Sucesiones y Series Cálculo II Facultad Politécnica (FP-UNA)

Curso de Cálculo II
Facultad Politécnica
Universidad Nacional de Asunción
Prof. Ing. María Elena García
mgarcia@cnc.una.py
Las p-series
∞

1
1
1
1
⋯
p
Una serie de la forma n∑
1
2
3
=1 n
es una p-serie, donde p es una constante
positiva.
=
p

p

p
Series armónicas: Para p = 1, la series es
1
1 1
=1
 ⋯ denominada serie Armónica.
∑
∞
n =1
n
2
3
donde el límite del último término
igual a infinito .
lim S
n ∞
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n
=∞
lim 1n =0
pero el límite de su suma es
n ∞
La serie armónica es divergente
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2
Teorema de convergencia de p-series
∞

La p-serie ∑
n =1
1
n
=
p
1
1

p
1
2

p
1
3
p
⋯
converge si p > 1
y diverge si 0 p≤1 .
Criterio integral de convergencia de Cauchy
Teorema: Sea la serie u 1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯ de términos
positivos y no crecientes, es decir que: u 1 ≥u 2 ≥u 3 ≥⋯
y sea f(x) una función continua no creciente tal que f(1) = u1;
f(2) = u2; …; f(n) = un; entonces es posible afirmar que:
∞
1) Si la integral impropia
∞
∫ f  x  dx converge, es convergente
también la serie dada ∑ u n 1 .
n=1
2) Si la integral diverge, es divergente también la serie dada.
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Ejemplos
∞

Probar la convergencia de la serie
∑
k =1
∞

k
e
Estudiar la convergencia de la serie k∑
=2
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k
1
k ln k
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Criterio de Cauchy o de la raíz
Teorema: Si en la serie de términos positivos
n
u 1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯ la magnitud
∣u n∣ tiene un
límite finito L, cuando n  ∞ , es decir,
lim ∣u ∣= L para un ≥0 entonces:
1) la serie converge si L < 1
2) la serie diverge si L > 1 o L=∞ .

n
n ∞
n
Observación: Cuando L = 1 el teorema no da respuesta
sobre la convergencia o divergencia de la serie.
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Criterio de comparación en el límite

an
Teorema:Suponiendo que a n 0 y b n 0 si lim b ,=L
n
n ∞
donde∞ L es finito y positivo. Entonces las dos series
∞
∑ a n y ∑ bn son ambas convergentes o ambas
n=1
n=1
divergentes.
El criterio de comparación en el límite es eficaz para comparar
una serie algebraica complicada con una p-serie adecuada.
Debe elegirse como p-serie una que tenga el término general de
la misma magnitud que el término general de la serie dada.
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Ejemplos
1- Probar que la serie armónica general
∞
diverge.
1
∑ anb
a0, b0
n=1
2- Decidir∞ si es
n convergente o divergente la
∑
serie n=1 n2 1
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Criterio de D'Alembert o criterio de la razón
o del cociente
Teorema : Si en una serie de términos positivos
la relación del (n + 1)-ésimo
término al n-simo término, cuando n  ∞ tiene
límite (finito) L, o sea
u n1
∣
∣=L
un
n ∞
entonces:
1) la serie converge si L < 1
2) la serie diverge si L > 1 o L=∞ .
u 1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯
lim
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Criterio de D'Alembert o criterio de la razón
o del cociente
Observación: Cuando L = 1 el teorema no da
respuesta sobre la convergencia o
divergencia de la serie.
 Ejemplo:
1- Investigar la convergencia de la serie

