Introducción a la simulación y a la teoría de colas - RUC

Introducción a la Simulación
y a la Teoría de Colas
Introducción a la Simulación
y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Área de Estadística e Investigación Operativa
Departamento de Matemáticas, Facultad de Informática
Universidade da Coruña
Ficha de catalogación bibliográfica
Introducción a la simulación y a la teoría de colas • 1º Edición
Ricardo Cao Abad
NETBIBLO, S.L., A Coruña, 2002
ISBN: 84-9745-017-5
Materia: Matemáticas computacionales: 519.6
Formato: 17 x 24 • Páginas: 224
INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN Y A LA TEORÍA DE COLAS
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de
los titulares del Copyright.
DERECHOS RESERVADOS © 2002, respecto a la primera edición en español, por
NETBIBLO, S.L.
Avda. Manuel Azaña, 56, 3º A
15011 A Coruña (España)
http://www.netbiblo.com
editorial@netbiblo.com
ISBN: 84-9745-017-5
Deposito Legal: C-1867-2002
Editor: Carlos Iglesias
Diseño: Artia>DLF · Jose DelaFuente
Compuesto en: Centerprint, S.L. · Eduardo Bóveda
Impreso en: Josman Press
IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN.
AUTOR
Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Operativa en el Departamento de Matemáticas de la Universidade da Coruña (UDC). En
los últimos años ha impartido diversas asignaturas de Simulación y Teoría de Colas
en las distintas titulaciones de la Facultad de Informática de la UDC.
Doctor en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela,
Ricardo Cao es autor de otros seis libros y más de una treintena de artículos de investigación en revistas de prestigio internacional como The Annals of Statistics,
Journal of the American Statistical Association, Technometrics, Scandinavian
Journal of Statistics, Journal of Econometrics, Test, Canadian Journal of
Statistics, Computational Statistics and Data Analysis y Journal of Statistical
Planning and Inference, entre muchas otras.
Ha sido vocal del Consejo Académico de Estadística de la Sociedad de Estadística e Investigación Operativa (SEIO), es miembro fundador de la Sociedade
Galega para a Promoción da Estatística e da Investigación de Operacións (SGAPEIO) y miembro de la Sociedad Bernoulli y de la Sociedad Española de Biometría. Asimismo es Editor Asociado de la revista Test desde 1996.
Para más información: http://www.udc.es/dep/mate/ricardo/homepage.htm
Ðqglfh Jhqhudo
L
Vlpxodflöq Hvwrfävwlfd
4 Lqwurgxfflöq d od vlpxodflöq
414 Frqfhswrv eävlfrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
415 H{shulphqwdflöq uhdo | vlpxodflöq 1 1 1 1 1
416 Vlpxodflöq qhfhvduld h lqqhfhvduld 1 1 1 1 1
417 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gh od vlpxodflöq
418 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh Vlpxodflöq 1 1 1
:11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
<13
1 <15
1 <15
1 4316
1 4417
1 4518
5 Jhqhudflöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv xqliruphv hq +3/4,
514 Lqwurgxfflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51414 Surslhgdghv ghvhdeohv gh xq jhqhudgru gh qýphurv svhx0
grdohdwrulrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
515 Pìwrgr gh orv fxdgudgrv phglrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
516 Pìwrgr gh Ohkphu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
517 Pìwrgrv frqjuxhqfldohv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51714 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh flfor pä{lpr 1 1 1 1 1 1 1
51715 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh dojxqrv ohqjxdmhv | el0
eolrwhfdv gh uxwlqdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
518 Phglgdv hvwdgðvwlfdv gh od fdolgdg gh xq jhqhudgru gh qýphurv
dohdwrulrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51814 Ho frqwudvwh fkl0fxdgudgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51815 Ho frqwudvwh gh Nroprjrur0Vpluqr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51816 Ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51817 Frqwudvwhv gh vdowr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51818 Ho frqwudvwh gh shupxwdflrqhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
51819 Ho frqwudvwh gho srnhu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5181: Ho frqwudvwh gh odv udfkdv dvfhqghqwhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5181; Ho frqwudvwh gh sduhv vhuldgrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5181< Ho frqwudvwh gh Omxqj0Er{ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
518143 Fkl0fxdgudgr vreuh fkl0fxdgudgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
519 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4619
4621
4621
4722
4822
4823
4:24
4:25
4<26
4<27
4<27
5328
5429
5429
5529
5631
5631
5631
5731
5732
6 Pìwrgrv xqlyhuvdohv sdud od vlpxodflöq gh yduldeohv frqwlqxdv 5:33
614 Ho pìwrgr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5:35
61414 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 5<37
61415
Dojxqdv glvwulexflrqhv txh sxhghq vlpxoduvh sru ho pìwr0
gr gh lqyhuvlöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
61416 Lqyhuvlöq dsur{lpdgd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
615 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
61514 Hflhqfld gho dojrulwpr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
61515 Hohfflöq gh S 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
61516 Hohfflöq gh od ghqvlgdg dx{loldu } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5<37
6338
6439
6641
6641
6944
6;46
7 Pìwrgrv xqlyhuvdohv sdud od vlpxodflöq gh yduldeohv glvfuhwdv
714 Ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
71414 Hflhqfld gho dojrulwpr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
71415 Fäofxor gluhfwr gh od ixqflöq fxdqwlo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
715 Dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv elqdulrv1 Äuerohv gh Kxpdq1 1 1
716 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
717 Pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
718 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7449
7451
7754
7:56
7;58
8663
8865
8:67
8 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv qrwd0
eohv
814 Glvwulexflrqhv frqwlqxdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81414 Od glvwulexflöq qrupdo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81415 Od glvwulexflöq gh Fdxfk| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81416 Od glvwulexflöq h{srqhqfldo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81417 Odv glvwulexflrqhv Jdppd | Huodqj 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81418 Od glvwulexflöq ehwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81419 Od glvwulexflöq fkl0fxdgudgr gh Shduvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8141: Od glvwulexflöq 8 gh Ilvkhu0Vqhghfru 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8141; Od glvwulexflöq | gh Vwxghqw 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8141< Od glvwulexflöq gh Zhlexoo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
814143 Od glvwulexflöq orjðvwlfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
814144 Od glvwulexflöq gh Sduhwr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
815 Glvwulexflrqhv glvfuhwdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81514 Od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81515 Od glvwulexflöq elqrpldo 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81516 Od glvwulexflöq gh Srlvvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81517 Od glvwulexflöq jhrpìwulfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
81518 Od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
816 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8<69
8<71
8<71
9372
9473
9473
9675
9877
9877
9978
9978
9:79
9:79
9:79
9:79
9;80
9;80
9<81
:382
:382
9 Vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlrqdohv
:685
914 Pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :687
915 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 :990
916 Pìwrgrv gh frglfdflöq r hwltxhwdgr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ::91
917 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud vlpxodu od glvwulexflöq qrupdo pxowl0
yduldqwh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;3
94
918 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;6
97
: Glvhôr gh h{shulphqwrv gh vlpxodflöq
:14 Glihuhqfldv | vlplolwxghv frq od h{shulphqwdflöq uhdo
:15 Vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:16 Vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:17 Wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:1714 Qýphurv dohdwrulrv frpxqhv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:1715 Yduldeohv dqwlwìwlfdv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:1716 Hvwudwlfdflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
:18 Sureohpdv gh hvwdelol}dflöq | ghshqghqfld 1 1 1 1 1 1
:19 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
LL
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Whruðd gh Frodv
;8
99
;8
101
;9
102
;9
102
;:
103
;:
103
;;
104
104
;;
105
<3
106
<4
109
<6
; Lqwurgxfflöq d od Whruðd gh Frodv
<8
111
;14 Uhvhôd klvwöulfd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113
<8
;15 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh Whruðd gh Frodv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 114
<9
< Qrflrqhv eävlfdv vreuh surfhvrv hvwrfävwlfrv
<14 Qrflöq gh surfhvr hvwrfävwlfr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
<15 Fdudfwhuðvwlfdv | surslhgdghv txh sxhgh yhulfdu xq surfhvr hv0
wrfävwlfr 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
<16 Surfhvrv gh frqwdu= ho surfhvr gh Srlvvrq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
<17 Surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
<:
115
<:
117
118
<;
119
<<
122
435
43 Frqfhswrv jhqhudohv gh od Whruðd gh Frodv
43:
127
129
4314 Ghvfulsflöq gho vlvwhpd gh xqd frod 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 43:
131
4315 Whuplqrorjðd | qrwdflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 43<
133
4316 Iöupxodv gh Olwwoh 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 444
4317 Dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv gh odv glvwulexflrqhv h{srqhq0
134
fldo | jdppd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 445
137
4318 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 449
44 Prghorv frq wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr gh
4414 Ho prghor **Q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4415 Ho prghor **r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4416 Ho prghor **Q*g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4417 Ho prghor **r*g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4418 Ho prghor **Q*"*M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4419 Ho prghor **r*"*M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
441: Ho prghor **r*"*M frq uhsxhvwrv 1 1
441; Ho prghor **" 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
wlsr
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
Srlvvrq
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
44:
139
44:
141
456
147
45:
152
466
158
46;
163
473
165
477
168
479
171
441< Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 47:
172
45 Uhghv gh frodv
4514 Lqwurgxfflöq d odv uhghv gh frodv 1
4515 Uhghv gh Mdfnvrq delhuwdv 1 1 1 1
4516 Uhghv gh Mdfnvrq fhuudgdv 1 1 1 1
4517 Rwurv prghorv gh frodv hq uhg 1 1
451714 Frodv hq vhulh 1 1 1 1 1 1 1
451715 Uhg gh frodv fðfolfd 1 1 1 1
451716 Frodv hq vhulh frq eortxhr
4518 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
488
179
488
181
489
182
493
186
499
192
499
192
49:
193
49;
194
4:4
197
46 Frodv frq glvwulexflrqhv duelwuduldv gh oohjdgd | vhuylflr
4::
203
205
4614 Ho prghor P2J24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4::
211
4615 Dsur{lpdflöq phgldqwh vlpxodflöq 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4;6
214
4616 Hmhuflflrv sursxhvwrv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4;9
47 Eleolrjudiðd
4;<
217
PARTE I
SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA
1
Introducción a la simulación
Introducción a la simulación
41 0
414 Frqfhswrv eävlfrv
Od vlpxodflöq hv od wìfqlfd txh frqvlvwh hq uhdol}du h{shulphqwrv gh pxhvwuhr
vreuh ho prghor gh xq vlvwhpd1 Xq prghor qr hv päv txh xq frqmxqwr gh yduld0
eohv mxqwr frq hfxdflrqhv pdwhpäwlfdv txh odv uhodflrqdq | uhvwulfflrqhv vreuh
glfkdv yduldeohv1 Od prghol}dflöq hv xqd hwdsd suhvhqwh hq od pd|ru sduwh
gh orv wudedmrv gh lqyhvwljdflöq +hvshfldophqwh hq odv flhqfldv h{shulphqwdohv,1
Hq pxfkdv rfdvlrqhv/ od uhdolgdg hv edvwdqwh frpsohmd frpr sdud vhu hvwx0
gldgd gluhfwdphqwh | hv suhihuleoh od irupxodflöq gh xq prghor txh frqwhqjd
odv yduldeohv päv uhohydqwhv txh dsduhfhfhq hq ho ihqöphqr hq hvwxglr | odv
uhodflrqhv päv lpsruwdqwhv hqwuh hoodv1
Iuhfxhqwhphqwh/ od uhvroxflöq gh orv sureohpdv txh vh suhwhqghq derugdu
sxhgh uhdol}duvh sru surfhglplhqwrv dqdoðwlfrv vreuh ho prghor frqvwuxlgr +qru0
pdophqwh phgldqwh ho xvr gh khuudplhqwdv pdwhpäwlfdv frpr odv gh uhvroxflöq
gh hfxdflrqhv ruglqduldv r gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv/ ho fäofxor gh suredelol0
gdghv/ hwf1,1 Hq rwudv flufxqvwdqfldv glfkd uhvroxflöq dqdoðwlfd qr hv srvleoh +r
hv wuhphqgdphqwh frpsolfdgd r frvwrvd, | hv suhihuleoh xqd dsur{lpdflöq gh
od vroxflöq phgldqwh vlpxodflöq1
415 H{shulphqwdflöq uhdo | vlpxodflöq
Od h{shulphqwdflöq gluhfwd vreuh od uhdolgdg sxhgh whqhu pxfkrv lqfrqyh0
qlhqwhv=
xq frvwh px| dowr
judq ohqwlwxg
hq rfdvlrqhv odv suxhedv vrq ghvwuxfwlydv
d yhfhv qr hv ìwlfd +h{shulphqwdflöq vreuh vhuhv kxpdqrv,
sxhgh uhvxowdu lpsrvleoh +xq dfrqwhflplhqwr ixwxur,
Ud}rqhv frpr hvdv +| dojxqdv rwudv, sxhghq lqglfdu od yhqwdmd gh wudedmdu
frq xq prghor gho vlvwhpd uhdo1 Od hvwdgðvwlfd hv suhflvdphqwh od flhqfld txh vh
suhrfxsd gh föpr hvwlpdu orv sduäphwurv | frqwudvwdu od ydolgh} gh xq prghor
d sduwlu gh orv gdwrv revhuydgrv gho vlvwhpd uhdo txh vh suhwhqgh prghol}du1
15
16
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
416 Vlpxodflöq qhfhvduld h lqqhfhvduld
Xqd yh} vh kd frqvwuxðgr xq prghor/ od sulphud whqwdwlyd gheh vhu vlhpsuh
wudwdu gh uhvroyhu dqdoðwlfdphqwh ho sureohpd txh qrv rfxsd1 Hq fdvr gh vhu hvwr
srvleoh/ od vroxflöq hv h{dfwd +d phqxgr od uhvroxflöq wdpelìq hv uäslgd,1 Hq
fdvr frqwudulr sxhgh uhfxuuluvh d od vlpxodflöq txh lqyroxfuduä pxfkd oderu gh
surfhvdgr1 Judfldv d od judq srwhqfld gh fäofxor gh orv frpsxwdgruhv dfwxdohv
orv surjudpdv gh vlpxodflöq sxhghq riuhfhu xqd vroxflöq dsur{lpdgd uäslgd
hq od pd|ru sduwh gh orv sureohpdv vxvfhswleohv gh vhu prghol}dgrv1
Hmhpsor 4 Vxsöqjdvh txh vh txlhuh fdofxodu od suredelolgdg gh dsdulflöq gh
h{dfwdphqwh grv fdudv hq wuhv odq}dplhqwrv gh xqd prqhgd1 Od h{shulphqwdflöq
vreuh od vlwxdflöq uhdo frqvlvwluðd hq uhshwlu qxphurvdv yhfhv orv wuhv odq}dplhq0
wrv | revhuydu frq txì iuhfxhqfld vh rewlhqhq h{dfwdphqwh grv fdudv1 Ho vlvwhpd
uhdo hv ho phfdqlvpr sru ho fxdo vh uhdol}dq orv odq}dplhqwrv1 Xq prghor ud0
g
}rqdeoh sdud hvwh vlvwhpd hv ho gh xwlol}du xqd yduldeoh dohdwruld f ' Ec fD
+|d txh vh vxsrqh txh od prqhgd wlhqh od plvpd suredelolgdg gh fdud txh gh
fux},1 Edmr hvwh prghor/ vh wudwduðd gh fdofxodu Ef ' 21 Hq hvwh fdvr od
uhvroxflöq dqdoðwlfd hv idfwleoh | px| vhqflood=
2 


Ef ' 2 '
' ' f.D
2
2
H
2
Od vlpxodflöq frqvlvwluðd hq rewhqhu qýphurv dohdwrulrv +hq rughqdgru, sdud
uhsolfdu duwlfldophqwh orv wuhv odq}dplhqwrv hq judq fdqwlgdg gh rfdvlrqhv/
revhuydqgr od iuhfxhqfld uhodwlyd frq od txh dsduhfhq h{dfwdphqwh grv fdudv1
Hv reylr txh/ hq xqd vlwxdflöq frpr hvwd/ od h{shulphqwdflöq uhdo wlhqh od
ghvyhqwdmd gh od ohqwlwxg1 Xqd yh} frqvwuxðgr/ ho prghor od uhvroxflöq dqdoðwlfd
uhvxowd h{dfwd h lqphgldwd |/ sru wdqwr/ suhihuleoh d od uhvroxflöq dsur{lpdgd
phgldqwh vlpxodflöq1 Fxhvwlöq glvwlqwd hv vl ho prghor uh hmd dghfxdgdphqwh
od uhdolgdg1 Dvð/ sru hmhpsor/ vl od prqhgd qr glhvh ljxdo suredelolgdg d fdud
| fux}/ ho prghor qr vhuðd dghfxdgr | od uhvroxflöq phgldqwh ho plvpr vhuðd
lqfruuhfwd1 Reyldphqwh hvwh sureohpd qr or wlhqh od h{shulphqwdflöq vreuh
od vlwxdflöq uhdo1 Hq uhdolgdg/ hq xq fdvr frpr hvh/ judfldv d od lqihuhqfld
hvwdgðvwlfd/ srguðd irupxoduvh rwur prghor päv dghfxdgr1
Hmhpsor 5 Vxsöqjdvh ho vljxlhqwh mxhjr= xq mxjdgru odq}d xqd prqhgd +der0
qdqgr xq hxur sru fdgd odq}dplhqwr, kdvwd txh ho qýphur gh fdudv vxshuh
hq wuhv do qýphur gh fuxfhv rewhqlgdv1 Hq hvh prphqwr ho mxjdgru uhfleh
43 xqlgdghv prqhwduldv1 ÁUhvxowd uhqwdeoh mxjduB Gh qxhyr dtxð od h{shul0
phqwdflöq uhdo hv px| ohqwd1 Od prghol}dflöq sxhgh uhdol}duvh gh qxhyr jud0
fldv d od whruðd gh od suredelolgdg1 Hq hvwd rfdvlöq/ vlq hpedujr/ od uhvroxflöq
dqdoðwlfd vhuðd frpsolfdgd +vdoyr txh vh whqjdq frqrflplhqwrv gh fdghqdv gh
Pdunry,1 Sduhfh/ sru wdqwr/ frqyhqlhqwh xqd dsur{lpdflöq phgldqwh vlpx0
odflöq1 Vh wudwduðd sru wdqwr gh lu uhsolfdqgr duwlfldophqwh ho odq}dplhqwr
Introducción a la simulación
gh od prqhgd vlpxodqgr xq judq qýphur gh srvleohv sduwlgdv | h{dplqdqgr od
sìuglgd r jdqdqfld phgld1
417 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gh od vlpxodflöq
Yhqwdmdv=
41 Hq fdvrv hq orv txh od uhvroxflöq dqdoðwlfd qr sxhgh oohyduvh d fder1
51 Fxdqgr h{lvwhq phglrv gh uhvroyhu dqdoðwlfdphqwh ho sureohpd shur glfkd
uhvroxflöq hv frpsolfdgd | frvwrvd1
61 Vl vh ghvhd h{shulphqwdu dqwhv gh txh h{lvwd ho vlvwhpd1
71 Fxdqgr hv lpsrvleoh h{shulphqwdu vreuh ho vlvwhpd uhdo sru vhu glfkd
h{shulphqwdflöq ghvwuxfwlyd1
81 Hq rfdvlrqhv hq odv txh od h{shulphqwdflöq vreuh ho vlvwhpd hv srvleoh
shur qr ìwlfd1
91 Hv gh xwlolgdg hq vlvwhpdv txh hyroxflrqdq px| ohqwdphqwh hq ho wlhpsr1
Lqfrqyhqlhqwhv=
41 Od frqvwuxfflöq gh xq exhq prghor sxhgh vhu xqd wduhd px| oderulrvd1
51 Iuhfxhqwhphqwh ho prghor rplwh yduldeohv r uhodflrqhv lpsruwdqwhv hqwuh
hoodv1
61 Uhvxowd gliðflo frqrfhu od suhflvlöq gh od vlpxodflöq/ hvshfldophqwh hq or
uhodwlyr d od suhflvlöq gho prghor irupxodgr1
Hmhuflflr 41714 Xqd frpsdôðd shwuroðihud gheh ghflglu hq fxäo gh grv sxqwrv
+D ö E, kd gh uhdol}du xqd shuirudflöq sdud h{wudhu shwuöohr1 Od surixqglgdg
hvwlpdgd gh od erovd gh shwuöohr hq dperv sxqwrv hv gh 8: p1 hq D | 73 p1
hq E1 Ghvgh hvwh prphqwr kdvwd ho lqvwdqwh hq txh vh frphq}duä d shuirudu hv
srvleoh txh oohjxh xqd qxhyd pdtxlqduld +or fxdo rfxuuh frq xqd suredelolgdg gh
f.,1 Gxudqwh od shuirudflöq sxhgh surgxfluvh xqd dyhuðd hq od pdtxlqduld1
Hq edvh d hvwxglrv uhwurvshfwlyrv vh hvwlpd txh glfkd dyhuðd rfxuuh frq xqd
suredelolgdg gh fe ö fS vl vh shuirud hq D ö E/ uhvshfwlydphqwh/ xvdqgr od
pdtxlqduld qxhyd1 Hq fdvr gh xwlol}du od ylhmd pdtxlqduld/ odv suredelolgdghv
gh dyhuðd vrq f2H | fb sdud dperv sxqwrv +D | E,1 Lqghshqglhqwhphqwh gho
wlsr gh pdtxlqduld xwlol}dgd | gho sxqwr grqgh vh kd ghflglgr shuirudu/ fxdqgr
vh surgxfh dyhuðd/ ìvwd sxhgh vhu judqgh +frq gxudflöq gh wuhv gðdv, frq sur0
edelolgdg gh fD1 Hq rwur fdvr od dyhuðd hv shtxhôd h lpsolfd xq vöor gðd vlq
17
18
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
shuirudu1 Vdelhqgr txh od shuirudflöq dydq}d d xqd yhorflgdg gh 6 p1 sru gðd
hq ho sxqwr D | 5 p1 sru gðd hq ho sxqwr E/ vh wudwd gh gdu uhvsxhvwd/ phgldqwh
vlpxodflöq/ d od suhjxqwd Áhq txì sxqwr hv päv uhqwdeoh shuiruduB/ dwhqglhqgr
d txh ho wlhpsr kdvwd txh vh oohjd do shwuöohr vhd pðqlpr1 Kdfhu xq gldjudpd
gh xmr gho dojrulwpr gh vlpxodflöq hq hvwh frqwh{wr1
418 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh vlpxodflöq
D or odujr gho suhvhqwh wh{wr/ orv frqwhqlgrv gh vlpxodflöq txh vh yhuäq vrq orv
vljxlhqwhv=
41 Hvwxglr gh orv pìwrgrv päv lpsruwdqwhv gh jhqhudflöq gh qýphurv svhx0
grdohdwrulrv hq ho lqwhuydor Efc / fhqwudqgr qxhvwud dwhqflöq hq orv jh0
qhudgruhv frqjuxhqfldohv1 Vh uhylvduäq orv pìwrgrv frqjuxhqfldohv lpsoh0
phqwdgrv hq dojxqrv ohqjxdmhv gh surjudpdflöq | eleolrwhfdv gh uxwlqdv
hvwdgðvwlfdv1 Wdpelìq vh gduä xqd ylvlöq gh odv glihuhqwhv phglgdv hvwdgðv0
wlfdv sdud frqwudvwdu od fdolgdg gh xqd jhqhudgru gh qýphurv dohdwrulrv1
51 Pìwrgrv xqlyhuvdohv +r jhqhudohv, gh vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv frqwl0
qxdv= derugdqgr orv pìwrgrv gh lqyhuvlöq | gh dfhswdflöq uhfkd}r1
61 Pìwrgrv xqlyhuvdohv gh vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv glvfuhwdv1 Dtxð vh
hvwxglduäq ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo +frq eývtxhgd vhfxhq0
fldo | hohfflöq gh hwltxhwdgr öswlpr,/ dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv gh
Kxpdq/ ho pìwrgr gh od wdeod jxðd | ho pìwrgr gh wuxqfdplhqwr1
71 Xq frqmxqwr gh pìwrgr hvshfðfrv gh vlpxodflöq sdud odv glvwulexflrqhv
glvfuhwdv | frqwlqxdv päv lpsruwdqwhv1
81 Xqd euhyh lqfxuvlöq d od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlrqdohv/
frphqwdqgr dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv | sduwlfxodul}dqgr wdpelìq do
fdvr lpsruwdqwh gh od qrupdo pxowlyduldqwh1
91 Dojxqdv fxhvwlrqhv suäfwlfdv vreuh ho glvhôr gh h{shulphqwrv gh vlpx0
odflöq/ ghglfdqgr hvshfldo dwhqflöq d odv wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yd0
uldq}d1
2
Generación de números
pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
51 0
514 Lqwurgxfflöq
Fdvl wrgrv orv pìwrgrv gh vlpxodflöq vh edvdq hq od srvlelolgdg gh jhqhudu
qýphurv dohdwrulrv frq glvwulexflöq LEfc 1 Kdvwd ho judq ghvduuroor gh orv
rughqdgruhv orv qýphurv dohdwrulrv vh rewhqðdq sru surfhglplhqwrv h{shulphq0
wdohv +orwhuðdv/ uxohwdv, | vh dopdfhqdedq hq wdeodv1 Hq od dfwxdolgdg hvwrv
qýphurv vrq jhqhudgrv sru rughqdgru | vh ghqrplqdq svhxgrdohdwrulrv |d
txh/ hq uhdolgdg/ wrgrv orv qýphurv gh od vxfhvlöq txh vh jhqhud vrq suhghfl0
eohv d sduwlu gho sulphur/ oodpdgr vhplood1 Hq fxdotxlhu fdvr/ wrgr jhqhudgru
gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv pðqlpdphqwh dfhswdeoh gheh frpsruwduvh frpr
vl vh wudwdvh gh xqd pxhvwud jhqxlqd gh gdwrv lqghshqglhqwhv gh xqd L Efc 1
51414 Surslhgdghv ghvhdeohv gh xq jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv
Sdud srghu xwlol}du vlq uhvhuydv xq jhqhudgru gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv ìvwh
gheh vdwlvidfhu orv frqwudvwhv hvwdgðvwlfrv päv kdelwxdohv hq hvwh frqwh{wr= orv
gh dohdwrulhgdg +orv frqwudvwhv gh udfkdv r orv gh vdowrv,/ orv gh lqghshqghqfld
+frpr orv edvdgrv hq dxwrfruuhodflrqhv/ ho whvw gh Omxqj0Er{/ ho frqwudvwh gh
sduhv vhuldgrv/ hwf, | orv gh erqgdg gh dmxvwh d xqd LEfc  +hqwuh hoorv ho whvw
fkl0fxdgudgr | ho gh Nroprjrur0Vpluqr,1 Wdpelìq h{lvwhq rwurv frqwudvwhv
hvshfðfrv txh wudwdq gh lqgdjdu d od yh} vreuh ydulrv gh orv dvshfwrv dqwhulruhv1
Hqwuh hoorv ghvwdfdprv ho frqwudvwh gho srnhu | ho gho frohfflrqlvwd1
Dghpäv gh hvwdv surslhgdghv gh wlsr hvwdgðvwlfr h{lvwhq rwurv uhtxlvlwrv
frpsxwdflrqdohv1 Xqrv | rwurv sxhghq uhvxpluvh hq od vljxlhqwh olvwd1
Uhtxlvlwrv ghvhdeohv sdud xq jhqhudgru
41 Surgxflu pxhvwudv vhjýq xqd glvwulexflöq LEfc 1
51 Sdvdu orv frqwudvwhv gh dohdwrulhgdg h lqghshqghqfld päv kdelwxdohv1
61 Txh od vxfhvlöq jhqhudgd vhd uhsurgxfleoh d sduwlu gh od vhplood1
71 Whqhu xqd orqjlwxg gh flfor wdq judqgh frpr vh ghvhh1
81 Jhqhudu ydoruhv d dowd yhorflgdg1
91 Rfxsdu srfd phpruld1
21
22
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
515 Pìwrgr gh orv fxdgudgrv phglrv
Hv ghelgr d yrq Qhxpdqq | wlhqh ixqgdphqwdophqwh vöor lqwhuìv klvwöulfr1
41 Vh wrpd xq qýphur hqwhur lqlfldo/ %f / oodpdgr vhplood/ gh 2? fliudv
51 Vh hohyd do fxdgudgr/ rewhqlhqgr xq qýphur gh e? fliudv +frpsohwdqgr/
txl}ä/ frq fhurv d od l}txlhugd,1
61 Vh frqvlghud % ho qýphur hqwhur irupdgr sru odv 2? fliudv fhqwudohv1
71 Vh hohyd do fxdgudgr % | vh uhslwh ho surfhvr dqwhulru wdqwdv yhfhv frpr
vhd suhflvr1
%
81 Ilqdophqwh vh frqvlghudq orv qýphurv ' 2? / |d hq ho lqwhuydor Efc 1
f
Hmhpsor 6 Wöphvh ? ' 2 | %f ' e221 Uhvxowd=
%f ' e22 %2f ' SmbbfHmHe % ' bbfH %2 ' bHmSHemSe
%2 ' SHe %22 ' f2mHDHmDS % ' HDH %2 ' SbmHDSmSe
%e ' HDS %2e ' .m2bf.m2 %D ' 2bf. %2D ' fHmeDfSmeb
Gh hvwd irupd/ orv qýphurv svhxgrdohdwrulrv hq Efc  vrq
f ' fe22  ' fbbfH 2 ' fSHe ' fHHD
e ' fHDS D ' f2bf.
Vljxlhqgr/ gh qxhyr/ frq ? ' 2/ shur wrpdqgr frpr vhplood %f ' .fH/ vh
rewlhqh
%f
%2
%e
%S
%H
' .fH
' ff
' Sff
' eff
' Sff
%2f
%22
%2e
%2S
' m.eb2mSe
' fmSbffmff
' .m2ffmff
' SmHffmff
%
%
%D
%.
' .2b2
' Sbff
' 2ff
' Hff
%2
%2
%2D
%2.
' DSmffmSe
' e.mSffmff
' femeffmff
' SDmSffmff
Dvð sxhv/ frpr %H ' %e / orv ydoruhv ec D c S c . vh uhshwluäq flfolfdphqwh gh
irupd lqghqlgd1 Hvwh wlsr gh ihqöphqrv gh flfor fruwr vrq vx pd|ru lqfrq0
yhqlhqwh1
516 Pìwrgr gh Ohkphu
Ho pìwrgr frqvlvwh hq orv vljxlhqwhv sdvrv=
41 Vh wrpd frpr vhplood xq qýphur hqwhur/ %f / gh ? fliudv1
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
51 Vh holjh rwur hqwhur/ S/ gh & fliudv1 Vxhoh wrpduvh & ?1
61 Vh fdofxod %f S/ qýphur gh/ d or vxpr/ ? n & fliudv1
71 Vh vhsdudq odv & fliudv gh od l}txlhugd gh %f S | do qýphur irupdgr sru
odv ? fliudv uhvwdqwhv vh oh uhvwd ho txh irupdq hvdv & fliudv gh od l}txlhugd/
gdqgr oxjdu d % 1
81 Vh uhslwh hvwh surfhvr wdqwdv yhfhv frpr vhd qhfhvdulr1
91 Vh ghyxhoyhq orv ydoruhv '
%
1
f2?
Hmhpsor 7 Wrpdqgr ? ' e/ & ' 2/ %f ' e22 | S ' .S/ vh rewlhqh
%f
%
%2
%
%e
%D
' e22
' 2e
' S2b2
' HeD
' HbDb
' fHS
%f S ' m2.2
% S ' 2emSS
%2 S ' e.mHb2
% S ' Smbf2f
%e S ' SHmfHHe
%D S ' fSm2fS
2.2  ' 2e
SS 2e ' S2b2
Hb2 e. ' HeD
bf2f S ' HbDb
fHHe SH ' fHS
2fS fS ' 2ff
Gh hvwd irupd
f ' fe22  ' f2e 2 ' fS2b2 ' fHeD
e ' fHbDb D ' ffHS
Wrgdyðd hq ho fdvr gh txh ? ' e | & ' 2/ shur frq %f ' 2fff | S ' Df/ vh
wlhqh %f S ' fmffff | dvð % ' fffff ' f f1 Hvwh hv suhflvdphqwh xqr
gh orv shruhv lqfrqyhqlhqwhv gh hvwh pìwrgr= od dsdulflöq gh lwhudqwhv qhjdwlyrv1
Wdpelìq dsduhfhq/ frq iuhfxhqfld/ flforv fruwrv +hq sduwlfxodu/ ho fhur hv xq
ydoru devruehqwh gh hvwh jhqhudgru,1
517 Pìwrgrv frqjuxhqfldohv
Vh edvdq hq od lghd gh frqvlghudu xqd frpelqdflöq olqhdo gh orv ýowlprv & hqwhurv
jhqhudgrv | fdofxodu vx uhvwr do glylglu sru xq hqwhur mr 61 Frqvlghuduhprv
wdq vöor ho pìwrgr frqjuxhqfldo vlpsoh txh surfhgh frpr vljxh=
41 Hohjlu xq qýphur hqwhur srvlwlyr 6 +qrupdophqwh hq uhodflöq frq ho wlsr
gh hqwhurv txh vh yd d xvdu, | rwurv grv qýphurv hqwhurv/ @ | S/ wdohv txh
f @ 6 | f S 61
51 Ilmdu od vhplood %f / xq ydoru hqwhur lqlfldo txh fxpsod f %f 61
23
24
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
61 Rewhqhu gh irupd uhfxuuhqwh
%? ' E@%?3 n S 4L_ 6
sdud ? ' c 2c 71 Ghyroyhu orv ydoruhv ? '
%?
/ ? ' fc c 6
Gdgdv odv surslhgdghv dojheudlfdv gh od vxpd | ho surgxfwr hq ho frqmxqwr
gh fodvhv gh uhvwr pögxor 6 +txh hv xq dqloor, vh wlhqh txh fxdotxlhu rwud
hohfflöq gh @ ö S pd|ruhv r ljxdohv txh 6 wlhqh xq htxlydohqwh yhulfdqgr od
uhvwulfflöq lpsxhvwd1 Fxdqgr wrpdprv S ' f ho jhqhudgru vh glfh frqjuxhqfldo
pxowlsolfdwlyr1
Hmhpsor 8 Frqvlgìuhvh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq 6 ' H/ @ ' D/ S ' e=
%? ' ED%?3 n e 4L_ H
Wrpdqgr frpr vhplood orv ydoruhv D ö 2 vh rewlhqh=
%f ' D % ' D %2 ' D %f ' 2 % ' S %2 ' 2 % ' S txh suhvhqwdq flforv gh orqjlwxg 4 | 5 uhvshfwlydphqwh1
Fdpeldqgr ho ydoru gh S d 2 vh wlhqh %? ' ED%?3 n 2 4L_ H | dvð/
%f ' D % ' %2 '  % ' . %e ' D %f ' 2 % ' e %2 ' S % ' f %e ' 2 grqgh dperv flforv vrq gh orqjlwxg fxdwur1
Ilqdophqwh ghmdqgr ho plvpr ydoru gh 6 shur holjlhqgr @ ' D | S ' D/ vh
wlhqh %? ' ED%?3 n D 4L_ H/ txh frqgxfh d
%f
%D
%f
%D
'D
'2
'2
'
%
%S
%
%S
'S
'.
'.
'e
%2
%.
%2
%.
'
'f
'f
'
%
%H
%
%H
'e
'D
'D
'2
%e ' 
%e ' S
frq flfor gh orqjlwxg ;/ txh hv ho pä{lpr ydoru srvleoh1
51714 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh flfor pä{lpr
Dghpäv gh odv surslhgdghv hvwdgðvwlfdv ghvhdeohv sdud fxdotxlhu jhqhudgru/ xqd
fxhvwlöq lpsruwdqwh sdud orv jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv +frpr vh kd ylvwr hq
orv hmhpsorv suhylrv, hv od gh jdudqwl}du txh ho flfor gho jhqhudgru vhd pä{lpr
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
+r/ fxdqgr phqrv/ px| hohydgr,1 Hq od suäfwlfd wudwduä gh wrpduvh ho flfor ljxdo
r px| suö{lpr do qýphur gh hqwhurv gh wlsr odujr gho ohqjxdmh hq fxhvwlöq1
Hq jhqhudo/ vh ghqh od orqjlwxg gho flfor +r shuðrgr, gh xq jhqhudgru gh
qýphurv svhxgrdohdwrulrv xqliruphv/ frpr ho phqru qýphur hqwhur srvlwlyr/
R/ txh fxpsoh txh h{lvwh xq ?f qdwxudo wdo txh %nR ' % sdud wrgr '
?f c ?f n c Hq ho fdvr gh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo pl{wr ho pä{lpr ydoru
sdud ho shuðrgr hv 61 Hvwr hv dvð srutxh hq hvwh wlsr gh jhqhudgruhv %? hv
ixqflöq xqðyrfd gho dqwhulru lwhudqwh/ %?3 1 Dvð/ edvwd/ sru wdqwr/ txh vh uhslwd
dojxq ydoru hq od vxfhvlöq gh orv %? sdud txh wrgr vh uhslwd fðfolfdphqwh d sduwlu
gh ìo1 Föpr orv ydoruhv srvleohv sdud orv %? vrq orv hqwhurv fc c c 6 /
hqwrqfhv hv reylr txh/ d or vxpr ghvsxìv gh 6 jhqhudflrqhv gheh kdehu xqd
uhshwlflöq hq od vxfhvlöq1 Wdpelìq hv px| iäflo ghprvwudu txh vl xq jhqhudgru
frqjuxhqfldo wlhqh flfor pä{lpr sdud flhuwd hohfflöq gh od vhplood/ hqwrqfhv or
wlhqh sdud fxdotxlhu rwud1
Xq uhvxowdgr txh vluyh sdud fdudfwhul}du txì surslhgdghv ghehq fxpsolu orv
sduäphwurv gh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo sdud txh whqjd shuðrgr pä{lpr hv
ho Whruhpd gh Nqxwk +4<9<,1
Whruhpd 9 +Nqxwk, Odv vljxlhqwhv frqglflrqhv vrq qhfhvduldv | vxflhqwhv
sdud txh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq sduäphwurv 6/ @ | S/ whqjd shuðrgr
pä{lpr +l1h1 R ' 6,1
41 S | 6 vrq sulprv hqwuh vð +l1h1 4U_ ESc 6 ' ,1
51 @  hv pýowlsor gh wrgrv orv idfwruhv sulprv gh 6 +l1h1 @  4L_ }/
sdud wrgr } idfwru sulpr gh 6,1
61 Vl 6 hv pýowlsor gh e/ hqwrqfhv @  wdpelìq or kd gh vhu +l1h1 6 f 4L_ e , @  4L_ e,1
D od ox} gho Whruhpd gh Nqxwk/ hv iäflo gduvh fxhqwd srutxì vöor ho whufhur
gh orv jhqhudgruhv gho hmhpsor dqwhulru whqðd shuðrgr öswlpr1
51715 Jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv gh dojxqrv ohqjxdmhv | eleolrwhfdv gh uxwlqdv
Hq rughqdgruhv elqdulrv hv px| frpýq hohjlu 6 ' 2q ö 6 ' 2q / grqgh
q ghshqgh gho wdpdôr gh sdodeud +wðslfdphqwh 6 vhuä ho pd|ru hqwhur uhsuh0
vhqwdeoh hq ho rughqdgru r xqd xqlgdg pd|ru txh ìo,1 Hq ohqjxdmhv/ frpr ho /
hq ho txh h{lvwhq wlsrv gh hqwhurv srvlwlyrv +hqwuh f | 2q , od hohfflöq 6 ' 2q
shuplwh dkruudu od rshudflöq gh fdofxodu ho uhvwr gh od glylvlöq hqwuh 6 txh
dsduhfh hq ho jhqhudgru frqjuxhqfldo1 Od ud}öq hv txh/ do fdofxodu @%?3 n S
| vöor srghu dopdfhqduor frq q elwv/ orv elwv vreudqwhv +fruuhvsrqglhqwhv d 2q /
2qn / , vh ghvhfkdq/ rewhqlhqgr suhflvdphqwh xq qýphur hqwuh f | 2q  txh
glhuh gho ydoru h{dfwr gh @%?3 n S hq xq pýowlsor gh 6 ' 2q 1 Hvwr hv wdqwr
25
26
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
frpr ghflu txh ho ydoru txh dopdfhqd ho rughqdgru do fdofxodu @%?3 n S +shu0
glhqgr orv elwv päv vljqlfdwlyrv, hv suhflvdphqwh ho txh vh ghvhded fdofxodu
E@%?3 n S 4L_ 61
Hq orv jhqhudgruhv frq 6 ' 2q uhvxowd hvshfldophqwh iäflo h{suhvdu odv
frqglflrqhv gho Whruhpd gh Nqxwk gh irupd pxfkr päv vhqflood1 Dvð/ do vhu
6 xqd srwhqfld gh 2/ vx ýqlfr idfwru sulpr hv ho 2 |/ sru wdqwr od sulphud
frqglflöq htxlydoh d txh S vhd lpsdu1 Sdud q 2 vh wlhqh txh 6 hv pýowlsor
gh e |/ sru wdqwr od whufhud frqglflöq lpsrqh txh @  wdpelìq or vhd1 Sru
ýowlpr/ gh qxhyr sru vhu ho 2 ho ýqlfr idfwru sulpr gh 6/ od vhjxqgd frqglflöq
shgluðd txh @  ixhvh sdu/ or fxdo |d hv frqvhfxhqfld gh txh vhd pýowlsor gh
e1 Hq uhvxphq/ vl 6 ' 2q / frq q 2/ ho jhqhudgru frqjuxhqfldo wlhqh shuðrgr
pä{lpr vl | vöor vð S hv lpsdu | @ ' e& n / vlhqgr & xq qýphur qdwxudo1
Dojxqrv jhqhudgruhv kdelwxdohv hq ohqjxdmhv frq hqwhurv +frq vljqr, gh 69
elwv fruuhvsrqghq d odv hohfflrqhv
6 ' 2D
6 ' 2D
@ ' 2. n  S ' 
@ ' DD
S'
Wrgrv hoorv wlhqhq wlhqhq shuðrgr pä{lpr +h ljxdo d 2D * ee ff ,1
Rwurv jhqhudgruhv frqjuxhqfldohv sdud hqwhurv +frq r vlq vljqr, gh 65 elwv
| dojxqrv ohqjxdmh r eleolrwhfdv txh orv xvdq r orv kdq xvdgr hq ho sdvdgr vrq
6 ' 2
6 ' 2 
6 ' 2 
6 ' 22
@ ' eDb2Sb
@ ' SHf.
@ ' SfSffS
@ ' SSSfHbe
S ' eDHfD2eD
S'f
DSO/ LPVO | VLPSO2L
S'f
Dojxqrv IRUWUDQ
S'f
Dkuhqv | Glhwhu +4<:7,
Dxqtxh vöor ho sulphur wlhqh shuðrgr pä{lpr/ orv ghpäv or wlhqhq px| hohydgr1
Ho ohqjxdmh F +edmr XQL[, srvhh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo gh qýphurv
svhxgrdohdwrulrv gh 7; elwv= ho gudqg7;1 Vxv sduäphwurv vrq 6 ' 2eH / @ '
2D2ebfb. | S ' 1 Od vhplood vh lqlfldol}d phgldqwh od vhqwhqfld vudqg7;+,
lqwurgxflhqgr frpr dujxphqwr xq hqwhur gh 65 elwv txh fruuhvsrqgh d orv 65
elwv päv vljqlfdwlyrv gh %f +hqwhur gh 7; elwv,1 Orv 49 elwv gh phqru rughq vh
wrpdq vlhpsuh frlqflghqwhv frq ho qýphur +ghflpdo, 463:31 Orv sduäphwurv @
| S vh sxhghq prglfdu sru ho xvxdulr ghvgh rwudv uxwlqdv gho F1 Orv ydoruhv
sru ghihfwr sdud hvwdv fdqwlgdghv riuhfhq xq jhqhudgru gh shuðrgr pä{lpr |d
txh 6 ' 2q / frq q ' eH/ S hv lpsdu | @ ' Sf.2Db.b e n 
518 Phglgdv hvwdgðvwlfdv gh od fdolgdg gh xq jh0
qhudgru gh qýphurv dohdwrulrv
Od pd|ruðd gh orv frqwudvwhv hvwdgðvwlfrv sdud hvwxgldu od fdolgdg gh xq jhqh0
udgru gh qýphurv dohdwrulrv vh edvdq hq phglu srvleohv glvfuhsdqfldv +hq dojýq
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
vhqwlgr, gh odv pxhvwudv jhqhudgdv sru ho pìwrgr hq fxhvwlöq frq uhvshfwr d odv
klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg/ lqghshqghqfld | dmxvwh d xqd glvwulexflöq L Efc 1
Hq fdvl wrgrv orv fdvrv vh dfded uhfxuulhqgr d xq frqwudvwh gh wlsr fkl0
fxdgudgr hq ho txh vh frpsdudq odv iuhfxhqfldv hvshudgdv/ e / gh flhuwdv prgd0
olgdghv/ frq odv revhuydgdv/ J / phgldqwh ho hvwdgðvwlfr
('
&
[
EJ e 2
'
e
c
txh vhjxluä/ dsur{lpdgdphqwh/ xqd glvwulexflöq 2&3 / edmr od klsöwhvlv qxod
txh vh frqwudvwd1 D frqwlqxdflöq ghwdoodprv dojxqrv gh orv frqwudvwhv päv
kdelwxdohv1
51814 Ho frqwudvwh fkl0fxdgudgr
Sdud oohyduor d dfder/ hv qhfhvdulr glylglu ho lqwhuydor Efc  hq & vxelqwhuyd0
orv +qrupdophqwh gh od plvpd orqjlwxg,1 Gh hvd irupd od prgdolgdg 0ìvlpd
c & / sdud ' c 2c c &1 Gh hvwd irupd/
vhuä vlpsohphqwh ho vxelqwhuydor d 3
&
ghvsxìv gh vlpxodu xq judq qýphur/ ?/ gh ydoruhv/ f c f2 c c f? / phgldqwh
ho jhqhudgru fdofxoduhprv odv iuhfxhqfldv revhuydgdv hq fdgd lqwhuydor | odv
frqiurqwduhprv frq odv hvshudgdv +e ' ?& , phgldqwh ho hvwdgðvwlfr (1 Sdud txh
od glvwulexflöq 2&3 vhd xqd dsur{lpdflöq ud}rqdeoh d od gho hvwdgðvwlfr | dvð
ho frqwudvwh sxhgd dsolfduvh vxhoh shgluvh od frqglflöq pðqlpd gh txh e D
sdud wrgr 1
51815 Ho frqwudvwh gh Nroprjrur0Vpluqr
Vh edvd hq ho fäofxor gh od pä{lpd glvfuhsdqfld hqwuh od ixqflöq gh glvwulexflöq
whöulfd +8 E% ' %/ vl % 5 dfc o/ hq hvwh fdvr, | od glvwulexflöq hpsðulfd gh od
pxhvwud jhqhudgd/ gdgd sru
8? E% '
rif %j
c ;% 5 dfc o
?
Hvwd glvfuhsdqfld vh fdofxod phgldqwh ho hvwdgðvwlfr
(? ' tT m8? E% 8 E%m c
%MU
fx|d glvwulexflöq +od g gh Nroprjrur, hvwä wdexodgd1
27
28
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
51816 Ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd
Frqvlvwh hq mdu xq hqwhur srvlwlyr/  / | glvfuhwl}du orv ydoruhv jhqhudgrv/
f c f2 c c f? / gh od irupd g f h n / grqgh g%h ghqrwd od sduwh hqwhud gh
%1 Gh hvwd irupd vh frqvljxh xqd vxfhvlöq gh hqwhurv dohdwrulrv fx|rv ydoruhv
hvwäq frpsuhqglgrv hqwuh  |  1 Dkrud vh surfhgh +frpr xq frohfflrqlvwd, d
frqwdelol}du fxäo hv ho qýphur/ '/ +dohdwrulr, gh ydoruhv d jhqhudu kdvwd txh vh
frpsohwd od frohfflöq gh wrgrv orv hqwhurv hqwuh  |  1 Reyldphqwh/ edmr odv
klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg | glvwulexflöq L Efc / fdgd srvleoh hqwhur hqwuh  |
 wlhqh od plvpd suredelolgdg gh dsduhfhu hq fdgd jhqhudflöq |/ sru wdqwr/
uhvxowd srvleoh fdofxodu od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh '1 Gh hvwd irupd
srghprv xwlol}du orv ydoruhv fdofxodgrv gh odv suredelolgdghv
E' '  c E' '  n  c sdud fdofxodu odv iuhfxhqfldv hvshudgdv gh fdgd fodvh | frqiurqwduodv frq odv
revhuydgdv yðd ho hvwdgðvwlfr fkl0fxdgudgr1
H{lvwhq yduldv hohfflrqhv frpxqhv gh  / dvð frpr shtxhôdv yduldqwhv gho
frqwudvwh=
Wrpdqgr  ' D frq fodvhv ' ' D/ ' ' S/ / ' ' b/ ' 2f1
Dsolfdqgr ho whvw d sduwlu gh od whufhud fliud ghflpdo
Hvwr htxlydoh d frqvlghudu fff gff f h hq oxjdu gh f hq ho sodqwhdplhq0
wr dqwhulru1
Hq dperv fdvrv/ odv suredelolgdghv gh odv fodvhv ylhqhq gdgdv sru
E' ' D ' ffHeffff
E' ' . ' ffbbHefff
E' ' b ' ffeDfbee
E' '  ' ffHHSeD
E' '  ' ffSf2bb
E' ' D ' ffefHS2ff
E' ' . ' ff2.f2S
E' ' b ' ff.SfHD.
E' ' S ' ff.SHffff
E' ' H ' ff.D2fff
E' ' f ' ffbDe...S
E' ' 2 ' ff.Sbfe
E' ' e ' ffeb.bD.
E' ' S ' ffff.
E' ' H ' ff2HebS
E' 2f ' ff.eeHD
Holjlhqgr  ' f
Wrpdqgr odv fdwhjruðdv +frq vxv fruuhvsrqglhqwhv suredelolgdghv, frpr vljxh=
Ef ' b ' f.2DD E2f ' ' 2 ' f.eb2Hf
E2e ' 2. ' f.DfHH E2H ' 2 ' f.e2f
E ' b ' fD2SfDS E' ef ' fDSHDHf
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
51817 Frqwudvwhv gh vdowr
Gdgrv grv qýphurv k | q wdohv txh f k q / orv frqwudvwhv gh vdowrv
wudwdq gh h{dplqdu/ sdud fdgd ydoru jhqhudgr/ f / vl vh fxpsoh k f q/
dqrwdqgr/ hq hvh fdvr/ xq  +f hq fdvr frqwudulr,1 Hq hvwdv frqglflrqhv/ od
suredelolgdg gh txh dsduh}fd xq  hv R ' q k | od gh txh dsduh}fdq fhurv
ghvgh od dsdulflöq gh xq xqr kdvwd od gho vljxlhqwh xqr hv R ' R E R /
' fc c 2c +txh fruuhvsrqgh d xqd glvwulexflöq jhrpìwulfd,1 Gh qxhyr
sxhgh dsolfduvh ho whvw fkl0fxdgudgr d odv fodvhv uhvxowdqwhv1
Odv hohfflrqhv päv kdelwxdohv gh k | q gdq oxjdu d orv vljxlhqwhv frqwudvwhv=
Ho whvw gh udfkdv edmr od phgldqd
Frqvlvwh hq wrpdu k ' f | q ' *21
Ho whvw gh udfkdv vreuh od phgldqd
Fruuhvsrqgh do fdvr k ' *2 | q ' 1
Ho whvw gho whuflr phglr
Txh qr hv päv txh od hohfflöq k ' * | q ' 2*1
51818 Ho frqwudvwh gh shupxwdflrqhv
Gdgd od vxfhvlöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv jhqhudgd vh frqvlghudq eor0
txhv gh A ydoruhv frqvhfxwlyrv1 Fdgd xqr gh orv eortxhv sxhgh suhvhqwdu xqd
fxdotxlhud gh odv A - srvleohv rughqdflrqhv gh hvrv A ydoruhv1 Dghpäv/ gh vhu ho
jhqhudgru dghfxdgr/ fdgd srvleoh rughqdflöq rfxuuluä frq ljxdo suredelolgdg=

