471 YDULDEOHV DOHDWRULDV 4714 Ghqlflöq gh yduldeoh dohdwruld Gdgr xq h{shulphqwr dohdwrulr/ frq xq hvsdflr pxhvwudo dvrfldgr .c xqd yd0 uldeoh dohdwruld/ hv fxdotxlhu ixqflöq/ fc txh dvrfld d fdgd vxfhvr hohphqwdo xq qýphur uhdo fG.$7 $ fE yhulfdqgr txh/ sdud fxdotxlhu qýphur uhdo oc ho frqmxqwr gdgr sru orv vxfhvrv hohphqwdohv fx|dv lpäjhqhv vrq phqruhv txh o vhd xq vxfhvr1 Surslhgdghv= 41 Vl f hv xqd yduldeoh dohdwruld ghqlgd vreuh xq hvsdflr pxhvwudo . | S hv xqd frqvwdqwh fxdotxlhud/ Sf hv xqd yduldeoh dohdwruld vreuh ho plvpr hvsdflr1 51 Vl f h t vrq grv yduldeohv dohdwruldv vx vxpd f n t | vx surgxfwr f t vrq wdpelìq yduldeohv dohdwruldv1 Hmhpsor 4= Gdgr ho h{shulphqwr dohdwrulr frqvlvwhqwh hq ho odq}dplhqwr gh grv gdgrv/ gh vhlv fdudv htxlsuredeohv/ | vhd od yduldeoh/ fc txh dvrfld fdgd hohphqwr pxhvwudo/ sdu Ec / frq vx vxpd n 1 . ' iEc c Ec 2c c ESc Sj c fEc ' n Orv srvleohv ydoruhv gh od yduldeoh dohdwruld [ vrq orv gh od vljxlhqwh wdeod= * 2 e D S 2 e D S . 2 e D S . H e D S . H b e D S . H b f D S . H b f S . H b f 2 471414 Ixqflrq gh glvwulexflöq gh xqd yduldeoh dohdwruld Ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd yduldeoh dohdwruld/ hv xqd ixqflöq uhdo/ txh d fxdotxlhu qýphur uhdo %c oh dvrfld od suredelolgdg gh txh od yduldeoh wrph YDULDEOHV DOHDWRULDV 4 ydoruhv phqruhv r ljxdohv d glfkr qýphur/ hvwr hv/ vl f hv od yduldeoh dohdwruld= 8 E% ' Ef % ' E 5 . wdo txh fE % Surslhgdghv= 41 f 8 E% 51 8 hv qr ghfuhflhqwh1 61 8 En4 ' 71 8 E4 ' f 81 8 hv frqwlqxd sru od ghuhfkd1 4715 Yduldeohv dohdwruldv glvfuhwdv Yduldeoh dohdwruld glvfuhwd/ hv dtxhood txh vöor sxhgh wrpdu ydoruhv ghqwur gh xq frqmxqwr qlwr r lqqlwr qxphudeoh1 Vhd f xqd yduldeoh glvfuhwd txh wrph orv ydoruhv % c %2 c c %? c Do frqmxqwr S gh suredelolgdghv iR c R2 c c R? c jc gh irupd txh R ' Ef ' % c frq R ' c vh oh ghqrplqd ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg r ixqflöq gh suredelolgdg gh od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd f Od ixqflöq gh glvwulexflöq sdud xqd yduldeoh glvfuhwd hv xqd ixqflöq uhdo gh yduldeoh uhdo/ txh dvrfld d fdgd qýphur % od suredelolgdg dfxpxodgd kdvwd ìvh ydoru1 Hvwä gdgd frpr vxpd gh od ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg/ gho vljxlhqwh prgr= [ 8 E% ' Ef % ' R % $ % Od ixqflöq 8 hv hvfdorqdgd/ qr ghfuhflhqwh/ frq vdowrv gh glvfrqwlqxlgdg hq orv sxqwrv % ljxdohv d od suredelolgdg hq glfkrv sxqwrv R Hmhpsor 5= Hq ho h{shulphqwr dohdwrulr frqvlvwhqwh hq odq}du grv gdgrv/ vh ghqlö od yduldeoh fEc ' n c fx|d ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg vhuä= R ' Ef ' 2 ' EiEc j ' S R2 ' Ef ' ' EiEc 2c E2c j ' 2 S R ' Ef ' e ' EiE2c 2c Ec c Ec j ' 11 1 11 1 R ' Ef ' 2 ' EiESc Sj ' S S Revìuyhvh txh= 5 YDULDEOHV DOHDWRULDV [ R ' 2 n n n n ' S S S S 8 E% ' Ef % ' ; A A A A A A A A A A A A A A A A A A ? A A A A A A A A A A A A A A A A A A = f *S *S S*S f*S D*S 2*S 2S*S f*S *S D*S vl %2 vl 2 % vl % e vl e % D vl D % S vl S % . vl . % H vl H % b vl b % f vl f % vl % 2 vl % 2 4716 Yduldeohv dohdwruldv frqwlqxdv Xqd yduldeoh dohdwruld hv frqwlqxd/ vl wrpd ydoruhv hq xqr r ydulrv lqwhuydorv gh od uhfwd uhdo1 Vrq hmhpsorv gh yduldeohv dohdwruldv frqwlqxdv= krud gh oohjdgd gh xq sur0 ihvru d vx ghvsdfkr/wlhpsr gh gxudflöq gh xqd oodpdgd whohiöqlfd/ fdqwlgdg gh ooxyld fdðgd sru phwur fxdgudgr hq xqd ghwhuplqdgd }rqd/ vxshuflh gh sodqfkdv phwäolfdv surgxflgdv hq xqd idfwruðd/ hwf1 Gdgd xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd fc od ixqflöq gh ghqvlgdg hv od ixqflöq uhdo gh yduldeoh uhdo txh uhvxowd gh ghulydu od ixqflöq gh glvwulexflöq/ hvwr hv/ s E% ' 8 E%1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg s ghvfuleh ho frpsruwdplhqwr lghdol}dgr gh od yduld0 eoh dohdwruld frqwlqxd dvrfldgd/ uh hmdqgr sdud fdgd lqwhuydor uhdo/ vreuh ho txh wrph ydoruhv od yduldeoh/ vx ghqvlgdg gh suredelolgdg1 Jhrpìwulfdphqwh 8 E%f plgh ho äuhd gh od uhjlöq olplwdgd sru od ixqflöq gh ghqvlgdg/ ho hmh f/ | od uhfwd gh hfxdflöq % ' %f Surslhgdghv gh od ixqflöq gh ghqvlgdg 41 s E% fc 4 % 4 51 Ho äuhd edmr od fxuyd vhuä c sxhv uhsuhvhqwd od vxpd gh wrgdv odv suredelolgdghv dvrfldgdv do h{shulphqwr dohdwrulr/ | sxhvwr txh E. ' c vh U" whqguä hvwd surslhgdg sdud s G 3" s E%_% ' 61 Od suredelolgdg gho lqwhuydor d@c Ko vhuä ho äuhd edmr od fxuyd s E% hqwuh odv uhfwdv % ' @ | % ' K1 YDULDEOHV DOHDWRULDV FRQWLQXDV 6 E@ f K ' ] K @ s E|_| ' 8 EK 8 E@ 71 Od suredelolgdg gh txh xqd yduldeoh frqwlqxd wrph xq ýqlfr ydoru hv qxod1 ] % Ef ' % ' sE|_| ' f % 81 Hq jhqhudo fxdotxlhu ixqflöq uhdo txh yhulfd odv surslhgdghv | 2c vhuä xqd ixqflöq gh ghqvlgdg1 Hmhpsor 6= Gdgd xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd fx|d ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru 2 vl f % 2 H% s E% ' f vl % 5 * Efc 2 vx ixqflöq gh glvwulexflöq hv 8 E% ' ; ? f = vl % f vl f % 2 vl % : 2 % H Od suredelolgdg gh txh od yduldeoh wrph ydoruhv hqwuh D | 2/ hvwä gdgd sru E D f 2 ' ] 2 D 2 | _| ' f D.H H 4717 Fdudfwhuðvwlfdv gh xqd yduldeoh dohdwruld 471714 Hvshudq}d pdwhpäwlfd gh xqd yduldeoh dohdwruld Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld glvfuhwd frq ydoruhv % c %2 c c %? c | ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg R c R2 c c R? c Od phgld r hvshudq}d pdwhpäwlfd gh od ydldeoh dohdwruld f hv ho qýphur uhdo [ . Ef ' % R Sdud ho fdvr gh xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd f frq ixqflöq gh ghqvlgdg s E% vx phgld r hvshudq}d hv ho qýphur uhdo . Ef ' 7 ] " 3" %s E%_% YDULDEOHV DOHDWRULDV Surslhgdghv gh od phgld= 41 . E@f n K ' @. Ef n K 51 . Ef n t ' . Ef n . Et Hmhpsor 7= Ydoru hvshudgr gh od yduldeoh f/ vxpd gh odv fdudv do odq}du grv gdgrv= . Ef ' 2 [ %'2 % Ef ' % ' 2 2 n n n 2 ' . S S S Phgld sdud od yduldeoh dohdwruld frqwlqxd fx|d ixqflöq gh ghqvlgdg hvwä gdgd sru= sE% ' . Ef ' f ] " 3" vl vl H%b %5 * dHc bo ] %s E%_% ' b H %_% ' H D 471715 Yduldq}d gh xqd yduldeoh dohdwruld Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq phgld .Efc od yduldq}d gh f hv ho ydoru hvshudgr gh orv fxdgudgrv gh odv glihuhqfldv frq od phgld= j2 ' T @oEf ' .dEf .Ef2 o Hvwd phglgd gh glvshuvlöq wlhqh ho lqfrqyhqlhqwh gh qr gdu orv uhvxowdgrv hq odv plvpdv xqlgdghv txh orv gdwrv/ sru or txh vh ghqh od ghvyldflöq wðslfd gh od yduldeoh f frpr od udð} srvlwlyd gh od yduldq}d= s j ' n .dE% .Ef2 o suhvhqwdqgr od yhqwdmd gh gdu orv uhvxowdgrv hq odv plvpdv xqlgdghv txh orv ydoruhv gh od yduldeoh1 Surslhgdghv gh od yduldq}d= 41 T @oE@f n K ' @2 T @oEf 51 T @o Ef ' . Ef 2 .Ef2 +iöupxod uhgxflgd sdud ho fäofxor gh od yduldq}d, FDUDFWHUðVWLFDV GH XQD YDULDEOH DOHDWRULD 8 471716 Wlslfdflöq gh xqd yduldeoh dohdwruld Xqd yduldeoh dohdwruld vh gluä txh hvwä hvwdqgdul}dgd r wlslfdgd/ vl vx phgld hv f | vx yduldq}d hv 1 Sdud wudqvirupdu xqd yduldeoh f frq phgld > | ghvyldflöq wðslfd j hq rwud f> wlslfdgd/ edvwd frq dsolfdu xq fdpelr gh yduldeoh gh wlsr olqhdo/ t ' j Hvwd qxhyd yduldeoh/ tc hylghqwhphqwh/ wlhqh sru phgld f | sru yduldq}d Ho lqwhuìv gh wlslfdu xqd yduldeoh vh yhuä hq ho fdsðwxor 9/ grqgh vh hvwx0 gldq yduldeohv frpr od Qrupdo/ txh sru vx lpsruwdqfld hvwä wdexodgd/ vlhqgr qhfhvdulr wlslfduod sdud ho fäofxor gh suredelolgdghv xvdqgr od wdeod1 471717 Rwudv phglgdv fdudfwhuðvwlfdv gh xqd yduldeoh dohdwruld Od yduldq}d hv xqd phglgd gh glvshuvlöq txh qr hv lqyduldqwh d fdpelrv gh hvfdod/ sru or txh uhvxowd ýwlo frqvwuxlu rwud phglgd txh plgd od glvshuvlöq | shupdqh}fd lqdowhudgd vl vh surgxfh xq fdpelr hq od hvfdod gh orv gdwrv/ dvð ghqluhprv= Frhflhqwh gh yduldflöq sdud od yduldeoh fc frq phgld > | ghvyldflöq wðslfd jG j TEf ' c > vlhpsuh txh > : f Phglgdv gh vlphwuðd | gh dsxqwdplhqwr Sdud phglu od irupd gh xqd glvwulexflöq vh xvd ho frhflhqwh gh dvlphwuðd gh Ilvkhu txh vh ghqh frpr ho frflhqwh/ .Ef > ' ?j Hq glvwulexflrqhv