
siempre el mismo argumento: 2 2θ = θ es el mismo argumento que 2( 2θ + π ) = θ + 2π. Por tanto
θ
θ
ei 2 y ei( 2 +π ) son dos números complejos distintos que tienen el mismo cuadrado:
θ
ei 2
2
2
θ
= eiθ = ei(θ +2π ) = ei( 2 +π ) .
En resumen, todo número complejo x + yi = reiθ tiene dos raíces cuadradas que pueden escribirse de las dos formas siguientes:
√ θ
± r ei 2
√
o bien:
θ
r ei 2 ,
√
θ
r ei ( 2 +π ) .
Hallar la parte real y la parte imaginaria de la raíz cuadrada del número z = 3 + 4i.
√
√
Empezamos calculando el módulo de z, |z| = 32 + 42 = 25 = 5 y el argumento θ =
arg(z) = arc cos 3/5.
p
paso es calcular la raíz cuadrada del módulo y la mitad del argumento: |z| =
√ El1 siguiente
5, 2 θ = 12 arc cos(3/5). Con esto tenemos:
Ejemplo:
√
√ θ
√
3 + 4i = ± 5 ei 2 = ± 5 cos 2θ + i sen 2θ .
Para calcular las partes real e imaginaria de la raíz cuadrada necesitamos el coseno y el seno
de θ/2:
s
s
r
r
r
3
5
3
1+ 5
1 + cos θ
8
4
2
5 + 5
θ
cos 2 =
=
=
=
=
= √ ,
2
2
2
10
5
5
r
sen
En consecuencia
√
θ
2
=
1 − cos θ
=
2
s
1−
2
3
5
s
=
5
5
−
2
√
√
3 + 4i = ± 5 cos 2θ + i sen 2θ = ± 5
17
3
5
r
=
√2
5
2
=
10
+ i √1
5
r
1
1
= √ .
5
5
= ±(2 + i )
1.6. Consecuencias de la fórmula de Euler
1. El álgebra de los números complejos
Aplicación de las raíces cuadradas a la resolución de ecuaciones polinómicas de segundo
grado con coeficientes complejos
Como acabamos de ver, todo número complejo tiene dos raíces cuadradas que son números
opuestos. Este hecho permite aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación general de
segundo grado al caso general de ecuaciones de segundo grado con coeficientes complejos. Si
a, b, c son números complejos, la ecuación ax2 + bx + c = 0 tiene dos soluciones (coincidentes si
b2 = 4ac) dadas por la conocida fórmula
√
−b ± b2 − 4ac
x1,2 =
,
(1.29)
2a
pero que también se pueden calcular mediante las fórmulas
√
2c
−b + b2 − 4ac
√
,
x2 =
,
x1 =
2a
−b + b2 − 4ac
(1.30)
cuyo interés radica en que en el caso de coeficientes reales distinguen entre la fórmula para la
solución de mayor valor absoluto y la fórmula para la de menor valor absoluto.
25 Ejercicio de tarea. Halla las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones de segundo
grado:
(a) z2 − 4z + 1 − 4i = 0 ,
(b) z2 − 2iz − 4(i + 1) = 0.
Raíces cúbicas
Los mismos principios usados para calcular las raíces cuadradas nos permiten calcular las
raíces cúbicas:
√
√ θ
1
3
reiθ = reiθ 3 = 3 r ei 3 .
Igual que antes, debido a que un número real θ representa el mismo argumento que el número
θ + 2π y que el número θ + 4π, resulta que el triple de α representa el mismo argumento que
el triple de α + 2π/3 y que el triple de α + 4π/3, con lo cual θ no sólo es el argumento triple
θ
4π
de 3θ sino también el argumento triple de 3θ + 2π
3 y el argumento triple de 3 + 3 . Así, los tres
números
θ
θ
2π
θ
4π
,
+
,
+
3
3
3
3
3
representan tres argumentos distintos pero cuyo triple es el mismo argumento en los tres casos.
Por tanto, los tres números complejos
θ
ei 3 ,
θ
ei ( 3 +
2π )
3
θ
ei ( 3 +
,
4π )
3
son tres raíces cúbicas distintas de eiθ y podemos decir: Todo número complejo x + yi = reiθ tiene
tres raíces cúbicas que pueden escribirse de la forma siguiente:
√
3
θ
r ei 3 ,
√
3
θ
r ei ( 3 +
2π )
3
,
√
3
θ
r ei ( 3 +
4π )
3
.