1 Ho whvw frqvlvwh hq revhuydu xqd judq qýphur gh eortxhv | frpsdudu odv
Aiuhfxhqfldv revhuydgdv gh fdgd srvleoh rughqdflöq frq odv hvshudgdv phgldqwh
ho whvw fkl0fxdgudgr1 Odv hohfflrqhv päv frpxqhv vrq A ' / e/ ö D1
51819 Ho frqwudvwh gho srnhu
Hq xq sulphu prphqwr vh surfhgh frpr hq ho frqwudvwh gho frohfflrqlvwd frq
 ' f1 D sduwlu gh dtxð kd| yduldv irupdv gh dfwxdu=
Srnhu 4
Vh wrpdq frqmxqwrv vxfhvlyrv gh flqfr hqwhurv |/ sdud fdgd xqr/ vh ghwhuplqd
fxäo gh odv vljxlhqwhv srvlelolgdghv vh gd=
29
30
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
41 Xq plvpr hqwhur vh uhslwh flqfr yhfhv +deuhyldgdphqwh/ ,1
51 Xq plvpr hqwhur vh uhslwh fxdwur yhfhv | rwur glvwlqwr dsduhfh xqd yh}
+,1
61 Xq hqwhur vh uhslwh wuhv yhfhv | rwur glvwlqwr vh uhslwh grv +,1
71 Xq hqwhur vh uhslwh wuhv yhfhv | rwurv grv glvwlqwrv dsduhfhq xqd yh} fdgd
xqr +,1
81 Xq hqwhur vh uhslwh grv yhfhv/ rwur glvwlqwr vh uhslwh wdpelìq grv yhfhv |
xq whufhu hqwhur glihuhqwh dsduhfh xqd vöod yh} +,1
91 Xq hqwhur vh uhslwh grv yhfhv | rwurv wuhv glvwlqwrv dsduhfhq xqd yh} fdgd
xqr +(,1
:1 Orv flqfr hqwhurv txh dsduhfhq vrq wrgrv glvwlqwrv +(.,1
Edmr od klsöwhvlv gh dohdwrulhgdg | dmxvwh d xqd L Efc / sxhghq fdofxoduvh
odv suredelolgdghv gh hvwdv prgdolgdghv=
E ' ffffc E ' fffeDc E ' fffbfc
E ' ff.2fc E ' ffHfc E( ' fDfefc
E(. ' ff2e
Hv iuhfxhqwh txh odv fodvhv | vh djuxshq d od krud gh
dsolfdu ho whvw fkl0fxdgudgr/ |d txh/ hq fdvr frqwudulr/ od uhvwulfflöq kdelwxdo
e D oohyduðd d txh ffff ?D D/ hv ghflu/ ? 2Dffff1
Srnhu 5
Dojr wdpelìq edvwdqwh kdelwxdo hv xvdu frqmxqwrv gh flqfr hqwhurv +frpr hq
ho fdvr dqwhulru, shur ghqlhqgr odv fdwhjruðdv vhjýq ho qýphur gh hqwhurv
glvwlqwrv gh hqwuh orv flqfr revhuydgrv1 Dvð
E4 hqwhur glihuhqwh ' ffffc E5 hqwhurv glihuhqwhv ' ffDc
E6 hqwhurv glihuhqwhv ' fHffc E7 hqwhurv glihuhqwhv ' fDfefc
E8 hqwhurv glihuhqwhv ' ff2ec
surfhglhqgr iuhfxhqwhphqwh d djuxsdu odv grv sulphudv prgdolgdghv1
Srnhu 6
D phqxgr vh frqvlghudq frqmxqwrv gh fxdwur hqwhurv1 Hq wdo fdvr/
E ' fffc E ' ffSc E ' ff2.c
E ' fe2c E( ' fDfec
vlhqgr wdpelìq edvwdqwh kdelwxdo ho djuxsdu odv grv sulphudv fdwhjruðdv1
Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1)
5181: Ho frqwudvwh gh odv udfkdv dvfhqghqwhv
Hv edvwdqwh päv frpsolfdgr gh mxvwlfdu txh orv dqwhulruhv1 Hq wìuplqrv lqwx0
lwlyrv/ vh edvd hq odv orqjlwxghv gh odv udfkdv dvfhqghqwhv txh dsduhfhq hq od
vxfhvlöq gh qýphurv dohdwrulrv1
5181; Ho frqwudvwh gh sduhv vhuldgrv
Od lghd frqvlvwh hq mdu xq hqwhur  2 | frqvlghudu orv hqwhurv g f h n /
wrpdu dkrud hvwrv ydoruhv dsduhdgrv | xwlol}du ho frqwudwh fkl0fxdgudgr frq0
vlghudqgr frpr fdwhjruðdv orv srvleohv sduhv Ec wdohv txh c 5 ic 2c c  j1
Dvð vh phgluä od glvfuhsdqfld hqwuh od iuhfxhqfldv revhuydgdv hq hvwdv fdwhjruðdv
| odv hvshudgdv/ ljxdohv wrgdv d ?2 2 1 Od hohfflrqhv päv iuhfxhqwhv vrq  ' /
f ö 2f1
5181< Ho frqwudvwh gh Omxqj0Er{
Frqvlvwh hq mdu xq hqwhur srvlwlyr/ 6/ fdofxodu odv dxwrfruuhodflrqhv pxhv0
wudohv=
S?
E% % E%3& %
o E& ' '&n
S?
2
' E% %
|/ dsduwlu gh hoodv/ rewhqhu ho hvwdgðvwlfr
' ' ? E? n 2
6
[
o E&2
&'
?&
/
txh/ edmr od klsöwhvlv gh lqghshqghqfld/ vh glvwulex|h dsur{lpdgdphqwh vhjýq
xqd 263 1
518143 Fkl0fxdgudgr vreuh fkl0fxdgudgr
Wrgrv orv frqwudvwhv dqwhulruhv vh kdq sodqwhdgr ghvgh od shuvshfwlyd gh od uh0
dol}dflöq gh xqd ýqlfd suxhed1 Hv ghflu/ vh wrpd xq qýphur/ ? +qrupdophqwh
judqgh,/ gh ydoruhv rewhqlgrv sru ho jhqhudgru | vh uhdol}d ho frqwudvwh hyd0
oxdqgr ho hvwdgðvwlfr | frpsduäqgror frq ho sxqwr fuðwlfr gh xqd fkl0fxdgudgr
sdud ghflglu vl vh dfhswd r uhfkd}d od klsöwhvlv +lqghshqghqfld/ dmxvwh/ dohdwr0
ulhgdg,1 Hq uhdolgdg wlhqh pxfkr päv vhqwlgr od uhdol}dflöq gh xq judq qýphur
gh suxhedv/ hydoxdqgr hq fdgd xqd ho ydoru gho hvwdgðvwlfr |/ r elhq revhuydu
31
32
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
txh od sursruflöq gh uhfkd}rv gho whvw vh dsur{lpd do ydoru qrplqdo mdgr
+qrupdophqwh k ' ff ö k ' ffD,/ r päv suhflvdphqwh dsolfdqgr/ gh qxh0
yr/ ho frqwudvwh fkl fxdgudgr sdud frpsuredu ho dmxvwh gh od glvwulexflöq gho
hvwdgðvwlfr d od fkl0fxdgudgr hvshflfdgd edmr od klsöwhvlv qxod1
519 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Hvwxgldu ho shuðrgr gho jhqhudgru frqjuxhqfldo= %?n ' Eff2 %? n
ef 4L_ ff2ffc ? ' %? *ff2ff1
51 ÁWlhqhq shulrgr pä{lpr orv vljxlhqwhv jhqhudgruhvB
+d, %?n ' E2%? n 4L_ b
+e, %?n ' E2%? 4L_ b
+f, %?n ' E2%? n 4L_ ef
+g, %?n ' E%? n 2 4L_ e
61 Gdu xq jhqhudgru frqjuxhqfldo pl{wr/ gh shuðrgr pä{lpr/ xvdqgr hqwhurv
gh ; elwv1 Mxvwliðtxhvh vx rswlpdolgdg1 Xwlol}dqgr frpr vhplood ho hqwhur
fhur/ rewhqhu orv fxdwur sulphurv ydoruhv jhqhudgrv vhjýq ho dojrulwpr
rewhqlgr dqwhulruphqwh
71 Gdgr ho jhqhudgru frqjuxhqfldo ghqlgr sru
%?n ' E%? n  4L_ 2S
%?n
?n '
c ? ' fc c 2S
sdud hqwhurv srvlwlyrv gh 49 elwv/ Áhv gh flfor pä{lprB ÁJr}d gh exhqdv
surslhgdghv hvwdgðvwlfdvB Mxvwlfdu odv uhvsxhvwdv1 Vl qr or hv/ frqvwuxlu
rwur jhqhudgru/ sdud hvh plvpr wdpdôr gh sdodeud/ txh vhd gh flfor
pä{lpr1
81 ÁHv vlhpsuh suhihuleoh xq jhqhudgru frqjuxhqfldo frq shuðrgr pä{lpr d
rwur fx|r shuðrgr vhd od plwdgB Ud}rqdu od uhvsxhvwd1
91 ÁHv gh flfor öswlpr ho vljxlhqwh jhqhudgru frqjuxhqfldo gh qýphurv svhx0
grdohdwrulrvB
%? ' E2D%?3 n H 4L_ f2e/
%?
? ' / ? ' c 2c 6
Mxvwlfdu od uhvsxhvwd1 Wrpdqgr frpr vhplood %f ' ef/ Áfýdqwr ydoh ho
ydoru D2f2 B
3
Métodos universales para la
simulación de variables contínuas
Métodos universales para la generación de variables contínuas
61 0
Hq or txh vljxh vh h{srqguäq grv gh orv pìwrgrv jhqhudohv sdud vlpxodu glv0
wulexflrqhv frqwlqxdv= ho pìwrgr gh lqyhuvlöq | ho gh dfhswdflöq2uhfkd}r1 Dp0
erv vrq dsolfdeohv d judq qýphur gh frqwh{wrv/ vlq päv txh od glvwulexflöq txh
vh ghvhd vlpxodu whqjd flhuwdv fdudfwhuðvwlfdv1 Hq dperv fdvrv od khuudplhq0
wd lqglvshqvdeoh hv dojýq pìwrgr gh jhqhudflöq gh qýphurv svhxgrdohdwrulrv
xqliruphv hq +3/4,1
614 Ho pìwrgr gh lqyhuvlöq
Hv ho pìwrgr xqlyhuvdo sru dqwrqrpdvld sdud vlpxodu glvwulexflrqhv frqwlqxdv1
Wdpelìq d yhfhv vh frqrfh frpr pìwrgr gh Prqwhfduor1 Hvwä edvdgr hq ho
vljxlhqwh uhvxowdgr whöulfr1
Whruhpd : +gh lqyhuvlöq, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq ixqflöq gh glv0
wulexflöq 8 / frqwlqxd h lqyhuwleoh1 Hqwrqfhv/ od yduldeoh dohdwruld L ' 8 Ef/
wudqvirupdgd gh od ruljlqdo phgldqwh vx sursld ixqflöq gh glvwulexflöq/ wlhqh
g
Frpr frqvhfxhqfld/ vl L '
L Efc  hqwrqfhv od yduldeoh
glvwulexflöq L Efc 1
3
8 EL wlhqh ixqflöq gh glvwulexflöq 8 +od plvpd glvwulexflöq txh od gh f,1
Ghprvwudflöq= Ghqrwdqgr sru C od ixqflöq gh glvwulexflöq gh L | gdgr
xq ydoru 5 Efc / vh wlhqh
C E ' Et ' E8 Ef ' f 8 3 E ' 8 8 3 E ' Sru rwud sduwh hv reylr txh C E ' f vl f | C E '  vl / frq or fxdo
C hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd L Efc 1 Od vhjxqgd sduwh hv wulyldo/ |d
txh/ do vhu 8 lqyhuwleoh
f ' 8 3 E8 Ef ' 8 3 EL c
whqlhqgr L glvwulexflöq L Efc 1
Ho uhvxowdgr dqwhulru gd slh do vljxlhqwh dojrulwpr jhqìulfr sdud vlpxodu
fxdotxlhu yduldeoh frqwlqxd frq ixqflöq gh glvwulexflöq 8 lqyhuwleoh=
Dojrulwpr +pìwrgr gh lqyhuvlöq,
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' 8 3 EL 1
35
36
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Hmhpsor ; Gdu xq dojrulwpr/ edvdgr hq ho pìwrgr gh lqyhuvlöq/ sdud vlpxodu
od glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b : f1
Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd i T Eb hv
be3b% vl % f
s E% '
f
vl % f
| vx ixqflöq gh glvwulexflöq=
8 E% '
 e3b%
f
vl % f
vl % f
txh hv frqwlqxd h lqyhuwleoh hq ho lqwhuydor dfc 41 Revìuyhvh txh
% ' 8 3 E / 8 E% ' /  e3b% ' *? E /  ' e3b% / % ' b
Frpr frqvhfxhqfld/ ho dojrulwpr vhuðd
41 Jhqhudu L L Efc 1
*? E L 1
51 Ghyroyhu f ' b
Ho dojrulwpr dqwhulru sxhgh deuhylduvh hq wlhpsr gh fäofxor vl hq oxjdu gh
xvdu  L vh xwlol}d ho qýphur dohdwrulr jhqhudgr L 1 Hvwr qr dihfwd d od
g
g
ydolgh} gho pìwrgr sxhv vl L ' L Efc  hqwrqfhv  L ' L Efc  |/ sru wdqwr/
g
} EL ' } E L sdud fxdotxlhu wudqvirupdflöq }1 Rwur khfkr txh shuplwh
dkruud judq fdqwlgdg gh fäofxorv fxdqgr +frpr vxhoh vhu kdelwxdo, vh yd d
oodpdu xq judq qýphur gh yhfhv do jhqhudgru/ frqvlvwh hq ghqlu lqlfldophqwh
xqd yduldeoh u ' b / txh shuplwluä hylwdu od rshudflöq gh fdpelr gh vljqr hq
oodpdgdv vxfhvlydv | vxevwlwxlu xqd glylvlöq sru xqd pxowlsolfdflöq +päv uäslgd
gh surfhvdu,1 Hq uhvxphq hvwd yhuvlöq vlpsolfdgd gho dojrulwpr uhvxowd=
31 Kdfhu u ' *b
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' u *? L
61 Uhshwlu orv sdvrv 405 wdqwdv yhfhv frpr vh suhflvh1
1
0.8
0.6
U
0.4
0.2
0
1
2
X
3
4
5
Lqwhusuhwdflöq juäfd gho dojrulwpr gh lqyhuvlöq1
Métodos universales para la generación de variables contínuas
61414 Yhqwdmdv h lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq
Od yhqwdmd päv lpsruwdqwh gho pìwrgr gh lqyhuvlöq hv txh/ hq jhqhudo/ hv
dsolfdeoh d fxdotxlhu glvwulexflöq frqwlqxd1 Qr revwdqwh ho pìwrgr suhvhqwd
dojxqrv lqfrqyhqlhqwhv1
Lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq
Lqfrqyhqlhqwhv gho pìwrgr gh lqyhuvlöq
41 Hq rfdvlrqhv od ixqflöq gh glvwulexflöq qr wlhqh xqd h{suhvlöq h{soðflwd
+sru hmhpsor sdud od glvwulexflöq qrupdo,1
51 D yhfhv/ dýq whqlhqgr xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud 8 E%/ hv lpsrvleoh
ghvshmdu % hq od hfxdflöq 8 E% ' +hv ghflu/ hqfrqwudu xqd h{suhvlöq
h{soðflwd sdud 8 3 E,1
61 Dýq vlhqgr srvleoh hqfrqwudu % ' 8 3 E/ sxhgh rfxuulu txh hvwd h{suh0
vlöq vhd frpsolfdgd | frqoohyh xqd judq ohqwlwxg gh fäofxor1
71 Ho sulphur gh orv lqfrqyhqlhqwhv h{sxhvwr sxhgh/ d yhfhv/ vxevdqduvh
phgldqwh ho xvr gh dsur{lpdflrqhv gh od glvwulexflöq hq fxhvwlöq r ph0
gldqwh wdexodflrqhv gh od plvpd1 Ho vhjxqgr vxhoh derugduvh phgldqwh
od xwlol}dflöq gh pìwrgrv qxpìulfrv sdud od uhvroxflöq dsur{lpdgd gh od
hfxdflöq 8 E% ' 1 Ho pd|ru sureohpd suäfwlfr txh hvwr frqoohyd hv od
qhfhvlgdg gh uhvroyhu qxpìulfdphqwh xqd hfxdflöq fdgd yh} txh vh ghvhh
jhqhudu xq qxhyr qýphur dohdwrulr txh vljd hvd glvwulexflöq +vlq txh orv
fäofxorv khfkrv sdud ho dqwhulru ydoru vlpxodgr vhdq gh d|xgd,1
61415 Dojxqdv glvwulexflrqhv txh sxhghq vlpxoduvh sru ho pìwrgr gh lqyhuvlöq
D frqwlqxdflöq vh lqfox|hq dojxqdv glvwulexflrqhv txh vh sxhghq vlpxodu iäflo0
phqwh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Vh dgmxqwd xqd irupd vlpsolfdgd gho
pìwrgr txh wlhqh sru remhwr hylwdu fäofxorv lqqhfhvdulrv +wdo | frpr vh kl}r hq
ho hmhpsor gh od h{srqhqfldo,1
37
38
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Qrpeuh |
ghqvlgdg
i T Eb +b : f,
be3b% /
vl % f
Fdxfk|

Z E n %2 Wuldqjxodu hq Efc @
2
%
/

@
@
vl f % @
Sduhwr +@c K : f,
@K@
/
%@n
vl % K
Zhlexoo +bc k : f,
k
kbk %k3 e3Eb% /
vl % f
 e3b%
*? L
*? E L
b
b

|@? Z L |@? ZL
2
 @hU|@? %
n
2
Z
%2
2
%
@
2@

Irupd
vlpsolfdgd
8 3 EL
8 E%
@
K
%
k
 e3Eb%
s
@  L
K
s @  L
K
E L L *@
E *? E L *k
b
E *? L *k
b
*@
61416 Lqyhuvlöq dsur{lpdgd
Frpr vh frphqwö dqwhulruphqwh/ hq fdvrv hq orv txh qr hv srvleoh ghwhupl0
qdu xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud 8 E% r hq orv txh qr vh sxhgh kdoodu od gh
vx lqyhuvd/ sxhgh rswduvh sru hqfrqwudu h{suhvlrqhv vhqfloodv txh dsur{lphq
ud}rqdeohphqwh elhq od ixqflöq 8 3 E1 D frqwlqxdflöq vh ghwdood od dsur{l0
pdflöq hqfrqwudgd sru Rghk | Hydqv sdud od qrupdo hvwäqgdu1
Hvwrv dxwruhv frqvlghudq od ixqflöq dx{loldu
s
s
2 *? c
} E '
2 *? s
2 *? vlhqgr E% '
e
[
'f
@ % | E% '
e
[
K % / frq
'f
@f ' f2222efHH
@2 ' fe22e2fHHDe.
@e ' fffffeDSe22feH
K ' fDHHDHD.febD
K ' ffD..D2HDf
@ ' 
@ ' ff2fe22f2eD
Kf ' ffbbeHeS2SfSf
K2 ' fDfeS2SS
Ke ' fffHDSf.ffSe
Od dsur{lpdflöq frqvlvwh hq xwlol}du } E hq oxjdu gh 8 3 E sdud orv
* df32f c f32f o
ydoruhv gh 5 df32f c 2 o | } E vl 5 d 2 c f32f o1 Sdud 5
32f
+txh vöor rfxuuh frq xqd suredelolgdg gh 2 f , od dsur{lpdflöq qr hv
uhfrphqgdeoh1
Métodos universales para la generación de variables contínuas
Dojrulwpr gh Rghk | Hydqv
41 Jhqhudu L L Efc  51 Vl L f32f ö L :  f32f hqwrqfhv yroyhu d 41
61 Vl L fD hqwrqfhv kdfhu f ' } E L vlqr kdfhu f ' } EL 71 Ghyroyhu f
615 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r
Hv xq pìwrgr xqlyhuvdo dowhuqdwlyr do gh lqyhuvlöq txh hvwä dgdswdgr do fdvr
hq txh/ dxqtxh vh ghvfrqr}fd xqd iöupxod h{soðflwd sdud 8 E% r vhd gliðflo gh
uhvroyhu 8 E% ' / vð vh glvsrqjd gh xqd h{suhvlöq +suhihuleohphqwh vhqflood,
sdud od ixqflöq gh ghqvlgdg s E%1 Ho pìwrgr hvwä edvdgr hq ho vljxlhqwh
uhvxowdgr whöulfr1
Whruhpd < +gh dfhswdflrq2uhfkd}r, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq ixq0
flöq gh ghqvlgdg s | vhd L rwud yduldeoh dohdwruld/ lqghshqglhqwh gh od dqwh0
ulru/ frq glvwulexflöq L Efc 1 Hqwrqfhv/ sdud fdgd S : f/ od yduldeoh dohdwr0
uld elglphqvlrqdo Efc S L s Ef wlhqh glvwulexflöq xqliruph hq ho uhflqwr
' iE%c + 5 U2 *f + Ss E%j1 Uhfðsurfdphqwh/ vl gdgd xqd ixqflöq
gh ghqvlgdg s / xq yhfwru dohdwrulr Efc t wlhqh glvwulexflöq xqliruph vreuh ho
frqmxqwr / hqwrqfhv/ vx sulphud frpsrqhqwh/ f/ hv xqd yduldeoh dohdwruld
xqlglphqvlrqdo frq ixqflöq gh ghqvlgdg s 1
Ho whruhpd dqwhulru hvwdeohfh od htxlydohqfld hqwuh od vlpxodflöq gh ghqvl0
gdghv xqlglphqvlrqdohv | od vlpxodflöq gh yduldeohv elglphqvlrqdohv frq glv0
wulexflöq xqliruph vreuh ho klsrjudir gh S s E% +ho frqmxqwr gh sxqwrv gho
sodqr txh txhgdq sru ghedmr gh od juäfd gh S s shur sru hqflpd gho hmh R[,1
Od lghd gho dojrulwpr frqvlvwluä hq xwlol}du ho uhfðsurfr hq ho whruhpd sdud
vlpxodu ydoruhv gh hvh wlsr gh glvwulexflrqhv elglphqvlrqdohv | oxhjr wrpdu od
sulphud frpsrqhqwh1 Sdud vlpxodu ydoruhv gh hvd glvwulexflöq elglphqvlrqdo vh
xvd wdpelìq ho whruhpd hq vhqwlgr gluhfwr dsolfäqgror d rwud ghqvlgdg dx{loldu
}/ iäflo gh vlpxodu1
Vxsöqjdvh txh vh ghvhd vlpxodu xqd glvwulexflöq frq ghqvlgdg s | txh qr
hv idfwleoh kdfhuor sru ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Frqvlgìuhvh rwud glvwulexflöq/
frq ghqvlgdg }/ iäflo gh vlpxodu/ gh irupd txh h{lvwd flhuwd frqvwdqwh S : f wdo
txh
s E% S } E% / sdud wrgr % 5 U1
Ghqdprv orv klsrjudirv gh s | gh S }=
s ' iE%c + *f + s E%j c
S} ' iE%c + *f + S } E%j 39
40
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Judfldv d od frqglflöq dqwhulru/ vh wlhqh txh s S} 1
Gdgr txh od ghqvlgdg } hv iäflo gh vlpxodu/ sxhgh dsolfduvh od sulphud sduwh
gho whruhpd gh dfhswdflöq2uhfkd}r sdud hqfrqwudu xqd yduldeoh dohdwruld elgl0
phqvlrqdo/ EAc t / frq glvwulexflöq xqliruph vreuh S} 1 Dfhswdqgr wdq vöor
orv ydoruhv gh EAc t txh shuwhqh}fdq d s vh whqguä xqd yduldeoh elglphq0
vlrqdo frq glvwulexflöq xqliruph vreuh s 1 Wìfqlfdphqwh kdeodqgr hvwdprv
dupdqgr txh od glvwulexflöq frqglflrqdgd EAc t mEAct Ms hv xqliruph vreuh
s 1 Ilqdophqwh od vhjxqgd sduwh gho whruhpd shuplwh rewhqhu xqd yduldeoh frq
ghqvlgdg s vlq päv txh wrpdu od sulphud frpsrqhqwh gho sdu rewhqlgr1
Gh irupd päv ghwdoodgd/ ho pìwrgr frqvwduðd gh orv vljxlhqwhv sdvrv=
41 Jhqhudu xq ydoru A frq ghqvlgdg }1
51 Xwlol}du ho whruhpd sdud hqfrqwudu xq sdu EAc t frq glvwulexflöq xql0
iruph hq S} 1
61 Frpsuredu vl EAc t 5 s | hq fdvr dupdwlyr kdfhu f ' A 1 Hq fdvr
frqwudulr yroyhu do sdvr 41
Ho sdu gh ydoruhv EAc t vh rewlhqh vlpsohphqwh vlpxodqgr L L Efc  |
ghqlhqgr t ' S L } EA 1 Dghpäv/ od frqglflöq EAc t 5 s txh kd| txh
frpsuredu hq ho ýowlpr sdvr htxlydoh d t s EA 1 Whqlhqgr wrgr hvwr hq
fxhqwd ho dojrulwpr surfhghuðd frpr vljxh1
Dojruwlpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r
41 Uhshwlu
4141 Jhqhudu L L Efc  | A frq ghqvlgdg }1
51 Kdvwd txh S L } EA s EA 61 Ghyroyhu f ' A
Hmhpsor 43 +ghqvlgdghv dfrwdgdv hq xq lqwhuydor fhuudgr, Vhd s xqd
ixqflöq gh ghqvlgdg fxdotxlhud frq vrsruwh hq xq lqwhuydor fhuudgr d@c Ko +hv
ghflu/ i%*s E% 9' fj ' d@c Ko, gh wdo irupd txh < : f wdo txh s E% 
;% +hv ghflu/ s hv dfrwdgd vxshulruphqwh,1 Hq hvwh fdvr sxhgh wrpduvh frpr
ghqvlgdg dx{loldu }/ od gh xqd L d@c Ko1 Hq hihfwr/ wrpdqgr S '  EK @ |
whqlhqgr hq fxhqwd txh

vl % 5 d@c Ko
K3@
} E% '
f
vl % 5
* d@c Ko
S
vh wlhqh txh s E%  ' K3@
' S } E%/ ;% 5 d@c Ko1 Dvð sxhv/ ho dojrulwpr
txhgduðd frpr vljxh=
41 Uhshwlu
4141 Jhqhudu Lc T L Efc 1
4151 Kdfhu A ' @ n EK @ T 1
51 Kdvwd txh  L s EA 1
61 Ghyroyhu f ' A 1
Métodos universales para la generación de variables contínuas
61514 Hflhqfld gho dojrulwpr
Gdgr txh ho dojrulwpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r uhslwh orv sdvrv 405 xq qýphur
dohdwrulr gh yhfhv/ vhuä lpsruwdqwh phglu/ gh dojxqd irupd/ od hflhqfld gho
plvpr1 Hq sulphu oxjdu/ h{lvwhq uhvwulfflrqhv reyldv sdud od frqvwdqwh S txh
kd gh hohjluvh hq ho dojruwlpr1 Dvð/ ghelgr do khfkr gh txh s E% S } E%/ vh
wlhqh
]
]
 ' s E% _% S } E% _% ' Sc
oxhjr S 1 Sxhgh ghprvwuduvh dghpäv txh vl S '  hqwrqfhv s | } vhuðdq ghq0
vlgdghv fruuhvsrqglhqwhv d od plvpd glvwulexflöq +ljxdohv vdoyr hq xq frqmxqwr
gh suredelolgdg fhur, |/ sru wdqwr/ vl } hv iäflo gh vlpxodu ljxdophqwh iäflo or
vhuðd s 1 Dvð sxhv/ vh wlhqh S : 1
Od frpsuredflöq txh dsduhfh hq ho sdvr 5 gho dojrulwpr hv S L } EA s EA 1 Od suredelolgdg gh dfhswdflöq gh hvwd frqglflöq hv
U
s E% _%

duhd Es U
'
' R'
duhd ES} S
S } E% _%
1 Ho xmr gho dojrulwpr
Gh ìvwd vh rewlhqh od suredelolgdg gh uhfkd}r= ^ ' S3
S
hv dohdwrulr | ho qýphur gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405 kdvwd srghu jhqhudu xq
ydoru gh s +sdvr 6, hv xqd yduldeoh dohdwruld/ / frq glvwulexflöq jhrpìwulfd
+hqwhqglgd ìvwd frpr ho qýphur gh suxhedv qhfhvduldv kdvwd rewhqhu ho sulphu
ì{lwr,1 Hq wdohv flufxqvwdqfldv ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv
405 hv
. E '

' Sc
R
oxhjr S sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv qhfhvduldv
+r gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405/ r gh sduhv gh yduldeohv EAc L txh vh qhfh0
vlwdq jhqhudu, kdvwd rewhqhu xq ydoru vlpxodgr gh od yduldeoh f1 Hv reylr/
sru wdqwr/ txh fxdqwr päv fhufdqr d 4 vhd ho ydoru gh S päv hflhqwh vhuä ho
dojrulwpr1
Hmhuflflr 61514 Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od ixqflöq gh ghqvlgdg gdgd