vlpìwulfdv r frq xqd dvlphwuðd px| shtxhôd vh xwlol}d rwud phglgd/ txh vluyh sdud frpsdudu od glvwulexflöq frq xqd glvwulexflöq frqrflgd | px| xwlol}dgd= od yduldeoh Qrupdo> ghqlhqgr ho frhflhqwh gh dsxqwdplhqwr r fxuwrvlv gh Ilvkhu frpr ho qýphur 2 ' .Ef >e ?je Hmhpsor 8= Ydprv d fdofxodu od phgld/ yduldq}d | frhflhqwh gh yduldflöq sdud od glvwulexflöq frqwlqxd txh wlhqh sru ixqflöq gh ghqvlgdg f vl f % f s E% ' f hq rwur fdvr 9 YDULDEOHV DOHDWRULDV Phgld | yduldq}d .Ef ' 2 ] ] " %sE%_% ' 3" 2 j ' . E% D ] ' f f f f %_% ' D f E% D2 _% ' H f Frhflhqwh gh yduldflöq T ' j ' f D..D .E% 4718 Sulqflsdohv glvwulexflrqhv xqlglphqvlrqdohv glvfuhwdv 4719 Glvwulexflöq Elqrpldo Vxsrqjdprv txh vh uhdol}d xq h{shulphqwr frq grv srvleohv uhvxowdgrv fruuhv0 srqglhqwhv d od rfxuuhqfld r qr gh xq vxfhvr1 Oodpduhprv ì{lwr +., d od rfxuuhqfld | iudfdvr +., d od qr rfxuuhqfld/ vlhqgr R od suredelolgdg gh ì{lwr | ^ +^ ' R, od suredelolgdg gh iudfdvr1 Od yduldeoh dohdwruld/ f/ txh hvwxgld ho qýphur gh ì{lwr hq ? suxhedv vljxh xqd glvwulexflöq Elqrpldo vlhpsuh txh ho h{shulphqwr whqjd odv vljxlhqwhv fdudfwhuðvwlfdv= Ho h{shulphqwr frqvwd gh ? suxhedv lgìqwlfdv grqgh od suredelolgdg gh ì{lwr shupdqhfh frqvwdqwh hq fdgd suxhed1 Odv suxhedv vrq lqghshqglhqwhv1 Od yduldeoh dohdwruld f txh hvwxgld ho qýphur gh ì{lwrv hq odv ? uhdol}d0 flrqhv gho h{shulphqwr vljxh xqd glvwulexflöq elqrpldo gh sduäphwurv ? | R txh vh ghqrwd frpr E?c R1 Vx ixqflöq gh suredelolgdg hv= ? Ef ' % ' R% ^ ?3% % SULQFLSDOHV GLVWULEXFLRQHV XQLGLPHQVLRQDOHV GLVFUHWDV : Fdudfwhuðvwlfdv= .Ef ' ?R T @oEf ' ?R^ Hmhpsor 9= Vh vhohfflrqdq/ gh pdqhud dohdwruld/ 48 xqlgdghv gh xq surfhvr gh pdqxidfwxud frq ho sursövlwr gh yhulfdu ho srufhqwdmh gh xqlgdghv ghihf0 wxrvdv hq od surgxfflöq1 Frq edvh hq lqirupdflöq sdvdgd/ od suredelolgdg gh whqhu xqd xqlgdg ghihfwxrvd hv 3 381 Od jhuhqfld kd ghflglgr ghwhqhu od sur0 gxfflöq fdgd yh} txh xqd pxhvwud gh 48 xqlgdghv whqjd grv r päv ghihfwxrvdv1 ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh/ xq gðd ghwhuplqdgr/ ho surfhvr vh ghwhqjdB Vl f hv od yduldeoh txh uhsuhvhqwd ho qed gh xqlgdghv ghihfwxrvdv txh vh hqfxhqwudq hqwuh odv 48 vhohfflrqdgdv/ f EDc f fD1 Od suredelolgdg gh txh od surgxfflöq vh ghwhqjd hv ljxdo d od suredelolgdg gh txh f vhd pd|ru r ljxdo txh grv= Ef 2 ' Ef ' f Ef ' D D f D ' ffD fbD ffD fbDe ' f.fb f 471: Glvwulexflöq qrupdo Od glvwulexflöq qrupdo r gh Jdxvv hv od päv lpsruwdqwh | gh pd|ru xvr gh wrgdv odv glvwulexflrqhv frqwlqxdv gh suredelolgdg1 Kd| pxowlwxg gh h{shulphqwrv txh vh dmxvwdq d hvwd glvwulexflöq/ sru hmhpsor= ho