ANTIDERIVADA – LA INTEGRAL INDEFINIDA La función G(x) es una primitiva de la función f(x) en un intervalo I si G'(x) = f(x) para todo x del intervalo I. Ejemplo: la función F(x) = es una primitiva de f(x) ya que F '(x) = x3. También la función G(x) = + 2 es una primitiva de f . Ambas en cualquier intervalo de la recta real. Integral indefinida Se llama integral indefinida de una función f(x) en un intervalo I al conjunto de todas las primitivas de la función f en el intervalo I. Se escribe , y se lee «integral de f(x)» Si G(x) es una primitiva de f(x) en un intervalo I, todas las primitivas de f(x) son de la forma G(x) + C, donde C es una constante arbitraria que puede ser cualquier número real. Ejemplo: la integral indefinida de f(x) = ex es G(x) = ex + C, donde C es una constante. Se expresa de la siguiente manera: = ex + C Propiedades de la integral indefinida Integrales inmediatas xa+1 1.- x dx = a+1 + C, si a -1, a R a 1 dx = ln x + C x 2.- 3.- ex dx = ex + C 4.- ∫a = x ax ln a + C, si a>0, a 1 5.- sen x dx = – cos x + C 6.- cos x dx = sen x + C 1 dx arcsen x C 7.- 8.- 1 1 x 2 dx arctg x C 1 x2 Integración por sustitución Algebraica Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene: (F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x) Por lo que la integral del elemento final es: f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C Si se escribe u = g(x), Con esta sustitución se tiene entonces du = g' (x) dx. f(u) du = F(u) + C Integración por sustitución: Ejemplos 1 dx x ln x 1/ x 1 dx = Lnx = u du = ln | u | + C deshacer el cambio Cambio ln x = u dx / x = du = ln | ln x | + C