E%2 n 2% n 2 vl % 5 dfc 2o/ fhur hq rwur fdvr1 Hvwxgldu vx
sru s E% ' S
hflhqfld1
61515 Hohfflöq gh S
Xqd yh} mdgd od ghqvlgdg } hv reylr txh ho phmru ydoru gh S +txh ghqrwduhprv
sru Srsw , vh rewlhqh do hqfrqwudu ho päv shtxhôr qýphur uhdo S txh yhulfd
41
42
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
E%
/ sdud wrgr % gho vrsruwh gh } +txh kd gh
s E% S } E%/ hv ghflu= S s}E%
frqwhqhu do gh s ,1
Gh hvwd irupd/ kd gh fxpsoluvh txh s E% 9' f , } E% 9' f | dghpäv
s E%
%*}E%:f } E%
S 4@
Dvð sxhv/ ho phqru ydoru srvleoh txh fxpsoh hvwd frqglflöq hv
Srsw ' 4@
%*}E%:f
s E%
} E%
Hmhpsor 44 +Vlpxodflöq gh od qrupdo phgldqwh od greoh h{srqhqfldo,
Vh wudwd gh vlpxodu od glvwulexflöq qrupdo hvwäqgdu/ fx|d ixqflöq gh ghqvlgdg
ylhqh gdgd sru
%2

s E% ' s e3 2 / sdud wrgr % 5 U/
2Z
phgldqwh dfhswdflöq2uhfkd}r/ xwlol}dqgr frpr ghqvlgdg dx{loldu od greoh h{sr0
qhqfldo gh sduäphwur 4 +r glvwulexflöq gh Odsodfh,1 Hvwd ýowlpd glvwulexflöq hv
od dvrfldgd do h{shulphqwr frqvlvwhqwh hq vlpxodu xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo
gh sduäphwur 4 | oxhjr rwrujduoh xq vljqr srvlwlyr r qhjdwlyr frq htxlsuredel0
olgdg1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru

} E% ' e3ƒ%ƒ / sdud wrgr % 5 U1
2
Dxqtxh od glvwulexflöq greoh h{srqhqfldo sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho h{0
shulphqwr frpsxhvwr dqwhv frphqwdgr/ uhvxowd px| vhqfloor fdofxodu vx ixqflöq
gh glvwulexflöq=
U%  |
] %
vl % f
e _| ' 2 e%
2
U3"
U %  3|
C E% '
} E| _| '
f
 3%
 |
vl % f
e _| n f 2 e _| '  2 e
3"
3" 2
| dsolfdu gluhfwdphqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq sdud rewhqhu ho dojrulwpr
41 Jhqhudu T L Efc 1
51 Vl T fD hqwrqfhv A ' *? 2T / vlqr kdfhu A ' *? 2 E T 1
61 Ghyroyhu A 1
Sru rwud sduwh ho vrsruwh gh od ghqvlgdg } frqwlhqh do gh s +gh khfkr dperv
vrq wrgd od uhfwd uhdo, |/ sru wdqwr/ ho ydoru öswlpr sdud S vhuä
Srsw
s E%
' 4@
' 4@
%MU } E%
%MU
u
2
%
I e3 2
2Z
 3ƒ%ƒ
e
2
'
2
4@ e)E% '
Z %MU
u
2 4@
e
Z
%MU
)E%
c
Métodos universales para la generación de variables contínuas
2
grqgh ) E% ' %2 n m%m1 Gdgr txh hvwd ixqflöq hv vlpìwulfd/ frqwlqxd hq wrgd
od uhfwd uhdo | glihuhqfldeoh wdqwdv yhfhv frpr vh ghvhh vdoyr hq % ' f/ edvwduä
hqfrqwudu vx pä{lpr devroxwr hq ho lqwhuydor dfc 4=
% : f , ) E% ' % n c ) E% ' (
i% : fc ) E% ' fj / % ' 
) E f
Gh hvwd irupd/ ) dofdq}d xq pä{lpr uhodwlyr hq % '  | rwur gh lgìqwlfr ydoru
hq % ' 1 Uhvxowd iäflo ghprvwudu txh dperv vrq pä{lprv devroxwrv +sru orv
lqwhuydorv gh fuhflplhqwr | ghfuhflplhqwr gh od ixqflöq,1 Frqvljxlhqwhphqwh/
u
Srsw '
2 )E
e
'
Z
u
2 *2
e '
Z
u
2e
*  DD
Z
Frpr frqvhfxhqfld ho dojrulwpr surfhghuðd gho vljxlhqwh prgr=
41 Uhshwlu
4141 Jhqhudu Lc T L Efc 1
4151 Vl T fD kdfhu
A ' *? 2T / vlqr kdfhu A ' *? 2 E T 1
2
51 Kdvwd txh L i T A2 mA m n 2 1
61 Ghyroyhu f ' A 1
Od frqglflöq txh kd| txh frpsuredu sdud ghflglu vl kd| dfhswdflöq r uhfkd}r
vxujh gh txh
u
u
2
2
A
A

2e
Z
} EA '
L
i T
SL mA m ' L i T
mA m n
s EA Z
2
2
2
2
Gdgr txh ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 405 kdvwd txh vh rewlhqh
xq ydoru vlpxodgr sdud
s Zf hv S *  DD | od suredelolgdg gh dfhswdflöq hq ho
' f .Sf./ sxhgh ghfluvh txh ho dojrulwpr hv edvwdqwh
sdvr 5 hv R ' *S ' 2e
hflhqwh1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-4
-2
0
2
x
4
Ghqvlgdghv qrupdo hvwäqgdu +wud}r glvfrqwlqxr,
| greoh h{srqhqfldo dx{loldu +wud}r frqwlqxr,
43
44
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
61516 Hohfflöq gh od ghqvlgdg dx{loldu }
Frpr vh kd frphqwdgr dqwhulruphqwh/ xq dvshfwr lpsruwdqwh txh lq x|h hq od
hflhqfld gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv ho ydoru gh od frqvwdqwh S1 Frqr0
flgd od ghqvlgdg dx{loldu } vdehprv föpr hohjlu S gh irupd txh ho dojrulwpr vhd
or päv hflhqwh srvleoh/ vlq hpedujr hv reylr txh dojxqdv ghqvlgdghv dx{lolduhv
vhuðdq phmruhv fdqglgdwdv txh rwudv sdud frqvhjxlu xq pìwrgr hflhqwh1
Hq jhqhudo/ fxdqwr päv sduhflgd vhd od irupd gh } d od gh s / päv shtxhôr hv
ho pðqlpr S qhfhvdulr sdud frqvhjxlu txh od juäfd gh S } txhgh sru hqflpd gh
od gh s 1 Gh wrgdv irupdv/ ho sureohpd gh hqfrqwudu od ghqvlgdg dx{loldu } txh
riuh}fd xq S +öswlpr, or phqru srvleoh/ qr wlhqh vroxflöq1 Phmru glfkr/ wlhqh od
vroxflöq wulyldo } ' s / txh hv devroxwdphqwh lqýwlo sdud od lpsohphqwdflöq gho
dojrulwpr/ sxhv vl s hud gliðflo gh vlpxodu/ qr srghprv wrpdu frpr } od sursld
s +|d txh vhuðd ljxdo gh gliðflo gh vlpxodu,1
Xqd vroxflöq lqwhuphgld do sureohpd gh hohjlu xqd ixqflöq gh ghqvlgdg
dx{loldu/ }/ dghfxdgd frqvlvwh hq wrpdu flhuwd idplold sdudpìwulfd gh ghqvlgdghv
txh suhvhqwhq xq dedqlfr gh irupdv hqwuh odv txh kd|d dojxqd txh vh sduhfh
edvwdqwh d od gh s = i}w *w 5 Xj/ hqfrqwudu ho ydoru gh S öswlpr sdud fdgd
ghqvlgdg gh hvd idplold=
s E%
}w E%
Sw ' 4@
%
|/ qdophqwh/ hohjlu ho phmru ydoru gho sduäphwur/ wf / hq ho vhqwlgr gh riuhfhu
ho phqru srvleoh Sw =
Swf ' 4? 4@
wMX
%
s E%
}w E%
Yhdprv xq hmhpsor1
Hmhpsor 45 Vxsöqjdvh txh vh ghvhd xwlol}du od greoh h{srqhqfldo gh sduäphwur
b : f frpr ghqvlgdg dx{loldu hq ho pìwrgr gh dfhswdflöq uhfkd}r sdud vlpxodu
od qrupdo hvwäqgdu1 Od ghqvlgdg greoh h{srqhqfldo |d ixh lqwurgxflgd hq ho
hmhpsor dqwhulru hq ho fdvr hq ho txh ho sduäphwur ydojd b ' 1 Hq xq fdvr
jhqhudo vx iöupxod hv
}b E% '
b 3bƒ%ƒ
/ sdud wrgr % 5 U
e
2
Vljxlhqgr orv plvprv sdvrv txh sdud ho fdvr b ' / dqwhulruphqwh hvwxgldgr/
xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd glvwulexflöq edvdgr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq hv
ho vljxlhqwh=
41 Jhqhudu T L Efc 1
51 Vl T fD kdfhu A ' b *? 2T / vlqr kdfhu A ' b *? 2 E T 1
61 Ghyroyhu A 1
Métodos universales para la generación de variables contínuas
Vl suhwhqghprv hqfrqwudu ho phmru ydoru gh b/ hq wìuplqrv gh hflhqfld gho
dojrulwpr/ ghehprv fdofxodu
Sbf
s E%
' 4? 4@
' 4? 4@
b:f %MU }b E%
b:f %MU
2
%
I e3 2
2Z
b 3bƒ%ƒ
e
2
dqäorjdphqwh d or ylvwr sdud ho fdvr b ' / vh wlhqh
u
u
%2
I e3 2
 2
 2 4@
2Z
)b E%
4@ e
e
'
Sb ' 4@ b 3bƒ%ƒ '
%MU
b Z %MU
b Z
e
2
%MU
)b E%
c
2
grqgh )b E% ' %2 n b m%m1 Gh irupd wrwdophqwh vlplodu d dtxho fdvr sxhgh
sureduvh txh )b dofdq}d vx pä{lpr devroxwr hq orv sxqwrv % ' b/ vlhqgr
2
glfkr ydoru pä{lpr )b Eb ' b2 1 Frpr frqvhfxhqfld/

Sb '
b
u
b2
2 )b Eb e 2
e
'
Z
b
u
2
Z
Dkrud ghehprv hqfrqwudu bf wdo txh Sbf ' 4?b:f Sb =
u
u b2 2
b2
b2
2 be 2 b e 2
2e 2 b 
_Sb
'
'
c
_b
Z
Z
b2
b2
u
b2 b2
b2 _2 Sb
2 dbe 2 b2  n e 2 2bob2 e 2 b2  2b
'
Z
_b2
be
u b2 D
u b2 D
2 e 2 b n b 2b n 2b
2 e 2 b b n 2b
'
'
c
Z
Z
be
be
_Sb
' f / b ' / |d txh b : f
_b
u
_2 Sb 2e
: f/ oxhjr b '  hv xq sxqwr gh pðqlpr1
' 2
2 Z
_b b'
Gh hvwr vh ghgxfh txh od phmru greoh h{srqhqfldo/ frpr ghqvlgdg dx{loldu
hq ho dojrulwpr/ hv od fruuhvsrqglhqwh d b ' 1 Hvwd ixh od xvdgd hq ho hmhufl0
flr dqwhulru/ dvð sxhv/ ho dojruwlpr päv hflhqwh +frq ghqvlgdg dx{loldu greoh
h{srqhqfldo, hv ho h{sxhvwr hq glfkr hmhuflflr1
25
20
15
10
5
0
0.5
1
1.5
2
Juäfd gh Sb iuhqwh d b
2.5
3
45
46
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
616 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ghqvlgdg
2
2%
s E% '
c t % fc
e%
xwlol}dqgr/ gh irupd dx{loldu/ ho jhqhudgru gh xqd h{srqhqfldo gh sduä0
phwur xqr1 Frphqwdu vx hflhqfld1
51 Gdgd xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg
S%E % vl % 5 dfc o
s E% '
f
hq rwur fdvr
gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ydoruhv gh od plvpd1 Dqdol}du od hflhqfld
gh glfkr dojrulwpr1
61 Do erpedughdu xqd oäplqd flufxodu gh udglr fp/ khfkd gh sodwd/ frq
sduwðfxodv k/ od glvwdqfld gh fdgd lpsdfwr do fhqwur gho fðufxor uhvxowd
vhu xqd yduldeoh dohdwruld frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg gdgd sru
s E% ' %2 / vl f % 1 Ghwdoodu xq dojrulwpr/ or päv vhqfloor srvleoh/
sdud vlpxodu od glvwdqfld do fhqwur gh od oäplqd hq vxfhvlyrv lpsdfwrv1
71 Ho wlhpsr gh uhvsxhvwd +hq fhqwìvlpdv gh vhjxqgr, gh xq vhuylgru lq0
irupäwlfr hv xqd yduldeoh frq ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru 8 E% '
 E% n e3% / vl % f | fhur hq rwur fdvr1 Gdu xq dojrulwpr/ or päv
ghwdoodgr srvleoh/ sdud vlpxodu ydoruhv gh glfkr wlhpsr gh uhvsxhvwd1
81 Od ghqvlgdg gh suredelolgdg gh xqd yduldeoh dohdwruld ylhqh gdgd sru
E2%2 n  e32% vl % f
s E% '
f
hq rwur fdvr
Hqfrqwudu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ydoruhv surfhghqwhv gh glfkd glv0
wulexflöq | frphqwdu vx hflhqfld1
c vl % 5 dfc eo | fhur hq ho
91 Gdgd od ixqflöq gh ghqvlgdg s E% ' % 32%n2f
eH
uhvwr/ ghwdoodu xq dojrulwpr txh shuplwd vlpxodu ydoruhv gh od plvpd1
:1 Ho wlhpsr +hq dôrv, hqwuh grv lqvshfflrqhv vfdohv d xqd hpsuhvd hv xqd
yduldeoh dohdwruld frq ghqvlgdg gdgd sru
f fffH% fffff%2 vl % 5 dfc fo
s E% '
* dfc fo
f
vl % 5
Gdu xq dojrulwpr/ or päv vhqfloor srvleoh/ txh shuplwd vlpxodu ydoruhv gh
hvd yduldeoh1 Frphqwdu ho judgr gh hflhqfld gh glfkr dojrulwpr iuhqwh
Métodos universales para la generación de variables contínuas
d rwudv dowhuqdwlydv srvleohv sdud frqvhjxlu ho plvpr q1 Xwlol}dqgr xq
jhqhudgru frqjuxhqfldo frq sduäphwurv @ ' D/ S ' | 6 ' f2e |
vhplood %f ' 2./ vlpxodu wuhv wlhpsrv hqwuh lqvshfflrqhv/ sru phglr gho
dojrulwpr hqfrqwudgr1 Ghvfulelu xq pìwrgr sdud vlpxodu ho qýphur gh
lqvshfflrqhv uhdol}dgdv ghvgh xqd gdgd kdvwd ghqwur gh yhlqwh dôrv1
;1 Ho wlhpsr/ hq plolvhjxqgrv/ gh dqwlflsdflöq +r uhwudvr, gh xqd vhôdo uhv0
shfwr gh rwud hq xq vlvwhpd gh frpxqlfdflrqhv sxhgh frqvlghuduvh xqd
e%
1
yduldeoh dohdwruld frq ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru 8 E% '
 n e%
Gdu xq dojrulwpr/ or päv ghwdoodgr | vlpsoh srvleoh/ sdud vlpxodu ydoruhv
gh glfkr wlhpsr gh uhvsxhvwd1 Frpsdudu od hflhqfld frpsxwdflrqdo gho
pìwrgr frq od gho dojrulwpr foävlfr sdud vlpxodu od glvwulexflöq h{sr0
qhqfldo1
<1 Ho qýphur gh krudv glduldv gxudqwh odv fxdohv xq whuplqdo +gh wlsr D,
gh xq oderudwrulr hvwä vlhqgr xwlol}dgr hv xqd yduldeoh frq ixqflöq gh
glvwulexflöq=
;
? e%32
vl % f
%32
8 E% '
= f n e
hq rwur fdvr
Vh slgh=
+d, Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu glfkd yduldeoh1
+e, Vl sdud rwur wlsr gh whuplqdohv
+ho wlsr E, ho wlhpsr gh xwlol}dflöq
wlhqh glvwulexflöq i T 2 / ghwdoodu xq dojrulwpr sdud dsur{lpdu/
sru vlpxodflöq/ od suredelolgdg gh txh xq whuplqdo gh wlsr E vhd
päv xwlol}dgr txh xqr gh wlsr D1
47
4
Métodos universales para la
simulación de variables discretas
Métodos universales para la generación de variables discretas
71 0
Hq or txh vljxh vh h{srqguäq dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv sdud vlpxodu glvwulex0
flrqhv glvfuhwdv1 Hq frqfuhwr/ vh hvwxglduä ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq
fxdqwlo hq vx yhuvlöq foävlfd | frq hwltxhwdgrv öswlprv/ ho pìwrgr gh odv wdeodv
jxðd | orv pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr1
Ho sureohpd txh qrv rfxsd dkrud hv vlpxodu xqd yduldeoh dohdwruld glvfuh0
wd/ f/ txh wrpd orv ydoruhv % / %2 / / %? + ,/ frq suredelolgdghv R '
Ef ' % / ' c 2c c ? + ,1 Xq sodqwhdplhqwr hvwäqgdu/ htxlydohqwh
do dqwhulru/ frqvlvwh hq uhvroyhu od fxhvwlöq gh vlpxodu od yduldeoh dohdwruld U
txh wrpd orv ydoruhv c 2c c ? + , frq odv plvpdv suredelolgdghv R / '
c 2c c ? + ,1 Hvwr hv frqvhfxhqfld gho xvr gh xqd dsolfdflöq lq|hfwlyd
oodpdgd gh frglfdflöq r hwltxhwdgr/ gdgd sru/
, G $ Qc
frq , E% ' /
vlhqgr ho frqmxqwr gh ydoruhv txh wrpd od yduldeoh dohdwruld f
714 Ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo
Hvwh pìwrgr hv xqd dgdswdflöq gho pìwrgr gh lqyhuvlöq +yäolgr sdud ho fdvr
frqwlqxr, d glvwulexflrqhv glvfuhwdv1 Hq sulphu oxjdu yhdprv srutxì ho pìwrgr
gh lqyhuvlöq qr hv dsolfdeoh gluhfwdphqwh hq hvwh fdvr1
Gdgd xqd yduldeoh dohwruld glvfuhwd/ vx ixqflöq gh glvwulexflöq ylhqh gdgd
sru
[
R / ;% 5 U
8 E% '
% $%
Vh vxsrqguä +sru frprglgdg, txh orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh |d hvwäq
rughqdgrv | qrv fhôluhprv do fdvr qlwr1 Hq fdvr frqwudulr vh rughqduðdq
ghqrwdqgr % ho phqru/ %2 ho vhjxqgr | dvð vxfhvlydphqwh1 Gh hvwd irupd
whqguðdprv= % %2 %? 1 Hq hvwh fdvr hv reylr txh ho uhvxowdgr
gdgr sru ho whruhpd gh lqyhuvlöq qr hv flhuwr |d txh od yduldeoh dohdwruld 8 Ef
wrpd vöor orv ydoruhv 8 ER / 8 ER n R2 / / 8 ER n R2 n n R? vlhqgr/ sru
wdqwr/ glvfuhwd | qr sxglhqgr whqhu glvwulexflöq L Efc 1
51
52
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Hmhuflflr 71414 Ghwhuplqdu od glvwulexflöq gh 8 Ef1
Gh od plvpd irupd/ gdgd xqd yduldeoh L L Efc / wdpsrfr sxhgh vhu
flhuwr txh 8 3 EL whqjd od plvpd glvwulexflöq txh f1 Gh khfkr 8 3 qr hvwä
ghqlgd gh irupd ýqlfd sxhv odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq glvfuhwdv qr wlhqhq
lqyhuvd/ sxhv sdud fdvl wrgr 5 dfc o qr kd| qlqjýq % wdo txh 8 E% ' | sdud
xq qýphur qlwr +r lqqlwr qxphudeoh, gh 5 dfc o vh wlhqh txh h{lvwh wrgr
xq lqwhuydor gh ydoruhv sdud % fxpsolhqgr 8 E% ' 1 D shvdu gh hoor sxhgh
ghqluvh od oodpdgd ixqflöq fxdqwlo +r lqyhuvd jhqhudolgdgd, gh xqd glvwulexflöq
fxdotxlhud 8 d sduwlu gh
' E ' ?u i% 5 U*8 E% j c ; 5 Efc  1
Hv reylr txh hvwd ixqflöq vlhpsuh hvwä ghqlgd | txh fxdqgr 8 vhd lqyhuwleoh/
' ' 8 3 1
Ho vljxlhqwh whruhpd gd xq uhvxowdgr txh jhqhudol}d do whruhpd gh lqyhuvlöq
d vlwxdflrqhv hq odv txh 8 qr hv lqyhuwleoh1
Whruhpd 46 +gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd, Vhd f xqd yduldeoh dohdwruld frq
ixqflöq gh glvwulexflöq 8 | frq ixqflöq fxdqwlo '1 Frqvlgìuhvh xqd yduldeoh
dohdwruld/ L / frq glvwulexflöq L Efc / hqwrqfhv/ od yduldeoh ' EL wlhqh od plv0
pd glvwulexflöq txh f1
Ghprvwudflöq= Vhd C od ixqflöq gh glvwulexflöq gh ' EL1 Gdgr % 5 U/
vh wlhqh
C E% ' E' EL % ' E?u i+ 5 U*8 E+ L j %
] 8 E%
_ ' 8 E% ' E8 E% L '
f
D sduwlu gho whruhpd gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd sxhgh rewhqhuvh xq dojrulwpr
jhqhudo sdud vlpxodu fxdotxlhu glvwulexflöq gh suredelolgdg glvfuhwd1 Hv ho
oodpdgr dojrulwpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo r gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd1
Dojruwlpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' ' EL 1
Od pd|ru glfxowdg hq od lpsohphqwdflöq gho dojrulwpr udglfd hq ho fäofxor
gh
,
+ / [
R L
' EL ' ?u i% 5 U*8 E% Lj ' ?u %
'
' %& / wdo txh
&
[
'
R L :
&3
[
R '
Wrgr ho sureohpd udglfd/ sru wdqwr/ hq hqfrqwudu ho ydoru/ &/ gh od yduldeoh/
U/ txh jxdugd odv hwltxhwdv/ sdud ho fxdo od ixqflöq gh glvwulexflöq vxshud r
Métodos universales para la generación de variables discretas
ljxdod sru sulphud yh} do ydoru gh L 1 Hvwh ydoru sxhgh kdooduvh phgldqwh xqd
eývtxhgd vhfxhqfldo/ xwlol}dqgr ho vljxlhqwh dojrulwpr=
Dojruwlpr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo frq eývtxhgd vhfxhqfldo
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu U '  | 7 ' R 1
61 Plhqwudv L : 7 kdfhu
6141 U ' U n  | 7 ' 7 n RU 1
71 Ghyroyhu f ' %U 1
Vl vh ghvhd jhqhudu xq judq qýphur gh ydoruhv gh od yduldeoh f +txh hv or
päv kdelwxdo,
sxhgh uhvxowdu päv hflhqwh fdofxodu suhyldphqwh odv fdqwlgdghv
S
7 ' ' R gh irupd uhfxuvlyd= 7 ' R / 7 ' 73 n R sdud ' 2c c c ?
| kdfhu od frpsdudflöq L : 7U hq ho sdvr 6 gho dojrulwpr dqwhulru1 Gh hvwd
irupd vh hylwd or txh srguðdq vhu fäofxorv uhshwlwlyrv gh odv plvpdv vxpdv gh
suredelolgdghv do vlpxodu glvwlqwrv ydoruhv gh f1
Hmhpsor 47 +Vlpxodflöq gh od glvwulexflöq gh Srlvvrq, Wöphvh xqd yd0
uldeoh/ f/ frq glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur b/ txh wrpd orv ydoruhv
% ' f/ %2 ' / frq suredelolgdghv
R ' Ef ' % ' Ef '  '
e3b b3
/ ' c 2c E -
Hq hvwh fdvr ho dojrulwpr gh lqyhuvlöq frq eývtxhgd vhfxhqfldo ylhqh gdgr sru
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu U '  | 7 ' e3b 1
61 Plhqwudv L : 7 kdfhu
3b bU3
1
6141 U ' U n  | 7 ' 7 n e EU371 Ghyroyhu f ' U 1
Ghelgr d txh od irupd gh hwltxhwdu orv ydoruhv gh od yduldeoh frqoohyd ho
ghvidvh gh xqd xqlgdg hq orv ðqglfhv/ hv uhfrphqgdeoh dmxvwdu ho dojrulwpr sdud
hylwdu hvwh hihfwr=
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu U ' f | 7 ' e3b 1
61 Plhqwudv L : 7 kdfhu
3b U
6141 U ' U n  | 7 ' 7 n e U-b 1
71 Ghyroyhu f ' U1
Sru ýowlpr/ whqlhqgr hq fxhqwd txh odv suredelolgdghv sxhghq fdofxoduvh gh
irupd uhfxuvlyd
Ef ' '
b e3b b3
b
e3b b
'
' Ef '  /
E 
vh sxhghq vlpsolfdu orv fäofxorv txh dsduhfhq hq ho sdvr 614 gho dojrulwpr
gdqgr oxjdu d
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu U ' f/ R ' e3b | 7 ' R1
53
54
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
61 Plhqwudv L : 7 kdfhu
6141 U ' U n / R ' bU R | 7 ' 7 n R1
71 Ghyroyhu f ' U1
71414 Hflhqfld gho dojrulwpr
Gdgd od irupd gho dojrulwpr jhqhudo sdud vlpxodu xqd glvwulexflöq glvfuhwd ph0
gldqwh ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo xwlol}dqgr eývtxhgd vhfxhqfldo/
hv iäflo suredu txh ho qýphur gh frpsuredflrqhv gh od irupd L : 7 hv suh0
flvdphqwh ljxdo d U/ ho ydoru gh od yduldeoh txh frqwlhqh odv hwltxhwdv1 Frpr ho
ydoru gh U hv dohdwrulr | ydulduä frq fdgd hmhfxflöq gho dojruwlpr/ xqd phglgd
gh od hflhqfld gho plvpr vhuä ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho sdvr 6/
hv ghflu/
S?
R vl f wrpd xq qýphur qlwr +?, gh ydoruhv
S'
. EU '
"
vl f wrpd xq lqqlwrv ydoruhv
' R
Uhvxowd sxhv hylghqwh txh/ frpr qr h{lvwh xqd ýqlfd irupd gh hwltxhwdu orv
ydoruhv txh wrpd od yduldeoh hq fxhvwlöq/ kdeuä txl}ä dojýq hwltxhwdgr txh
riuh}fd xq phqru qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hq ho sdvr 6 gho dojrulwpr
txh ho hwltxhwdgr ruljlqdo +txh rehghfh d od lghd gh rughqdu gh irupd fuhflhqwh
orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh,1
Hv reylr txh orv ghpäv hwltxhwdgrv qr vhuäq htxlydohqwhv do pìwrgr gh
wudqvirupdflöq fxdqwlo dsolfdgr gluhfwdphqwh vreuh od yduldeoh f/ vlqö päv
elhq frqvlvwluäq hq xqd idvh suhyld hq od txh vh hwltxhwduäq +gh od irupd päv
frqyhqlhqwh, orv srvleohv ydoruhv gh od yduldeoh f/ gdqgr oxjdu d xqd yduldeoh gh
hwltxhwdv/ U/ | oxhjr vh vlpxoduäq ydoruhv gh glfkd yduldeoh sdud srvwhulruphqwh
uhfxshudu orv ydoruhv gh f phgldqwh ,3 / od lqyhuvd gho hwltxhwdgr r ixqflöq gh
ghfrglfdflöq1
Hmhpsor 48 Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd f frq glvwulexflöq gd0
gd sru
Ef ' ' f/ Ef ' D ' f/ Ef ' . ' fS
Ghqlhqgr
, G ic Dc .j $ ic 2c j
, E ' / , ED ' 2/ , E. ' +l1h1 % ' / %2 ' D/ % ' .,
vh wlhqh xq hwltxhwdgr U frq glvwulexflöq
EU '  ' f/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' fS
Métodos universales para la generación de variables discretas
|/ sru wdqwr/ frq phgld . EU '  f n 2 f n fS ' 2 D1
Vl/ sru ho frqwudulr/ ghqlprv ho hwltxhwdgr
G ic Dc .j $ ic 2c j
E ' / , ED ' 2/ , E. ' 
+l1h1 % ' ./ %2 ' D/ % ' ,
vh wlhqh txh
EU '  ' fS/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' f
| dvð . EU '  fS n 2 f n f '  D1 Vh revhuyd/ sru wdqwr/ frpr . EU hv vhqvleohphqwh lqihulru d . EU |/ sru or wdqwr/ frpr ho vhjxqgr hwltxhwdgr/
gdgr sru / sursruflrqd xq dojrulwpr päv hflhqwh txh ho gdgr sru ho hwltxhwdgr
ruljlqdo/ ,1
Frpr sduhfh ghgxfluvh gho hmhpsor dqwhulru/ xq hwltxhwdgr vhuä wdqwr phmru
fxdqwr phqruhv vhdq odv hwltxhwdv txh vh gdq d orv ydoruhv txh wlhqhq pd|ru
suredelolgdg1 Dvð/ gdgd od yduldeoh fruuhvsrqglhqwh do hwltxhwdgr ruljlqdo/ U/
frq pdvd gh suredelolgdg R / R2 / / R? / ho phmru hwltxhwdgr hv ho gdgr sru
, E ' ? n udqjrER / vlhqgr ho udqjr gh R ho hqwhur txh lqglfd ho oxjdu txh
rfxsd R hq xqd rughqdflöq frqmxqwd gh orv ? ydoruhv R / R2 / / R? 1 Glfkr gh
rwud irupd/ ho hwltxhwdgr , rwrujd ho ðqglfh  do hqwhur frq pd|ru suredelolgdg/
R > ho ðqglfh 2 do gh vhjxqgd pd|ru suredelolgdg | dvð vxfhvlydphqwh1
Od surslhgdg dqwhulru uhvxowd gh iäflo ghprvwudflöq1 Vxsöqjdvh xqd yduld0
eoh/ U/ dvrfldgd d xq hwltxhwdgr glvwlqwr gho ,/ uhflìq ghqlgr1 Hv ghflu/ vh
wudwd gh xq hwltxhwdgr yhulfdqgr txh h{lvwhq xq sdu gh ðqglfhv | & wdohv
txh E& E | dghpäv R& R 1 D sduwlu gh hvwh hwltxhwdgr vh ghqh rwur
qxhyr/ }/ gh od irupd
;
? E vl 9' h 9' &
E& vl ' } E '
=
E vl ' &
Sureduhprv px| iäflophqwh txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv dvrfldgr
d hvwh hwltxhwdgr hv phqru txh ho gho gh sduwlgd=
. EU} '
?
[
} E R '
'
'
'
?
[
} E R n } E R n } E& R&
'c'c'&
?
[
E R n E& R n E R&
'c'c'&
?
[
E R n E& R n E R& E R E& R&
'
' . EU n E E& E ER R& . EU 55
56
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Frq hvwr vh ghpxhvwud txh xq hwltxhwdgr txh qr sursruflrqdvh xq rughq
ghfuhflhqwh hq odv suredelolgdghv srguðd vhu phmrudgr +hq wìuplqrv gh kdfhu
pðqlpr ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho dojrulwpr, sru rwur qxhyr1
Frpr frqvhfxhqfld/ orv hwltxhwdgrv öswlprv vhuäq dtxhoorv txh suryrtxhq ru0
ghqdflrqhv ghfuhflhqwhv vreuh odv suredelolgdghv/ hv ghflu/
R,3 E R,3 E2 R,3 E? 1
Reyldphqwh sxhghq h{lvwlu ydulrv hwltxhwdgrv öswlprv vl kd| hpsdwhv hqwuh
dojxqdv gh hvwdv suredelolgdghv1
Fxdqgr od yduldeoh d vlpxodu wlhqh xq qýphur qlwr gh ydoruhv= % / %2 /
fxdqwlo frq eývtxhgd
/ %? / do lpsohphqwdu ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq
S?3
vhfxhqfld gluhfwd/
xqd
yh}
frpsuredgr
txh
L
:
' R / qr hv qhfhvdulr
S
frpsuredu L : ?' R '  +txh vlhpsuh hv idovr,/ vlqö txh jhqhudprv %? vlq
qhfhvlgdg gh hihfwxdu hvd frpsdudflöq1 Sru hvh prwlyr ho qýphur phglr gh
frpsdudflrqhv vhuðd uhdophqwh=
?3
[
R n E?  R? 1
'
Wrgr or glfkr dqwhulruphqwh dfhufd gh od hohfflöq öswlpd gho hwltxhwdgr vljxh
vlhqgr yäolgr vdoyr shupxwdflrqhv hqwuh orv ydoruhv frq odv grv ýowlpdv hwltxh0
wdv1
Hmhpsor 49 Frqvlghuhprv od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd frq glvwlexflöq
Ef '  ' f/ Ef ' ' f/ Ef ' D ' f2D/
Ef ' . ' f2/ Ef ' b ' f1
Ho frqmxqwr gh ydoruhv txh wrpd od yduldeoh hv ' ic c Dc .c bj | od ixqflöq
gh hwltxhwdgr dvrfldgd do dojrulwpr gh lqyhuvlöq jhqhudol}dgd hq vx yhuvlöq
foävlfd hv
G $ Q
gdgd sru
E ' / E ' 2/ ED ' /
E. ' e/ Eb ' D1
Ho qýphur gh frpsdudflrqhv hq ho dojrulwpr dvrfldgr d hvwh hwltxhwdgr hv xqd
yduldeoh glvfuhwd/ U / frq glvwulexflöq
EU '  ' f/ EU ' 2 ' f/ EU ' ' f2D/
EU ' e ' f2/ EU ' D ' f
Métodos universales para la generación de variables discretas
Sru wdqwr/ ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho dojrulwpr hv
. EU ' f  n f 2 n f2D n Ef2 n f e ' 2 H2
Xq hwltxhwdgr öswlpr vhuðd
, G $ Q
gdgr sru
, E ' D/ , E ' / , ED ' 2/
, E. ' / , Eb ' e1
fx|r qýphur phglr gh frpsdudflrqhv ylhqh gdgr sru
. EU, ' f  n f2D 2 n f2 n Ef n f e ' 2 b
txh phmrud vhqvleohphqwh ho ydoru gho pìwrgr gh wudqvirupdflöq fxdqwlo hvwäq0
gdu1 Hvwh hwltxhwdgr fruuhvsrqgh d od qrwdflöq % ' / %2 ' D/ % ' ./ %e ' b
| %D ' 1
71415 Fäofxor gluhfwr gh od ixqflöq fxdqwlo
Hq rfdvlrqhv ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo sxhgh dfhohuduvh frpsxwd0
flrqdophqwh srutxh/ phgldqwh fäofxorv gluhfwrv/ hv srvleoh hqfrqwudu ho ydoru gh
od ixqflöq fxdqwlo hq fxdotxlhu L / hq xq wlhpsr gh frpsxwdflöq pðqlpr +hyl0
wdqgr ho exfoh gh eývtxhgd hq ho txh vh ydq dfxpxodqgr odv suredelolgdghv,1
Yhdprv dojxqrv hmhpsorv1
Hmhpsor 4: +od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd hq ic 2c c ?j, Hq hvwh
fdvr od pdvd gh suredelolgdg ylhqh gdgd sru
R '