1 3
5
2 n−1
 2  3 ⋯
⋯
n
2 2
2
2
2- Investigar la convergencia de la serie
2 22 2 3
2n
  ⋯ ⋯
1 2
3
n
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Series Alternadas. Teorema de Leibniz
Si una serie alternada u1 −u 2 u 3 −u 4 ⋯ y u n 0 es
tal que todos sus términos decrecen en valor
u 1 u 2 u
lim u =0 la
absoluto
y3 ⋯
el
entonces
serie dada converge, su suma es positiva y no
supera
el primer término.
∞
∞
n
∑ −1 un y ∑ −1n1 u n
n=1
n ∞
n
n=1
1 1 1
Ejemplos: Investiga la serie 1−  − ⋯
2 3 4
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Convergencia Absoluta y Condicional
Teorema : Si la serie de términos positivos y
negativos u1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯ , es tal que la
serie de los valores absolutos de sus términos
∣u1∣∣u 2∣∣u 3∣⋯∣u n∣⋯
converge, entonces la serie
dada, de términos positivos y negativos,
también converge.
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Serie absolutamente convergente
Definición:La serie de términos positivos y
negativos se llama absolutamente
convergente, si converge la serie formada
por los valores absolutos de sus términos:
∣u1∣∣u 2∣∣u 3∣⋯∣u n∣⋯ .
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Serie condicionalmente convergente
Definición:Si la serie de términos positivos y
negativos u 1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯ converge y la
serie formada por los valores absolutos de
sus términos ∣u1∣∣u 2∣∣u 3∣⋯∣u n∣⋯ diverge,
entonces la serie dada u1 u 2 u 3 ⋯u n ⋯
se llama condicionalmente convergente.
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Ejemplos

Probar la convergencia absoluta de la serie
sen 1
1

2

sen 2
2
2

sen 3
3
2
⋯
sen n
n
2
⋯
Analizar la serie de términos positivos y
negativos
n 1
1 1 1
1−  − ⋯−1 
2! 3! 4 !
n!
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Series de potencias
Una∞serie infinita de la forma
∑
n =0
a n x n =a 0 a 1 xa 2 x 2 ⋯a n x n ⋯
se denomina serie de potencias en x.
Donde los valores a 0 , a 1 ,a 3 ,⋯ son números
constantes llamados coeficientes de la serie
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Criterio de Abel
Teorema: Si una serie de potencias converge
para un cierto valor de x 0 no nulo, entonces
converge absolutamente para todo valor de x,
tal que ∣x∣∣x 0∣ ;
x '0
Si la serie diverge para cierto valor de
,
entonces diverge para todo valor de x, tal que
∣x∣∣x ' 0∣
Este teorema permite determinar los puntos de
convergencia y divergencia de una series de potencias
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Radio de convergencia
Definición:El radio de convergencia r de una
∞
serie de potencias ∑ a n x n =a 0 a1 xa 2 x 2 ⋯a n x n ⋯
n =0
es la mínima cota superior de todos los
números x para los cuales la serie es
absolutamente convergente. Si la serie es
absolutamente convergente para cualquier
número x, será r =∞
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Radio de convergencia
Teorema: Si r es el radio de convergencia de la
2
n
a
a
xa
x
⋯a
x
⋯ ,
serie de potencias 0 1
2
n
entonces la serie de potencias es
absolutamente convergente si ∣x∣r y diverge
si ∣x∣r .
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Intervalo o campo de convergencia de
la serie
Teorema: El dominio de convergencia de una
serie de potencias es un intervalo con centro
en el origen de coordenadas.
Ejemplo: Determinar el intervalo de convergencia de la serie
2 x 2 x  2 x 
−

−⋯
1
2
3
2
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Bibliografía

1-Cálculo Diferencial e integral. Piskunov, N. Montaner y Simon S.A.

2-Cálculo con Geometría Analítica. Swokowski, Earl W. Grupo E. Iberoamérica.

3-Cálculo. Volumen I y II. Larson / Hostetler / Edwards.Mc Graw-Hill.

4-Cálculo Diferencial e integral. Ayres, Frank Jr. Mendelson Elliot. Schaum

5-Cálculo. Farrand, Scott.

6-Problemas y ejercicios de análisis matemático. Demidovich B. Paraninfo.

7-Cálculo con Geometría Analítica. Protter / Morrey.

8-Calculo infinitesimal. Granero Francisco. McGraw-Hill

9-Cálculo. Smith, Robert T./Minton, Roland B. McGrawHill

10-Cálculo y Geometría Analítica. Stein Sherman K. McGraw-Hill

11-Cálculo. Aplicaciones. Hoffman y Bradley. Mc Graw-Hill

12-Cálculo y geometría Analítica. Anton, Howard Vol I y II. Editorial Limusa.

13-Cálculo con Geometría Analítica. Purcell/Varberg. Pearson.Prentice-Hall

14-Análisis Matemático. Apostol, T.M. Editorial Reverté, S.A.

15-Cálculo con Geometría Analítica. Johnson, R.E./Kiokemeister, F.L.

16-http://math.exeter.edu/rparris
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