(1.31)
Raíces cúbicas de la unidad
Un caso especialmente importante (porque de él se pueden deducir las raíces cúbicas de
cualquier número complejo) es el de las tres raíces cúbicas del número 1. Según lo anterior las
tres raíces cúbicas de 1 son (poniendo en (1.31) r = 1 y θ = 0):
ei0 = 1 , ei
18
2π
3
, ei
4π
3
1. El álgebra de los números complejos
1.7. Teorema Fundamental del Álgebra
es decir, los puntos del círculo unitario complejo correspondientes a los ángulos de 0◦ , 120◦ y
240◦ , los cuales determinan el triángulo equilátero que tiene centro en el origen y un vértice en
z = 1.
Las tres raíces cúbicas de un número complejo z cualquiera se pueden obtener multiplicando una raíz
cúbica particular de z por las tres raíces cúbicas de la unidad.
Raíces enésimas de la unidad y su uso para expresar las n raíces enésimas de un número
complejo
En general, dado un número entero positivo n, todo número complejo z = reiθ tiene n raíces
√ θ
n-ésimas que son el resultado de multiplicar una particular, n r ei n , por las n raíces n-ésimas de
la unidad:
2( n −1) π
4π
6π
2π
ei0 = 1 , ei n , ei n , ei n , . . . ei n ,
que son los puntos del círculo unitario complejo que determinan el polígono regular de n lados
que tiene un vértice en z = 1. Así, las n raíces n-ésimas de z = r eiθ se pueden expresar como:
√
n
2( n −1) π θ
2π
4π
6π
r ei n · 1 , ei n , ei n , ei n , . . . , ei n
.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 21, Ejercicio 22, Ejercicio 23, Ejercicio 24, Ejercicio 25.
1.7.
Raíces de polinomios y el Teorema Fundamental del Álgebra
1.7.1.
Repaso de polinomios
Definiciones básicas
Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el
producto de un número, a, por una potencia de x. El número a se llama el coeficiente del
monomio, mientras que el exponente de la potencia de x, n, se llama, suponiendo a 6= 0, el
grado del monomio. Un simple número, a, se considera un monomio de grado cero, pues,
para cualquier valor de x, x0 = 1 y ax0 = a. Los monomios de grado cero también se llaman
constantes.
Un polinomio en una indeterminada x es una suma de monomios en la indeterminada x.
Se llama término independiente de un polinomio al monomio de grado cero de los monomios
que lo forman. Se llama término principal de un polinomio al monomio de mayor grado de los
monomios que lo forman. Se llama grado de un polinomio al grado de su término principal.
Se llama coeficiente principal de un polinomio al coeficiente de su término principal. Se llama
polinomio mónico a todo polinomio cuyo coeficiente principal es igual a 1. Todo polinomio en x
es, pues, una expresión de la forma
p ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + a n x n
19
1.7. Teorema Fundamental del Álgebra
1. El álgebra de los números complejos
donde los números a0 , . . . , an son los coeficientes, a0 es el término independiente, an 6= 0 es el
coeficiente principal y n es el grado de p( x ).
26 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea
cero.
Los polinomios de grado cero son las constantes. Los polinomios de grado 1 se llaman polinomios lineales o de primer grado. Los polinomios de grado 2 se llaman polinomios cuadráticos
o de segundo grado. Los polinomios de grado 3 se llaman polinomios cúbicos o de tercer grado.
Los polinomios de grado 4 cuyos coeficientes de los términos de grado 1 y 3 sean cero se llaman
polinomios bicuadráticos.
27 Ejercicio de tarea. Escribe dos polinomios de tercer grado cuya suma sea un polinomio cuadrático y escribe dos polinomios cuadráticos cuya diferencia sea un polinomio lineal.
La suma o resta de polinomios del mismo grado es siempre un polinomio de grado menor o
igual al de los dados. La suma o resta de polinomios del distinto grado es siempre un polinomio
de grado igual al de mayor grado. El producto de dos polinomios no nulos es siempre un
polinomio de grado igual a la suma de los grados de los dos polinomios dados.