/ sdud ' c 2c ?1
?
Gh hvwd irupd vh wlhqh
&
[
'
R L :
&3
[
'
R /
&
&
L :
/ & ?L : & 
?
?
Vdoyr sdud xq frqmxqwr qlwr gh srvleohv ydoruhv +sdud L 5 ifc ? c c ?3
j,/
?
hvwd ýowlpd frqglflöq htxlydoh d & : ?L &  txh/ d vx yh}/ hv or plvpr
txh & ' g?L h n / vlhqgr g%h od sduwh hqwhud gh %1
Gh hvwd irupd/ ho dojrulwpr uhvxowd=
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' g?L h n 1
txh/ reyldphqwh/ hv xq dojrulwpr hqöuphphqwh hflhqwh1
57
58
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Hmhpsor 4; +od glvwulexflöq jhrpìwulfd, Od glvwulexflöq jhrpìwulfd uh0
suhvhqwd ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho sulphu ì{lwr | wlhqh od vljxlhqwh pdvd
gh suredelolgdg
Ef ' ' R E R / ' fc c Sdud xq ydoru hqwhur qr qhjdwlyr vx ixqflöq gh glvwulexflöq ylhqh gdgd sru
8 E '
[
R E R '
'f
R E Rn R
'  E Rn 1
R
Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh
8 E& L : 8 E&  /  E R&n L :  E R&
/ E R& :  L E R&n
/ & *? E R : *? E L E& n  *? E R
*? E L &n
/ &
*? E R
frqglflöq hvwd ýowlpd txh/ vdoyr sdud xq qýphur lqqlur shur qxphudeoh gh
ydoruhv gh L +gh suredelolgdg fhur,/ htxlydoh d
*? E L
&'
*? E R
41
51
31
41
51
61
Ho dojrulwpr surfhghuðd gh od vljxlhqwh irupd=
Jhqhudu L LoEfc 1 p
1
Ghyroyhu f ' *?E3L
*?E3R
r/ dkruudqgr rshudflrqhv/
Kdfhu @ ' * *? E R1
Jhqhudu L L Efc 1
Ghyroyhu f ' g@ *? L h1
Uhshwlu orv sdvrv 405 wdqwdv yhfhv frpr vhd qhfhvdulr1
715 Dojrulwprv edvdgrv hq äuerohv elqdulrv1 Äu0
erohv gh Kxpdq1
Hq orv dojrulwprv gh eývtxhgd vhfxhqfldoSh{lvwh xq sdvr hq ho txh/ hq ixqflöq
gho uhvxowdgr gh xqd frpsdudflöq +L : ' R , vh ghflgh vl ho ydoru d jhqh0
udu sdud f yd d vhu xqr frqfuhwr +f ' % , r vhjxluhprv exvfdqgr hqwuh orv
uhvwdqwhv +f 5 i% * : j,1 Hvwd
S irupd gh surfhghu oohyd d od hohfflöq gh xq
ýqlfr ydoru vl od frqglflöq L : ' R hv idovd1
Métodos universales para la generación de variables discretas
Xqd irupd päv jhqhudo gh surfhghu frqvlvwh hq frpsdudu +hq fdgd sdvr,
ho ydoru gh L frq flhuwd vxpd gh suredelolgdghv | hohjlu hqwuh grv frqmxqwrv
gh ydoruhv srvleohv +qr qhfhvduldphqwh gh xq ýqlfr hohphqwr qlqjxqr gh hoorv,
vhjýq ho uhvxowdgr gh od frpsdudflöq1
Hmhpsor 4< Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld f/ gdgd sru
Ef '  ' fc Ef ' ' fc Ef ' D ' f2Dc
Ef ' . ' f2c Ef ' b ' f
Hv ghflu/ ghqrwdqgr % ' / %2 ' / % ' D/ %e ' ./ %D ' b/ vh wlhqh txh
R ' f/ R2 ' f/ R ' f2D/ Re ' f2/ RD ' f1 Ho dojrulwpr gh eývtxhgd
vhfxhqfldo wlhqh xqd hvwuxfwxud gdgd sru od jxud dgmxqwd1
Grqgh lqglfd ho qýphur gh frpsdudflrqhv sdud rewhqhu xqr gh orv ydoruhv
vlpxodgrv1 Hq hvwh fdvr . E '  f n 2 f n f2D n e Ef2 n f '
2 H21 Dghpäv/ uhvxowd iäflo yhu txh xqd yhuvlöq gho dojrulwpr hq od txh vh
hwltxhwdvhq orv ydoruhv gh irupd txh odv suredelolgdghv uhvxowdvhq rughqdgdv
gh irupd ghfuhflhqwh riuhfhuðd xq qýphur phglr gh frpsdudflrqhv ljxdo d
. E '  f n 2 f2D n f2 n e Ef n f ' 2 b1
Uhsuhvhqwdflöq juäfd gho dojrulwpr hq irupd gh äuero gh Kxpdq1
Od suhjxqwd txh vh sodqwhd hq ho hmhpsor dqwhulru +| hq jhqhudo, hv Áqr h{lv0
wluðd dojýq rwur wlsr gh eývtxhgd hq irupd gh äuero elqdulr +dxqtxh frq qrgrv
klmrv sru od l}txlhugd txh qr whqjdq txh vhu qhfhvduldphqwh qrgrv whuplqdohv
x krmdv gho äuero, txh surgx}fd xq phqru qýphur phglr gh frpsdudflrqhvB
Ho sureohpd sxhgh sodqwhduvh gh irupd htxlydohqwh hq wìuplqrv gh äuerohv
elqdulrv1
Xq äuero qr hv päv txh xq judir rulhqwdgr hq ho txh h{lvwh xq qrgr vlqjxodu
oodpdgr udð} +r qrgr ruljhq, gho fxdo vdohq dufrv shur do fxdo qr oohjdq dufrv1
Orv qrgrv d orv txh oohjdq dufrv surfhghqwhv gh rwur qrgr vrq oodpdgrv klmrv
gh glfkr qrgr1 Hq qxhvwur fdvr frqvlghuduhprv txh fdgd qrgr/ h{fhswr ho
59
60
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
udð}/ hv klmr gh h{dfwdphqwh rwur qrgr1 Orv qrgrv gh orv txh qr vdohq dufrv
+r txh qr wlhqhq klmrv, vrq oodpdgrv qrgrv whuplqdohv x krmdv gho äuero1 Hq
hvwdv frqglflrqhv vl ho judir hv qlwr +l1h1 vl wlhqh xq qýphur qlwr gh qrgrv,
wrgr qrgr ghvflhqgh gho udð} hq xq qýphur qlwr gh jhqhudflrqhv +hv ghflu/ hv
klmr gh xq klmr gh xq klmr gh xq klmr gho udð},1 Glfkr qýphur hv oodpdgr
surixqglgdg gho qrgr1 Dtxhoorv äuerohv txh fxpsohq txh wrgrv orv qrgrv/
h{fhswr orv whuplqdohv/ wlhqhq h{dfwdphqwh grv klmrv vh oodpdq äuerohv elqdulrv1
Ho sureohpd txh qrv suhrfxsd/ shqvdgr hq wìuplqrv gh äuerohv elqdulrv/
frqvlvwh hq gdgrv ? qrgrv ic 2c c ?j frq suredelolgdghv uhvshfwlydv R / R2 /
/ R? / hqfrqwudu xq äuero elqdulr txh wlhqh suhflvdphqwh qrgrv whuplqdohv
ic 2c c ?j | surixqglgdghv uhvshfwlydv _ / _2 / / _? / gh wdo irupd txh vh
plqlplfh od ixqflöq
?
[
_ R 1
'
Frq hvwd irupxodflöq/ odv suredelolgdghv rwrujdgdv d orv qrgrv whuplqdohv vrq
suhflvdphqwh R ' Ef ' % 1
Do remhwr gh frqvwuxlu glfkr äuero +r xqr gh hoorv vl kd| ydulrv txh plql0
pl}dq od h{suhvlöq,/ uhvxowd iäflo shufdwduvh gh txh kd gh fxpsolu odv vljxlhqwhv
surslhgdghv=
41 H{lvwhq do phqrv grv qrgrv whuplqdohv gh surixqglgd pä{lpd1 Hv reylr
txh ho qrgr gh pä{lpd surixqglgdg hv whuplqdo1 Sru vhu xq äuero elqdulr/
hvh qrgr kd gh whqhu xq khupdqr txh hv gh od plvpd surixqglgdg |/ sru
wdqwr/ wdpelìq whuplqdo1
51 Orv grv qrgrv gh suredelolgdg päv shtxhôd gho äuero öswlpr vrq whu0
plqdohv | gh surixqglgdg pä{lpd1 Gh qr vhu dvð kdeuðd xq qrgr gh
pä{lpd surixqglgdg frq suredelolgdg pd|ru txh od gh rwur qrgr whupl0
qdo frq phqru surixqglgdg1 Shupxwdqgr dperv qrgrv hqfrqwuduðdprv
rwur qxhyr äuero hq ho txh od ixqflöq gho remhwlyr vhuðd phqru1
61 Vlhpsuh h{lvwh dojýq äuero öswlpr hq ho txh orv grv qrgrv gh päv shtxhôd
suredelolgdg vrq khupdqrv +| |d vdehprv txh gh surixqglgdg pä{lpd,1
Edvwd frqvlghudu xq äuero öswlpr +hq ho txh dperv qrgrv kdq gh whqhu
pä{lpd surixqglgdg 0hq sduwlfxodu ljxdo0, | hq fdvr gh txh orv qrgrv hq
fxhvwlöq qr ixhvhq khupdqrv uhdol}du xqd shupxwdflöq hqwuh xqr gh hoorv
| ho khupdqr gho rwur1 Hvwh surfhvr qr dowhud od ixqflöq gho remhwlyr |/
sru wdqwr/ ho qxhyr äuero frqvwuxðgr/ hq ho txh hvrv grv qrgrv |d vð vrq
khupdqrv/ wdpelìq hv öswlpr1
71 Ixvlrqdqgr orv grv qrgrv d orv txh vh uhhuh ho dsduwdgr dqwhulru +sru
frprglgdg qrwdflrqdo vxsrqjdprv txh vrq orv qrgrv frq hwltxhwdv ? 
| ?, frq vx qrgr sdguh | rwrujäqgroh d ìvwh od vxpd gh vxv suredelol0
gdghv +R?3 n R? ,/ ho äuero uhvxowdqwh hv öswlpr hqwuh orv äuerohv elqdulrv
Métodos universales para la generación de variables discretas
idfwleohv sdud ho sureohpd frq xq qrgr whuplqdo phqrv | frq suredelol0
gdghv R / R2 / / R?32 / R?3 n R? 1 Gdgr txh hq ho surfhvr gh ixvlöq gh
hvwrv qrgrv/ or txh vh kdfh hv uhgxflu od ixqflöq gho remhwlyr hq ho ydoru
R?3 n R? / ho vxsrqhu txh hvwh äuero uhgxflgr qr ixhvh öswlpr ghqwur gh
orv gh ?  qrgrv whuplqdohv/ lpsolfduðd od h{lvwhqfld gh rwur phmru txh
ìo/ ho fxdo srguðd vhu h{sdqglgr 0phgldqwh xq surfhvr mxvwdphqwh frq0
wudulr do dqwhulru0 d xq äuero frq ? qrgrv whuplqdohv +grqgh ho ?  |
ho ? |d kdq vlgr vhsdudgrv, d frvwd gh dxphqwdu od ixqflöq gho remhwlyr
hq h{dfwdphqwh R?3 n R? 1 Hvwh äuero suhvhqwduðd xq ydoru gh od ixqflöq
gho remhwlyr phqru txh ho gh sduwlgd/ or fxdo frqwudglfh od rswlpdolgdg
gh dtxìo1
Vljxlhqgr odv sdxwdv dqwhulruhv srghprv frqvwuxðu xq äuero öswlpr gh od
vljxlhqwh irupd=
41 Djuxsdprv orv grv qrgrv frq suredelolgdghv päv shtxhôdv hq xq vöor
qrgr frq suredelolgdg ljxdo d od vxpd gh odv gh dperv1 Hq fdvr gh
hpsdwhv orv ghvkdfhprv duelwuduldphqwh1
51 Hq ho äuero uhvxowdqwh +frq xq qrgr phqrv, surfhghprv frpr hq ho sdvr
4/ uhslwlhqgr hvwr kdvwd qdol}du frq xq sureohpd sdud äuerohv gh vöor
grv qrgrv whuplqdohv/ fx|d vroxflöq hv wulyldo1
Ho äuero elqdulr öswlpr dvð frqvwuxðgr vh ghqrplqd äuero gh Kxpdq1
Hmhpsor 53 Uhwrphprv ho hmhpsor dqwhulru1 Hq sulqflslr whqhprv wdqwrv
qrgrv frpr srvleohv ydoruhv gh od yduldeoh +flqfr, frq vxv uhvshfwlydv suredel0
olgdghv
qrgrv

D
.
b
suredelolgdghv f f f2D f2 f
Dvð/ vh fuhd ho qrgr ic bj frq suredelolgdg dvrfldgd Rtcb ' R n Rb ' f2e1
Gh hvwd irupd vh yd uhgxflhqgr xq qrgr hq fdgd hwdsd=
qrgrv
D
.
ic bj suredelolgdghv f2e f f2D f2
qrgrv
D
ic .c bj suredelolgdghv feD
f f2D
qrgrv
ic .c bj ic Dj
suredelolgdghv feD
fDD
Gh hvwd irupd/ ho äuero gh Kxpdq ylhqh gdgr sru od sulphud jxud dgmxqwd1
61
62
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Frq or fxdo ho dojrulwpr srguðd hvtxhpdwl}duvh gh od irupd lqglfdgd hq od
vhjxqgd jxud1
Hq irupd päv ghwdoodgd sxhgh hvfuleluvh dvð=
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Vl L : feD hqwrqfhv
5141 Hpsh}du
5151 Vl L : f.D hqwrqfhv kdfhu f ' D/ hq rwur fdvr kdfhu f ' 1
5161 Whuplqdu1
Hq rwur fdvr1
5171 Hpsh}du
5181 Vl L : f2e hqwrqfhv kdfhu f ' ./ hq rwur fdvr
518141 Hpsh}du
518151 Vl L : f hqwrqfhv kdfhu f ' b/ vlqr kdfhu f ' 1
518161 Whuplqdu1
5191 Whuplqdu1
Äuero gh Kxpdq1
Hvtxhpd gho dojrulwpr1
Métodos universales para la generación de variables discretas
Xq dojrulwpr jhqhudo sdud frqvwuxlu ho äuero gh Kxpdq sxhgh edvduvh hq
xvdu xqd hvwuxfwxud gh sxqwhurv1
Vxsöqjdqvh odv suredelolgdghv rughqdgdv gh irupd ghfuhflhqwh= R R2 R? / or fxdo sxhgh kdfhuvh hflhqwhphqwh xvdqgr dojrulwprv frpr ho txlfn0
vruw1 Vhdq % / %2 / / %? orv ydoruhv txh wrpd od yduldeoh |d duudvwudqgr od
uhrughqdflöq gh odv suredelolgdghv1 Ho dojruwlpr surfhghuðd gho vljxlhqwh prgr=
41 Fuhdu xqd hvwuxfwxud gh sxqwhurv gh od irupd
? $ ? n  $ $ 2? 2 $ 2? /
Rd?o ' R / Rd? n o ' R2 / / Rd2? o ' R? 1
51 Ghvgh '  kdvwd ?  kdfhu
5141 Holplqdu orv grv ýowlprv hohphqwrv gho sxqwhur= | &1
5151 Kdfhu Ohiw^`@ | Uljkw^`@&1
5161 Lqvhuwdu hq ho sxqwhur hq rughq ghfuhflhqwh gh odv
suredelolgdghv | kdfhu Rdo ' R n ^1
Ilqdol}dgr ho dojrulwpr whqhprv orv ydoruhv Ec Rdo/ sdud ' c 2c c ? c ?c ? n c c 2? / grqgh orv ðqglfhv ic 2c c ? j uhsuhvhqwdq orv qrgrv
lqwhuqrv | i?c ?nc c 2?j vrq orv qrgrv whuplqdohv/ x krmdv/ dopdfhqdqgr
hq orv yhfwruhv Ohwi^` | Uljkw^` od hvwuxfwxud gho äuero gh Kxpdq1
Sdud vlpxodu ydoruhv phgldqwh ho pìwrgr edvdgr hq ho äuero gh Kxpdq
srghprv surfhghu frpr vljxh=
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu ' ? 1
61 Uhshwlu
6141 , 'Ohiw^`/ o 'Uljkw^`/ R 's^,`1
6151 Vl L : R hqwrqfhv kdfhu
615141 ' o/ L ' L R1
Hq rwur fdvr kdfhu
615151 ' ,1
71 Kdvwd txh ?1
81 Kdfhu f ' %3?n 1
716 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd
Ho pd|ru sureohpd frpsxwdflrqdo gho pìwrgr
fxdqwlo
S
S gh od wudqvirupdflöq
1
Frpr
|d
R
frqvlvwh hq hqfrqwudu ho ðqglfh & txh fxpsoh &' R L : &3
'
vh kd ylvwr hq orv grv ýowlprv hmhpsorv h{lvwhq glvwulexflrqhv sdud odv fxdohv
hvwh ydoru & vh sxhgh fdofxodu gluhfwdphqwh1 Ho pìwrgr gh od wdeod jxðd frq0
vlvwh hq kdfhu xvr gh od udslgh} gh fäofxor gh od ixqflöq fxdqwlo sdud dojxqd
gh hvdv glvwulexflrqhv +iäflophqwh vlpxodeoh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq
jhqhudol}dgd, sdud deuhyldu do pä{lpr
frpsdudflrqhv qhfhvduldv
Sho qýphur gh S
&3
R 1
d od krud gh frpsuredu od frqglflöq &' R L : '
63
64
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Frqvlgìuhvh xqd yduldeoh dohdwruld frq glvwulexflöq glvfuhwd | pdvd gh sur0
edelolgdg gdgd sru R / ' c 2c c ? | ghiðqdqvh odv vxpdv dfxpxodwlydv gh
hvwdv suredelolgdghv +txhSqr vrq rwud frvd txh orv ydoruhv txh wrpd od ixqflöq
gh glvwulexflöq,= ^ '
' R 1 Frpr |d vh frphqwö dqwhulruphqwh/ hvwrv
ydoruhv ghehq fdofxoduvh gh irupd uhfxuvlyd +sdud hylwdu fäofxorv lqqhfhvdulrv,=
^f ' f/ ^ ' ^3 n R / ' c 2c c ?1 Gdgd od yduldeoh dohdwruld U/ dvrfldgd
do hwltxhwdgr ruljlqdo +r d rwur, od lghd gho pìwrgr frqvlvwh hq frqvwuxlu ?
vxelqwhuydorv htxlhvsdfldgrv frqwhqlgrv hq dfc o gh od irupd a ' d 3
c sdud
? ?
' c 2c c ? | oxhjr ghqlu
!
/ sdud ' c 2c c ?/
} ' 4@ ^ ?
wrpäqgrvh } ' f vl ho frqmxqwr dqwhulru hv ydfðr
hv ghflu/ sdud fdgd lqwhuydor vh frqvlghud ho ydoru päv dowr gho ðqglfh hqwhur
wdo txh od vxpd dfxpxodgd gh suredelolgdghv kdvwd ìo hv phqru txh ho h{wuhpr
vxshulru gh glfkr lqwhuydor1
Hmhpsor 54 Wrphprv frpr hmhpsor od glvwulexflöq glvfuhwd gdgd sru R '
f/ R2 ' f2D/ R ' f./ Re ' f/ RD ' f2e | RS ' f1 Vh wlhqh txh
^ ' f/ ^2 ' fH/ ^ ' fDD/ ^e ' fSD/ ^D ' fHb | ^S ' 1 Orv ydoruhv gh
od wdeod jxðd vrq
} ' / }2 ' / } ' 2/ }e ' e/ }D ' e/ }S ' D
D od krud gh dsolfdu ho pìwrgr gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo/ gdgr ho ydoru
gh L / hv lqphgldwr ghwhfwdu hq fxäo gh orv lqwhuydorv a kd fdðgr/ edvwd frq
kdfhu ' g?L h n 1 Or ýqlfr txh uhvwd sru kdfhu/ xqd yh} hqfrqwudgr hvwh
ðqglfh/ hv rewhqhu ho ydoru gho ðqglfh U d vlpxodu1 Glfkr ydoru vhuä } n  vl |d
rfxuuh txh L : ^} 1 Hq fdvr frqwudulr ghehuhprv hqfrqwudu ho sulphu ðqglfh
' } c } 2c c f/ sdud ho fxdo vh fxpsoh L : ^ | oxhjr kdfhu U ' n 1
Dojrulwpr gh vlpxodflöq phgldqwh xqd wdeod jxðd
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu ' g?L h n 1
61 Kdfhu ' } 1
71 Plhqwudv L ^ kdfhu ' 1
81 Ghyroyhu U ' n 1
Sru vx sduwh/ orv ydoruhv gh od wdeod jxðd sxhghq fdofxoduvh iäflophqwh gh
irupd uäslgd vhjýq ho vljxlhqwh dojrulwpr=
Dojrulwpr gh fäofxor gh od wdeod jxðd
41 Ghvgh '  kdvwd ?  kdfhu } ' f1
51 Kdfhu 7 ' f1
61 Ghvgh '  kdvwd ?  kdfhu
6141 7 ' 7 n R
6151 ' g?7h n 
6161 } ' Métodos universales para la generación de variables discretas
71
Ghvgh ' 2 kdvwd ?  kdfhu } ' 4@ E}3 c } 1
Dxqtxh orv exfohv gh orv sdvrv 4 | 7 gho dojrulwpr sxhghq h{whqghuvh kdvwd
? +hq oxjdu gh kdvwd ? , hq od suäfwlfd uhvxowd lqqhfhvdulr lqlfldol}dqgr
}? ' ? / frqrflgr gh dqwhpdqr1
Fxdqgr ho ydoru L fdh hq ho lqwhuydor a / hv reylr txh ho qýphur phglr gh
frpsdudflrqhv hq ho sdvr 7 gho dojrulwpr hv phqru r ljxdo txh 4 päv ho qýphur
gh ydoruhv ^ shuwhqhflhqwhv do lqwhuydor a 1 Xwlol}dqgr hvwh khfkr/ od hvshudq}d
gho qýphur gh frpsdudflrqhv + , sxhgh dfrwduvh phgldqwh
[
[
E n r i %^ 5 a j '  n
r i %^ 5 a j
? '
? '
?
. E ?
?

2
'  n r i %^ 5 dfc j '  n
?
?
Hq jhqhudo/ ho pìwrgr hv dsolfdeoh sdud wdeodv jxðd gh 6 hohphqwrv +grqgh
6 qr wlhqh srutxì vhu qhfhvduldphqwh ljxdo d ?,1 Hq wdo fdvr ho lqwhuydor dfc  vh
glylgh hq 6 vxelqwhuydorv/ sxglhqgr dfrwdu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv
?
1 Judfldv d hvwh dujxphqwr/ sdud yduldeohv frq xq
phgldqwh . E  n 6
qýphur h{ruelwdqwh gh srvleohv ydoruhv/ sxhghq xwlol}duvh wdeodv jxðd gh xq
qýphur päv prghudgr gh hohphqwrv gh irupd txh od wdeod qr rfxsh ghpdvldgd
phpruld | txh/ d od yh}/ ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv hvwì dfrwdgr sru
xq ydoru prghudgr1 Dvð/ sru hmhpsor/ sdud xqd yduldeoh glvfuhwd frq ffffff
gh srvleohv ydoruhv srguðdprv xwlol}du xqd wdeod jxðd gh vöor ffff hohphqwrv
+sdud txh qr rfxsh ghpdvldgr hq phpruld, rewhqlhqgr txh ho qýphur phglr
gh frpsdudflrqhv hvwduðd dfrwdgr sru f1
717 Pìwrgrv gh wuxqfdplhqwr
Od lghd jhqhudo gh hvwh wlsr gh pìwrgrv frqvlvwh hq kdfhu xvr gh xqd glvwulex0
flöq frqwlqxd dx{loldu fx|d ixqflöq gh glvwulexflöq vh sduh}fd +hq flhuwr vhqwlgr
txh vh suhflvduä päv dghodqwh, d od ixqflöq gh glvwulexflöq gh od yduldeoh glv0
fuhwd txh vh ghvhd vlpxodu1
Vxsöqjdvh/ vlq sìuglgd gh jhqhudolgdg/ txh vh ghvhd vlpxodu od yduldeoh U/
txh wrpd orv ydoruhv / 2/ / ?/ frq suredelolgdghv R / R2 / / R? 1 Hq hvwh
fdvr/ od ixqflöq gh glvwulexflöq gh U ylhqh gdgd sru
[
R 1
8 E% '
$%
Vxsöqjdvh/ dghpäv/ txh whqhprv rwud yduldeoh dohdwruld frqwlqxd/ frq ixqflöq
gh glvwulexflöq C E% | flhuwrv ydoruhv @f ' 4 @ @2 @?3 @? ' 4/ wdohv txh 8 E 8 E3 ' R ' C E@ C E@3 / ' c 2c c ?1
Hvwd ýowlpd frqglflöq ylhqh d jdudqwl}du txh od suredelolgdg gh txh od yduldeoh
65
66
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
frqwlqxd fdljd hq ho lqwhuydor d@3 c @ frlqflgh frq od suredelolgdg frq od txh
od yduldeoh glvfuhwd ruljlqdo wrph ho ydoru 1
Vl od glvwulexflöq frqwlqxd hv iäflo gh vlpxodu/ vlpsohphqwh ghehuhprv jh0
qhudu ydoruhv gh od plvpd | oxhjr wudqvirupduorv hq ydoruhv gh od yduldeoh U1
Dojrulwpr gh vlpxodflöq sru wuxqfdplhqwr
41 Jhqhudu A frq glvwulexflöq C1
51 Hqfrqwudu ho ydoru wdo txh @3 A @ 1
61 Ghyroyhu U ' 1
Ho pìwrgr vh kdfh hvshfldophqwh uäslgr fxdqgr ho ydoru gh sxhgh rewhqhuvh
gh irupd lqphgldwd d sduwlu gho ydoru gh A 1 Xqr gh orv fdvrv hq orv txh hvwr
hv dvð vh gd fxdqgr C Ef ' f | orv ydoruhv @ ' / ' fc c c ? +r/ lqfoxvr/
lqqlwrv ydoruhv @ gh hvwd irupd,1 Hq hvwh fdvr ho dojrulwpr uhvxowd=
Dojrulwpr gh vlpxodflöq sru wuxqfdplhqwr d od sduwh hqwhud
41 Jhqhudu A frq glvwulexflöq C1
51 Kdfhu ' gA h n 1
61 Ghyroyhu U ' 1
Hmhpsor 55 +vlpxodflöq gh od jhrpìwulfd sru wuxqfdplhqwr, Od pdvd
gh suredelolgdg gh od glvwulexflöq jhrpìwulfd hv
Ef ' ' EU ' n  ' R E R / ' fc c Frqvlgìuhvh frpr yduldeoh dohdwruld frqwlqxd dx{loldu od h{srqhqfldo/ txh wlhqh
ixqflöq gh glvwulexflöq gdgd sru
 e3b% vl % f
C E% '
f
vl % f
Dkrud elhq/
C E C E  '  e3b  e3bE3 ' e3bE3 e3b
3
' e3bE3  e3b '  e3b e3b
' R E R3
vlhpsuh txh wrphprv R '  e3b 1 Gh hvwd irupd vh wlhqh
C E C E  ' Ef '  ' EU ' ' R
| ho dojrulwpr uhvxowduðd=
31 Kdfhu u ' *? E R1
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu A ' u *? L 1
61 Ghyroyhu f ' gA h1
Hvwh hv ho plvpr dojrulwpr txh vh rewhqðd dqwhulruphqwh fxdqgr ud}rqäed0
prv föpr fdofxodu gluhfwdphqwh ho ydoru gh od ixqflöq fxdqwlo sdud od glvwulex0
flöq jhrpìwulfd1
Métodos universales para la generación de variables discretas
718 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Fxdqgr vh surgxfh xqd vreuhfdujd hoìfwulfd hq xqd fdghqd surgxfwlyd
ho qýphur gh frpsrqhqwhv dyhuldgdv hvwä ghvfulwr phgldqwh xqd yduldeoh
dohdwruld/ f/ txh sxhgh wrpdu orv ydoruhv 4/ 5/ 6/ 7 | 8/ frq suredelolgdghv
R ' fc R2 ' f22c R ' feDc Re ' fc RD ' ffb
Sdud vlpxodu glfkd yduldeoh vh xvd ho dojrulwpr=
41
Jhqhudu X/ frq glvwulexflrq X+3/4,1
514 Vl X@3144 hqwrqfhv kdfhu [@4/ vlqr
515 Vl X@3166 hqwrqfhv kdfhu [@5/ vlqr
516 Vl X@31:; hqwrqfhv kdfhu [@6/ vlqr
517 Vl X@31<4 hqwrqfhv kdfhu [@7/ vlqr kdfhu [@81
61
Ghyroyhu [1
ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud vlpxodu xq ydoru gh
fB Frqvwuxlu xq dojrulwpr edvdgr hq xq äuero elqdulr öswlpr1 ÁFxäo
hv dkrud ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhvB Gdu xq dojrulwpr edvdgr
hq ho pìwrgr gh od wdeod jxðd1 Fdofxodu/ wdpelìq hq hvwh fdvr/ ho qxphur
phglr gh frpsdudflrqhv1
51 Ho qýphur gh surfhvrv gh xvxdulrv dfwlyrv hq xqd hvwdflöq gh wudedmr hv
xqd yduldeoh dohdwruld/ f/ frq glvwulexflöq gdgd sru=
Ef ' f ' fc Ef '  ' f22c Ef ' 2 ' fD
Ef ' ' fc Ef ' e ' ffbc Ef ' D ' ffSc
Ef ' S ' ffe
Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu hvwd yduldeoh phgldqwh eývtxhgd hq irupd
gh äuero gh Kxpdq1 Fdofxodu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud
vlpxodu fdgd ydoru gh od yduldeoh f1 ÁFxäo hv xqd frwd sdud glfkr qýphur
phglr gh frpsdudflrqhv hq fdvr gh xvdu ho pìwrgr gh od wdeod jxðdB
Sdud hvwd ýowlpr pìwrgr/ fdofxodu ho ydoru h{dfwr gho qýphur phglr gh
frpsdudflrqhv1
61 Ho qýphur gh yhfhv txh vh surgxfh xqd fdlgd gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr
gxudqwh xq phv hv xqd yduldeoh dohdwruld/ f/ frq glvwulexflöq gdgd sru
Ef ' f ' ffb/ Ef '  ' f2/ Ef ' 2 ' fb/ Ef ' '
fb/ Ef ' e ' ffH | Ef ' D ' ffe1 Gdu xq dojrulwpr sdud
vlpxodu hvwd yduldeoh phgldqwh eývtxhgd hq irupd gh äuero gh Kxpdq1
Fdofxodu ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv sdud vlpxodu fdgd ydoru gh
od yduldeoh f1 ÁTxì yhqwdmdv vh rewlhqhq sdud hvwh pìwrgr gh vlpxodflöq
hq frpsdudflöq frq od lpsohphqwdflöq phgldqwh ho pìwrgr vhfxhqfldo
+wdqwr hq vx yhuvlöq gluhfwd frpr hq od gho hwltxhwdgr päv hflhqwh,B
67
68
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
71 Ho fögljr gh huuru txh sxhgh vxplqlvwudu xqd uxwlqd lpsohphqwdgd hq xq
ohqjxdmh gh dowr qlyho sxhgh ghvfuleluvh phgldqwh xqd yduldeoh dohdwruld/
/ txh sxhgh wrpdu orv ydoruhv 3/ 4/ 6/ 7 | :/ frq suredelolgdghv=
Rf ' f2Hc R ' fDc R ' fSc Re ' f2c R. ' ffb
Ghqwur gh xq frpsohmr prghor gh vlpxodflöq vh txlhuh jhqhudu glfkd yd0
uldeoh xvdqgr/ sdud fdgd ydoru jhqhudgr/ xq ýqlfr qýphur svhxgrdohdwr0
ulr L Efc 1 Hqfrqwudu dojrulwprv/ sdud wdo q/ edvdgrv hq od frqvwuxfflöq
gh xq äuero gh Kxpdq | hq ho pìwrgr gh odv wdeodv jxðd1 Hvwxgldu od
hflhqfld gh dperv dojrulwprv | frpsduduod1
81 Frqvlgìuhvh od yduldeoh dohdwruld glvfuhwd/ f/ qýphur gh idoorv phqvxdohv
hq ho vxplqlvwur hoìfwulfr gh xq htxlsr lqirupäwlfr/ txh wlhqh od vljxlhqwh
pdvd gh suredelolgdg=
3
4
5
6
7
8
9
:
%
Ef ' % fD f2f fS f2 ffH ffD ff ff
Frqvwuxlu xqd wdeod jxðd |/ edväqgrvh hq hood/ gdu xq dojrulwpr sdud
vlpxodu hvwd yduldeoh1 ÁFxäo hv ho qýphur phglr h{dfwr gh frpsdudflrqhv
sdud jhqhudu xq ydoru phgldqwh hvh dojrulwprB
91 Gdqgr sru vxsxhvwr xq dojrulwpr txh shuplwd vlpxodu od yduldeoh dohdwr0
uld gho hmhuflflr dqwhulru/ ghgxflu xq pìwrgr sdud dsur{lpdu sru vlpx0
odflöq od suredelolgdg gh txh hq xq dôr kd|d päv gh 63 idoorv hq ho
vxplqlvwur hoìfwulfr1 Sodqwhdu ho fäofxor dqdoðwlfr gh od fdqwlgdg dqwh0
ulru1 ÁVhuðd vhqfloor rewhqhu whöulfdphqwh od pdvd gh suredelolgdg gh od
yduldeoh dohdwruld qýphur gh idoorv dqxdohvB
5
Métodos específicos para la simulación
de distribuciones notables
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
81 0
Hq hvwh fdsðwxor vh hvwxglduäq dojrulwprv hvshfðfrv sdud vlpxodu dojxqdv gh
odv glvwulexflrqhv gh suredelolgdg päv lpsruwdqwhv1 Od pd|ruðd gh hoorv vrq
dsolfdflrqhv gh orv pìwrgrv jhqhudohv |d h{sxhvwrv/ txl}ä frq dojxqd sduwl0
fxodulgdg1 Glvwulexflöq sru glvwulexflöq/ vh luäq frphqwdqgr orv pìwrgrv päv
kdelwxdohv gh vlpxodflöq gh odv plvpdv/ frphq}dqgr sru odv frqwlqxdv | sdvdq0
gr srvwhulruphqwh d odv yduldeohv glvfuhwdv1
814 Glvwulexflrqhv frqwlqxdv
81414 Od glvwulexflöq qrupdo
Hv reylr txh qxhvwur remhwlyr vhuä vdehu vlpxodu xqd qrupdo hvwäqgdu/ f/ |d
txh od glvwulexflöq jhqhudo E>c j/ frq sduäphwurv duelwudulrv/ sxhgh vlpxodu0
vh phgldqwh > n jf1
Pìwrgr gh Er{0Pÿoohu
Vh edvd hq od vljxlhqwh surslhgdg1 Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv lqghshqglhq0
s
s
g
g
whv . ' i T E | L ' L Efc / odv yduldeohv 2. ULt 2ZL | 2. vhq 2ZL vrq
Efc  lqghshqglhqwhv1
Dojrulwpr gh Er{0Pÿoohu
41 Jhqhudu Lc Ts L Efc 1
51 Kdfhu ` ' 2 *? L | `2 ' 2ZT 1
61 Ghyroyhu f ' ` ULt `2 / f2 ' ` vhq `2 1
Pìwrgr srodu
Gh qxhyr hv xq pìwrgr fx|r ixqgdphqwr whöulfr ghvfdqvd hq xqd surslhgdg
txh qrv gd od glvwulexflöq frqglflrqdgd d flhuwr vxfhvr gh xq sdu gh yduldeohv
wudqvirupdgdv gh rwudv xqliruphv1 Vx qrpeuh surfhgh gh txh ho xvr gh frru0
ghqdgdv sroduhv hv px| ýwlo hq od ghprvwudflöq gh glfkr uhvxowdgr1
Gdgdv grv yduldeohv lqghshqglhqwhv T | T2 / frq glvwulexflöq L Ec /
hqwrqfhv od glvwulexflöq frqglflrqdgd
v
$
# v
2 *? ET2 n T22 2 *? ET2 n T22 c T2
T
2 2
T2 n T22
T2 n T22
T nT2 $
71
72
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
f
 f
hv xqd 2
1
c
f
f 
Dojrulwpr srodu
41 Jhqhudu L c L2 L Efc 1
51 Kdfhu T ' 2L / T2 ' 2L2  | ` ' T2 n T22 1
61 Vl ` :  hqwrqfhv
yroyhu d 41
t
*? `
71 Kdfhu t ' 32`
1
81 Ghyroyhu f ' T t / f2 ' T2 t 1
Pìwrgr gho Whruhpd Fhqwudo gho Oðplwh
Vx ixqgdphqwr whöulfr/ frpr vx surslr qrpeuh lqglfd/ hv ho Whruhpd Fhqwudo
gho Oðplwh1 Gdgdv yduldeohv dohdwruldv A / A2 / / A? / lqghshqglhqwhv | frq
glvwulexflöq fxdotxlhud/ vh wlhqh txh
s  S?
? ? ' A . EA g
A >A
s
'
* Efc  /
jA
I
T @o EA ?
vl ? hv vxflhqwhphqwh judqgh1
Hvwh whruhpd sxhgh dsolfduvh sdud vlpxodu xqd Efc  wrpdqgr yduldeohv
frq rwud glvwulexflöq päv iäflo gh vlpxodu1 Ho fdvr päv kdelwxdo hv hohjlu
g
A ' L ' L Efc  | ? ' 2 +sru vlpsolflgdg gh fäofxor,1 Gh hvwd irupd/ od
vljxlhqwh yduldeoh uhvxowd whqhu glvwuulexflöq dsur{lpdgd Efc /
s  S2
2
[
2 2 ' L 2
L >A
t
'
'
L S1
jL
I
?

2
'
Dojrulwpr edvdgr hq ho WFO
41 Jhqhudu L c L2 c c L2 L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' L n L2 n n L2 S1
81415 Od glvwulexflöq gh Fdxfk|
Hvwd glvwulexflöq sxhgh ghqluvh/ gh irupd jhqhudo/ ghshqglhqgr gh grv sduä0
phwurv= > ho gh orfdol}dflöq | j ho gh hvfdod1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh
gdgd sru
s E% '
j
/ sdud wrgr % 5 U1
2
Z j n E% >2
Xq vhqfloor fäofxor shuplwh kdoodu vx ixqflöq gh glvwulexflöq=

%>

8 E% ' @hU|@?
n /
Z
j
2
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
od fxdo shuplwh lpsohphqwdu ho pìwrgr gh lqyhuvlöq1 Frq ud}rqdplhqwrv vh0
phmdqwhv d orv |d uhdol}dgrv sdud ho dojrulwpr gh od h{srqhqfldo +hq hvwh fd0
g
vr edvdgrv hq txh vl L L Efc  hqwrqfhv |@? Z L 2 ' |@? ZL ,/ sxhgh
hqfrqwuduvh xq dojrulwpr oljhudphqwh päv hflhqwh ghvgh ho sxqwr gh ylvwd
frpsxwdflrqdo=
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' j |@? EZL n >1
81416 Od glvwulexflöq h{srqhqfldo
Vh vlpxod xwlol}dqgr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq frq od vlpsolfdflöq txh |d vh
lqglfö dqwhulruphqwh=
31 Kdfhu u ' b 1
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' u *? L 1
81417 Odv glvwulexflrqhv jdppd | gh Huodqj
Od glvwulexflöq jdppd/ K E@c R/ ghshqgh gh grv sduäphwurv= @ : f/ sduäphwur
gh hvfdod/ | R : f/ sduäphwur gh irupd Od glvwulexflöq gh Huodqj qr hv päv
txh od sduwlfxodul}dflöq gh od jdppd do fdvr hq txh R 5 Q1 Od ixqflöq gh
ghqvlgdg gh xqd K E@c R ylhqh gdgd sru
& E@c R %R3 e3@% vl % f
s E% '
f
vl % f
grqgh & E@c R hv od ýqlfd frqvwdqwh srvleoh sdud txh od ixqflöq dqwhulru vhd xqd
ixqflöq gh ghqvlgdg1U Hv reylr txh/ frq wdo gh txh & E@c R f/ vh wlhqh txh
s E% f1 Sdud txh s E% _% ' / kd gh yhulfduvh=
]
]
] "
& E@c R " + R3 3+
& E@c R %R3 e3@% _% '
e _+
 '
s E% _% '
@
@
f
f
]
K ER
& E@c R " R3 3+
+ e _+ ' & E@c R R /
'
R
@
@
f
U " R3 3%
grqgh vh ghqh K ER ' f % e _%/ txh hv od oodpdgd ixqflöq jdppd gh
@R
/ |/ sru wdqwr/ od
Hxohu1 D sduwlu gh wrgr or dqwhulru vh wlhqh & E@c R ' KER
ghqvlgdg gh od jdppd uhvxowd vhu
@R R3 3@%
vl % f
% e
KER
s E% '
f
vl % f
73
74
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Sxhgh ghprvwuduvh xqd uhodflöq uhfxuvlyd sdud K ER vlq päv txh kdfhu xqd
lqwhjudflöq sru sduwhv/ wrpdqgr ' %R3 | _ ' e3% _%1 Dvð/ vh wlhqh/
] "
] "
"
%R3 e3% _% ' %R3 e3% f ER  %R32 e3% _%
K ER '
f
f
] "
R32 3%
' ER 
% e _% ' ER  K ER  1
f
Hvwr shuplwh uhgxflu ho fäofxor gh K ER do fdvr hq txh R 5 Efc o/ |d txh
K ER ' ER  ER 2 ER gRh K ER gRh 1
U"
Gdgr txh K E ' f e3% _% ' / od iöupxod dqwhulru vh vlpsolfd fxdqgr R 5 Q/
gdqgr oxjdu d K ER ' ER - Sru hvwh prwlyr vh glfh txh od ixqflöq jdppd
gh Hxohu jhqhudol}d od qrflöq gh idfwruldo gh xq qýphur d fxdotxlhu ydoru uhdo
srvlwlyr1 Dghpäv/ fxdqgr R '  od ghqvlgdg gh od jdppd hv
3@%
vl % f
@e
s E% '
f
vl % f
g
hv ghflu K E@c  ' i T E@1
Xqd surslhgdg px| lpsruwdqwh gh od glvwulexflöq jdppd hv od oodpdgd
surslhgdg gh uhsurgxfwlylgdg/ txh dupd txh vl vh glvsrqh gh grv yduldeohv
g
g
dohdwruldv lqghshqglhqwhv/ f ' K E@c R h f ' K E@c R2 / hqwrqfhv od vxpd gh
g
dpedv wdpelìq hv xqd jdppd= f nt ' K E@c R n R2 1 Hvwh uhvxowdgr vh sxhgh
jhqhudol}du/ sru lqgxfflöq d od vxpd gh fxdotxlhu qýphur qlwr gh yduldeohv
jdppd lqghshqglhqwhv frq sulphu sduäphwur/ @/ frlqflghqwh1 Hq yluwxg gh hoor/
vl R hv hqwhur/ gdgdv f / f2 / / fR yduldeohv lqghshqglhqwhv frq
S glvwulqxflöq
i T E@ +r/ or txh hv or plvpr K E@c , vh wlhqh txh vx vxpd/ R' f / wlhqh
glvwulexflöq K E@c R1 Frpr frqvhfxhqfld/ od glvwulexflöq gh Huodqj vh sxhgh
vlpxodu iäflophqwh frpr vxpd gh h{srqhqfldohv=
Dojrulwpr uhsurgxfwlyr gh vlpxodflöq gh od Huodqj
41 Ghvgh '  kdvwd R kdfhu
4141 Jhqhudu L L Efc 1
4151 Kdfhu f ' S*?@L 1
51 Ghyroyhu f ' R' f 1
Hvwh dojrulwpr sxhgh djlol}duvh frpsxwdflrqdophqwh ghqlhqgr suhyldphqwh
ho ydoru u ' @ | fdofxodqgr xq ýqlfr orjdulwpr +hq oxjdu gh R, judfldv d txh
SR
SR *? L
TR