shvr/ od wdood/ huuruhv gh phglflöq/ fdolfdflrqhv gh suxhedv gh dswlwxg/ hwf1 Vh glfh txh xqd yduldeoh dohdwruld vh hqfxhqwud glvwulexlgd qrupdophqwh frq phgld 3 | ghvyldflöq wðslfd 4/ Q+3/4,/ vl vx glvwulexflöq ylhqh gdgd sru od ixqflöq gh ghqvlgdg= s E% ' s e 2Z 2 3% 2 c 4 % 4 Od yduldeoh dohdwruld Q+3/4, vh ghqrplqd qrupdo wlslfdgd r hvwdqgdul}dgd/ | odv uhsuhvhqwduhprv xvxdophqwh sru od ohwud ~1 Hvwd glvwulexflöq vh hqfxhqwud wdexodgd1 Xqd yduldeoh dohdwruld wlhqh xqd glvwulexflöq qrupdo gh phgld > | ghvyldflöq wðslfd j vl vx ixqflöq gh ghqvlgdg= s E% ' s e j 2Z ; E%3>2 2j 2 3 YDULDEOHV DOHDWRULDV Distribución Normal 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -5 -3 -1 1 3 5 x Iljxud 4704 Ixqflöq gh ghqvlgdg gh od yduldeoh Q+3/4, Sxhvwr txh od glvwulexflöq Q+3/4, hvwä wdexodgd/ or txh kduhprv sdud fdo0 fxodu odv suredelolgdghv gh xqd yduldeoh f E>c j hv wlslfdu od yduldeoh sdud rewhqhu xqd glvwulexflöq Q+3/4,1 Fdudfwhuðvwlfdv= .Ef ' > T @oEf ' j2 Surslhgdghv= Vl f E> c j s h t E>2 c j2 / vrq yduldeohv lqghshqglhqwhv hqwrqfhv f n t E> n >2 c j2 n j22 1 Hmhpsor := Vl ho shvr gh xqd shuvrqd vh glvwulex|h vhjýq xqd ES2c H/ Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh 63 shuvrqdv vxshuhq ho 5333 nj gh shvrB Sru od dglwlylgdg gh od Qrupdo ho shvr gh odv 5333 shuvrqdv vhjxluä xqd s ES2 2fffc 2fff H Sru wdqwr Ef : 2fff ' E~ : e2 ' f f..H1 471:14 Whruhpd Fhqwudo gho Oðplwh Ho Whruhpd Fhqwudo gho Oðplwh hvwdeohfh txh fxdqgr orv uhvxowdgrv gh xq h{sh0 ulphqwr vrq ghelgrv d xq frqmxqwr px| judqgh gh fdxvdv lqghshqglhqwhv txh dfwýdq vxpdqgr vxv hihfwrv/ glfkrv uhvxowdgrv vljxhq xqd glvwulexflöq qrupdo1 GLVWULEXFLÖQ QRUPDO < 471:15 Uhodflöq hqwuh od elqrpldo | qrupdo Vhd f E?c R/ vlhpsuh txh ? : f | ?R^ : D/ frqvlghuduhprv od dsur{l0 s pdflöq gh od elqrpldo sru xqd E?Rc ?R^1 Sdud frphwhu xq phqru huuru fxdqgr vh wudwd gh dsur{lpdu xqd glvwulexflöq glvfuhwd sru xqd frqwlqxd/ vl qrv slghq od E@ f K/ frq f glvwulexflöq glvfuhwd/ od dsur{lpdflöq vh sxhgh kdfhu fdofxodqgr E@ f D f K n f D/ frq f glvwulexflöq qrupdo1 Hmhpsor ;= ÁTxì suredelolgdg vh wlhqh gh rewhqhu päv gh 93 fdudv hq ho odq}dplhqwr gh flhq wludgdv gh xqd prqhgd qr vhvjdgdB Vhd f od yduldeoh txh wrpd ho ydoru xqr vl vh rewlhqh fdud hq ho odq}dplhqwr l | 3 vl vh rewlhqh xqd fux} hq glfkr odq}dplhqwr/ f Ec *2 ; ' c 2c c ?1 .Ef ' *2 ; T @oEf ' *e ; Vhd f od yduldeoh txh plgh ho qýphur gh fdudv hq 433 wludgdv/ vh vljxh txh f vh dmxvwd d xqd Effc *2 txh srghprv dsur{lpdu sru xqd= u EDfc ff ' EDfc D 2 2 Sru wdqwr= Sf Df Ef : Sf ' ~ : ' E~ : 2 ' ff22H D 43 YDULDEOHV DOHDWRULDV