Evaluación de polinomios. Multiplicaciones encajadas
Cuando se desea evaluar un polinomio en un número se pueden evaluar todas las potencias
necesarias de ese número, multiplicar cada una por su respectivo coeficiente y sumar todos los
resultados. Por ejemplo si el polinomio es p( x ) = 3x4 − x3 + 2x2 − 5x + 7 y queremos evaluarlo
en x = 2, podemos calcular las potencias de 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16 y después hacer la suma
p(2) = 3 × 16 − 8 + 2 × 4 − 5 × 2 + 7 = 45.
Existe una forma más eficiente de evaluar este polinomio, la cual está basda en reescribir el
polinomio en la forma:
p( x ) = (((3x − 1) x + 2) x − 5) x + 7
o sea:
p(2) = (((3 × 2 − 1)2 + 2)2 − 5)2 + 7.
Entonces los cálculos de p(2) se realizarían así:
3 × 2 − 1 = 5,
5 × 2 + 2 = 12,
12 × 2 − 5 = 19,
19 × 2 + 7 = 45.
Esta forma de disponer los cálculos para evaluar un polinomio se conoce como método de las
multiplicaciones encajadas o método de Horner. La ventaja sobre el método anterior consiste en
que requiere muchas menos operaciones y la ventaja es tanto mayor cuanto mayor sea el grado
del polinomio a evaluar.
División de polinomios
La división de polinomios es muy parecida a la división de números enteros y se puede
realizar a mano mediante un algoritmo similar al de la división que aprendimos en el colegio.
Dados dos polinomios cualesquiera, p( x ) y q( x ), al realizar la división de p( x ) entre q( x ) se
determina completamente un polinomio cociente c( x ) que es el único que verifica que la diferencia r ( x ) = p( x ) − q( x )c( x ) tiene grado menor que el de q( x ). El polinomio c( x ) se llama
cociente y el polinomio r ( x ) resto de la división con dividendo p( x ) y divisor q( x ), de forma
que se cumple, igual que para los números enteros, el dividendo es igual a divisor por el cociente
más el resto:
p ( x ) = q ( x ) c ( x ) + r ( x ).
20
1. El álgebra de los números complejos
1.7. Teorema Fundamental del Álgebra
División entre un polinomio mónico lineal Si se divide un polinomio p( x ) entre un polinomio mónico lineal q( x ) = x − a, el resto de esta división es igual al valor de p( x ) en el número
a. Esto es evidente porque si
p( x ) = ( x − a)c( x ) + r
entonces p( a) = ( a − a)c( a) + r = r. En consecuencia:
Un polinomio es divisible entre el polinomio lineal mónico x − a si y sólo si se anula en a.
1.7.2.
Polinomios irreducibles
Se dice que un polinomio admite una factorización si existen dos polinomios de menor
grado cuyo producto sea el polinomio dado. En ese caso se dice que el polinomio es reducible
(a un producto de polinomios de menor grado). Como el grado del producto es la suma de los
grados y el grado igual a 1 no se puede expresar como suma de dos grados más pequeños,
se deduce que ningún polinomio de grado 1 admite una factorización. Los polinomios que
no admiten factorización se llaman polinomios irreducibles, con lo cual, todo polinomio de primer
grado es irreducible. Igualmente, todo polinomio de grado cero es irreducible, con lo cual, si un
polinomio es reducible (es decir, admite una factorización) su grado es mayor o igual que 2.
28 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio mónico de grado 4 cuyo término independiente sea
cero. ¿Es tu polinomio irreducible? en caso negativo escribe una factorización del mismo.
La cuestión de si un polinomio dado es reducible o irreducible puede depender del campo
numérico en que se nos permita tomar los coeficientes de los factores. Por ejemplo, el polinomio
x2 − 2 es irreducible en los
en los reales
√ enteros y en los racionales, pero es reducible
√ números
2
2
porque es x − 2 = ( x + 2)( x − 2). De forma semejante, el polinomio x + 1 es irreducible
en los números enteros, racionales o reales, pero es reducible en los números complejos.
29 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio bicuadrático que sea irreducible en los números reales
y otro polinomio bicuadrático que sea reducible en los números enteros.
1.7.3.
El teorema fundamental del álgebra
Según se dijo en la Sección 1.1 donde se introdujo la unidad imaginaria i, la introducción
de una raíz para el polinomio x2 + 1 nos permite hallar raíces para todos los polinomios de
segundo grado sin excepción. Esto significa que
Todo polinomio de segundo grado con coeficientes reales es reducible en el campo complejo.