' f ' ' @ ' @ *? E ' L 1 Dvð vh wlhqh=
Dojrulwpr uhsurgxfwlyr gh vlpxodflöq gh od Huodqj rswlpl}dgr
31 Kdfhu u ' @ 1
41 Kdfhu 7 ' 1
51 Ghvgh '  kdvwd R kdfhu
5141 Jhqhudu L L Efc 1
5151 Kdfhu 7 ' 7 L 1
61 Ghyroyhu f ' u *? 71
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
Orv dojrulwprv dqwhulruhv vöor vrq yäolgrv sdud R hqwhur/ vlhqgr dghpäv px|
ohqwrv vl R hv judqgh1 Sru frqwud vrq px| vlpsohv | gh iäflo lpsohphqwdflöq1
Frpr dowhuqdwlyd h{lvwhq rwurv dojrulwprv päv frpsolfdgrv txh fxeuhq wdpelìq
ho fdvr hq txh R qr vhd hqwhur1 Yhuhprv ho dojrulwpr gh Wdglndpdood +4<:;,
sdud vlpxodu xqd K Ec R1 Vh wudwd gh xq dojruwlpr gh dfhswdflöq2uhfkd}r/ txh
vöor hv yäolgr vl R : e | txh xvd frpr ghqvlgdg dx{loldu xqd greoh h{srqhqfldo
fhqwudgd hq R  | frq sduäphwur gh hvfdod gdgr sru
b'
2

s
'
w
 n eR Sdud od lpsohphqwdflöq gho dojrulwpr gheh ghqluvh od ixqflöq
Ew  % R3
m% ER m n ER  Ew n 
1
i T % n
A E% ' w ER  w
Dojrulwpr gh Wdglndpdood
41 Jhqhudu f/ greoh h{srqhqfldo frq phgld R  | hvfdod b1
51 Vl f f hqwrqfhv yroyhu d 41
61 Jhqhudu L L Efc 1
71 Vl L A Ef hqwrqfhv ghyroyhu f/ vlqö yroyhu d 41
Sdud vlpxodu xqd KE@c R frq xq @ fxdotxlhud/ xvduhprv ho khfkr gh txh vl
g
g
f ' K E@c R hqwrqfhv t ' @f ' K Ec R1 Dvl sxhv edvwduä vlpxodu t vhjýq
t
xqd K Ec R | oxhjr kdfhu f ' @ 1
81418 Od glvwulexflöq ehwd
g
g
Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv t ' K Ec R | ~ ' K Ec ^/ lqghshqglhqwhv/ vh
glfh txh od yduldeoh
f'
t
t n~
wlhqh glvwulexflöq q ERc ^/ ehwd gh sduäphwurv R | ^1 Sxhgh ghprvwuduvh txh hq
g
od ghqlflöq srguðdq kdehuvh wrpdgr yduldeohv frq glvwulexflrqhv t ' K E@c R
g
| ~ ' K E@c ^/ |d txh od glvwulexflöq gh od f uhvxowdqwh qr ghshqgh gho @
hohjlgr1 Od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd q ERc ^ ylhqh gdgd sru
; R3
^3
? % E %
vl % 5 dfc o
s E% '
q ERc ^
=
f
hq rwur fdvr
U
vlhqgr q ERc ^ ' f %R3 E %^3 _%1
H{lvwhq pxowlwxg gh dojrulwprv sdud vlpxodu od glvwulexflöq q ERc ^1 Sured0
eohphqwh/ ho päv vhqfloor gh wrgrv hv ho txh vh rewlhqh/ d sduwlu gh od glvwulexflöq
75
76
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
jdppd/ frpr frqvhfxhqfld gh od sursld ghqlflöq1 Ho dojrulwpr gh Ir{ +4<96,
hv dghfxdgr sdud vlpxodu od glvwulexflöq ehwd fxdqgr Rc ^ 5 Q | vrq ydoruhv
shtxhôrv1
Dojruwlpr gh Ir{
41
Jhqhudu L c L2 c c LRn^3 L Efc 1
51
Rughqduorv=
61
Ghyroyhu f ' LER 1
LE LE2 LERn^3 1
Hv reylr txh hvwh dojrulwpr sxhgh uhvxowdu px| ohqwr vl dojxqr gh orv grv
sduäphwurv hv hohydgr +sxhv kdeuä txh vlpxodu pxfkdv xqliruphv sdud frq0
vhjxlu xq ydoru vlpxodgr gh od ehwd,1 Dghpäv/ hq ixqflöq gh fxäo gh orv grv
sduäphwurv/ R ö ^/ vhd pd|ru/ uhvxowduä päv hflhqwh/ hq ho sdvr 5/ frphq}du
d rughqdu sru ho pd|ru/ oxhjr ho vhjxqgr pd|ru/ | dvð vxfhvlydphqwh/ r kdfhu0
or hpsh}dqgr sru ho phqru1 Hq fxdotxlhu fdvr/ hv reylr txh qr hv qhfhvdulr
rghqdu wrgrv orv ydoruhv L jhqhudgrv/ vlqr wdq vöor hqfrqwudu ho txh rfxsd ho
oxjdu R0ìvlpr1
Xq pìwrgr yäolgr dxqtxh R ö ^ qr vhdq hqwhurv hv ho gdgr sru ho dojrulwpr
gh Mùkqn +4<97,1
Dojrulwpr gh Mùkqn
41
Uhshwlu1
4141
Jhqhudu Lc T L Efc 1
4151
Kdfhu t ' L R / ~ ' T ^ / 7 ' t n ~1

51
Kdvwd txh 7 1
61
Kdfhu f '

t
1
7
Ho pìwrgr uhvxowd h{wuhpdgdphqwh lqhflhqwh sdud R ö ^ pd|ruhv txh 41
Hvwr hv ghelgr d txh od frqglflöq 7  gho sdvr 5 sxhgh wdugdu pxfkðvlpr hq
yhulfduvh1 Sru hvwh prwlyr/ ho dojrulwpr gh Mùkqn vöor hv uhfrphqgdeoh sdud
R  | ^ 1 Frpr uhphglr d hvwr sxhgh xvduvh ho dojrulwpr gh Fkhqj +4<:;,
txh hv edvwdqwh päv odujr gh lpsohphqwdu shur wdpelìq pxfkr päv hflhqwh1
Dojrulwpr gh Fkhqj
3141
Kdfhu k ' R n ^1
3151 Vl 4? ERc ^  hqwrqfhv kdfhu q '
t
k32
1
q ' 2R^3k
3161
41

/
4?ERc^
hq rwur fdvr kdfhu
Kdfhu ' R n q 1
61
Jhqhudu L c L2 L Efc 1
L
Kdfhu T ' q *? 3L
| ` ' R eT 1

k
Vl k *? ^n`
n T *? e *? EL2 L2 hqwrqfhv yroyhu d 41
71
Ghyroyhu f '
51
`
1
^n`
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
81419 Od glvwulexflöq fkl0fxdgudgr gh Shduvrq
Gdgdv yduldeohv dohdwruldv ~ c ~S
2 c c ~? lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq
frpýq Efc / od yduldeoh f ' ?' ~2 vh glfh gh glvwulexflöq fkl0fxdgudgr
frq ? judgrv gh olehuwdg/ l1h1 2? 1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd sru
?
s E% '
%
% 2 3 e3 2
/ sdud wrgr % f1
?
2 2 K ?2
g
Frpr frqvhfxhqfld/ 2? ' K 2 c ?2 | orv dojrulwprv ylvwrv sdud od glvwulexflöq
jdppd vrq dsolfdeohv d hvwh fdvr1 Dghpäv/ ghelgr d od uhsurgxfwlylgdg |d
g phqflrqdgd vh wlhqh txh K 2 c ?2 ' K 2 c ?2 n K 2 c 2 / fxdqgr ? qr vhd
sdu/ vlhqgr hvwd ýowlpd glvwulexflöq/ K 2 c 2 / od gho fxdgudgr gh xqd qrupdo
hvwäqgdu1 Gh hvwd irupd/ vh wlhqh ho vljxlhqwh dojrulwpr sdud od vlpxodflöq gh
od fkl0fxdgudgr=
Dojrulwpr uhsurgxfwlyr
sdud vlpxodu od fkl0fxdgudgr
31 Kdfhu 6 ' ?2 1
41 Kdfhu 7 ' 1
51 Ghvgh '  kdvwd 6 kdfhu
5141 Jhqhudu L L Efc 1
5151 Kdfhu 7 ' 7 L 1
61 Kdfhu f ' 2 *? 71
71 Vl ? hv lpsdu kdfhu
7141 Jhqhudu ~ Efc 1
7151 Kdfhu f ' f n ~ 2 1
81 Ghyroyhu f1
Gh wrgdv irupdv/ vl ? hv judqgh hv uhfrphqgdeoh xvdu ho dojrulwpr gh Wdglnd0
pdood1
8141: Od glvwulexflöq 8 gh Ilvkhu0Vqhghfru
g
g
Gdgdv grv yduldeohv dohdwruldv t ' 26 h t2 ' 2? lqghshqglhqwhv/ od yduldeoh
dohdwruld ghqlgd sru
f'
t
6
t2
?
vh glfh gh glvwulexflöq 8 gh Vqhghfru +r gh Ilvkhu, frq 6 | ? judgrv gh olehuwdg
+86c? ,1 Vx ghqvlgdg hv
? ?2
6
? 3 6n?
2
/ sdud wrgr % f/
s E% ' 66 ? % 2 3 % n
6
q 2c2
77
78
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
txh uhfxhugd d od gh xqd ehwd1 Dghpäv gh srghu vlpxoduvh d wudyìv gh dojr0
ulwprv gh jhqhudflöq gh od fkl0fxdgudgr +frpr frqvhfxhqfld gh vx ghqlflöq,/
wdpelìq sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho xvr gh xqd glvwulexflöq ehwd1
Dojrulwpr gh vlpxodflöq
gh od 8 d wudyìv gh od ehwd
41 Jhqhudu ~ q 62 c ?2 1
?~
1
51 Kdfhu f ' 6E3~
8141; Od glvwulexflöq | gh Vwxghqw
g
g
Gdgdv grv yduldeohv lqghshqglhqwhv t ' Efc  h t2 ' 2? / od yduldeoh dohdwr0
uld
t
f't
t2
?
vh glfh txh wlhqh glvwulexflöq | gh Vwxghqw frq ? judgrv gh olehuwdg +|? ,1 Od
ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd |? hv
3 ?n
2
K ?n
%2
2
/ sdud wrgr % 5 U1
n
s E% '
? s
?
K 2
?Z
Whqlhqgr hq fxhqwd od vlphwuðd gh hvwd glvwulexflöq | vx uhodflöq frq od 8 gh
g
Vqhghfru= E|? 2 ' 8c? / sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh od | gh Vwxghqw1
Dojrulwpr gh vlpxodflöq gh od | gh Vwxghqw d sduwlu gh od 8
41 Jhqhudu L L Efc  | ~ 8c? 1
s
s
51 Vl L fD hqwrqfhv ghyroyhu f ' ~/ vlqr ghyroyhu f ' ~1
8141< Od glvwulexflöq gh Zhlexoo
Od glvwulexflöq gh Zhlexoo/ ` Ebc k/ hv xqd jhqhudol}dflöq gh od glvwulexflöq
i T Ek1 Vx ixqflöq gh ghqvlgdg gh suredelolgdg hv
k
s E% ' kbk %k3 e3Eb% / sdud wrgr % f1
g
Frpr vh yh/ ` Ebc  ' i T Eb1 Hvwd glvwulexflöq vh xwlol}d pxfkr hq delolgdg
| dqäolvlv gh vxshuylyhqfld sdud prghol}du ho wlhpsr gh ylgd gh xqd frpsrqhqwh
r gh xq vhu ylyr1 Sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh phgldqwh ho pìwrgr gh lqyhuvlöq
oljhudphqwh rswlpl}dgr1
Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq gh Zhlexoo
41 Jhqhudu L L Efc 1
51
Ghyroyhu f '

E3 *? L k
b
1
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
814143 Od glvwulexflöq orjðvwlfd
Hv od txh wlhqh sru ixqflöq gh glvwulexflöq=
8 E% '

 n e3
%3@
K
/ ;% 5 U/
vlhqgr @ 5 U | K : f1 Sxhgh vlpxoduvh iäflophqwh phgldqwh ho pìwrgr gh
lqyhuvlöq1
Dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq orjðvwlfd phgldqwh lqyhuvlöq
41 Jhqhudu L L Efc 1 51 Ghyroyhu f ' @ K *? L  1
814144 Od glvwulexflöq gh Sduhwr
Wlhqh xwlolgdg hq flhqfldv frpr od Hfrqrpðd/ grqgh hq rfdvlrqhv vluyh sdud
prghol}du glvwulexflrqhv gh uhqwdv1 Vx ghqvlgdg ylhqh gdgd sru
+
@K@
vl % K
s E% '
%@n
f
vl % K
Frpr frqvhfxhqfld/ vx ixqflöq gh glvwulexflöq uhvxowd
f vl % K
8 E% '
@
vl % K
 %K
|/ sru wdqwr/ hv vlpxodeoh phgldqwh lqyhuvlöq1 Xqd yhuvlöq öswlpl}dgd gho
dojrulwpr hv=
Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq gh Sduhwr
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' K 1
L@
815 Glvwulexflrqhv glvfuhwdv
81514 Od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd
Gdgr xq frqmxqwr qlwr gh hohphqwrv +vlq sìuglgd gh jhqhudolgdg vxsrq0
guhprv ho frqmxqwr ic 2c c j, od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd hq glfkr
frqmxqwr +r htxlsuredeoh vreuh glfkr frqmxqwr, hv od ghqlgd sru Ef ' '

/ sdud ' c 2c c 1 Wdqwr ho pìwrgr gh lqyhuvlöq +fdofxodqgr h{soðfl0
wdphqwh od ixqflöq fxdqwlo, frpr ho gh wuxqfdplhqwr gdq oxjdu do vljxlhqwh
dojrulwpr1
79
80
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd
hq ic 2c c j
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' g L h n 1
81515 Od glvwulexflöq elqrpldo
Od glvwulexflöq elqrpldo gh h{whqvlöq ? | suredelolgdg gh ì{lwr R/ E?c R/ vh
ghqh frpr ho qýphur gh ì{lwrv hq ? suxhedv lgìqwlfdv/ lqghshqglhqwhv/ hq odv
txh od suredelolgdg gh ì{lwr hv R1 Vx pdvd gh suredelolgdg hv
? Ef ' '
R E R?3 / sdud ' fc c c ?1
Sxhgh vlpxoduvh d sduwlu gh vx ghqlflöq=
41 Kdfhu 7 ' f1
51 Uhshwlu ? yhfhv
5141 Jhqhudu L L Efc 1
5151 Vl L R hqwrqfhv kdfhu 7 ' 7 n 1
61 Ghyroyhu f ' 71
Hvwh pìwrgr hv h{wuhpdgdphqwh ohqwr fxdqgr ? hv judqgh/ sru hvr/ hq hvh
fdvr/ uhvxowd päv yhqwdmrvr xwlol}du ho pìwrgr gh od wdeod jxðd1
81516 Od glvwulexflöq gh Srlvvrq
Xqd yduldeoh dohdwruld glvfuhwd/ f/ wlhqh glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur
b : f vl vx pdvd gh suredelolgdg ylhqh gdgd sru
Ef ' '
e3b b
/ sdud ' fc c -
Od glvwulexflöq gh Srlvvrq sxhgh vlpxoduvh phgldqwh ho pìwrgr gh od wudqviru0
pdflöq fxdqwlo frq eývtxhgd vhfxhqfldo1 Wdpelìq sxhgh vlpxoduvh kdflhqgr
xvr gh od uhodflöq txh jxdugd frq od glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Dvð/ gdgdv yd0
uldeohv dohdwruldv A / A2 / / A? / lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq i T Eb/
od yduldeoh dohdwruld hqwhud/ f/ txh yhulfd
f
[
'
A  fn
[
A /
'
+ghqlhqgr f ' f vl A : , wlhqh glvwulexflöq SrlvEb1
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
Odv yduldeohv dohdwruldv A sxhghq vlpxoduvh/ xwlol}dqgr ydoruhv L gh xqd
xqliruph/ phgldqwh A ' *?bL 1 Hq yluwxg gh hoor/ vh wlhqh
f
[
A  '
*?
f
T
'
fn
[
'
L
b
f
\
'
A / *?
fn
T

L e3b :
'
b
fn
\
f
[
*? L
'
b
L
/ *?

fn
[
'
#f
\
*? L
/
b
$
L
b : *?
'
#fn
\
$
L
/
'
L 1
'
Dvð/ sxhgh xwlol}duvh ho vljxlhqwh dojrulwpr=
Dojrulwpr gh vlpxodflöq gh od Srlvvrq d wudyhv gh od h{srqhqfldo
41 Kdfhu R '  | 7 ' 1
51 Uhshwlu
5141 Jhqhudu L L Efc 1
5151 Kdfhu R ' R L | 7 ' 7 n 1
61 Kdvwd txh R e3b 1
71 Kdfhu f ' 71
Wdqwr hvwh dojrulwpr frpr ho gh od wudqvirupdflöq fxdqwlo wlhqhq ho lqfrq0
yhqlhqwh gh vhu px| lqhflhqwhv fxdqgr b hv judqgh1 Hq hvh fdvr/ dxqtxh od
glvwulexflöq gh Srlvvrq wlhqh xq qýphur lqqlwr gh srvleohv uhvxowdgrv/ hv shu0
ihfwdphqwh dsolfdeoh ho pìwrgr gh od wdeod jxðd/ djuxsdqgr wrgrv orv lqqlwrv
ydoruhv d sduwlu gh xqr hq dghodqwh1 Hvwr ghvhperfd hq xqd eývtxhgd vhfxhq0
fldo fxdqgr ho lqwhuydor hohjlgr vhd ho ýowlpr gh od wdeod1 Gh hvwd irupd vh
phmrud px| frqvlghudeohphqwh od hflhqfld gho pìwrgr1
81517 Od glvwulexflöq jhrpìwulfd
Vx pdvd gh suredelolgdg hv
Ef ' ' R E R / sdud ' fc c Dsduwh gh srghu vlpxoduvh d sduwlu gh vx ghqlflöq +qýphur gh iudfdvrv dqwhv
gho sulphu ì{lwr, wdpelìq sxhgh kdfhuvh sru wuxqfdplhqwr1 Frpr |d vh ylö hq
vx prphqwr/ ho dojrulwpr txh uhvxowd sru hvwh pìwrgr hv htxlydohqwh do edvdgr
hq od h{suhvlöq h{soðflwd gh od ixqflöq fxdqwlo1
Dojrulwpr gh wuxqfdplhqwr sdud od glvwulexflöq jhrpìwulfd

1
31 Kdfhu u ' *?E3R
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu A ' u *? L 1
61 Ghyroyhu f ' gA h1
81
82
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
81518 Od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd
Frpr hv vdelgr/ od glvwulexflöq elqrpldo qhjdwlyd/ Eoc R/ jhqhudol}d od
jhrpìwulfd1 Sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho o0ìvlpr
ì{lwr1 Vx ixqflöq gh pdvd gh suredelolgdg hv
no o
Ef ' '
R E R / sdud ' fc c Ghelgr d vx uhsurgxfwlylgdg hq ho sduäphwur o/ sxhgh vlpxoduvh frpr vxpd
gh o yduldeohv jhrpìwulfdv/ dxqtxh hvwh dojrulwpr sxhgh vhu px| frvwrvr hq
wlhpsr gh frpsxwdflöq vl o hv hohydgr1 H{lvwh wdpelìq xq pìwrgr hvshfðfr
edvdgr hq od surslhgdg
R
g
g
g
c o , f ' Eoc R 1
fmt ' Srlv Et / t ' K
R
Dojrulwpr frqglflrqdo
sdud
vlpxodu od elqrpldo qhjdwlyd
R
41 Vlpxodu u K 3R c o 1
51 Vlpxodu f SrlvEu1
61 Ghyroyhu f1
816 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 ÁSrguðd prglfduvh ho dojrulwpr gdgr frpr vroxflöq do hmhuflflr 4/ sur0
sxhvwr hq ho whpd 6/ sdud phmrudu vx hflhqfld/ gh irupd txh vh xwlolfhq
dkrud wuhv yduldeohv h{srqhqfldohv gh sduäphwur 5B ÁFöprB
51 Xq surjudpd dqwlyluxv frpsuxhed/ wdq vror/ dojxqdv srvlflrqhv gh phpr0
uld +hohjlgdv dohdwruldphqwh, gh xq rughqdgru1 Ghelgr d hvwr/ hq rugh0
qdgruhv frq yluxv/ od suredelolgdg gh txh ho surjudpd or ghwhfwh hq xqd
ýqlfd hmhfxflöq hv gho ;3(1 Vxsrqlhqgr txh odv glvwlqwdv hmhfxflrqhv gho
surjudpd dfwýdq gh irupd lqghshqglhqwh/ gdgr xq rughqdgru frq yluxv/
Áföpr srguðd vlpxoduvh od yduldeoh qýphur gh hmhfxflrqhv kdvwd txh vh
ghwhfwd ho yluxvB ÁSrguðd kdfhuvh or dqwhulru phgldqwh ho xvr gh xq vror
qýphur svhxgrdohdwrulr xqliruph sru fdgd ydoru d vlpxodu gh od yduldeoh
gh lqwhuìvB
61 Od yduldeoh f/ wlhpsr txh wudqvfxuuh hqwuh odv uhvsxhvwdv d grv frpdqgrv
frqvhfxwlyrv hmhfxwdgrv sru xq xvxdulr gh xq oderudwrulr gh lqirupäwl0
fd/ sxhgh prghol}duvh frpr vxpd gho wlhpsr txh ho xvxdulr wdugd hq
shqvdu ho vljxlhqwh frpdqgr d hmhfxwdu +wklqnlqj wlph, | gho wlhpsr gh
uhvsxhvwd gho vlvwhpd dqwh od hmhfxflöq gho frpdqgr hq fxhvwlöq +wlhpsr
Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables
gh uhvsxhvwd,1 Vxsrqlhqgr txh ho wklqnlqj wlph vh prghol}d vhjýq xqd
glvwulexflöq K E2c | txh sdud ho wlhpsr gh uhvsxhvwd vh xvd xqd qrupdo
gh phgld fD | ghvyldflöq wðslfd f/ vh slgh=
+d, Ghwdoodu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh dohdwruld f1
+e, Frphqwdu od hflhqfld gho dojrulwpr hqfrqwudgr1
71 Hq ho oderudwrulr gh lqirupäwlfd gho hmhuflflr dqwhulru kd| wuhv lpsuhvrudv1
Sdud fdgd lpsuhvrud/ od suredelolgdg gh hqfrqwuduod dwdvfdgd hv gh xq
43(1
+d, Kdoodu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od yduldeoh qýphur gh lpsuhvrudv
rshudwlydv gho oderudwrulr1
+e, Hqfrqwudu xq dojrulwpr/ sdud ho plvpr q/ xwlol}dqgr xq vöor qýphur
dohdwrulr xqliruph hq Efc / sru fdgd ydoru gh od yduldeoh d vlpxodu1
81 Od iudfflöq gh wlhpsr +r wdqwr sru xqr, txh fdgd lpsuhvrud gho hmhuflflr
dqwhulru hvwä rfxsdgd hv xqd yduldeoh frqwlqxd frq ixqflöq gh ghqvlgdg=
f% E %b vl % 5 dfc o
s E% '
f
hq rwur fdvr
+d, Rewhqhu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od iudfflöq gh wlhpsr gh rfx0
sdflöq gh xqd lpsuhvrud1
+e, Frphqwdu od hflhqfld gho dojrulwpr gho dsduwdgr dqwhulru1
+f, ÁHv srvleoh hqfrqwudu xq dojrulwpr sdud ho txh vhsdprv gh dqwhpdqr
ho qýphur gh qýphurv dohdwrulrv xqliruphv qhfhvdulrv sdud vlpxodu
xq ydoru gh od iudfflöq gh wlhpsr gh rfxsdflöqB Hq fdvr dupdwlyr/
ghwdoodu föpr1
83
6
Simulación de distribuciones
multidimensionales
Simulación de distribuciones multidimensionales
91 0
$
Od vlpxodflöq gh yhfwruhv dohdwrulrv f ' Ef c f2 c c f_ txh vljdq flhuwd
glvwulexflöq gdgd qr hv wduhd vlhpsuh vhqflood1 Hq jhqhudo/ qr uhvxowd xqd
h{whqvlöq lqphgldwd gho fdvr xqlglphqvlrqdo/ dýqtxh/ vl odv yduldeohv txh frp0
srqhq ho yhfwru vrq lqghshqglhqwhv/ hqwrqfhv edvwduä vlpxodu fdgd f frq od
glvwulexflöq pdujlqdo ghvhdgd +8 , | oxhjr djuxsdu orv ydoruhv vlpxodgrv sdud
fdgd frpsrqhqwh hq xq yhfwru1
Hq od pd|ru sduwh gh orv fdvrv gh lqwhuìv/ odv frpsrqhqwhv gho yhfwru dohdwr0
ulr vrq ghshqglhqwhv | ho pìwrgr dqwhulru qr hv yäolgr1 D frqwlqxdflöq vh yhuäq
dojxqrv pìwrgrv jhqhudohv sdud od vlpxodflöq gh glvwulexflrqhv pxowlglphqvlr0
qdohv1
914 Pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv
Vxsöqjdvh xq yhfwru dohdwrulr _0glphqvlrqdo/ frq glvwulexflöq frqwlqxd1 Ghqö0
whvh sru s E% c %2 c c %? vx ixqflöq gh ghqvlgdg frqmxqwd | frqvlgìuhvh od
sulphud ghqvlgdg pdujlqdo/ s E% / | odv vxfhvlydv ghqvlgdghv frqglflrqdohv
s2 E%2 m% / s E% m% c %2 / / s_ E%_ m% c %2 c c %_3 1 Judfldv d od uhjod gho
surgxfwr/ jhqhudol}dgd d ixqflrqhv gh ghqvlgdg/ vh wlhqh
s E% c %2 c c %? ' s E% s2 E%2 m% s E% m% c %2 s_ E%_ m% c %2 c c %_3 |/ frpr frqvhfxhqfld/ sxhgh gduvh ho vljxlhqwh dojrulwpr jhqhudo=
41 Jhqhudu f frq ghqvlgdg s 1
51 Ghvgh ' 2 kdvwd _ jhqhudu f frq ghqvlgdg
s Emf c f2 c c f3 1
$
61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 c c f_ 1
Hv lqphgldwr frpsuredu txh ho pìwrgr dqwhulruphqwh h{sxhvwr hv ljxdo0
phqwh yäolgr vl odv yduldeohv f vrq glvfuhwdv r/ lqfoxvr/ vl dojxqdv vrq glvfuh0
wdv | rwudv frqwlqxdv1 Hq wdo fdvr vh vxvwlwxluðd od ghqvlgdg sru od pdvd gh
suredelolgdg1 Dvð sxhv/ or uhdophqwh lpsruwdqwh sdud srghu dsolfdu ho pìwrgr
gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv hv frqrfhu | vdehu vlpxodu od glvwulexflöq
pdujlqdo gh f | odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv gho wlsr f mf c f2 c c f3
sdud ' 2c c c _1
Hmhpsor 56 Wudwduhprv gh gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq qru0
pdo elglphqvlrqdo sru ho pìwrgr gh odv glvwulexflrqhv frqglflrqdgdv1 Frqvl0
87
88
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
ghuhprv xqd
2
>
>2
2
j  j2
c
c
j 2 j 22
sru odv surslhgdghv gh od glvwulexflöq qrupdo/ edvwduä vdehu vlpxodu od glvwulex0
flöq
2
f
j  j 2
c
2
j 2 j 22
f
>
| oxhjr vxpduoh ho yhfwru
1
>2
g
Gdgr txh f ' Efc j  / vh wlhqh txh

%2
s E% ' s i T 2 1
2j 
j  2Z
Dghpäv
$
%'
s E% c %2 ' s E
Frpr
3
P

'
_i| EP

 $| 3 s
% 1
% P $
i T 2
2Z _i| EP
j 22 j 2
j 2 j 2

' 2 2
j  j 2 j 22
j 22 j2
j 2 j 2
/
vh wlhqh txh
j 2 %2 2j 2 % %2 n j 2 %22

$
$
% ' 2 
% | P3 2
2 Ej 2 j 22 j 22 |/ sru wdqwr/
s E% c %2 s2 E%2 m% '
s E% 2 2
%2
j 2 % 2j 2 % %2 n j 2 %22
i T 2
2 Ej 2 j 22 j 22 2j
s
j  2Z
' s 2 2
2Z j  j 2 j 22
2 2 2

j j2 % 2j 2 j 2 % %2 n j e %22 Ej 2 j 22 j 22 %2
's t 2 2 2 i T j j2 3j 2
2j 2 Ej 2 j 22 j 22 2Z
j 2

2j 2 j 2 % %2 n j e %22 n j 22 %2
's t 2 2 2 i T j  j 2 3j 2
2j 2 Ej 2 j 22 j 22 2Z
j 2
3
4
j22 %2
2j 2 % %2
2
n
%
n
2
e
2

j
j
D
' s t 2 2 2 i T C
j 2 j 22 3j22
j  j 2 3j 2
2
2
2Z
j
j2
3 2 4
j 2 %
%
2
j 2

F
E
' s t 2 2 2 i T C
D/
2 j 2 3j 2
j
j  j 2 3j 2
 2
2
2 j2
2Z
2
j

Simulación de distribuciones multidimensionales
t 2 2 2 j  j 2 3j 2
1
txh hv od ghqvlgdg gh xqd jj22 % c
j 2

Hq uhvxphq/ vh wlhqh txh vl
2
f
j  j 2
f
g
c
/
' 2
f2
j 2 j 22
f
t 2 2 2 g
g
j  j2 3j 2
1 Dvð/ ho dojrulwpr
hqwrqfhv f ' Efc j  | f2 mf ' jj22 f c
j 2

gh vlpxodflöq frqvlvwluðd hq orv vljxlhqwhv sdvrv=
41 Vlpxodu ~ c ~2 Efc  lqghshqglhqwhv1
51 Kdfhu t ' j  ~ 1
t 2 2 2
j j2 3j 2
1
61 Kdfhu t2 ' jj22 t n ~2
j 2

71 Kdfhu f ' t n > / f2 ' t2 n >2 1
$
81 Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1
Hmhpsor 57 +Od glvwulexflöq xqliruph hq ho fðufxor xqlwdulr, Vh wudwd
gh od glvwulexflöq elglphqvlrqdo frqwlqxd fx|d ghqvlgdg hv frqvwdqwh hq glfkr
fðufxor
' iE% c %2 5 U2 *%2 n %22 j
Vx ixqflöq gh ghqvlgdg ylhqh gdgd/ sru wdqwr/ sru

vl E% c %2 5 Z
s E% c %2 '
*
f vl E% c %2 5
Od ghqvlgdg pdujlqdo gh od sulphud yduldeoh uhvxowd
s
] ns3%2
2  %2

_%2 '
vl % 5 dc o /
s E% ' s
Z
3 3%2 Z
hv ghflu/
s E% '
Dghpäv
s2 E%2 m% '
2
Z
f
s
 %2
vl % 5 dc o
* dc o
vl % 5
t
t

s E% c %2 
2
2
/
vl
%
' sZ 2 ' s

%
c

%
5
2


2 3%
s E% 2  %2
Z
ydolhqgr fhur hq rwur fdvr1 Vh wlhqh hqwrqfhv txh
t
t
g
2
2
f2 mf ' L  f c  f c
vlhpsuh txh f 5 dc o1
89
90
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Ilqdophqwh/ ho dojrulwpr uhvxowd=
s
Vlpxodu f frq ghqvlgdg s kE% ' Z2  %2 tƒ% ƒ$
l 1
s
s
2
2
51 Vlpxodu f2 frq ghqvlgdg L  f c  f 1
$
61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1
Sdud ho sdvr 4 sxhgh xwlol}duvh/ sru hmhpsor/ ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r/
sxhv vh wudwd gh xqd ghqvlgdg dfrwdgd ghqlgd hq xq lqwhuydor dfrwdgr1
41
915 Ho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r
Od lghd jhqhudo gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv dsolfdeoh sdud vlpxodu
yduldeohv dohdwruldv ghqlgdv hq fxdotxlhu hvsdflr +qr vöor hq U,1 Hq sduwlfxodu
sxhgh xvduvh sdud vlpxodu yhfwruhv dohdwrulrv gh U_ 1 Vlq hpedujr/ hq hvwh
frqwh{wr/ uhvxowd pxfkr päv gliðflo hqfrqwudu xqd ghqvlgdg dx{loldu dghfxdgd
|/ hvshfldophqwh/ frqvhjxlu txh ho qýphur phglr gh frpsdudflrqhv gho pìwrgr
vh pdqwhqjd ghqwur gh xqrv oðplwhv gh hflhqfld ud}rqdeohv fxdqgr od glphqvlöq
hv hohydgd1 Yhdprv xq hmhpsor
Hmhpsor 58 Vlpxodflöq gh sxqwrv xqliruphphqwh glvwulexðgrv vreuh od hv0
ihud xqlwduld _0glphqvlrqdo
_ ' E% c %2 c c %_ *%2 n %22 n n %2_  1
Ghqrwdqgr sru T_ E/ ho yroxphq +od phglgd, gh od hvihud _0glphqvlrqdo gh
udglr  +hq jhqhudo/ od gh udglr o yhulfd T_ Eo ' o_ T_ E,/ vh wlhqh=

vl E% c %2 c c %_ 5 _
T_ E
s E% c %2 c c %_ '
f
vl E% c %2 c c %_ 5
* _
_
Sdud vlpxodu ydoruhv hq
U / frq ghqvlgdg gs / srghprv xwlol}du frpr ghqvlgdg
dx{loldu od gh xqd L dc o dc o dc o ' L dc o_ / gdgd
sru

vl % 5 dc o/ sdud wrgr ' c 2c c _
2_
} E% c %2 c c %_ '
f
hq rwur fdvr
Od frqvwdqwh S öswlpd sdud od xwlol}dflöq gho pìwrgr gh dfhswdflöq2uhfkd}r hv

$
%
2_
s E
T_ E
'
'

$
% *}E % :f } E
%
T_ E
2_
$
$
| od frqglflöq gh dfhswdflöq SL } A s A vh frqylhuwh hq
S ' 3< 4@3<


2_
$
$
L _ d3co_ A _ A /
T_ E 2
T_ E
Simulación de distribuciones multidimensionales
$
$
r/ or txh hv or plvpr/ L d3co_ A _ A 1 Gdgr txh ho qýphur dohdwr0
ulr L hvwä hq ho lqwhuydor dfc  |txhodv ixqflrqhv
lqglfdgrudv ydohq f ö / hvwd
$
$
$
frqglflöq htxlydoh d txh d3co_ A ' _ A / hv ghflu/ d txh A 5 _ / hv
ghflu/ txh vh yhultxh
A2 n A22 n n A_2 1
Sru rwud sduwh/ od vlpxodflöq gh A L dc o_ sxhgh kdfhuvh wulyldo0
phqwh phgldqwh A L Edc o sdud fdgd ' c 2c c _/ |d txh odv frpsr0
qhqwhv vrq lqghshqglhqwhv1 Frpr ho ydoru gh L hv vxshu xr hq hvwh fdvr/ ho
dojrulwpr txhgd=
41 Vlpxodu T c T2 c c T_ L Efc  lqghshqglhqwhv1
51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu A ' 2T 1
61 Vl A2 n A22 n n A_2 :  hqwrqfhv yroyhu do sdvr 41
$
71 Ghyroyhu f ' EA c A2 c c A_ | 1
Xvdqgr odv iöupxodv gho yroxphq gh xqd hvihud _0glphqvlrqdo=
; _*2 _
Z o
A
A
vl _ hv sdu
?
E_*2T_ Eo '
g _2 hn Z g _2 h o_
A
A
= 2
vl _ hv lpsdu
 D_
sxhgh yhuvh txh ho qýphur phglr gh uhshwlflrqhv gh orv sdvrv 406 gho dojrulwpr/
_
txh ylhqh gdgr sru od frqvwdqwh S ' T_2E / sxhgh kdfhuvh hqöuphphqwh judqgh1
Dvð/ vl _ ' 2 vh wlhqh S ' 2./ vl _ ' vh wlhqh S ' b/ vl _ ' e hqwrqfhv
S ' 2e | sdud _ ' f uhvxowd S ' efD txh hv xq ydoru txh kdfh txh ho
dojrulwpr vhd wuhphqgdphqwh ohqwr hq glphqvlöq f1
916 Pìwrgrv gh frglfdflöq r hwltxhwdgr
Hq ho fdvr gh txh od ixqflöq gh glvwulexflöq _0glphqvlrqdo vhd glvfuhwd h{lvwhq
pìwrgrv txh shuplwhq uhgxflu od vlpxodflöq gh glfkd yduldeoh do frqwh{wr gh
vlpxodu xqd yduldeoh dohdwruld glvfuhwd xqlglphqvlrqdo1 Hvwrv pìwrgrv vrq
frqrflgrv frpr pìwrgrv gh hwltxhwdgr r frglfdflöq | od lghd eävlfd frqvlvwh
hq frqvwuxlu xqd ixqflöq txh frgltxh odv srvleohv _0wxsodv gho frqmxqwr
grqgh wrpd ydoruhv od yduldeoh glvfuhwd/ kdflhqgr fruuhvsrqghu d fdgd xqr xq
qýphur hqwhur qr qhjdwlyr glihuhqwh1
Vxsrqjdprv txh whqhprv xqd yduldeoh elglphqvlrqdo glvfuhwd Ef c f2 fdgd
xqd gh fx|dv frpsrqhqwhv wrpd ydoruhv hqwhurv qr qhjdwlyrv1 Ho vxefrqmxqwr
gh U2 hq ho txh wrpd ydoruhv ho yhfwru dohdwrulr hv
2
]n ]n ' ]n ' iEc *c 5 ifc c 2c jj 1
91
92
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Vh wudwduä gh ghqlu xqd ixqflöq el|hfwlyd/ G ]n ]n $ ]n / txh shuplwd
hwltxhwdu orv sduhv gh hqwhurv1
Xqd srvlelolgdg vhqflood frqvlvwh hq xwlol}du
Ec '
E n E n n 
n /
2
txh fruuhvsrqgh frq xq hwltxhwdgr gh orv yhfwruhv gh E]n 2 gh od irupd gdgd
sru od vljxlhqwh jxud1
Hwltxhwdgr gdgr sru Gh hvwd irupd/ lqgxfh vreuh od yduldeoh wudqvirupdgd/ ' Ef c f2 /
xqd pdvd gh suredelolgdg
E
Ef cf R& G' E ' & ' E Ef c f2 ' & ' Ef c f2 ' 3 E& 'G R3 E&2 1
Uhvxowd lqphgldwr/ sru wdqwr/ rewhqhu od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh
glvfuhwd xqlglphqvlrqdo / d sduwlu gh od pdvd gh suredelolgdg gh od yduldeoh
ruljlqdo Ef c f2 1 Gh wrgdv irupdv/ ghehprv whqhu hq fxhqwd txh sdud txh hvwr
vhd fdofxodeoh hq od suäfwlfd hq xq wlhpsr ud}rqdeoh/ od ixqflöq gheh srghu
lqyhuwluvh gh irupd uäslgd1
Dvð sxhv sdud vlpxodu od yduldeoh Ef c f2 srghprv surfhghu phgldqwh xqr
gh orv dojrulwprv srvleohv sdud vlpxodu fdofxodqgr hq wdqwrv sdvrv frpr
vhdq qhfhvdulrv orv ydoruhv gh od irupd 3 E&1 Frq od ixqflöq frphqwdgd
dqwhulruphqwh srghprv fdofxodu gh irupd uäslgd vx lqyhuvd1 Yhäprvor1
Frqvlghuhprv & 5 ]n / ho ydoru Ec ' 3 E& gheh yhulfdu
Ec ' & /
E n E n n 
n ' &1
2
Simulación de distribuciones multidimensionales
Ghqrwdqgr dkrud ? ' n / sdud hqfrqwudu Ec ' 3 E& edvwd frq kdoodu ?
h / hqwhurv srvlwlyrv/ frq ? c wdohv txh
? E? n 
n ' &1
2
Ghehprv hqwrqfhv hqfrqwudu ho ýqlfr ? txh fxpsoh
? E? n 
? E? n  n 2 E? n 
? E? n 
E? n  E? n 2
n?
'
1
&
2
2
2
2
Frpr dghpäv ?2 ? E? n  | E? n  E? n 2 E? n 22 / vh wlhqh txh hvh
ydoru ? kd gh yhulfdu
?2 2& E? n 22 c
hv ghflu
os p
os p
2& 2 ? 2& Glfkr gh rwur prgr/ vh wlhqh txh ? kd gh vhu ljxdo d
os p
os p
2&  ö
2& 1
Edvwd o
hqwrqfhv
fdofxodu od h{suhvlöq ?E?n
sdud
2
os hvrv
p srvleohv ydoruhv gh ?1
s p os p
Dvð/ vl
2&
2& n  : 2& hqwrqfhv ? '
2&  |/ hq fdvr frqwudulr/
os p
2& 1 Ilqdophqwh vh fdofxod
?'
'&
? E? n 
| ' ? 1
2
Hmhpsor 59 Fdofxohprv/ sru ho surfhglplhqwr
s ghvfulwr
dqwhulruphqwh/
s
sho ydoru
2 S '
2 S '
2 '
3 ES1 Fdofxodprv sulphudphqwh ? '
gD SDSHDe2h ' D1 Oxhjr fdofxodprv D ED n  ' f 2 ' 2 S/ frq or fxdo
'  | ' D ' e1 Dvð sxhv vh rewlhqh 3 ES '
? ' D1 Dghpäv ' S DuS
2
Ec e/ txh frlqflgh frq or txh vh sxhgh revhuydu hq od jxud dqwhulru1
Vh revhuyd sxhv frpr ho fäofxor gh 3 E& hv px| uäslgr1 Ho uhvwr gho
dojrulwpr vh uhgxfh d od vlpxodflöq gh od yduldeoh xqlglphqvlrqdo 1
Dxqtxh qr hqwuduhprv frq ghwdooh hq hoor/ frqylhqh uhvdowdu txh hv srvleoh
_
jhqhudol}du hvwh wlsr gh ixqflrqhv gh frglfdflöq d E]n 1 Wdpelìq hv idfwleoh
hqfrqwudu od lqyhuvd gh wdo ixqflöq jhqhudol}dgd +oodpdgd ixqflöq gh ghfrgl0
fdflöq, txh vh sxhgh fdofxodu hflhqwhphqwh1
Fxdqgr od yduldeoh dohdwruld f2 wrpd xq qýphur qlwr gh ydoruhv +vxsrq0
jdprv frpsuhqglgrv hqwuh f |  ,/ rwud srvleoh ixqflöq gh frglfdflöq/ päv
vhqflood hv
Ec ' E n  n /
93
94
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
fx|d lqyhuvd ylhqh gdgd sru
3
E& '
&
c & 4L_ E n   n
Hvwdv ixqflrqhv gh frglfdflöq | ghfrglfdflöq vrq jhqhudol}deohv d E]n _ |
$
dsolfdeohv do fdvr hq txh ho yhfwru dohdwrulr f wrph xq qýphur qlwr gh ydoruhv1
917 Pìwrgrv hvshfðfrv sdud vlpxodu od glvwulex0
flöq qrupdo pxowlyduldqwh
$
Gdgr xq yhfwru > ' E> c > c c >_ | 5 U_ |
3
j  j 2 E j 2 j 22 E
P' E 11
11
111
C 1
1
j _ j _2 xqd pdwul} ghqlgd srvlwlyd
4
j _
j 2_ F
F
11 F
1 D
j __
od glvwulexflöq qrupdo _0glphqvlrqdo gh hvrv sduäphwurv/ deuhyldgdphqwh
$
> c P/ hv od txh wlhqh ghqvlgdg gdgd sru
_ E
 3_*2
3*2
| 3 $
$
$
$
$
_i| EP
i T E% > P E% > 1
s E % ' E2Z
2
Fxdqgr od pdwul} P hv gldjrqdo=
3
E
E
P'E
C
j2 f f
f j 22 f
11 1 1
11
1
1 11
1
1
f f j 2_
4
F
F
Fc
D
vh rewlhqh iäflophqwh
# _
$3*2
\
$
s E
% ' E2Z3_*2
j 2
3
'
3
E
E
E 
E
|E
$
$
E
%
>
i TE
E 2
E
C
C
$
j 3
#
f
11
1
f
f

j 22
11
1
f
111
f
f
11
1

j2_
4
4
F
F
F
F
$
$
F E
F
%
>
F
F
D
D
$
_
 [ E% > 2
' E2Z
i T 2 '
j 2
'
#
#
$$
_
_
\
\
E% > 2

s i T 2
'
'
> cj E% /
2j
j 2Z
'
'
3_*2
# _
\

j2
Simulación de distribuciones multidimensionales
vlhqgr > cj od ixqflöq gh ghqvlgdg gh xqd E> c j 1 Gh hvwd irupd/ fxdqgr
od pdwul} P +txh uhvxowd vhu od pdwul} gh yduldq}dv0fryduldq}dv gh od qrupdo
_0glphqvlrqdo, hv gldjrqdo/ hqwrqfhv odv frpsrqhqwhv vrq lqghshqglhqwhv |
$
> c P phgldqwh ho vljxlhqwh dojrulwpr=
uhvxowd wulyldo vlpxodu od _ E
41 Vlpxodu ~ c ~2 c c ~_ Efc  lqghshqglhqwhv1
51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu f ' > n j ~ 1
$
61 Ghyroyhu f ' Ef c f2 c c f_ | 1
$
> c P
Xqd surslhgdg txh uhvxowd px| ýwlo sdud vlpxodu od glvwulexflöq _ E
frq P duelwuduld hv od vljxlhqwh1
$ g
$
> c P | hv xqd pdwul} gh glphqvlöq R _/
Sursrvlflöq 5: Vl f ' _ E
$
$ g
$
> c P | 1
gh udqjr pä{lpr/ frq R _/ hqwrqfhv t ' f ' R E $
$ g
$ $
$ g
yduldeoh dohdwruld f ' _ E > c P/ hqwrqfhv f ' f > '
Gdgd xqd
$
_ f c P 1 Dghpäv/ gdgd xqd pdwul} ghqlgd srvlwlyd/ P/ h{lvwh xqd pdwul}
ruwrjrqdo M +hv ghflu/ wdo txh M 3 ' M | , gh irupd txh od pdwul} \ ' M | PM
hv gldjrqdo1 Gh khfkr/ M hv od pdwul} gh fdpelr gh edvh sdud txh od pdwul}
dvrfldgd d od fruuhvsrqglhqwh dsolfdflöq olqhdo vhd od pdwul} gldjrqdo \ +hq
oxjdu gh od pdwul} gh sduwlgd P,1
Odv froxpqdv gh od pdwul} M vrq suhflvdphqwh orv dxwryhfwruhv olqhdophqwh
lqghshqglhqwhv +| gh pögxor xqlwdulr, gh od pdwul} P/ hv ghflu/ _ yhfwruhv
$
$
$2 c c $_ / wdohv txh $ c % | % '  sdud wrgr
%
%
olqhdophqwh lqghshqglhqwhv/ %
|
$
$
' c 2c c ? | frq % % ' f vl 9' / yhulfdqgr dghpäv txh <b 5 U wdo
$
$
txh P % ' b % +frqglflöq gh vhu xq dxwryhfwru,1 Dghpäv orv dxwrydoruhv
b / b2 / / b_ +txh vrq wrgrv srvlwlyrv, vrq suhflvdphqwh orv hohphqwrv gh od
gldjrqdo gh od pdwul} \1
$ g
$
Sduwlhqgr gh xqd yduldeoh ~ ' _ f c U_ +iäflophqwh vlpxodeoh d sdu0
$ g
wlu gh ~ / ~2 / / ~_ Efc  lqghshqglhqwhv,/ vh wlhqh txh \*2 ~ '
$
_ f c \ / vlhqgr
3
E
E
\*2 ' E
C
*2
b
f
11
1
b2
11
1
f
f
f
*2
111
f
f
11
1
4
F
F
F
D
*2
b_
Dkrud/ pxowlsolfdqgr sru od l}txlhugd sru od pdwul} M/ vh wlhqh
$ g
g
$
$
M\*2 ~ ' _ f c M\M | ' _ f c P 1
$
Ilqdophqwh/ edvwd vxpdu ho yhfwru > sdud rewhqhu
$ $ g
$
f '$
> n M\*2 ~ ' _ E
> c P 1
95
96
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Xqd yh} gldjrqdol}dgd od pdwul} P/ frq dxwrydoruhv b / b2 / / b_ | dxwryhf0
wruhv dvrfldgrv gdgrv sru odv froxpqdv gh od pdwul} M/ ho dojrulwpr surfhghuðd
frpr vljxh=
41 Vlpxodu ~ c ~2 c c ~_ Efc s lqghshqglhqwhv1
51 Sdud ' c 2c c _ kdfhu t ' b ~ 1
$ $
$
61 Ghyroyhu f ' > nMt 1
Hmhpsor 5; Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu od glvwulexflöq

2S feH
c
1
2
feH 2Se
Sdud hqfrqwudu orv dxwrydoruhv | dxwryhfwruhv gh P uhvroyhprv _i| EP bU '
f/ hv ghflu/
2S b feH 2
feH 2Se b ' f / E2S b E2Se b EfeH ' f
s
D D2 S e
/
/ b2 Db n S ' f / b '
2
txh riuhfh frpr vroxflrqhv b ' | b2 ' 21 Sdud hqfrqwudu dxwrydoruhv gh
pögxor  fruuhvsrqglhqwhv d hvrv dxwrydoruhv qr whqhprv päv txh uhvroyhu orv
$
$
% ' f sdud ' c 2 lpsrqlhqgr od frqglflöq gh pögxor
vlvwhpdv EP b U ljxdo d / hv ghflu %2 n %22 ' 1 Dvð/ uhvxowd
S 2
fSe feH
/ oxhjr
' ffe
P b U '
2 b
feH fS
e
$
$
EP b U % ' f / %2 ' % / shur frpr %2 n %22 ' / vh wlhqh
e
2D 2
% ' / oxhjr % ' | %2 ' b
D
D
+wdpelìq hv vroxflöq vl fdpeldprv dperv gh vljqr,>
fS feH
b 2
/ oxhjr
P b2 U '
' ffe
2 S
feH fSe
$
$
% ' f / %2 ' % / shur frpr %2 n %22 ' / vh wlhqh
EP b2 U e
e
2D 2
% ' / oxhjr % ' | %2 ' 1
S
D
D
Gh hvwd irupd/ od pdwul} M uhvxowd/ hqwuh rwudv srvlelolgdghv/
e fS fH
D
D
'
M'
eD D
fH fS
Dkrud
$
$
t ' \*2 ~ '
s
s
sf
~
~
' s 
~2
f
2
2~2
Simulación de distribuciones multidimensionales
| qdophqwh/
$ $
f '$
> nMt '
Dvð/
41
51
61
71
 n fSt n fHt2
fHt n fSt2
1
ho dojrulwpr uhvxowduðd
lqghshqglhqwhv1
Vlpxodu ~ cs
~2 Efc  s
Kdfhu t ' ~ h t2 ' 2~2 1
Rewhqhu f '  n fSt n fHt2 | f2 ' fHt n fSt2 1
$
Ghyroyhu f ' Ef c f2 | 1
918 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Od glihuhqfld hq suhflr +f, | hq wlhpsr gh ylgd +t , gh xq prqlwru gh
4: sxojdgdv/ h{suhvdgrv hq wdqwr sru xqr frq uhvshfwr d od phgld gh
phufdgr/ sxhgh vxsrqhuvh xqd yduldeoh dohdwruld/ Efc t / frq ixqflöq gh
ghqvlgdg gdgd sru
+ d2 E%2 n + 2 o vl % 5 dc o h + 5 dc o
s E%c + '
S
f
hq rwur fdvr
Vlpxodu glfkd glvwulexflöq elglphqvlrqdo phgldqwh ho pìwrgr gh dfhs0
wdflöq0uhfkd}r xwlol}dqgr frpr ghqvlgdg dx{loldu xqd gh px| vhqflood
vlpxodflöq1 ÁFxäo hv od hflhqfld gho dojrulwprB ÁH{lvwh dojýq rwur
pìwrgr dowhuqdwlyr sdud vlpxodu hvwd glvwulexflöqB Gdu/ px| euhyhphqwh/
od lghd hq txh frqvlvwh dojxqr gh hoorv1
51 Gdu xqd irupxodflöq jhqhudo gh xq dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud xqd glv0
wulexflöq elglphqvlrqdo1
61 Od yduldeoh dohdwruld elglphqvlrqdo Efc t / txh uhsuhvhqwd ho qýphur
gh uhlqlflrv gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr | ho qýphur gh xwlol}dflrqhv gho
VDL +vlvwhpd gh dolphqwdflöq lqlqwhuuxpslgd,/ wlhqh od vljxlhqwh pdvd gh
suredelolgdg=
Ef ' c t ' 'f
'
'2
'f
fD
ffb
ff
'
f2
fH
ffD
'2
ffS
ffD
f
'
ff
ff2
ff
'e
ff
f
f
Gdu xq dojrulwpr sdud vlpxodu ho sdu gh yduldeohv Efc t 1 Frphqwdu od
hflhqfld gho pìwrgr1 ÁSrguðd phmruduvh glfkd hflhqfld vl ghvhävhprv
vlpxodu vrodphqwh od yduldeoh fB
97
7
Diseño de experimentos
de simulación
Diseño de experimentos de simulación 101
:1 0
Hq ho suhvhqwh fdsðwxor vh derugduäq dojxqdv gh odv fxhvwlrqhv päv lpsruwdqwhv
d od krud gh glvhôdu xq hvwxglr gh vlpxodflöq1 Hq sulphu oxjdu vh srqguäq gh
pdqlhvwr odv vlplolwxghv | glihuhqfldv hqwuh od vlpxodflöq | od h{shulphqwdflöq
vreuh ho vlvwhpd uhdo1 Wdpelìq vh frphqwduäq dojxqdv jhqhudolgdghv vreuh od
vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd/ glihuhqfldqgr/ ghqwur gh ìvwd ýowlpd/ hqwuh od
vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv1 Vh derugduäq dojxqdv wìfqlfdv gh uhgxf0
flöq gh od yduldq}d | vh lqglfduä frpr srghu uhvroyhu orv sureohpdv gh hvwdel0
ol}dflöq | ghshqghqfld txh kdelwxdophqwh dsduhfhq hq od vlpxodflöq glqäplfd1
:14 Glihuhqfldv | vlplolwxghv frq od h{shulphq0
wdflöq uhdo
Frpr |d vh ghqlö hq ho sulphu whpd/ od vlpxodflöq hv od wìfqlfd frqvlvwhqwh
hq od uhdol}dflöq gh h{shulphqwrv gh pxhvwuhr vreuh xq prghor frqvwuxðgr d
sduwlu gh xq vlvwhpd uhdo1 D sduwlu gh hvwd ghqlflöq hv reylr txh od vlpxodflöq
qhfhvlwduä gh judq fdqwlgdg gh wìfqlfdv hvwdgðvwlfdv sdud rewhqhu odv pxhvwudv
+pxhvwuhr, | sdud dqdol}du orv uhvxowdgrv rewhqlgrv sru od h{shulphqwdflöq
duwlfldo +hvwlpdflöq/ lqwhuydorv gh frqdq}d/ frqwudvwhv gh klsöwhvlv/ hwf1,1
Sru wrgr hoor/ sxhgh dupduvh txh/ hq jhqhudo/ hq fxdqwr d od xwlol}dflöq gh
wìfqlfdv hvwdgðvwlfdv hv px| vlplodu d od sursld h{shulphqwdflöq vreuh ho vlvwhpd
uhdo1
Hqwuh odv glihuhqfldv fdehq ghvwdfdu odv vljxlhqwhv=
41 Od xwlol}dflöq gh wìfqlfdv gh hvwlpdflöq sxqwxdo/ frqvwuxfflöq gh lqwhu0
ydorv gh frqdq}d | frqwudvwhv gh klsöwhvlv hv dojr phqrv iuhfxhqwh hq od
vlpxodflöq txh hq od h{shulphqwdflöq uhdo1 Od ud}öq hv txh dojxqrv gh
orv sduäphwurv +orv gh frqwuro, |d vrq frqrflgrv hq od vlpxodflöq |/ sru
wdqwr/ qr hv qhfhvdulr kdfhu lqihuhqfld vreuh hoorv/ dxqtxh vð vreuh orv gh
vdolgd/ txh plghq/ gh dojxqd irupd/ ho frpsruwdplhqwr gho vlvwhpd1
51 Od vlpxodflöq vxhoh kdfhu xq xvr pxfkr päv lqwhqvlyr gh wìfqlfdv gh
rughqdflöq | rswlpl}dflöq1 Hvwr hv ghelgr d txh/ hq ho frqwh{wr gh od
vlpxodflöq/ hv idfwleoh frpsdudu xq judqgðvlvpr qýphur gh hvfhqdulrv
+hqwuh orv txh vh ghvhd rswlpl}du/ sru hmhpsor, hq px| srfr wlhpsr/
frvd txh vh gd px| ududphqwh hq od h{shulphqwdflöq uhdo1
61 Xqd shfxoldulgdg gh od vlpxodflöq hv txh fdvl vlhpsuh hv srvleoh frpsdudu
glvwlqwdv hvwudwhjldv vreuh odv plvpdv pxhvwudv vlpxodgdv +vlpsohphqwh
102
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
xwlol}dqgr od plvpd vhplood hq od vlpxodflöq/ frqyhqlhqwhphqwh sodql0
fdgd,1 Hvwr lpsolfd txh vh srguäq xvdu pxhvwudv gh gdwrv dsduhdgrv
+srvlwlydphqwh fruuhodgrv, hq oxjdu gh gdwrv lqghshqglhqwhv/ frq od frq0
vljxlhqwh jdqdfld hq hflhqfld +frpr vh yhuä do hvwxgldu od xwlol}dflöq gh
qýphurv dohdwrulrv frpxqhv/ ghqwur gh od vhfflöq gh wìfqlfdv gh uhgxfflöq
gh od yduldq}d,1
:15 Vlpxodflöq hvwäwlfd | glqäplfd
Od vlpxodflöq vh glfh hvwäwlfd vl hq ho prghor qr mxhjd qlqjýq sdsho ho wudqv0
fxuvr gho wlhpsr plhqwudv txh hv glqäplfd vl ho wlhpsr hv xqd gh odv yduldeohv
lpsruwdqwhv gho prghor1 Hq od vlpxodflöq hvwäwlfd uhvxowd px| vhqfloor frp0
sdudu glvwlqwdv hvwudwhjldv dqwh odv plvpdv frqglflrqhv gho d}du/ plhqwudv txh
hvwr hv päv frpsolfdgr hq od vlpxodflöq glqäplfd/ h{ljlhqgr xq wudedmr pd|ru
gh sodqlfdflöq1 Dghpäv/ ho frvwh frpsxwdflrqdo gh od vlpxodflöq hvwäwlfd hv
edvwdqwh päv prghudgr1
Od vlpxodflöq hvwäwlfd vh xvd px| iuhfxhqwhphqwh hq hvwdgðvwlfd sdud frp0
suredu ho frpsruwdplhqwr frpsdudwlyr gh glyhuvrv pìwrgrv hvwdgðvwlfrv dowhu0
qdwlyrv sdud wdpdôrv pxhvwudohv qlwrv +frpsohphqwdqgr orv hvwxglrv whöulfrv/
fdvl vlhpsuh dvlqwöwlfrv,1
Hq od vlpxodflöq glqäplfd/ qrupdophqwh vh wudwd gh lu dqdol}dqgr orv glv0
wlqwrv hvwdgrv sru orv txh yd sdvdqgr xq vlvwhpd txh hyroxflrqd hq ho wlhpsr1
Hvwr suryrfd/ hq jhqhudo/ xq pd|ru frvwh frpsxwdflrqdo | sureohpdv gh hvwd0
elol}dflöq | ghshqghqfld1 H{lvwhq grv judqghv wlsrv gh vlpxodflöq glqäplfd=
od vlpxodflöq frqwlqxd/ hq od txh vh vxsrqh txh ho vlvwhpd fdpeld gh hvwdgr
frqvwdqwhphqwh | od vlpxodflöq glvfuhwd/ sdud od fxdo orv fdpelrv vh surgxfhq
hq flhuwrv lqvwdqwhv gh wlhpsr vlqjxoduhv1 Od ud}öq gh vxv qrpeuhv ylhqh gh txh
hq ho sulphu fdvr ho frqmxqwr gh hvwdgrv hv frqwlqxr/ plhqwudv txh hq ho vhjxqgr
hv glvfuhwr1 Ghqwur gh od vlpxodflöq glvfuhwd glvwlqjxluhprv od vlpxodflöq sru
hyhqwrv | od vlpxodflöq sru fxdqwrv1
:16 Vlpxodflöq sru hyhqwrv | sru fxdqwrv
Frq ho qrpeuh gh vlpxodflöq sru hyhqwrv/ r dvðqfurqd/ ghvljqdprv ho wlsr gh
vlpxodflöq glqäplfd glvfuhwd hq od fxdo vh frqwurod od yduldeoh wlhpsr prylìq0
grod kdvwd od rfxuuhqfld gho vljxlhqwh vxfhvr +r hyhqwr,1 Hvwr lpsolfd od qhfhvl0
gdg gh frqwurodu plqxflrvdphqwh fxäo hv glfkr suö{lpr vxfhvr= vdehu fxäohv
vrq orv srvleohv vxfhvrv hq xq ixwxur lqphgldwr | fxäo gh hoorv hv ho päv lq0
phgldwr1
Diseño de experimentos de simulación 103
Od vlpxodflöq sru fxdqwrv/ r dvðqfurqd/ uhvsrqgh d xqd olvriðd wrwdophqwh
glihuhqwh1 Vh wudwd gh h{dplqdu ho vlvwhpd +txh hyroxflrqd hq ho wlhpsr, ghmdq0
gr sdvdu shtxhôrv lqwhuydorv gh wlhpsr gh orqjlwxg B/ md/ +oodpdgd fxdqwr,
hq orv fxdohv vh vxsrqh txh/ d or vxpr/ xq vöor vxfhvr sxhgh surgxfluvh1
Hq jhqhudo/ od vlpxodflöq sru hyhqwrv hv h{dfwd | gh päv gliðflo lpsoh0
phqwdflöq/ shur gh pxfkd päv uäslgd hmhfxflöq txh od vlpxodflöq sru fxdqwrv1
Vlq hpedujr hvwd ýowlpd hv pxfkdv yhfhv od ýqlfd srvlelolgdg idfwleoh hq od
vlpxodflöq glqäplfd frqwlqxd1
:17 Wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d
H{lvwh xq vlqiðq gh wìfqlfdv hqfdplqdgdv d uhgxflu od yduldq}d hq xq hvwxglr gh
vlpxodflöq r elhq d wudwdu gh hvwlpduod1 Dojxqdv gh hoodv vrq ho xvr gh qýphurv
dohdwrulrv frpxqhv/ od xwlol}dflöq gh yduldeohv dqwlwìwlfdv/ od hvwudwlfdflöq/ ho
xvr gh yduldeohv gh frqwuro/ ho pìwrgr Mdfnnqlih/ orv pìwrgrv gh uhpxhvwuhr
+ghvwdfdqgr hqwuh hoorv ho pìwrgr errwvwuds,/ hwf1 Hq or txh vljxh hvwxglduhprv
orv wuhv sulphurv pìwrgrv uhvhôdgrv1 Hq jhqhudo frqylhqh whqhu hq fxhqwd txh
vl xqr gh orv remhwlyrv gh od vlpxodflöq hv suhflvdphqwh hvwlpdu od yduldelolgdg/
qr frqylhqh xwlol}du hvwdv wìfqlfdv gh uhgxfflöq gh od yduldq}d1 Ìvwdv vrq
dsolfdeohv qrupdophqwh fxdqgr od vlpxodflöq suhwhqgh riuhfhu uhvsxhvwdv/ or
päv suhflvdv srvleohv/ vöor vreuh fdqwlgdghv phgldv1
:1714 Qýphurv dohdwrulrv frpxqhv
Vxsöqjdvh txh vh ghvhd frpsdudu grv hvwudwhjldv glvwlqwdv phgldqwh uhshwl0
flrqhv gh xq h{shulphqwr gh vlpxodflöq/ gh odv fxdohv vh kdq rewhqlgr orv ydo0
ruhv qxpìulfrv gh vdolgd= f / f2 / / f / sdud od sulphud h t / t2 / / t /
sdud od vhjxqgd1 Xvdqgr orv plvprv qýphurv dohdwrulrv +hv ghflu uhslwlhqgr
orv fäofxorv frq od plvpd vhplood, hq odv yduldeohv gh hqwudgd gh od vlpxodflöq/
vh wlhqh txh J Ef c t : f1 Vl vh txlhuh hvwlpdu od glihuhqfld gh odv phgldv
gh hvwd yduldeoh gh vdolgd sdud
S dpedv hvwudwhjldv= . Ef . Et ' . Ef t sxhgh xvduvh f t '  ' Ef t / fx|d yduldq}d ylhqh gdgd sru
'
T @o f t
 [

T @o Ef t ' T @o Ef t 2
'

ET @o Ef n T @o Et 2J Ef c t 
ET @o Ef n T @o Et /
'
104
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
txh hv od yduldq}d txh whqguðd f t hq fdvr gh kdehu xvdgr pxhvwudv lqghshq0
glhqwhv sdud fdgd hvwudwhjld1 Hvwr ghpxhvwud txh hv päv yhqwdmrvr/ d hihfwrv
gh uhgxflu od yduldq}d gh od hvwlpdflöq/ ho xvr gh qýphurv dohdwrulrv frpxqhv1
Hvwh khfkr hv elhq frqrflgr hq hvwdgðvwlfd fxdqgr vh glvhôd xq h{shulphq0
wr gh frpsdudflöq gh grv sreodflrqhv phgldqwh od rewhqflöq gh odv oodpdgdv
pxhvwudv dsduhdgdv/ hq oxjdu gh od xwlol}dflöq gh pxhvwudv lqghshqglhqwhv1
:1715 Yduldeohv dqwlwìwlfdv
Vxsöqjdvh dkrud txh vh ghvhd hydoxdu ho uhvxowdgr gh xqd ýqlfd hvwudwhjld
+vlq frpsduduod frq qlqjxqd rwud dowhuqdwlyd,1 Ghvsxhv gh uhshwlflrqhv
/ f / surfh0
gh od vlpxodflöq/ whqguhprv ydoruhv qxpìulfrv f / f2 / S
glhqgr d hvwlpdu od phgld . Ef whöulfd phgldqwh f '  ' f 1 Fr0
pr hv vdelgr/ gdgr txh
ìvwh
hv
xq
hvwlpdgru
lqvhvjdgr/
vx
suhflvlöq
sxhgh
phgluvh phgldqwh T @o f 1 Vl odv yduldeohv vrq lqghshqglhqwhv vh wlhqh txh
S
T @o f ' 2 ' T @o Ef / plhqwudv txh/ hq jhqhudo/ vh wlhqh