Es más: sabemos calcular la fórmula de la solución de la ecuación de segundo grado ax2 +
bx + c = 0 incluso cuando los coeficientes a, b y c son números complejos no todos ellos reales,
así que lo que acabamos de decir se extiende a todos los polinomios de segundo grado con
coeficientes complejos.
Todo polinomio de segundo grado con coeficientes complejos es reducible en el campo complejo.
Una de las consecuencias más notables de la extensión de los números reales mediante la
incorporación de una solución “imaginaria” de la ecuación x2 + 1 = 0 es que esto no sólo
conlleva la introducción de raíces para todos los polinomios de segundo grado sin excepción
sino también para todos los polinomios de grado superior al segundo. Esto es el contenido del
Teorema Fundamental del Álgebra:
21
1.7. Teorema Fundamental del Álgebra
1. El álgebra de los números complejos
Teorema Fundamental del Álgebra.– Todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite
al menos una raíz compleja.
Al admitir una raíz, admite una factorización de la forma
p ( z ) = ( z − z1 ) q1 ( z )
donde q1 (z) es de nuevo un polinomio con coeficientes complejos de grado una unidad menos
que el grado de p(z). Si q1 (z) es constante es que p(z) era de grado 1 y z1 su única raíz. En caso
contrario, q1 (z) no es constante y podemos aplicarle de nuevo el teorema con lo que obtenemos
una factorización de p(z) de la forma
p(z) = (z − z1 )(z − z2 )q2 (z).
Continuando de esta forma llegaremos a una factorización de p(z) como producto de factores
lineales, es decir, de la forma
p(z) = a(z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn )
donde n es el grado y a el coeficiente principal de p(z). Los números complejos z1 , . . . , zn son
todas3 las raíces de p(z), las cuales no tienen por qué ser todas distintas.
30 Ejercicio de tarea. Escribe un polinomio de grado 4 cuyas raíces distintas sean 1 e i.
Multiplicidad de las raíces
Si nos fijamos en las raíces distintas de un polinomio, su número será necesariamente menor
o igual que el grado del polinomio. Si el número de raíces distintas es menor que el grado entonces alguna o algunas aparecerán repetidas en la factorización del polinomio como producto
de factores lineales. El número de veces que una raíz particular aparece repetida en dicha factorización se llama la multiplicidad de esa raíz y evidentemente se cumple que: La suma de las
multiplicidades de las raíces de un polinomio es igual al grado del polinomio.
Otros enunciados equivalentes al Teorema Fundamental del Álgebra
Cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al teorema fundamental del álgebra:
(a) Todo polinomio de grado mayor o igual que dos con coeficientes complejos es reducible en el campo
complejo.
(b) Los únicos polinomios irreducibles en el campo complejo son los de grado menor que 2, es decir, los
de grado cero y uno (los constantes y los lineales).
(c) Todo polinomio no constante con coeficientes complejos es reducible como producto de polinomios
lineales complejos
(d) Todo polinomio no nulo de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces contando
sus multiplicidades.
(e) Todo polinomio p(z) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos tiene al menos una raíz.
(f) Todo polinomio p(z) de grado n ≥ 1 con coeficientes complejos admite una factorización de la forma
p(z) = q(z)(z − r )
donde r es un número complejo y q(z) es un polinomio de grado n − 1.
3 El polinomio p ( z ) no puede tener ninguna otra raíz porque, como se vió más arriba, toda raíz r da lugar a un factor
de la forma z − r.
22
1. El álgebra de los números complejos
1.7. Teorema Fundamental del Álgebra
(g) Todo polinomio p(z) de grado n con coeficientes complejos tiene una única factorización en factores
de primer grado de la forma
p ( z ) = a n ( z − z1 ) · · · ( x − z n )
donde an es el coeficiente principal de p(z) y z1 ,. . . , zn son números complejos no necesariamente
distintos.
Proposición:
Todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real
Esto es debido a que si el grado de p( x ) es impar entonces el término principal es de la
forma ax2k+1 y toma valores de signos opuestos en x y en − x. Además, para valores grandes
de x, el valor de p( x ) está dominado por el valor de su término principal con lo cual si M es
un número real suficientemente grande, entonces p( M ) y p(− M) tienen signos opuestos y por
tanto la gráfica de p( x ) necesariamente corta al eje x en el intervalo [− M, M].