T @o f ' 2
#
[
'
T @o Ef n 2
?
[
$
J Ef c f 1
c'c
Xqd irupd gh xwlol}du hvwd ýowlpd h{suhvlöq sdud uhgxflu od yduldq}d gho hv0
wlpdgru frqvlvwh hq kdfhu txh fdgd yduldeoh frq ðqglfh lpsdu vhd qhjdwlyd0
phqwh fruuhodgd frq od yduldeoh gh ðqglfh vljxlhqwh +vlhqgr lqghshqglhqwhv gh
odv ghpäv,1 Od irupd päv vhqflood gh frqvhjxlu hvwr fxdqgr vh xwlol}d ho pìwrgr
gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu odv f frqvlvwh hq wrpdu xq ydoru L L Efc  sdud
vlpxodu f23 | ho ydoru  L sdud vlpxodu f2 / vx yduldeoh dqwlwìwlfd/ sdud
' c 2c c 2 +vl hv sdu,1 Ho surfhglplhqwr hv dojr päv frpsolfdgr frq
rwurv pìwrgrv gh vlpxodflöq glvwlqwrv gho gh lqyhuvlöq1
:1716 Hvwudwlfdflöq
Hq rfdvlrqhv frqylhqh glylglu od sreodflöq hq hvwudwrv rewhqlhqgr/ gho wrwdo gh
od pxhvwud/ flhuwr qýphur gh revhuydflrqhv gh fdgd hvwudwr +sursruflrqdo d od
suredelolgdg gh fdgd xqr,1 Yhdprv xq hmhpsor1
Hmhpsor 5< +pxhvwuhr hvwudwlfdgr gh xqd h{srqhqfldo, Vxsöqjdvh ho
vljxlhqwh sureohpd +devroxwdphqwh duwlfldo shur loxvwudwlyr sdud frpsuhqghu
hvwd wìfqlfd,1 Gdgd xqd pxhvwud gh wdpdôr 43 gh xqd sreodflöq frq glvwulex0
flöq i T E vh ghvhd hvwlpdu od phgld sreodflrqdo +frpr vh dfded gh frphqwdu
ho sureohpd hv duwlfldo/ sxhv hv vreudgdphqwh frqrflgr txh glfkd phgld hv
4,1 Vl suhwhqghprv hylwdu txh/ sru sxur d}du/ h{lvwd dojxqd }rqd/ hq od txh
Diseño de experimentos de simulación 105
od h{srqhqfldo wrpd ydoruhv/ qr uhsuhvhqwdgd hq od pxhvwud gh 43 gdwrv srgh0
prv surfhghu gh od vljxlhqwh irupd1 Wrphprv wuhv hvwudwrv/ sru hmhpsor/ ho gho
73( gh ydoruhv phqruhv/ ho vljxlhqwh 83( gh ydoruhv +lqwhuphglrv, | ho 43( gh
ydoruhv päv judqghv sdud hvwd glvwulexflöq1
Frpr ho dojrulwpr gh lqyhuvlöq +rswlpl}dgr, sdud vlpxodu od i T E hv
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Kdfhu f ' *? L 1
od irupd gh jdudqwl}du ho txh rewhqjdprv 8/ 7 | 4 ydoruhv/ uhshfwlydphqwh/ hq
fdgd xqr gh orv wuhv hvwudwrv frqvlvwh hq hohjlu L 5 dfSc / hq ho sulphu fdvr/
L 5 dfc fS/ hq ho vhjxqgr | L 5 dfc f sdud ho whufhu hvwudwr1 Gdgr txh/
hq sulqflslr/ vlpxodqgr glh} ydoruhv L c L2 c c Lf L Efc / qr kd| qdgd
txh qrv jdudqwlfh txh odv sursruflrqhv gh orv hvwudwrv vrq odv ghvhdgdv +dxqtxh
vð or vhdq hq phgld, xqd irupd gh surfhghu frqvlvwh hq uhfkd}du ydoruhv gh L
txh fdljdq hq xqr gh hvrv wuhv lqwhuydorv fxdqgr ho fxsr gh hvh hvwudwr hvwì |d
g
oohqr1 Hvwr hv or plvpr txh vlpxodu 7 ydoruhv gh L mL MdfSc ' LdfSc  sdud
g
ho sulphu hvwudwr/ 8 ydoruhv gh L mLMdfcfS ' L dfc fS sdud ho vhjxqgr | xqr
g
gh L mLMdfcf ' L dfc f sdud ho whufhur1 Ho dojrulwpr frq hvwd hvwudwlfdflöq
vhuðd frpr vljxh=
41 Jhqhudu L L Efc  sdud ' c 2c c f1
51 Vl e hqwrqfhv kdfhu L ' fe L n fS1
61 Vl e b hqwrqfhv kdfhu L ' fD L n f1
71 Vl ' f hqwrqfhv kdfhu L ' f L 1
81 Ghvgh '  kdvwd f ghyroyhu f ' *? L 1
Qr hv gliðflo suredu txh T @o Ef ' ff2eSee vl ' c 2c c e/ T @o Ef '
f22bDfe vl ' Dc Sc .c Hc b | T @o Eff ' 1 Frpr frqvhfxhqfld/
f
 [
T @o Ef ' ff22H
T @o f ' 2
f '
txh hv edvwdqwh phqru txh 4/ txh hv od yduldq}d hq ho fdvr gh pxhvwuhr dohdwrulr
vlpsoh qr hvwudwlfdgr1
:18 Sureohpdv gh hvwdelol}dflöq | ghshqghqfld
Dpedv fxhvwlrqhv vxhohq sodqwhduvh hq od vlpxodflöq glqäplfd1 Orv sureoh0
pdv gh hvwdelol}dflöq hvwäq uhodflrqdgrv frq ho khfkr gh txh/ hq rfdvlrqhv/
ho vlvwhpd hyroxflrqd hq ho wlhpsr gh wdo irupd txh wlhqh xqd glvwulexflöq
hvwdflrqduld txh vh vxsrqh gh sduwlgd shur txh sxhgh vhu px| vhqvleoh d odv
frqglflrqhv lqlfldohv frq odv txh vh frplhqfh od vlpxodflöq1 Hq wdo fdvr uhvxowd
frqyhqlhqwh ho wudqvfxuvr gh flhuwr shuðrgr gh wlhpsr +ghqrplqdgr shuðrgr
gh hvwdelol}dflöq, gxudqwh ho fxdo orv uhvxowdgrv rewhqlgrv sdud odv yduldeohv
106
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
gh vdolgd vrq ljqrudgrv | fx|r ýqlfr remhwr hv frqvhjxlu txh vh hvwdelolfh od
glvwulexflöq gh suredelolgdg1
Hmhpsor 63 Vxsrqjdprv ho vljxlhqwh prghor gh vlpxodflöq=
f| ' f n f. Ef|3 f n 0|
sdud h{solfdu od whpshudwxud/ f| / wrpdgd d odv 45 d1p1 hq ho gðd |/ grqgh
0| hv xq huuru dohdwrulr frq glvwulexflöq Efc 1 Sduhfh hylghqwh txh/ hq xq
prghor frpr ìvwh/ hv fuxfldo ho ydoru gh od frqglflöq lqlfldo ff fruuhvsrqglhq0
wh do ruljhq gh wlhpsrv1 Hq rwudv sdodeudv/ wrpdqgr sdud ff xq ydoru px|
ohmdqr d dtxhoorv päv suredeohv edmr od glvwulexflöq hvwdflrqduld +sru hmhpsor
ff ' ff,/ hv lqwxwlwlyr txh vh qhfhvlwduðd gh xqd hwdsd lqlfldo frqvlghud0
eoh sdud oohjdu d dofdq}du ydoruhv hvwdflrqdulrv1 Sru hmhpsor/ vxsrqlhqgr txh
orv 0| ixhvhq fhur +txh dxqtxh qr hv flhuwr/ uhdophqwh vrq edvwdqwh shtxhôrv
hq uhodflöq frq ho ydoru ff,/ vh rewhqguðd od vljxlhqwh vxfhvlöq gh ydoruhv=
ff ' ff/ f ' ./ f2 ' De/ f ' efH./ fe ' ./ fD ' 2De/ Ho
shuðrgr gh hvwdelol}dflöq vhuðd pxfkr phqru vl vh sduwlhvh gh xq ydoru lqlfldo
päv fhufdqr d f1
Orv sureohpdv gh ghshqghqfld vrq dtxhoorv ghulydgrv gho khfkr gh txh
iuhfxhqwhphqwh +gh qxhyr hq prghorv gh vlpxodflöq glqäplfd, odv glvwlqwdv
yduldeohv gh vdolgd gh od vlpxodflöq vrq ghshqglhqwhv1 Hq ho hmhpsor dqwhulru
hv reylr txh fdgd ydoru f| ghshqgh gh f|3 +lqfoxvr gh f|32 | gh rwudv dqwh0
ulruhv/ dxqtxh fdgd yh} hq phqru phglgd,1 Hvwr dihfwd ixqgdphqwdophqwh d od
suhflvlöq gh orv hvwlpdgruhv frqvwuxðgrv frq revhuydflrqhv gh odv plvpdv1 Xqd
irupd gh dwhqxdu hvwh hihfwr vhuðd frqvlghudu revhuydflrqhv gh odv plvpdv hq
lqvwdqwhv whpsrudophqwh ohmdqrv +grqgh vh vxsrqh txh od ghshqghqfld hv pxfkr
päv gìelo,1 Hq rfdvlrqhv/ päv txh dwhqxdu hvwh hihfwr vh wudwd gh hvwlpdu od
suhflvlöq gho hvwlpdgru uhvxowdqwh1 Reyldphqwh/ sdud hoor kd gh whqhuvh hq
fxhqwd od ghshqghqfld1
:19 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Frqvlgìuhvh ho dojrulwpr hqfrqwudgr hq ho hmhuflflr 6/ sursxhvwr hq ho
whpd 61 Vl srvwhulruphqwh vh txlhuh surfhghu gh irupd txh orv lpsdfwrv
fhufdqrv | ohmdqrv do fhqwur hvwìq htxloleudgrv +hv ghflu/ vl sru fdgd xqr
fhufdqr txhuhprv whqhu rwur ohmdqr,/ Áföpr vh srguðdq vlpxodu dkrud odv
glvwdqfldv do fhqwur gh 43 lpsdfwrvB
51 Xqd qxhyd frpsrqhqwh oohjd fdgd 73 vhjxqgrv d xqd fdghqd gh hq0
vdpeodgr1 Ho wlhpsr qhfhvdulr sdud hqvdpeodu glfkd frpsrqhqwh d od
slh}d pdwul} vh vxsrqh xqd yduldeoh dohdwruld frq phgld gh 63 vhjxqgrv
Diseño de experimentos de simulación 107
+uhvxowduðd px| lpsruwdqwh kdehu hvwlpdgr vx glvwulexflöq= Efc /
Efc D/ K E2c Sf/ hwf1,1 Vl xq wlhpsr gh hqvdpeodgr hv vxshulru d 73
vhjxqgrv/ odv frpsrqhqwhv txh ydq oohjdqgr vh dfxpxodq kdvwd txh vh
ohv yd|d gdqgr vdolgd1 Gdu xq dojrulwpr txh shuplwd uhvsrqghu d odv
vljxlhqwhv suhjxqwdv Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh xqd frpsrqhqwh txh
oohjd whqjd txh hvshuduB/ Áfxäo hv od suredelolgdg gh txh hvwìq päv gh
wuhv slh}dv hvshudqgrB
61 Ho qýphur gh wrqhodgdv gh sdq surgxflgdv glduldphqwh sru xqd hp0
suhvd sdqlfdgrud wlhqh glvwulexflöq gh Sduhwr frq sduäphwurv 6 | 51
Vxsrqlhqgr txh od ghpdqgd glduld gh sdq +hq wrqhodgdv, wlhqh glvwulex0
flöq Ec fD | txh hv lqghshqglhqwh gh od surgxfflöq/ fdofxodu od sured0
elolgdg gh txh xq gðd frqfuhwr od ghpdqgd qr vhd vdwlvihfkd1 Vxsrqlhqgr
xqd sìuglgd gh ffD hxurv sru fdgd nlor gh sdq qr yhqglgr | xqd shqd0
ol}dflöq gh f2 hxurv sru fdgd nlor gh sdq ghpdqgdgr sru folhqwhv | qr
hqwuhjdgr +sru idowd gh h{lvwhqfldv,/ gdu xq dojrulwpr sdud fdofxodu odv
sìuglgdv phgldv glduldv hq frqfhswr gh h{fhghqwhv r ghpdqgdv lqvdwlv0
ihfkdv1
71 Hq xqd fdghqd surgxfwlyd/ ho wlhpsr txh wdugd xqd frpsrqhqwh hq oohjdu
d xqd pätxlqd hqvdpeodgrud ghvgh txh oohjö od slh}d dqwhulru vljxh xqd
glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 43 vhjxqgrv1 Ho wlhpsr +hq vhjxqgrv,
txh hpsohd od pätxlqd hqvdpeodgrud frq fdgd frpsrqhqwh vh dmxvwd d
xqd glvwulexflöq KEc 2f1 Fdgd yh} txh xqd qxhyd frpsrqhqwh oohjd d od
idvh gh hqvdpeodmh | od pätxlqd hvwä rfxsdgd/ glfkd slh}d vh ghvyðd d rwud
olqhd gh surgxfflöq glvwlqwd1 Gdu xq dojrulwpr/ or päv suhflvr srvleoh/
sdud srghu dsur{lpdu phgldqwh vlpxodflöq ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh od
pätxlqd hqvdpeodgrud shughuä hvshudqgr od oohjdgd gh xqd qxhyd slh}d1
Mxvwlfdu ho ixqflrqdplhqwr gh glfkr dojrulwpr1
81 Xqd pätxlqd surgxfh wludv gh jrpd gh orqjlwxg dohdwruld frq glvwulex0
flöq i T E2 +hq phwurv,1 Ghvsxìv gh ideulfdgdv/ odv wludv gh jrpd vh
sdvdq d rwud pätxlqd txh odv hvwlud kdvwd txh urpshq hq grv +sdud frp0
suredu vx hodvwlflgdg,1 Vxsrqlhqgr txh ho oxjdu sru grqgh vh urpsh fdgd
wlud hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq xqliruph d or odujr gh wrgd vx orqjl0
wxg/ ghvfulelu ghwdoodgdphqwh xq dojrulwpr txh vlpxoh odv orqjlwxghv gh
orv grv wur}rv hq orv txh vh urpsh fdgd jrpd1
PARTE II
TEORÍA DE COLAS
8
Introducción a la teoría de colas
Introducción a la teoría de colas 113
;1 0WHRUÐD GH FRODV
Od whruðd gh frodv hv xqd glvflsolqd/ ghqwur gh od Lqyhvwljdflöq Rshudwlyd/ txh
wlhqh sru remhwr ho hvwxglr | dqäolvlv gh vlwxdflrqhv hq odv txh h{lvwhq hqwhv
txh ghpdqgdq flhuwr vhuylflr/ gh wdo irupd txh glfkr vhuylflr qr sxhgh vhu
vdwlvihfkr lqvwdqwäqhdphqwh/ sru or fxdo vh suryrfdq hvshudv1
Wdo | frpr txhgd sdwhqwh hq od ghqlflöq dqwhulru/ ho äpelwr gh dsolfdflöq
gh od whruðd gh frodv hv hqruph= ghvgh odv hvshudv sdud vhu dwhqglgrv hq hvwdeoh0
flplhqwrv frphufldohv/ hvshudv sdud vhu surfhvdgrv ghwhuplqdgrv surjudpdv
lqirupäwlfrv/ hvshudv sdud srghu dwudyhvdu xq fuxfh orv yhkðfxorv txh flufxodq
sru xqd flxgdg r hvshudv sdud hvwdeohfhu frpxqlfdflöq r uhflelu lqirupdflöq
gh xq vhuylgru zhe/ d wudyìv gh lqwhuqhw/ hqwuh pxfkdv rwudv1
;14 Uhvhôd klvwöulfd
Klvwöulfdphqwh/ orv sulphurv wudedmrv txh frphq}durq d gdu fxhusr d od whruðd
gh frodv +wdpelìq oodpdgd Whohwuäfr hq Lqjhqlhuðd gh Whohfrpxqlfdflrqhv, vrq
orv ghelgrv do pdwhpäwlfr0lqjhqlhur gdqìv D1N1 Huodqj/ txlhq hq 4<3< sxeolfö
Od whruðd gh suredelolgdghv | odv frqyhuvdflrqhv whohiöqlfdv1 Huodqj hud sru hq0
wrqfhv hpsohdgr gh od Frpsdôðd Whohiöqlfd Gdqhvd hq Frshqkdjh | vx wudedmr
ixh xqd dsolfdflöq gh wìfqlfdv h{lvwhqwhv hq whruðd gh suredelolgdg do sureoh0
pd gh ghwhuplqdu ho qýphur öswlpr gh oðqhdv whohiöqlfdv hq xqd fhqwudolwd/
whqlhqgr hq fxhqwd od iuhfxhqfld gh odv oodpdgdv | vx gxudflöq1
Odv dsolfdflrqhv gh od whruðd gh frodv d od whohirqðd frqwlqxdurq ghvsxìv gh
Huodqj1 Hq 4<5:/ H1F1 Prolqd sxeolfö Dsolfdflöq gh od whruðd gh od suredel0
olgdg d sureohpdv gh oðqhdv whohiöqlfdv/ vhjxlgr/ hq 4<5;/ gh Suredelolgdg | vxv
xvrv hq Lqjhqlhuðd/ sru W1F1 Iu|1 D sulqflslrv gh orv dôrv 63/ I1 Sroodf}hn
sxeolfö wudedmrv lqqrydgruhv vreuh ho fdvr gh oohjdgdv srlvvrqldqdv | vhuylflrv
duelwudulrv1 Wdpelìq/ sru hvd ìsrfd/ orv pdwhpäwlfrv gh od hvfxhod uxvd D1Q1
Nroprjrury | D1\1 Nklqwfklqh/ dvð frpr F1G1 Furppholq/ hq Iudqfld/ | F1
Sdop/ hq Vxhfld/ uhdol}durq lpsruwdqwhv dsruwdflrqhv d od whruðd1
D shvdu gh txh d frplhq}rv gho hvwxglr gh od whruðd/ odv dsruwdflrqhv ixhurq
px| hvfdvdv/ hvwd vlwxdflöq fdpelö qrwdeohphqwh d sduwlu gh orv dôrv 83/ frphq0
}dqgr d sxeolfduvh judq qýphur gh wudedmrv vreuh ho whpd1 Hq od dfwxdolgdg odv
dsolfdflrqhv gh od whruðd gh frodv hq orv fdpsrv gh od Lqirupäwlfd/ odv Whohfr0
pxqlfdflrqhv |/ hq jhqhudo/ odv qxhydv whfqrorjðdv deuhq xq dýq pd|ru sruyhqlu
d hvwd whruðd pdwhpäwlfd1
114
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
;15 Frqwhqlgrv gh od sduwh gh whruðd gh frodv
Orv frqwhqlgrv gh whruðd gh frodv txh vh wudwduäq hq orv vljxlhqwhv fdsðwxorv vrq
orv vljxlhqwhv=
41 Hvwxglr gh odv khuudplhqwdv suredeloðvwlfdv päv lpsruwdqwhv sdud ho wud0
wdplhqwr gh odv frodv frq oohjdgdv | vhuylflrv h{srqhqfldohv= qrflrqhv
jhqhudohv vreuh surfhvrv hvwrfävwlfrv/ ho surfhvr gh Srlvvrq | surfhvrv gh
qdflplhqwr | pxhuwh1
51 Lqwurgxfflöq d od whruðd gh frodv= ghvfulelhqgr orv hohphqwrv gho vlvwhpd
gh xqd frod/ hvwdeohflhqgr od whuplqrorjðd kdelwxdo/ hvwxgldqgr dojxqdv
surslhgdghv gh lqwhuìv gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd | gdqgr
odv iöupxodv gh Olwwoh1
61 Orv prghorv gh frodv päv lpsruwdqwhv frq wdvdv gh oohjdgd | gh vhuylflr
h{srqhqfldohv= P2P24/ P2P2v/ P2P242N/ P2P2v2N/ P2P24242K/
P2P2V242K +vlq | frq uhsxhvwrv, | P2P241
71 Odv uhghv gh frodv wdqwr/ delhuwdv frpr fhuudgdv/ frq glvwulexflöq h{sr0
qhqfldo sdud orv vhuylflrv | sdud odv oohjdgdv +vl hv ho fdvr,1
81 Dojxqdv lqglfdflrqhv vreuh föpr uhvroyhu sureohpdv gh frodv fxdqgr od
klsöwhvlv gh h{srqhqfldolgdg ghmd gh vhu flhuwd1 Hvwr lqfox|h ho hvwxglr
dqäolwlfr gh prghorv vhqfloorv frq xq vöor vhuylgru/ frpr ho P2J24/ |
dojxqdv qrflrqhv vreuh föpr dsur{lpdu orv ydoruhv gh lqwhuìv phgldqwh
vlpxodflöq1
9
Nociones básicas sobre
procesos estocásticos
Nociones básicas sobre procesos estocásticos 117
<1 0
<14 Qrflöq gh surfhvr hvwrfävwlfr
Ghqlflöq 64 Xq surfhvr hvwrfävwlfr qr hv päv txh xqd frohfflöq gh yduldeohv
dohdwruldv txh ghqrwduhprv sru if E| *| 5 A j/ r elhq/ if| *| 5 A j/ r vlpsoh0
phqwh if| j|MA 1 Hv ghflu/ fdgd f| hv xqd yduldeoh dohwruld f| G l $ U/ wrgdv
hoodv ghqlgdv vreuh ho plvpr hvsdflr gh suredelolgdg l1 Ho vxefrqmxqwr/ ./ gh
U hq ho txh wrpdq ydoruhv wrgdv odv yduldeohv vh frqrfh frpr hvsdflr gh hvwd0
grv/ plhqwudv txh ho frqmxqwr gh ðqglfhv/ A / vh ghqrplqd hvsdflr gh wlhpsrv1
Vhjýq orv frqmxqwrv . | A vhdq qlwrv +r lqqlwrv qxphudeohv, r frqwhqjdq/ do
phqrv/ xq lqwhuydor vh kdeoduä gh surfhvrv hvwrfävwlfrv frq hvsdflr gh hvwdgrv
glvfuhwr r frqwlqxr | hq wlhpsr glvfuhwr r frqwlqxr1
Dojxqrv hmhpsorv whöulfrv gh surfhvrv hvwrfävwlfrv vrq= xqd yduldeoh dohdwr0
uld +dtxð ho frqmxqwr gh ðqglfhv wlhqh xq ýqlfr hohphqwr,/ xq yhfwru dohdwrulr 0r
yduldeoh dohdwruld pxowlglphqvlrqdo0 +hq ho fxdo ho hvsdflr gh wlhpsrv hv qlwr,/
r xqd vxfhvlöq gh yduldeohv dohdwruldv +fxdqgr A ' Q,/ hqwuh rwurv1 Frpr hv
reylr/ od pd|ru qryhgdg gho frqfhswr vh gd fxdqwr ho hvsdflr gh wlhpsrv hv xq
frqmxqwr lqqlwr1
Hmhpsorv gh vlwxdflrqhv uhdohv txh srguðdq prghol}duvh phgldqwh surfhvrv
hvwrfävwlfrv vrq odv vljxlhqwhv=
41 Ho wlhpsr gh uhvsxhvwd hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr pxowlwxvxdulr/ vhjýq
od krud gho gðd1 Dtxð ho hvsdflr gh hvwdgrv srguðd vhu . ' Efc 4 | ho gh
wlhpsrv A ' dfc 2e/ sru wdqwr vh wudwduðd gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq
wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv frqwlqxr1
51 Ho qýphur gh whuplqdohv frqhfwdgdv d xq vhuylgru vhjýq ho lqvwdqwh gho
gðd1 Gh qxhyr/ A ' dfc 2e/ plhqwudv txh dkrud . ' ifc c 2c j1 Vh
wudwd sxhv gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh
hvwdgrv glvfuhwr1
61 Ho wlhpsr gh FSX gh xq vhuylgru ghglfdgr d xvxdulrv vhjýq ho gðd gho
dôr1 Vh wudwd gh xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr glvfuhwr | frq hvsdflr
gh hvwdgrv frqwlqxr/ sxhv A ' ic 2c c SDj | . ' dfc 41 Wdpelìq/
reyldphqwh/ hv xqd yduldeoh dohwruld frqwlqxd 6980glphqvlrqdo1
Ilmdgr xq hohphqwr gho hvsdflr pxhvwudo/ / 5 l/ od ixqflöq }/ G A $ ./ txh
d fdgd | 5 A oh kdfh fruuhvsrqghu }/ E| ' f| E/ vh ghqrplqd wud|hfwruld/ r
uhdol}dflöq pxhvwudo gho surfhvr/ sdud od hohfflöq gho d}du +r vxfhvr hohphqwdo,
/1 Hq hvwh vhqwlgr/ xq surfhvr hvwrfävwlfr wdpelìq sxhgh ghqluvh/ gh irupd
118
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
htxlydohqwh/ frpr xqd ýqlfd yduldeoh dohwruld shur txh wrpd ydoruhv hq ho
frqmxqwr gh odv ixqflrqhv gh A hq ./ J ' i}*} G A $ .j1
<15 Fdudfwhuðvwlfdv | surslhgdghv txh sxhgh
yhulfdu xq surfhvr hvwrfävwlfr
Ghqlflöq 65 Vh ghqrplqd ixqflöq gh phgldv gh xq surfhvr hvwrfävwlfr
if| j|MA d od dsolfdflöq ghqlgd sru
6 E| ' . Ef| / ;| 5 A 1
Ghqlflöq 66 Od ixqflöq gh dxwrfryduldq}dv gh xq surfhvr if| j|MA hv xqd
dsolfdflöq/ gh A A hq U/ gdgd sru
S Erc | ' J Efr c f| ' . dEfr 6 Er Ef| 6 E|o / sdud wrgrv rc | 5 A 1
Ghelgr d od vlphwuðd gh od fryduldq}d/ hvwd ixqflöq hv vlpìwulfd/ hv ghflu/
S Erc | ' S E|c r sdud wrgrv rc | 5 A 1
Ghqlflöq 67 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA vh glfh gìelophqwh hvwdflrqdulr
+r hvwdflrqdulr hq phgld | fryduldq}d, vl yhulfd
41 Vx ixqflöq gh phgldv hv frqvwdqwh/ l1h1/ 6 E| ' 6/ ;| 5 A 1
51 Od ixqflöq gh dxwrfryduldq}dv hv ixqflöq vrodphqwh gh od glihuhqfld gh
lqvwdqwhv gh wlhpsr/ hv ghflu/ S Erc | ' E| r1
Ghqlflöq 68 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA vh glfh ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr
+r hvwdflrqdulr hq vhqwlgr hvwulfwr, vl sdud fxdotxlhu ? 5 Q/ fxdohvtxlhud
lqvwdqwhv yhulfdqgr | |2 |? | fxdotxlhu ydoru uhdo / wdo txh
| n 5 A sdud ' c 2c c ?/ vh yhulfd txh od yduldeoh ?0glphqvlrqdo
Ef| n c f|2 n c c f|? n wlhqh od plvpd glvwulexflöq gh suredelolgdg txh
Ef| c f|2 c c f|? D sduwlu gh hvwd ghqlflöq vh wlhqh txh/ hq sduwlfxodu/ wrgr surfhvr hvwrfäv0
g
wlfr ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr yhulfd fr ' f| sdud wrgrv rc | 5 A +hv ghflu odv
glvwulexflrqhv pdujlqdohv gh odv yduldeohv gho surfhvr vrq ljxdohv,1 Or dqwhulru
lpsolfd txh
6 Er ' . Efr ' . Ef| ' 6 E| / sdud wrgrv rc | 5 A 1
Nociones básicas sobre procesos estocásticos 119
Dghpäv/ dsolfdqgr sdud ? ' 2 | ' r/ od surslhgdg gh hvwdflrqdulhgdg
ixhuwh/ vh wlhqh txh
g
Efr c f| ' Eff c f|3r |/ sru wdqwr S Erc | ' S Efc | r ' E| r1 Hq yluwxg gh wrgr or dqwh0
ulru/ vh wlhqh txh wrgr surfhvr ixhuwhphqwh hvwdflrqdulr wdpelìq hv gìelophqwh
hvwdflrqdulr1
Xqd surslhgdg px| lpsruwdqwh txh sxhgh yhulfdu xq surfhvr hvwrfävwlfr
hv od oodpdgd surslhgdg gh Pdunry1
Ghqlflöq 69 Xq surfhvr hvwrfävwlfr if| j|MA / vh glfh pdunryldqr vl/ sdud
fxdotxlhu ? 5 Q | fxdohvtxlhud lqvwdqwhv | |2 |? hq A / vh yhulfd od
vljxlhqwh ljxdogdg hq glvwulexflöq=
f|? mf|
 cf|2 c cf|?3
g
' f|? mf|
?3
Hq wìuplqrv lqwxlwlyrv/ od surslhgdg gh Pdunry vh h{suhvd glflhqgr txh/
frqrflgr ho suhvhqwh/ od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh srvleohv ydoruhv ixwxurv
gho surfhvr ghshqgh vöodphqwh gho ydoru gho suhvhqwh | qr gh ydoruhv gho surfhvr
hq ho sdvdgr1
Hq or txh vljxh qrv fhqwuduhprv hq ho hvwxglr gh dojxqrv surfhvrv hvwrfävwl0
frv/ hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh hvwdgrv glvfuhwr/ txh vhuäq gh hvshfldo
lqwhuìv sru vx xwlolgdg frpr khuudplhqwdv sdud od whruðd gh frodv1
<16 Surfhvrv gh frqwdu= ho surfhvr gh Srlvvrq
Ghqlflöq 6: Xq surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflr gh
hvwdgrv glvfuhwr/ i| j|Mdfc" / vh glfh gh frqwdu vl yhulfd orv vljxlhqwhv wuhv
d{lrpdv=
41 f ' f1
51 | wrpd ýqlfdphqwh ydoruhv hqwhurv qr qhjdwlyrv1
61 Vl r | hqwrqfhv r E/ | E/ sdud wrgr / 5 l1
Dojxqdv vlwxdflrqhv suäfwlfdv txh sxhghq prghol}duvh phgldqwh surfhvrv
gh frqwdu vrq
41 Ho qýphur gh surfhvrv hqyldgrv d xq vhuylgru kdvwd xq wlhpsr |1
51 Ho qýphur gh oodpdgdv whohiöqlfdv uhflelgdv sru xqd rflqd gh uhvhuyd gh
eloohwhv kdvwd xq wlhpsr |1
120
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
61 Ho qýphur gh huuruhv gh vriwzduh kdelgrv hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr kdvwd
xq lqvwdqwh |1
Hq jhqhudo/ sxhgh dupduvh txh orv surfhvrv gh frqwdu vluyhq sdud prghol}du
ho qýphur gh rfxuuhqfldv gh xq flhuwr ihqöphqr kdelgdv ghvgh xq lqlflr gh
wlhpsrv +mdgr hq | ' f, kdvwd xq lqvwdqwh |1
Ghqlflöq 6; Gdgr xq surfhvr gh frqwdu/ i| *| fj/ vh glfh txh hv xq sur0
fhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur +r lqwhqvlgdg, b : f/ vl yhulfd odv vljxlhqwhv
surslhgdghv=
41 Ho surfhvr wlhqh lqfuhphqwrv lqghshqglhqwhv/ hv ghflu/ vl vh wlhqhq lqv0
wdqwhv f |f | |? / hqwrqfhv/ odv yduldeohv dohdwruldv | |f /
|2 | / / |? |?3 +txh uhsuhvhqwdq orv qýphurv gh rfxuuhqfldv
hq orv lqwhuydorv E|f c | o/ E| c |2 o/ /E|?3 c |? o, vrq lqghshqglhqwhv1
g
51 Ho surfhvr wlhqh lqfuhphqwrv hvwdflrqdulrv/ hv ghflu/ |n rn ' | r sdud wrgrv r | | duelwudulr1
61 Od suredelolgdg gh txh hq ho lqwhuydor dfc o vh gh h{dfwdphqwh xqd rfx0
uuhqfld gho ihqöphqr hv E '  ' b n J E1 Hq yluwxg gho d{lrpd
dqwhulru hvwr plvpr hv yäolgr sdud fxdotxlhu lqwhuydor gh orqjlwxg 1
71 Od suredelolgdg gh txh kd|d grv r päv rfxuuhqfldv hq hvh plvpr lqwhuydor
dfc o hv E 2 ' J E1 Gh qxhyr/ sru ho d{lrpd 5/ hvwd surslhgdg
hv yäolgd sdud fxdotxlhu lqwhuydor gh orqjlwxg 1
Frpr frqvhfxhqfld gh orv grv ýowlprv d{lrpdv gh od ghqlflöq/ vh wlhqh
E ' f '  b n J E1 Sru rwud sduwh/ ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv
gho ihqöphqr hq xq lqwhuydor gh orqjlwxg / ylhqh gdgr sru
. E|n | ' . E ' f E b n J E n  Eb n J E n J E
' b n J E /
frq or txh ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv sru xqlgdg gh wlhpsr hv
b n J E
J E
. E|n | '
'bn
/
fx|r oðplwh/ fxdqgr $ fn hv b1 Dvð/ ho sduäphwur gho surfhvr gh Srlvvrq/
b/ sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho qýphur phglr gh rfxuuhqfldv gho ihqöphqr sru
xqlgdg gh wlhpsr +gh dkð ho qrpeuh gh lqwhqvlgdg,1
Vhjxlgdphqwh vh suhvhqwdq dojxqrv uhvxowdgrv whöulfrv lqwhuhvdqwhv sdud ho
surfhvr gh Srlvvrq1 Frpr frqvhfxhqfld gh orv plvprv vh wlhqh/ hqwuh rwudv
frvdv/ txh od glvwulexflöq gh xq surfhvr gh Srlvvrq txhgd fdudfwhul}dgd gh
irupd ýqlfd sru orv d{lrpdv dqwhulruhv1
Nociones básicas sobre procesos estocásticos 121
Whruhpd 6< Vhd i| *| fj xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b1 Hqwrqfhv
od yduldeoh dohdwruld | wlhqh glvwulexflöq gh Srlvvrq gh sduäphwur b|1 Hq rwudv
sdodeudv/ odv glvwulexflrqhv pdujlqdohv gho surfhvr vrq gh Srlvvrq1
Whruhpd 73 Vhd i| *| fj xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b | vhdq
f ' |f | |2 orv wlhpsrv +dohdwrulrv, gh rfxuuhqfld gho ihqöphqr
hq fxhvwlöq +hv ghflu/ orv sxqwrv | f txh yhulfdq txh r | sdud wrgr
r |, | ghiðqdqvh orv wlhpsrv hqwuh rfxuuhqfldv  ' | |f / 2 ' |2 | / > hqwrqfhv odv yduldeohv dohdwruldv & vrq pxwxdphqwh lqghshqglhqwhv h lgìqwl0
fdphqwh glvwulexðgdv/ frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b1 Uhfðsurfd0
phqwh/ vl i| *| fj hv xq surfhvr gh frqwdu | orv wlhpsrv hqwuh rfxuuhqfldv/
& / ghqlgrv frpr dqwhv/ vrq yduldeohv lqghshqglhqwhv h lgìqwlfdphqwh glv0
wulexðgdv/ frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur b/ hqwrqfhv i| *| fj
hv xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b1
Hvwh uhvxowdgr hv px| ýwlo sdud vlpxodu ho surfhvr gh Srlvvrq vlq päv txh
xwlol}du xq dojrulwpr +frpr ho gh lqyhuvlöq, txh shuplwd vlpxodu od glvwulex0
flöq h{srqhqfldo1 Wdpelìq/ mxqwr frq ho uhvxowdgr dqwhulru/ hv gh pxfkr lqwhuìv
whöulfr sxhv vlpsolfd qrwdeohphqwh ho fäofxor gh glyhuvdv suredelolgdghv uhod0
wlydv d surfhvrv gh Srlvvrq1 Xq hmhpsor gh hvwr vh sxhgh yhu hq od ghprvwudflöq
gho whruhpd vljxlhqwh1
Whruhpd 74 Frqvlgìuhvh i| *| fj/ xq surfhvr gh Srlvvrq gh sduäphwur b/
sdud ho fxdo vh vdeh txh hq ho lqwhuydor d@c Ko +frq K : @, vh kd gdgr h{dfwdphqwh
xqd rfxuuhqfld1 Hqwrqfhv/ od yduldeoh dohdwruld t / ghqlgd frpr ho lqvwdqwh
frqfuhwr gho lqwhuydor d@c Ko hq ho txh vh kd gdgr hvd rfxuuhqfld/ vljxh xqd
glvwulexflöq Ld@c Ko1
Ghprvwudflöq= Vhd | 5 d@c Ko1 Fdofxohprv C E|/ od ixqflöq gh glvwulexflöq
gh od yduldeoh t hq hvwh sxqwr |=
C E| ' Et | ' | @ ' mK 3@ ' ' |3@ ' mK3@ '
E|3@ ' c K3@ |3@ ' f
E|3@ ' c K3@ ' 
'
EK3@ ' 
EK3@ ' 
E|3@ '  EK3@ |3@ ' f
'
EK3@ ' 
E|3@ '  K3@3E|3@ ' f
'
EK3@ ' 
'
'
e3bE|3@ EbE|3@ e3bEK3| EbEK3|f
f3bEK3@
e
EbEK3@
-
'
|@
e3bE|3@nK3| b E| @
'
/
3bEK3@
e
b EK @
K@
txh hv od iöupxod gh od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd L d@c Ko1
122
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
<17 Surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh
Ho surfhvr gh Srlvvrq +|/ hq jhqhudo/ orv surfhvrv gh frqwdu, hv ýwlo sdud pr0
ghol}du vlwxdflrqhv hq odv txh ho remhwlyr hv frqwdelol}du ho qýphur gh rfxuuhq0
fldv gh flhuwr ihqöphqr +r qdflplhqwrv hq xqd sreodflöq, kdvwd xq lqvwdqwh |1
H{lvwhq rwurv surfhvrv päv jhqhudohv/ oodpdgrv gh qdflplhqwr | pxhuwh/ txh
frqwhpsodq od srvlelolgdg gh txh glfkr qýphur sxhgd glvplqxlu +sru hmhpsor/
vl vh suhwhqgh frqwdelol}du ho qýphur gh lqglylgxrv hq xqd sreodflöq/ fdgd yh}
txh vh surgxfh xqd pxhuwh,1 Orv surfhvrv gh qdflplhqwr | pxhuwh/ dghpäv
gh jhqhudol}du ho surfhvr gh Srlvvrq hq ho vhqwlgr uhflìq frphqwdgr/ wdpelìq
vrq päv jhqhudohv sru ho khfkr gh shuplwlu txh odv wdvdv gh qdflplhqwrv |
pxhuwhv sxhgdq ghshqghu gho qýphur gh lqglylgxrv gh od sreodflöq +frvd txh
hihfwlydphqwh rfxuuh hq odv sreodflrqhv gh vhuhv ylyrv,1
Ghqlflöq 75 Frqvlgìuhvh xq surfhvr hvwrfävwlfr i| *| fj frq hvsdflr gh
hvwdgrv glvfuhwr= . ' ifc c 2c j | vxsöqjdvh txh ho surfhvr ghvfuleh xq
vlvwhpd txh gluhprv txh vh hqfxhqwud hq hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh | fxdqgr
| ' ?1 Vh gluä txh ho surfhvr hvwrfävwlfr hv gh qdflplhqwr | pxhuwh vl h{lvwhq
vxfhvlrqhv gh qýphurv qr qhjdwlyrv ib? *? ' fc c j | i>? *? ' c 2c j
+oodpdgdv wdvdv gh qdflplhqwr | gh pxhuwh/ uhvshfwlydphqwh, wdohv txh vh yh0
ulfdq odv vljxlhqwhv surslhgdghv1
41 Orv fdpelrv gh hvwdgr shuplwlgrv vrq gh .f d . | ghvgh .? d .?3 r d
.?n / sdud ? 1
51 Vl ho vlvwhpd vh hqfxhqwud hq hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh |/ hqwrqfhv/ od
suredelolgdg gh txh hqwuh | | | n sdvh d hvwdgr .?n hv b? n J E |/
vl ? / od suredelolgdg gh txh sdvh d .?3 hv >? n J E1
61 Od suredelolgdg gh txh rfxuud päv gh xq fdpelr hq ho lqwhuydor gh wlhpsr
hqwuh | | | n hv J E1
Frpr |d vh frphqwö dqwhv/ hv gljqr gh phqflöq txh ho surfhvr gh Srlvvrq hv
xq fdvr sduwlfxodu gh od ghqlflöq dqwhulru vlq päv txh frqvlghudu txh odv wdvdv
gh pxhuwh vrq wrgdv fhur | txh odv wdvdv gh qdflplhqwr vrq frqvwdqwhphqwh
ljxdohv d b1
D frqwlqxdflöq/ wudwduhprv gh hqfrqwudu dojýq prgr gh ghwhuplqdu od glv0
wulexflöq gh suredelolgdg gh xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh +r/ do phqrv/
vxv glvwulexflrqhv pdujlqdohv,1 Ghqrwhprv sru ? E| od suredelolgdg gh txh
ho vlvwhpd vh hqfxhqwuh hq ho hvwdgr .? hq ho lqvwdqwh |/ pdwhpäwlfdphqwh/
? E| ' E| ' ?1 Judfldv d od uhjod gh odv suredelolgdghv wrwdohv/ srghprv
h{suhvdu iäflophqwh od suredelolgdg gh txh ho vlvwhpd hvwì hq ho hvwdgr .? hq ho
lqvwdqwh | n / hq wìuplqrv gh suredelolgdghv gh txh ho vlvwhpd hvwì hq glvwlqwrv
Nociones básicas sobre procesos estocásticos 123
srvleohv hvwdgrv hq ho lqvwdqwh |1 Dvð/ vl ? / vh wlhqh
? E| n ' E|n ' ? ' |n ' ?m| '?3 E| ' ? 
n |n ' ?m| '? E| ' ?
n |n ' ?m| '?n E| ' ? n 
"
[
n
|n ' ?m| '6 E| ' 6
6'fc6Mt?3c?c?n
*
' ?3 E| Eb?3 n J E
n? E| E b? n J E E >? n J E
"
[
n?n E| >?n n J E n
6 E| J E
6'fc6Mt?3c?c?n
*
' ?3 E| b?3 n ? E| E b? >? n ?n E| >?n n J E 1
Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh/
J E
? E| n ? E|
' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| n
|/ dvð/
? E| '
_? E|
? E| n ? E|
' *4
<f
_|
' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| n *4
' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| 1
<f
J E
Gh irupd wrwdophqwh dqäorjd sxhgh wudwduvh ho fdvr ? ' f/ rewhqlhqgr odv
oodpdgdv hfxdflrqhv glihuhqfldohv gh edodqfh=
? E| ' b?3 ?3 E| Eb? n >? ? E| n >?n ?n E| vl ?  |
f E| ' bf f E| n >  E| 1
Vxsrqlhqgr txh hq ho ruljhq gh wlhpsrv ho vlvwhpd vh hqfxhqwud hq hvwdgr .f
+hv ghflu/ hq | ' f/ qr kd| lqglylgxrv hq od sreodflöq,/ vh wlhqhq odv frqglflrqhv
lqlfldohv f Ef '  | ? Ef ' f sdud wrgr ? 1
Hq jhqhudo/ odv hfxdflrqhv gh edodqfh +txh qr hv päv txh xq vlvwhpd gh
lqqlwdv hfxdflrqhv glihuhqfldohv olqhdohv, vrq gliðflohv gh uhvroyhu1 Gh wrgdv
irupdv kd| dojxqrv fdvrv sduwlfxoduhv hq orv txh od uhvroxflöq hv päv vhqflood1
Dvð/ vl >? ' f sdud wrgr ? ' c 2c | b? ' b sdud wrgr ? ' fc c +hv ghflu/
sdud ho surfhvr gh Srlvvrq,/ odv hfxdflrqhv gh edodqfh uhvxowdq hvshfldophqwh
vhqfloodv=
? E| ' b?3 E| b? E| vl ?  |
f E| ' bf E|
124
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
| sxhgh sureduvh vlq h{fhvlyd glfxowdg txh od vroxflöq hv
e3b| Eb|?
/ ;| f1
? E| '
?Gh khfkr/ sdud ? ' f/ od hfxdflöq glihuhqfldo f E| ' bf E| hv px| iäflo gh
uhvroyhu/ vlhqgr vx vroxflöq jhqhudo gh od irupd f E| ' e3b| +ghwhuplqdqgr
od frqvwdqwh d sduwlu gh odv frqglflrqhv lqlfldohv/ hq hvwh fdvr f Ef ' , |
surfhglhqgr/ hq ho fdvr jhqhudo sru lqgxfflöq hq ?1
Fxdqgr ho surfhvr hvwrfävwlfr gh qdflplhqwr | pxhuwh hv hvwdflrqdulr/ odv
ixqflrqhv ? E| vrq frqvwdqwhv R? / txh qr ghshqghq gh |/ |/ sru wdqwr/ ho
vlvwhpd gh hfxdflrqhv glihuhqfldohv gh edodqfh vh frqylhuwh hq xq vlvwhpd gh
lqqlwdv hfxdflrqhv olqhdohv=
f ' b?3 R?3 Eb? n >? R? n >?n R?n vl ?  |
f ' bf Rf n > R /
txh wdpelìq sxhghq h{suhvduvh frpr
Eb? n >? R? ' b?3 R?3 n >?n R?n vl ?  |
bf Rf ' > R 1
Xqd irupd lqwxlwlyd gh lqwhusuhwdu hvwdv hfxdflrqhv +phgldqwh od fxdo sxhghq
hqwhqghuvh frpr xq edodqfh/ vhjýq vx qrpeuh lqglfd, hv od vljxlhqwh1 Sdud
fdgd srvleoh hvwdgr/ ?/ ho plhpeur gh od l}txlhugd uhsuhvhqwd od suredelolgdg
gh glfkr hvwdgr pxowlsolfdgd sru od vxpd gh odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d irupdv
gh vdolu gh hvwh hvwdgr kdfld rwur glvwlqwr1 Orv wìuplqrv gh od ghuhfkd gh fdgd
hfxdflöq gh edodqfh h{suhvdq od vxpd gh od suredelolgdghv gh dtxhoorv hvwdgrv
ghvgh orv fxdohv vh sxhgh oohjdu do hvwdgr ? hq xq ýqlfd wudqvlflöq/ pxowlsolfdgdv
sru odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d glfkd wudqvlflöq1
Dvð/ vl ? / hq ho wìuplqr gh od l}txlhugd vh pxowlsolfd R? sru od vxpd gh
odv wdvdv b? / txh fruuhvsrqgh do khfkr gh txh vh surgx}fd xq qdflplhqwr fxdqgr
ho vlvwhpd hvwä hq hvwdgr ? +sdvdqgr/ sru wdqwr/ d ?n, | >? / fruuhvsrqglhqwh d
txh vh surgx}fd xqd pxhuwh fxdqgr kd| ? lqglylgxrv hq od sreodflöq +sdvdqgr/
frqvljxlhqwhphqwh/ d xqd sreodflöq frq ?  lqglylgxrv,1 Fxdqgr ? ' f ho
ud}rqdplhqwr dqwhulru hv yäolgr vdoyr hq or wrfdqwh d >f / txh qr dsduhfh sxhv
qr sxhgh kdehu pxhuwhv vl |d kd| f lqglylgxrv hq ho vlvwhpd1 Sdud orv wìuplqrv
gh od ghuhfkd/ fxdqgr ? / vh sxhgh oohjdu do hvwdgr ? surfhghqwh gho hvwdgr
?  +hq fx|r fdvr gheh kdehu xq qdflplhqwr/ frq wdvd b?3 , r elhq gho hvwdgr
? n  +vlhpsuh txh kd|d xqd pxhuwh/ frq wdvd >?n ,1 Reyldphqwh/ vl ? ' f/
qr dsduhfhuä ho wìuplqr fruuhvsrqglhqwh d ? 1
Hq hvwh fdvr hq ho txh ho surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh hv hvwdflrqdulr/
uhvxowd edvwdqwh vhqfloor uhvroyhu odv hfxdflrqhv gh edodqfh1 Dvð/ wrpdqgr od
hfxdflöq fruuhvsrqglhqwh d ? ' f vh sxhgh ghvshmdu R / rewhqlhqgr
R '
bf
Rf 1
>
Nociones básicas sobre procesos estocásticos 125
Dghpäv/ sxhgh sureduvh sru lqgxfflöq xqd jhqhudol}dflöq gh hvwd h{suhvlöq
sdud fxdotxlhu ðqglfh ?=
R? '
b?3
R?3 1
>?
Hq hihfwr/ od h{suhvlöq hv flhuwd sdud ? ' 1 Vxsrqjäprvod flhuwd sdud ? |
sureìprvod sdud ? n 1 Xwlol}dqgr od hfxdflöq gh edodqfh ?0ìvlpd/ vh wlhqh
b?3 R?3 >?n R?n
Eb? n >? R?
/
'
n
>?
>?
>?
txh/ judfldv d od klsöwhvlv gh lqgxfflöq/ sxhgh hvfuleluvh frpr
> R?n
b?
/
n  R? ' R? n ?n
>?
>?
r/ or txh hv or plvpr/
> R?n
b?
/
R? ' ?n
>?
>?
or fxdo/ vlpsolfdqgr orv wìuplqrv >? / | ghvshmdqgr R?n gd oxjdu d
b?
R? ' R?n /
>?n
txh hv od h{suhvlöq txh vh txhuðd ghprvwudu1
Gh hvwd irupd vh wlhqh
bf
Rf c
>
b
b bf
'
R '
Rf c
>2
>2 >
|/ hq jhqhudo
b?3 b?32 bf
'
Rf / sdud wrgr ? ' c 2c >? >?3 >
R '
R2
R?
Glfkr gh rwud irupd/ ghqlhqgr
S? '
b?3 b?32 bf
/ ;? ' c 2c >? >?3 >
vh wlhqh txh R? ' S? Rf sdud wrgr ? ' c 2c Dkrud elhq/ frpr odv R? vrq
xqd pdvd gh suredelolgdg/ vh yhulfd
#
$
"
"
[
[
 '
R? '  n
S? Rf /
?'f
frq or fxdo Rf '
n