Polinomios reales irreducibles
El teorema fundamental del álgebra tiene una consecuencia que se refiere únicamente a los
números reales pero que hubiera sido mucho más difícil descubrirla sin los números complejos:
Los polinomios de coeficientes reales que son irreducibles en el campo real son los de grado menor que
2 y aquellos de grado 2, p( x ) = ax2 + bx + c, que tienen discriminante, ∆ = b2 − 4ac, negativo.
En consecuencia, todo polinomio de coeficientes reales admite una factorización en el campo
de los números reales como producto de factores lineales y factores cuadráticos de discriminante
negativo.4
Sobre las demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra
La mayoría de las demostraciones conocidas del Teorema Fundamental del Álgebra se basan en resultados matemáticos de un nivel superior al de esta asignatura. No obstante, existen dos demostraciones de un nivel asequible y aunque
no vamos a dar ninguna demostración detallada, vamos a dar unas someras indicaciones del camino que siguen esas
dos demostraciones elementales.
La primera de ellas usa en el plano complejo un razonamiento similar al que usamos para demostrar que todo
polinomio real de grado impar tiene alguna raíz real: El hecho de que para valores suficientemente grandes de |z| el
valor absoluto de p(z) está dominado por el valor absoluto del término principal de p(z), el cual, si p(z) no es constante,
tiende a infinito cuando |z| → ∞. En consecuencia, eligiendo un radio suficientemente grande, es posible encontrar un
disco centrado en el origen tal que para todo z exterior a ese disco sea | p(z)| > | p(0)|. Como dicho disco es compacto
esto implica que existe un punto z0 interior a él en el que | p(z)| alcanza su valor mínimo: Para todo número complejo z,
| p(z)| ≥ | p(z0 )|. Establecido este hecho, un razonamiento sencillo demuestra que si fuese | p(z0 )| > 0 entonces se podría
encontrar una infinidad de valores de z tales que | p(z)| < | p(z0 )|. Por reducción al absurdo se concluye que el valor
mínimo de | p(z)| es cero lo cual es decir que p(z) tiene una raíz.
La segunda demostración del Teorema Fundamental del Álgebra a que nos hemos referido consiste en reducir dicho
teorema al caso real y dar demostrar del caso real. En otras palabras, se usa el siguiente resultado:
Proposición: El Teorema Fundamental del Álgebra es equivalente al siguiente enunciado: Todo polinomio no constante con
coeficientes reales admite al menos una raíz compleja.
Evidentemente el teorema fundamental del álgebra implica este enunciado. Para demostrar que también este enunciado implica el teorema fundamental del álgebra, sea p(z) un polinomio de coeficientes complejos del que queremos
demostrar que tiene al menos una raíz. Construimos el polinomio
q ( z ) = p ( z ) p ( z ).
Este nuevo polinomio tiene coeficientes reales porque cumple la propiedad q(z) = q(z), que es exclusiva de los polinomios con coeficientes reales:
q ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = p ( z ) p ( z ) = q ( z ).
4 Este resultado, a su vez, implica que toda función racional real tiene una descomposición como suma de fracciones
simples y por tanto tiene una primitiva elemental que se puede hallar por el método de las fracciones parciales.
23
1.8. Ejercicios adicionales
1. El álgebra de los números complejos
Ahora bien, si z0 es una raíz de q(z) entonces p(z0 ) p(z0 ) = 0 con lo cual p(z0 ) = 0 o p(z0 ) = 0, es decir o z0 es una raíz
de p(z) o z0 lo es.
Así, el teorema fundamental del álgebra queda reducido al caso real, el cual es un poco más fácil de demostrar.
Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección
Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen
en esta sección:
Enlaces: Ejercicio 26, Ejercicio 27, Ejercicio 28, Ejercicio 29, Ejercicio 30.
1.8.
Ejercicios adicionales
Op’s aritméticas – Raíces – Teorema Fundamental del Álgebra.
En cada uno de los ejercicios 1 y 2 representa gráficamente en un mismo sistema de ejes
cartesianos los números complejos z, z, w y w para los z y w dados.
(
(
z = 2 + i,
z = −2 − i,
I 1.
I 2.
π
i π3
w = 3e .
w = 2ei 4 .
En los ejercicios 3 a 5 calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo z dado.
I 3. z =
−1 + 3i
.
2−i
3π
I 4. z =
2ei 4
.
−2 − 2i
I 5. z =
(2 − 3i ) − (3 − 2i )
.
(3 + 2i ) − (2 + i )
I 6. Calcula el módulo y el argumento del número complejo z del ejercicio 5.
I 7. Escribe en forma binómica los números complejos
√
2 ei
7π
4
, ei
3π
2
π
, 4 ei 6 .
I 8. Calcula la parte real y la parte imaginaria del número complejo
√ 7π
3π
π
z = 2 ei 4 − ei 2 + 4 ei 6 .
En los ejercicios 9 y 10 calcula el valor del número complejo z dado y escribe el resultado en
forma exponencial.
I 9. z =
i 7 − i −7
.
−2i
I 10. z =
1
1+ i
1
1− i
−
+
1
−1+ i
1
−1− i
.
I 11. Calcula el valor que han de tener los números reales α y β para que se cumpla
√ 7π
α + 2i
= 2 ei 4 .
3 + βi
I 12. Sabiendo que la función seno hiperbólico está definida por
senh x =
e x − e− x
,
2
calcula el número complejo senh i π3 .
24
1. El álgebra de los números complejos
1.8. Ejercicios adicionales
I 13. Sabiendo que la función coseno hiperbólico está definida por
cosh x =
e x + e− x
,
2
calcula el número complejo cosh i π3 .
En los ejercicios 14 a 16 calcula las tres raíces cúbicas del número complejo z dado y represéntalas gráficamente.
I 14. z = 1.
1−i
.
I 15. z = √
3+i
I 16. z = 8i.
I 17. Calcula las cuatro raíces cuartas de −16 y represéntalas gráficamente.
En los ejercicios 18 a 21 halla las dos soluciones de la ecuación de segundo grado dada e
indica si esas dos soluciones son cada una el conjugado de la otra.
√
√
I 18. 4z2 − 2z + 3 = 0.
I 20. z2 + 2 2 z − 2 3i = 0.
I 19. 4z2 − (8 − 4i )z + 3 = 0.
I 21. z2 − (1 − 3i )z − (2 + 3i ) = 0.
I 22. Halla todas las soluciones complejas z de la ecuación iz3 +
√
3 = i251 .
I 23. Indica para cada uno de los siguientes enunciados si es verdadero o falso.
(a) La parte imaginaria de un número complejo es un número imaginario.
(b) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando de signo a su argumento.
(c) Al multiplicar un número complejo con su conjugado, el resultado es siempre un número
real positivo.
(d) La exponencial de un número imaginario puro es siempre un número complejo de módulo
unidad.
(e) Todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces distintas.
(f) Las dos soluciones de una ecuación de segundo grado con discriminante negativo son
números complejos conjugados uno del otro.
(g) Si las raíces no reales de un polinomio mónico dado aparecen en pares de complejos
conjugados, entonces los coeficientes del polinomio dado son todos reales.
I 24. Indica para cada uno de los siguientes enunciados si es verdadero o falso.
(a) Para todo número complejo su parte real es un número real y su parte imaginaria es
también un número real.
(b) El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando de signo a su parte real.
(c) Al sumar un número complejo con su conjugado, el resultado es siempre un número real
positivo.
(d) El argumento de la exponencial de un número complejo es igual a la parte imaginaria del
complejo dado.
(e) Las dos soluciones de una ecuación de segundo grado con coeficientes reales y discriminante negativo son números complejos conjugados uno del otro.
(f) Todas las soluciones no reales de una ecuación polinómica con coeficientes reales son
números complejos que aparecen en pares conjugados.
En los ejercicios 25 a 28 representa gráficamente el conjunto de todos los números complejos
que cumplen la ecuación dada:
25
1.8. Ejercicios adicionales
I 25. |z + 3|2 = |z|2 + Im(z).
I 26. Re
z | z |2
=
.
1−i
2
1. El álgebra de los números complejos
I 27. |z − 2i |2 + Re(z) = Re(z2 ) + 2Im(z)2 .
I 28. Re
2(|z|2 − z)
1−i
− Im (2z) = 2.
I 29. Representa gráficamente el conjunto de todos los números complejos que cumplen la desigualdad
z + 1
z − 1 < 1.
26