S"
?' S?
?'
/
126
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
S
vlhpsuh txh "
?' S? 41 Hvwd ýowlpd hv od oodpdgd frqglflöq gh hvwdgr hvwd0
flrqdulr/ txh ylhqh d txhuhu ghflu txh sdud txh h{lvwd xq surfhvr gh qdflplhq0
wr | pxhuwh hvwdflrqdulr frq wdvdv
S gh qdflplhqwr ib? j?Df | wdvdv gh pxhuwh
i>? j?D kd gh fxpsoluvh txh "
?' S? 41 Dghpäv sxhgh ghprvwuduvh txh
hvwd frqglflöq hv wdpelìq vxflhqwh +qr vöor qhfhvduld, sdud txh ho surfhvr vhd
hvwdflrqdulr1
10
Conceptos generales
de la teoría de colas
Conceptos generales de la teoría de colas 129
431 0
Kdvwd ho prphqwr khprv hvwxgldgr glyhuvdv khuudplhqwdv gh surfhvrv hvwrfäv0
wlfrv txh vhuäq xwlohv sdud ho hvwxglr gh frodv frq wlhpsrv hqwuh oohjdgdv |
wlhpsrv gh vhuylflr srlvvrqldqrv1 Hq hvwh fdsðwxor gduhprv xqd lqwurgxfflöq
do frqfhswr gh frod/ sursldphqwh glfkr/ hvwdeohflhqgr od whuplqrorjðd eävl0
fd txh xwlol}duhprv hq ho vljxlhqwh fdsðwxor h lqglfdqgr dojxqdv surslhgdghv
lpsruwdqwhv/ wdqwr gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd +gh pxfkd lp0
sruwdqfld hq orv prghorv gh frodv dqwhglfkrv, frpr sdud glyhuvrv frqfhswrv
dvrfldgrv frq dojxqdv yduldeohv gh lqwhuìv hq xqd frod +odv oodpdgdv iöupxodv
gh Olwwoh,1
4314 Ghvfulsflöq gho vlvwhpd gh xqd frod
Hq pxfkdv rfdvlrqhv hq od ylgd uhdo/ xq ihqöphqr px| frpýq hv od irupdflöq
gh frodv r oðqhdv gh hvshud1 Hvwr vxhoh rfxuulu fxdqgr od ghpdqgd uhdo gh xq
vhuylflr hv vxshulru d od fdsdflgdg txh h{lvwh sdud gdu glfkr vhuylflr1 Hmhpsorv
uhdohv gh hvd vlwxdflöq vrq= orv fuxfhv gh grv yðdv gh flufxodflöq/ orv vhpäirurv/
ho shdmh gh xqd dxwrslvwd/ orv fdmhurv dxwrpäwlfrv/ od dwhqflöq d folhqwhv hq
xq hvwdeohflplhqwr frphufldo/ od dyhuðd gh hohfwurgrpìvwlfrv x rwur wlsr gh
dsdudwrv txh ghehq vhu uhsdudgrv sru xq vhuylflr wìfqlfr/ hwf1
Wrgdyðd päv iuhfxhqwhv/ vl fdeh/ vrq odv vlwxdflrqhv gh hvshud hq ho frqwh{wr
gh od lqirupäwlfd/ odv whohfrpxqlfdflrqhv |/ hq jhqhudo/ odv qxhydv whfqrorjðdv1
Dvð/ sru hmhpsor/ orv surfhvrv hqyldgrv d xq vhuylgru sdud hmhfxflöq irupdq
frodv gh hvshud plhqwudv qr vrq dwhqglgrv/ od lqirupdflöq vrolflwdgd/ d wudyìv
gh lqwhuqhw/ d xq vhuylgru zhe sxhgh uhfleluvh frq ghprud ghelgr d frqjhvwlöq
hq od uhg r hq ho vhuylgru sursldphqwh glfkr/ srghprv uhflelu od vhôdo gh oðqhdv
rfxsdgdv vl od fhqwudo gh od txh ghshqgh qxhvwur whoìirqr pöylo hvwä frodsvdgd
hq hvh prphqwr/ hwf1
Ihqöphqrv frpr orv txh vh dfdedq gh uhodwdu +| pxfkðvlprv rwurv, wlhqhq
flhuwdv fdudfwhuðvwlfdv frpxqhv txh gdq oxjdu do prghor gh vlvwhpd gh xqd frod1
Hq glfkr prghor glvwlqjxluhprv orv vljxlhqwhv hohphqwrv1
Ixhqwh gh hqwudgd r sreodflöq srwhqfldo= Hv xq frqmxqwr gh lqglylgxrv
+qr qhfhvduldphqwh vhuhv ylyrv, txh sxhghq oohjdu d vrolflwdu ho vhuylflr hq
fxhvwlöq1 Srghprv frqvlghuduod qlwd r lqqlwd1 Dxqtxh ho fdvr gh lqqlwxg
qr hv uhdolvwd/ vð shuplwh +sru h{wudôr txh sduh}fd, uhvroyhu gh irupd päv
vhqflood pxfkdv vlwxdflrqhv hq odv txh/ hq uhdolgdg/ od sreodflöq hv qlwd shur
px| judqgh1 Glfkd vxsrvlflöq gh lqqlwxg qr uhvxowd uhvwulfwlyd fxdqgr/ dýq
vlhqgr qlwd od sreodflöq srwhqfldo/ vx qýphur gh hohphqwrv hv wdq judqgh txh
130
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
ho qýphur gh lqglylgxrv txh |d hvwäq vrolflwdqgr ho flwdgr vhuylflr suäfwlfd0
phqwh qr dihfwd d od iuhfxhqfld frq od txh od sreodflöq srwhqfldo jhqhud qxhydv
shwlflrqhv gh vhuylflr1
Folhqwh= Hv wrgr lqglylgxr gh od sreodflöq srwhqfldo txh vrolflwd vhuylflr1
Vxsrqlhqgr txh orv wlhpsrv gh oohjdgd gh folhqwhv frqvhfxwlyrv vrq f | |2 / vhuä lpsruwdqwh frqrfhu ho sdwuöq gh suredelolgdg vhjýq ho fxdo od
ixhqwh gh hqwudgd jhqhud folhqwhv1 Or päv kdelwxdo hv wrpdu frpr uhihuhqfld orv
wlhpsrv hqwuh odv oohjdgdv gh grv folhqwhv frqvhfxwlyrv= & ' |& |&3 / mdqgr
vx glvwulexflöq gh suredelolgdg1 Qrupdophqwh/ fxdqgr od sreodflöq srwhqfldo
hv lqqlwd vh vxsrqh txh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh orv & +txh vhuä od
oodpdgd glvwulexflöq gh orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv, qr ghshqgh gho qýphur gh
folhqwhv txh hvwìq hq hvshud gh frpsohwdu vx vhuylflr/ plhqwudv txh hq ho fdvr
gh txh od ixhqwh gh hqwudgd vhd qlwd/ od glvwulexflöq gh orv & ydulduä vhjýq ho
qýphur gh folhqwhv hq surfhvr gh vhu dwhqglgrv1
Fdsdflgdg gh od frod= Hv ho pä{lpr qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu
kdflhqgr frod +dqwhv gh frphq}du d vhu vhuylgrv,1 Gh qxhyr/ sxhgh vxsrqhuvh
qlwd r lqqlwd1 Or päv vhqfloor/ d hihfwrv gh vlpsolflgdg hq orv fäofxorv/ hv
vxsrqhuod lqqlwd1 Dxqtxh hv reylr txh hq od pd|ru sduwh gh orv fdvrv uhdohv
od fdsdflgdg gh od frod hv qlwd/ qr hv xqd judq uhvwulfflöq ho vxsrqhuod lqqlwd
vl hv h{wuhpdgdphqwh lpsuredeoh txh qr sxhgdq hqwudu folhqwhv d od frod sru
kdehuvh oohjdgr d hvh qýphur oðplwh hq od frod1
Glvflsolqd gh od frod= Hv ho prgr hq ho txh orv folhqwhv vrq vhohfflrqdgrv
sdud vhu vhuylgrv1 Odv glvflsolqdv päv kdelwxdohv vrq=
41 Od glvflsolqd ILIR +uvw lq uvw rxw,/ wdpelìq oodpdgd IFIV +uvw frph
uvw vhuyhg,= vhjýq od fxdo vh dwlhqgh sulphur do folhqwh txh dqwhv kd|d
oohjdgr1
51 Od glvflsolqd OLIR +odvw lq uvw rxw,/ wdpelìq frqrflgd frpr OFIV +odvw
frph uvw vhuyhg, r slod= txh frqvlvwh hq dwhqghu sulphur do folhqwh txh
kd oohjdgr ho ýowlpr1
61 Od UVV +udqgrp vhohfwlrq ri vhuylfh,/ r VLUR +vhuylfh lq udqgrp rughu,/
txh vhohfflrqd d orv folhqwhv gh irupd dohdwruld1
71 Od glvflsolqd UU +urxqg urelq,/ vhjýq od fxdo vh rwrujd xq shtxhôr fxdq0
wr gh wlhpsr gh vhuylflr d fdgd folhqwh gh irupd vhfxhqfldo1 Hvwr ylhqh
d htxlydohu d uhsduwlu orv uhfxuvrv gh irupd ljxdolwduld hqwuh wrgrv orv
folhqwhv hq hvshud |/ sru vxsxhvwr vöor wlhqh vhqwlgr hq dojxqdv flufxqv0
wdqfldv +frpr ho äpelwr gh od lqirupäwlfd,1
Phfdqlvpr gh vhuylflr= Hv ho surfhglplhqwr sru ho fxdo vh gd vhuylflr d orv
folhqwhv txh or vrolflwdq1 Sdud ghwhuplqdu wrwdophqwh ho phfdqlvpr gh vhuylflr
ghehprv frqrfhu ho qýphur gh vhuylgruhv gh glfkr phfdqlvpr +vl glfkr qýphur
ixhvh dohdwrulr/ od glvwulexflöq gh suredelolgdg gho plvpr, | od glvwulexflöq gh
suredelolgdg gho wlhpsr txh oh oohyd d fdgd vhuylgru gdu xq vhuylflr1 Hq fdvr
Conceptos generales de la teoría de colas 131
gh txh orv vhuylgruhv whqjdq glvwlqwd ghvwuh}d sdud gdu ho vhuylflr vh gheh
hvshflfdu od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr sdud fdgd xqr1
Od frod/ sursldphqwh glfkd/ hv ho frqmxqwr gh folhqwhv txh kdfhq hvshud/ hv
ghflu orv folhqwhv txh |d kdq vrolflwdgr ho vhuylflr shur txh dýq qr kdq sdvdgr
do phfdqlvpr gh vhuylflr1
Ho vlvwhpd gh od frod= hv ho frqmxqwr irupdgr sru od frod | ho phfdqlvpr gh
vhuylflr/ mxqwr frq od glvflsolqd gh od frod/ txh hv or txh qrv lqglfd ho fulwhulr
gh txì folhqwh gh od frod hohjlu sdud sdvdu do phfdqlvpr gh vhuylflr1
4315 Whuplqrorjðd | qrwdflöq
Hq or vxfhvlyr xwlol}duhprv odv khuudplhqwdv suredeloðvwlfdv gh orv surfhvrv gh
qdflplhqwr | pxhuwh sdud ho hvwxglr gh frodv frq glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh
oohjdgdv | glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr h{srqhqfldo1 Dqwhv khprv gh
mdu od qrwdflöq txh ydprv d xvdu1
E|= Ghqrwd ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd hq ho lqvwdqwh |1 E| hv xq
surfhvr hvwrfävwlfr hq wlhpsr frqwlqxr | frq hvsdflrv gh hvwdgrv glvfuhwr1
^ E|= Uhsuhvhqwd ho qýphur gh folhqwhv hq od frod hq ho lqvwdqwh |1
? E|= Hv od suredelolgdg gh txh/ hq ho lqvwdqwh |/ vh hqfxhqwuhq ? folhqwhv
hq ho vlvwhpd1 D hvwrv hihfwrv vh vxsrqh frqrflgr ho qýphur gh folhqwhv hq ho
lqvwdqwh fhur +xvxdophqwh glfkr qýphur hv fhur,1
t= Ghqrwd ho qýphur gh vhuylgruhv gho phfdqlvpr gh vhuylflr1
? = Uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vlvwhpd/ sru xqlgdg
gh wlhpsr/ fxdqgr |d kd| ? folhqwhv hq ìo1 Wdpelìq vh ghqrplqd wdvd gh
oohjdgdv +txh vh fruuhvsrqghuðd frq od wdvd gh qdflplhqwrv vl E| hv xq surfhvr
gh qdflplhqwr | pxhuwh,1 Fxdqgr odv wdvdv gh oohjdgd qr ghshqghq gh ? +hv
ghflu wrgrv orv b? vrq frqvwdqwhv, vxhoh ghqrwduvh b glfkr ydoru frqvwdqwh1
? = Hv ho qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh vh ohv frpsohwd ho vhuylflr/ sru
xqlgdg gh wlhpsr/ fxdqgr kd| ? folhqwhv hq ho vlvwhpd1 Hv iuhfxhqwh uhihuluvh d
orv >? frpr wdvdv gh frpsohfflöq gh vhuylflr +r/ vlpsohphqwh/ wdvdv gh vhuylflr,1
Vl wrgrv orv vhuylgruhv wlhqhq od plvpd glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr/
vxhoh ghqrwduvh sru > ho qýphur phglr gh folhqwhv txh sxhgh dwhqghu fdgd
vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr1 Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh txh >? ' ?> vl
? ' c 2c c r | >? ' r> sdud ? r1
= Hv od oodpdgd frqvwdqwh gh xwlol}dflöq gho vlvwhpd r lqwhqvlgdg gh wuäfr1
Vh ghqh/ frpr
4'
b
1
r>
Fxdqgr orv b? vrq frqvwdqwhv | wrgrv orv vhuylgruhv wlhqhq od plvpd glvwulex0
flöq gh wlhpsr gh vhuylflr/ b hv ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq hq ho
vlvwhpd | r> hv ho qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh sxhghq gdu vhuylflr orv r
132
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
vhuylgruhv fxdqgr wrgrv hvwäq rfxsdgrv1 Hq hvwdv frqglflrqhv/ 4 uhsuhvhqwd od
iudfflöq gh uhfxuvrv gho vlvwhpd txh hv frqvxplgd sru orv folhqwhv1 Dvð/ lqwxlwl0
ydphqwh/ sduhfh qhfhvdulr txh vh fxpsod/ hq hvwrv fdvrv/ txh 4  | dghpäv
fxdqwr päv fhufdqr d 4 txh vhd 4/ päv wuäfr kd gh vrsruwdu ho vlvwhpd +r
phqrv wlhpsr oleuh whqguäq orv vhuylgruhv/ r päv hvshud kdeuäq gh vxiulu orv
folhqwhv/ frpr vh txlhud h{suhvdu,1 Dxqtxh hv hylghqwh txh 4 qr wlhqh xqlgdghv/
hv kdelwxdo phglu od lqwhqvlgdg gh wuäfr hq Huodqjv/ hq krqru d orv wudedmrv
slrqhurv gh Huodqj hq od whruðd gh frodv1
Orv prghorv gh frodv txh hvwxglduhprv hq ho vljxlhqwh fdsðwxor vrq wrgrv
hvwdflrqdulrv1 Hq hoorv odv glvwulexflrqhv gh suredelolgdg pdujlqdohv gh orv
surfhvrv hvwrfävwlfrv i E|j|Df | i^ E|j|Df qr fdpeldq frq ho wlhpsr |1 Hq
wdohv frqglflrqhv wlhqh shuihfwr vhqwlgr ghqlu orv vljxlhqwhv frqfhswrv=
= Hv od yduldeoh dohdwruld txh frqwdelol}d ho qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd1
^ = Ghqrwd od yduldeoh dohdwruld qýphur gh folhqwhv hq od frod1
T? = Hv od suredelolgdg gh txh vh hqfxhqwuhq ? folhqwhv hq ho vlvwhpd +? '
fc c ,1
w= Uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd/ hv ghflu u ' . E 1
w^ = Txh qr hv päv txh ho qýphur phglr gh folhqwhv hq od frod/ r or txh hv or
plvpr/ u^ ' . E^ 1
Z= Hv od yduldeoh dohdwruld txh ghvfuleh ho wlhpsr txh xq folhqwh sdvd hq ho
vlvwhpd1
Z^ = Uhsuhvhqwd ho wlhpsr txh xq folhqwh hvshud hq od frod1
`= Hv ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd/ r vlpsohphqwh/
` ' . EZ1
`^ = Ghqrwd ho wlhpsr phglr gh hvshud hq od frod sdud xq folhqwh jhqìulfr1
Pdwhpäwlfdphqwh/ `^ ' . EZ^ 1
Sdud fodvlfdu orv srvleoh wlsrv gh vlvwhpdv gh frodv ghehprv hvshflfdu odv
fdudfwhuðvwlfdv txh ghwhuplqdq orv hohphqwrv txh or frpsrqhq1 Dvð/ Nhqgdoo
lqwurgxmr hq 4<86 od qrwdflöq **r sdud lqglfdu txh od glvwulexflöq gho wlhpsr
hqwuh oohjdgdv hv gh gho wlsr / txh hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr
| txh r hv ho qýphur gh vhuylgruhv1 Srvwhulruphqwh hvwd qrwdflöq vh h{whqglö
gdqgr oxjdu d od päv kdelwxdo hq qxhvwurv gðdv/ frqvlvwhqwh hq ghvljqdu ho
vlvwhpd gh xqd frod frq od qrphqfodwxud **r*g*M*~/ grqgh=
hv od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv1 Dojxqdv gh odv deuhyldwxudv päv
xvdgdv sdud odv glvwulexflrqhv hqwuh oohjdgdv vrq=  +h{srqhqfldo,/ ( +ghwhu0
plqðvwlfd,/ .& +Huodqj frq vhjxqgr sduäphwur &,/ L +xqliruph,/ K +jdppd, r
C +glvwulexflöq jhqìulfd,/ hqwuh rwudv1
hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr1 Vh xvdq odv plvpdv deuhyldwxudv
txh odv phqflrqdgdv sdud 1
t hv ho qýphur gh vhuylgruhv gho vlvwhpd1 Sxhgh vhu xq qýphur hqwhur srvlwlyr
+r ' c 2c , r elhq r ' 41
k hv od fdsdflgdg gh od frod +r orqjlwxg pä{lpd gh od plvpd,1 Wdpelìq g
sxhgh vhu xq qýphur hqwhur pd|ru r ljxdo txh fhur/ r elhq g ' 4/ vl qr
kd| oðplwh sdud od frod1 Ho ydoru gh g sxhgh rplwluvh/ wrpäqgrvh sru ghihfwr
g ' 41
Conceptos generales de la teoría de colas 133
O hv ho wdpdôr gh od sreodflöq srwhqfldo1 Wdpelìq sxhgh vhu qlwr r lqqlwr1
Hvwh ýowlpr ydoru hv ho txh vh wrpd sru ghihfwr fxdqgr vh rplwh ho M1
~ hv od glvflsolqd hq od frod1 Dojxqdv deuhyldwxudv sdud ~ vrq ILIR/ OLIR/
UVV/ SU +glvflsolqd frq sulrulgdghv, r JG +glvflsolqd jhqhudo,1 Vx ydoru sru
ghihfwr +hq fdvr gh rplwluvh ~, hv ILIR1
Dvð/ sru hmhpsor/ od qrwdflöq *(*2*4*4*8 U8 lqglfd txh vh wudwd gho
vlvwhpd gh xqd frod frq wlhpsr hqwuh oohjdgdv h{srqhqfldohv/ wlhpsr gh vhuylflr
ghwhuplqðvwlfr +l1h1 vlhpsuh vh wdugd ho plvpr wlhpsr hq gduoh vhuylflr d fdgd
folhqwh,/ kd| 5 vhuylgruhv hq ho phfdqlvpr gh vhuylflr/ qr h{lvwh oðplwh sdud ho
qýphur gh folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod gh hvshud/ od sreodflöq srwhqfldo
vh vxsrqh frq lqqlwrv folhqwhv | orv folhqwhv vrq dwhqwlgrv vhjýq xqd glvflsolqd
ILIR1 Frpr orv wuhv ýowlprv ydoruhv +4/ 4 | ILIR, vrq suhflvdphqwh orv
dvljqdgrv sru ghihfwr/ od qrwdflöq dqwhulru srguðd deuhylduvh frpr *(*21
Revìuyhvh txh hvwh wlsr gh deuhyldwxudv vöor vh sxhghq uhdol}du vl wrgrv orv
sduäphwurv d sduwlu gh xqr gdgr vrq ljxdohv d orv ydoruhv sru ghihfwr/ |d txh hq
fdvr frqwudulr vh surgxfluðd dpeljÿhgdg1 Dvð/ ho prghor .2 *L**4*e*8 U8 /
qr srguðd deuhylduvh frpr .2 *L**e*8 U8 +dxqtxh vð frpr .2 *L**4*e,/
|d txh/ dxqtxh hv fodur txh ' .2 / ' L / r ' | ~ ' 8 U8 / qxqfd
vdeuðdprv vl frq ìo suhwhqghprv lqglfdu g ' e | M ' 4 r elhq M ' e |
g ' 41
4316 Iöupxodv gh Olwwoh
Hq orv prghorv frq glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | glvwulexflöq gho
vhuylflr h{srqhqfldo +dvð frpr hq pxfkrv rwurv prghorv päv jhqhudohv oodpdgrv
hujöglfrv, vh yhulfdq flhuwdv iöupxodv txh uhodflrqdq orv qýphurv phglrv gh
folhqwhv/ hq ho vlvwhpd r hq od frod/ frq orv wlhpsrv phglrv gh xq folhqwhv hq ho
vlvwhpd r hq od frod1 Hvwdv vrq odv oodpdgdv iöupxodv gh Olwwoh1
Fxdqgr odv wdvdv gh oohjdgd vrq frqvwdqwhv +hv ghflu b? ' b sdud wrgr
? ' fc c ,/ od sulphud iöupxod gh Olwwoh hvwdeohfh od ljxdogdg
u ' b `/
plhqwudv txh od vhjxqgd vh h{suhvd phgldqwh
u^ ' b `^ 1
Uhdophqwh vöor od sulphud gh hoodv ixh rewhqlgd sru Olwwoh hq 4<94/ shur hv
frvwxpeuh uhihuluvh d dpedv frq ho wìuplqr sulphud | vhjxqgd iöupxod gh
Olwwoh1
Xqd irupd lqwxlwlyd gh hqwhqghu ho srutxì gh od ydolgh} gh odv iöupxodv gh
Olwwoh hv od vljxlhqwh1 Frqvlgìuhvh xq folhqwh txh oohjd do vlvwhpd mxvwr dkrud1
Ghvsxìv gh xq wlhpsr/ fx|d phgld hv ` / hvh folhqwh vdoguä vhuylgr gho vlvwhpd1
134
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Frpr ho qýphur phglr gh folhqwhv txh oohjdq do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr
hv b/ ho qýphur phglr gh folhqwhv txh kdeuäq oohjdgr ghvgh txh qxhvwur folhqwh
hq fxhvwlöq hqwuö hq ho vlvwhpd kdvwd txh vdolö gh ìo hv b ` 1 Sru rwud sduwh/
hv reylr txh glfkr qýphur phglr gh folhqwhv hv suhflvdphqwh ho qýphur phglr
gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd mxvwr hq ho prphqwr txh vdoh gho vlvwhpd
qxhvwur folhqwh sduwlfxodu/ hv ghflu/ u1 Xq ud}rqdplhqwr dqäorjr hv yäolgr sdud
od vhjxqgd iöupxod gh Olwwoh
Reyldphqwh/ odv iöupxodv gh Olwwoh qr sxhghq vhu yäolgdv vl odv b? qr vrq
frqvwdqwhv +Átxì vhuðd b hqwrqfhvB,/ shur vð sxhghq jhqhudol}duvh d hvd vlwxdflöq
phgldqwh=
u ' b` |
u^ ' b `^ /
"
[
vlhqgr b '
b ? R? 1
?'f
sru
Rwud uhodflöq lpsruwdqwh +hq hvwh fdvr sdud uhodflrqdu ` | `^ , hv od gdgd

` ' `^ n 1
>
Vx ghgxfflöq hv lqphgldwd sxhv ylhqh d ghflu txh ho wlhpsr phglr txh xq
folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd +` , frlqflgh frq od vxpd gho wlhpsr phglr hq od frod
+`^ , päv ho wlhpsr phglr txh wdugd hq vhu vhuylgr +*>/ |d txh > hv ho qýphur
phglr gh folhqwhv txh xq vhuylgru sxhgh dwhqghu sru xqlgdg gh wlhpsr,1
4317 Dojxqdv surslhgdghv lpsruwdqwhv gh odv glv0
wulexflrqhv h{srqhqfldo | jdppd
Od glvwulexflöq K E@c R ghshqgh gh grv sduäphwurv= @ : f/ sduäphwur gh hvfdod/
| R : f/ sduäphwur gh irupd1 Hvwd glvwulexflöq/ |d lqwurgxflgd frq ghwdooh hq
g
ho fdsðwxor 8/ jhqhudol}d od h{srqhqfldo/ sxhvwr txh K E@c  ' i T E@1
Hq od vljxlhqwh juäfd vh pxhvwudq odv ghqvlgdghv gh xqd K E2c e/ xqd
K E2c S | xqd K E2c  ' i T E21
Conceptos generales de la teoría de colas 135
2
1.5
1
0.5
0
2
4
x
6
8
Ghqvlgdghv gh xqd KE2c e +wud}r frqwlqxr,/ xqd KE2c S +wud}r glvfrqwlqxr, |
xqd KE2c  +wud}r d sxqwrv,
g
Hq jhqhudo/ od phgld | od yduldq}d gh xqd yduldeoh f ' K E@c R vrq . Ef '
| T @o Ef ' @R2 1 D frqwlqxdflöq yhuhprv dojxqdv surslhgdghv lqwhuhvdqwhv
gh hvwdv glvwulexflrqhv hq uhodflöq frq orv prghorv gh frodv gh wlsr ** 1
R
@
g
Sursrvlflöq 76 Vl A ' i T Ek/ hqwrqfhv
Ef A {| : E| A | n {| /
sdud wrgr | : f1
Hvwd surslhgdg sxhgh ghgxfluvh iäflophqwh gho khfkr gh txh od ixqflöq gh
ghqvlgdg gh od h{srqhqfldo vhd hvwulfwdphqwh ghfuhflhqwh hq dfc 41
g
Sursrvlflöq 77 +fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo, Vl A ' i T Ek/
hqwrqfhv
A : | n {|mA :{| ' EA : | / sdud wrgr | : f1
Hvwr lpsolfd txh/ vl A wlhqh glvwulexflöq h{srqhqfldo | {| : f/ hqwrqfhv
g
A {|mA :{| ' A 1
Ghprvwudflöq= Judfldv d od ghqlflöq gh suredelolgdg frqglflrqdgd/ sdud
fdgd | : f/ vh wlhqh
EA : | n {|c A : {|
EA : | n {|
'
A : | n {|mA :{| '
EA : {|
EA : {|
e3kE|n{|
'
' e3k| ' EA : | /
e3k{|
frq or txh txhgd ghprvwudgd od sulphud dupdflöq1 Rwud pdqhud dowhuqdwlyd
gh hvfulelu od ljxdogdg suredgd hv
A {| : |mA :{| ' EA : | /
136
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
g
or fxdo lpsolfd lqphgldwdphqwh txh A {|mA :{| ' A 1
Od surslhgdg gh fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo +wdpelìq frqrflgd
frpr od surslhgdg gh Pdunry, hv px| ýwlo hq prghorv gh frodv frq glvwulexflöq
h{srqhqfldo sdud ho wlhpsr hqwuh oohjdgdv r sdud ho wlhpsr gh vhuylflr1 Dvð/ vl
vdehprv txh ho wlhpsr hqwuh od oohjdgd gh grv folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd hv
h{srqhqfldo/ dxqtxh |d kd|d sdvdgr flhuwr wlhpsr ghvgh txh oohjö do vlvwhpd ho
sulphur gh hoorv/ ho wlhpsr txh uhvwd sdud txh oohjxh ho vljxlhqwh vljxh whqlhqgr
glvwulexflöq h{srqhqfldo frq ho plvpr sduäphwur1 Xq frphqwdulr vhphmdqwh
vhuðd yäolgr sdud xq wlhpsr gh vhuylflr +vl wlhqh glvwulexflöq h{srqhqfldo,1
g
g
Sursrvlflöq 78 Vl frqvlghudprv yduldeohv dohdwruldv A ' i T Ek / A2 '
g
dohdwruld
i T Ek2 / / A? ' i T Ek? / lqghshqglhqwhv/ hqwrqfhv/ od yduldeoh
S
ghqlgd frpr A ' 4?iA c A2 c c A? j wlhqh glvwulexflöq i T E ?' k 1
sru
Ghprvwudflöq= Od ixqflöq gh glvwulexflöq/ 8 / gh od yduldeoh A ylhqh gdgd
8 E| '  EA : | '  E4?iA c A2 c c A? j : | '
?
\
EA : |
'  EA : |c A2 : |c c A? : | '  ' 
?
\
'
S?
e3k | '  e3E
'
k |
/
'
S
txh/ hihfwlydphqwh/ hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd i T E ?' k 1
Hvwd surslhgdg uhflìq ghprvwudgd wdpelìq vh xwlol}d frq pxfkd iuhfxhqfld
hq prghorv gh frodv gho wlsr ** 1 Dvð/ vl hq xq suhflvr prphqwr kd| r
vhuylgruhv gdqgr vhuylflr d rwurv wdqwrv folhqwhv | od glvwulexflöq gho wlhpsr gh
vhuylflr hv i T E>/ hq yluwxg gh od fduhqfld gh phpruld gh od h{srqhqfldo/ orv
wlhpsrv gh vhuylflr txh uhvwdq sdud fdgd folhqwh vrq ljxdophqwh gh glvwulexflöq
i T E> |/ ghelgr do uhvxowdgr uhodwlyr do pðqlpr gh h{srqhqfldohv/ ho wlhpsr
txh uhvwd kdvwd txh ho suö{lpr folhqwh vdojd vhuylgr +hv ghflu/ ho gh phqru
wlhpsr gh vhuylflr, vljxh xqd glvwulexflöq i T Er>1
Sursrvlflöq 79 Od glvwulexflöq K E@c R hv uhsurgxfwlyd frq uhvshfwr d vx vh0
g
jxqgr sduäphwur1 Hq rwudv sdodeudv/ gdgdv yduldeohv lqghshqglhqwhv f '
S
g
g
K E@c R / f2 ' K E@c R2 /S / f? ' K E@c R? / od yduldeoh dohdwruld f ' ?' f
?
wlhqh glvwulexflöq K E@c ' R 1
Od xwlolgdg gh hvwh uhvxowdgr hq ho frqwh{wr gh odv frodv frq oohjdgdv | vhu0
ylflrv h{srqhqfldohv wlhqh txh yhu frq ho khfkr gh txh od surslhgdg dqwhulru/
hq sduwlfxodu/ shuplwh ghgxflu od glvwulexflöq gh od vxpd gh yduldeohv h{srqhq0
fldohv lqghshqglhqwhv frq ho plvpr sduäphwur1 Sduwlfxodul}dqgr ho uhvxowdgr
dqwhulru sdud R ' R2 ' ' R? '  | @ ' k/ vh wlhqh txh vl f / f2 / /
Conceptos generales de la teoría de colas 137
f? vrq yduldeohvSdohdwruldv lqghshqglhqwhv | frq glvwulexflöq lgìqwlfd/ i T Ek/
hqwrqfhv f ' ?' f wlhqh glvwulexflöq K Ekc ?1 Odv yduldeohv f srguðdq
uhsuhvhqwdu orv wlhpsrv ghvgh txh oohjd do vlvwhpd ho folhqwh 0ìvlpr kdvwd txh
oohjd ho E n 0ìvlpr1 Hq hvh fdvr f uhsuhvhqwduðd ho wlhpsr txh wudqvfxuuh
hqwuh od oohjdgd gh xq folhqwh | od gho txh oohjd ? folhqwhv ghvsxìv txh ìo1
Rwud dsolfdflöq lqwhuhvdqwh gh hvwh uhvxowdgr hq whruðd gh frodv hv od vljxlhq0
wh1 Vxsöqjdvh txh hq xq prghor **r* xq folhqwh oohjd do vlvwhpd fxdqgr
|d kd| ? folhqwhv ghqwur gho vlvwhpd +? : r,1 Vl ghvhdprv vdehu od glvwulexflöq
gh od yduldeoh wlhpsr txh ho folhqwh sdvduä hq od frod/ qr kd| päv txh ud}rqdu
gh od vljxlhqwh irupd1 Ho wlhpsr txh wdugduä hq vdolu vhuylgr ho suö{lpr folhqwh
wlhqh glvwulexflöq i T Er>/ vhjýq or ud}rqdgr hq xqr gh orv frphqwdulrv kh0
fkrv dqwhulruphqwh1 Dkrud elhq/ sdud txh ho folhqwh hq fxhvwlöq frplhqfh d vhu
vhuylgr kdq gh vdolu vhuylgrv ?rn folhqwhv gho vlvwhpd/ vlhqgr odv gxudflrqhv
gh wrgrv hvrv wlhpsrv hqwuh grv vdolgdv gh folhqwhv gho vlvwhpd yduldeohv lqgh0
shqglhqwhv | frq glvwulexflöq i T Er>1 Dvð od ýowlpd surslhgdg qrv shuplwh
dupdu txh od yduldeoh gh qxhvwur lqwhuìv wlhqh glvwulexflöq K Er>c ? r n 1
4318 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Xwlol}dqgr odv iöupxodv gh Olwwoh fdofxodu/ sdud xq prghor **r/ ho
qýphur phglr gh vhuylgruhv rfxsdgrv1
51 Hq xq prghor **2 frq > ' 2 folhqwhv sru plqxwr/ oohjd xq folhqwh hq
xq ghwhuplqdgr prphqwr hq ho txh kd| rwurv grv kdflhqgr frod sdud hq0
wudu do phfdqlvpr gh vhuylflr1 ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuluä
kdvwd txh ho folhqwh uhflìq oohjdgr vdojd vhuylgr gho vlvwhpdB
11
Modelos con tasas de llegada
y servicio de tipo Poisson
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 141
441 0
Hq hvwh fdsðwxor hvwxglduhprv orv prghorv päv kdelwxdohv sdud ho vlvwhpd gh
xqd frod hq od txh vh vxsrqh txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | od
gho wlhpsr gh vhuylflr vrq h{srqhqfldohv1 Frqfuhwdphqwh vh kduä xq uhfruulgr
sru orv prghorv **/ **r/ ***g/ **r*g/ ***4*M/
**r*4*M +vlq | frq uhsxhvwrv, | ho **41
4414 Ho prghor **Q
Frpr vx qrpeuh lqglfd hv dtxho hq ho txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv
oohjdgdv frqvhfxwlydv gh folhqwhv do vlvwhpd hv xqd i T Eb/ lqghshqglhqwhphqwh
gho qýphur gh folhqwhv txh kd|d ghqwur gho plvpr/ od glvwulexflöq gho wlhpsr
gh vhuylflr hv i T E> | vöor kd| xq vhuylgru1 Orv ydoruhv sru ghihfwr gh orv
wuhv ýowlprv sduäphwurv lqglfdq txh qr kd| uhvwulfflöq uhvshfwr do qýphur gh
folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod/ txh od sreodflöq srwhqfldo hv lqqlwd
+gh dkð txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv vhd vlhpsuh od plvpd
h{srqhqfldo, | txh od glvflsolqd gh od frod hv ILIR1
Whqlhqgr hq fxhqwd wrgr hvwr/ uhvxowd lqphgldwr ghgxflu odv wdvdv gh oohjdgd
b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c | odv wdvdv gh vhuylflr
>? ' >/ sdud wrgr ? ' c 2c Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh txh
b?3 b?32 bf
b?
S? '
' ? '
>? >?3 >
>
?
b
' 4? / sdud ? ' c 2c >
S" ?
S
Frpr "
?' S? '
?' 4 hv xqd vhulh jhrpìwulfd/ vhuä frqyhujhqwh vl | vöor
vð m4m / txh gdgr txh 4 : f/ htxlydoh d 4 1 Hvwd frqglflöq/ 4 / hv sru
wdqwr htxlydohqwh d txh ho prghor vhd hvwdflrqdulr1 Rwud irupd gh h{suhvduod hv
b >/ txh wlhqh od lqwhusuhwdflöq dglflrqdo gh txh ho qýphur phglr gh folhqwhv
txh hqwudq hq ho vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr vhd phqru txh ho qýphur phglr
gh folhqwhv txh srguðdq vhu dwhqglgrv sru ho vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr/ hq
fdvr gh txh ìvwh hvwxylhvh devroxwdphqwh wrgr ho wlhpsr dwhqglhqgr d folhqwhv
+frvd txh qr rfxuuh vlhpsuh,1
142
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Hq or txh vljxh vxsrqguhprv txh ho vlvwhpd gh od frod hv hvwdflrqdulr +hv
ghflu 4 ,1 Or sulphur txh ghehprv fdofxodu hv od vxpd gh od vhulh gh odv S? =
"
[
S? '
?'
"
[
4? '
?'
4
4
|/ sru or wdqwr/
Rf '
n

S"
?' S?
'

4 '  41
 n 34
Dghpäv/ sdud fxdotxlhu ? / vh wlhqh R? ' S? Rf ' E 4 4? +ydolhqgr hvwd
iöupxod qdo lqfoxvr sdud ? ' f,1 Dvð sxhv/ od pdvd gh suredelolgdg gh od
yduldeoh qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd hv
E ' ? ' R? ' E 4 4? / ? ' fc c | dvð/ wlhqh glvwulexflöq jhrpìwulfd gh sduäphwur  4 +suredelolgdg gh
ì{lwr/ hqwhqglhqgr od jhrpìwulfd frpr ho qýphur gh iudfdvrv dqwhv gho sulphu
ì{lwr,1 Vxsrqlhqgr frqrflgd od iöupxod sdud od phgld gh xqd glvwulexflöq
jhrpìwulfd/ vh fdofxoduðd gh irupd lqphgldwd ho ydoru gh u ' . E1 Wdpelìq
srghprv kdfhu ho fäofxor gluhfwdphqwh=
u ' . E '
"
[
? R? '
?'f
"
[
? E 4 4? ' E 4 4
?'
"
[
? 4?3 1
?'
Hvwd ýowlpd vhulh hv gho wlsr txh vh vxhoh ghqrplqdu frqyhuwleoh hq jhrpìwulfd1
Xqd irupd gh fdofxodu vx vxpd hv od vljxlhqwh1 Frqvlgìuhvh od ixqflöq s E% '
S
"
?
?' % / ghqlgd sdud orv % 5 Ec 1 Gdgr txh sdud fdgd % 5 Ec /
s E% hvwä ghqlgd d wudyìv gh xqd vhulh jhrpìwulfd frqyhujhqwh/ vh wlhqh txh
%
1 Dghpäv/ od ixqflöq s E% sxhgh ghulyduvh/ wdqwr gluhfwdphqwh d
s E% ' 3%
sduwlu gh hvwd h{suhvlöq hqfrqwudgd/ frpr wìuplqr d wìuplqr hq vx ghqlflöq
frpr vhulh gh srwhqfldv1 Dvð/ vh rewlhqh=
"
[
?%?3 ' s E% '
?'
 E % % E

1
'
2
E %
E %2
Gh hvwh prgr/ hq sduwlfxodu/
"
[
? 4?3 '
?'

E 42
|/ sru wdqwr/
u ' E 4 4
b
4

'
1
2 '

4
>
b
E 4
Vh wudwd/ sxhv/ gh xqd ixqflöq gh 4 frq xqd dvðqwrwd yhuwlfdo hq 4 $ 3 1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 143
10
8
6
4
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u frpr ixqflöq gh 4
Dxqtxh u^ sxhgh fdofxoduvh gh irupd vlplodu/ wdpelìq sxhgh rewhqhuvh d
sduwlu gh u1 Yhäprvor/
u^ ' . E^ '
'
'
'
"
[
?'
"
[
6'
"
[
"
[
? E^ ' ? '
?'f
? E ' ? n  '
E6  R6 '
"
[
6'
"
[
"
[
? E^ ' ?
?'
? R?n '
?'
6 R6 "
[
"
[
? R?n
?'f
R6
6'
6 R6 E Rf ' u E Rf /
6'f
iöupxod txh hv yäolgd sdud fxdotxlhu prghor gh od irupd C*C** 1 Hq
qxhvwur fdvr/ gh hvwd iöupxod vh ghgxfh
4
4
u^ ' u E Rf '
E E 4 '
4
4
4
b2
42
1
'
'
4
> E> b
Dsolfdqgr odv iöupxodv gh Olwwoh sxhghq rewhqhuvh h{suhvlrqhv sdud ` |
`^ =

u
'
c
b
>b
b
u^
'
1
'
b
> E> b
` '
`^
Dghpäv/ sxhgh frpsureduvh iäflophqwh txh vh yhulfd od uhodflöq ` ' `^ n > 1
Gh khfkr/ hvwd uhodflöq mxqwr frq odv grv iöupxodv gh Olwwoh shuplwh fdofxodu ho
ydoru gh fxdohvtxlhud wuhv gh odv fdqwlgdghv u/ u^ / ` | `^ / gdgd od fxduwd1
Vl vh ghvhd whqhu päv lqirupdflöq vreuh od hvshud gh folhqwhv hq od frod r
hq ho vlvwhpd/ gheh fdofxoduvh od glvwulexflöq gh suredelolgdg gh odv yduldeohv
144
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Z | Z^ 1 Hvwdv glvwulexflrqhv shuplwluäq fdofxodu od suredelolgdg gh fxdotxlhu
vxfhvr uhodwlyr do wlhpsr gh hvwdqfld hq od frod r hq ho vlvwhpd1
Sulphudphqwh derugduhprv ho fäofxor gh od ixqflöq gh glvwulexflöq gh Z/
txh ghqrwduhprv sru ` E|1 Sdud hoor dsolfdprv od uhjod gh odv suredelolgdghv
wrwdohv/ frqglflrqdqgr do qýphur/ / gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd fxdqgr
g
oohjd ho folhqwh hq fxhvwlöq | whqhprv hq fxhqwd txh Zm'? ' K E>c ? n 1 Gh
hvwd irupd/ sdud fdgd | f/ vh wlhqh
` E| ' EZ | '
"
[
?'f
'
'
'
'
'
EZ |m'? E ' ?
" ] | ?n
[
>
? 3>%
% e _% R?
?f
?'f
?
" ] | ?n
[
b
>
b
? 3>%
% e _%

?>
>
f
?'f
$
#"
] | b 3>% [ Eb%?
_%
> 
e
>
?f
?'f
] | ] |
b 3>% b%
> 
E> b e3E>3b% _%
e e _% '
>
f
f
3E>3b% %'|
'  e3E>3b| /
e
%'f
txh hv od ixqflöq gh glvwulexflöq gh xqd h{srqhqfldo gh sduäphwur > b1 Dvð
sxhv/
g
Z ' i T E> b 1
Hv reylr/ sru wdqwr/ txh frpr frqfoxvlöq gh hvwr wdpelìq vh sxhgh yroyhu d

1
rewhqhu ` ' >3b
Od ixqflöq gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod sxhgh
rewhqhuvh gh irupd dqäorjd1 Edvwd ghvfrpsrqhu glfkd ixqflöq hq grv wìuplqrv
gh od irupd=
`^ E| ' EZ^ | ' EZ^ ' f n Ef Z^ |
| dsolfdu do vhjxqgr gh hoorv orv plvprv dujxphqwrv xvdgrv sdud ho fäofxor gh
` E|1 Gh hvd irupd vh rewhqguðd=
;
b
?
 e3E>3b| vl | f
`^ E| '
>
= f
vl | f
Hvwd ixqflöq gh glvwulexflöq hv glvfrqwlqxd hq | ' f/ ydolhqgr vx vdowr
b
`^ Ef `^ f3 '  '  4 ' Rf 1
>
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 145
Vh wudwd sru wdqwr gh xqd yduldeoh txh hv ph}fod gh frqwlqxd | glvfuhwd= wrpd ho
ydoru fhur frq suredelolgdg Rf | sdud orv | : f wlhqh xqd frpsrqhqwh frqwlqxd
e3E>3b| 1
frq ixqflöq gh vxeghqvlgdg gdgd sru bE>3b
>
Hmhpsor 7: Hq xqd hvwdflöq gh wudedmr frq xq ýqlfr surfhvdgru vh hmhfxwdq
surjudpdv +txh vh vxsrqh suäfwlfdphqwh vx ýqlfd fdujd gh wudedmr, frq wlhpsr
gh FSX gh glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 6 plqxwrv1 Orv surjudpdv vh
dwlhqghq vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Vdelhqgr txh odv oohjdgdv gh surjudpdv d
od hvwdflöq vh surgxfhq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq frq xqd lqwhqvlgdg gh 48
surjudpdv fdgd krud/ sru wìuplqr phglr/ vh slgh=
41 ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh kd|d päv gh grv surjudpdv hq hvshud gh
hmhfxflöq +dghpäv gho txh vh hvwä hmhfxwdqgr,B
51 Fdofxodu ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh vh hqyðd xq surjudpd
do vhuylgru kdvwd txh vh whuplqd vx hmhfxflöq1 ÁFxäo hv od uhodflöq hqwuh
hvwh wlhpsr | ho wlhpsr phglr gh FSXB
61 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh ho surjudpd hvwì hq ho vhuylgru +hvshudqgr
r hmhfxwäqgrvh, päv gh 43 plqxwrv1
71 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surjudpdv txh hvwäq d od hvshud gh frphq}du
d hmhfxwduvhB
81 Rewhqhu odv uhvsxhvwdv d orv dsduwdgrv dqwhulruhv vxsrqlhqgr txh dkrud vh
kd lqfuhphqwdgr od oohjdgd gh surjudpdv kdvwd 4; d od krud/ sru wìuplqr
phglr1
Vroxflöq= Od h{srqhqfldolgdg gh orv wlhpsrv gh vhuylflr | gh orv wlhpsrv
hqwuh oohjdgdv qrv lqglfd txh vh wudwd gh xq prghor **1 Gh khfkr/ hvwdprv
vxsrqlhqgr +do qr hvshflfdu qlqjýq ydoru, txh wdqwr ho oðplwh sdud od frod frpr
ho qýphur gh folhqwhv gh od sreodflöq srwhqfldo vrq lqqlwrv1 Hq yluwxg gh orv
gdwrv gho sureohpd | wudedmdqgr hq krudv vh wlhqh
b ' D/

' / frq or fxdo > ' 2f1
>
Sf
Gh hvwh prgr 4 '
D
2f
' f.D  | ho prghor hv hvwdflrqdulr1
41 Hq hvwh dsduwdgr vh qrv slgh
E^ : 2 ' E^ ' E e '  E '  ERf n R n R2 n R '   4 n E 4 4 n E 4 42 n E 4 4
4e 
E 4 4 4 E 4
'  E 4
'
4
4
'  n 4e  ' 4e ' f.De ' f Se
146
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
51 Dtxð vh slgh
` '


'
' f2 krudv ' 2 plqxwrv1
>b
2f D
Vx uhodflöq frq ho wlhpsr phglr gh vhuylflr/ `r ' > / hv

D

2f
`
'
`r
' e/
hv ghflu fdgd surfhvr hvwä hq od hvwdflöq xq wlhpsr htxlydohqwh d fxdwur
yhfhv vx wlhpsr gh FSX1
61 Frpr Z wlhqh xqd glvwulexflöq i T E> b ' i T ED hqwrqfhv
f
D
f
Z:
' e3D Sf ' e3 S ' f eeS1
Sf
71 Vh slgh u^ 1 Frpr `^ ' ` u^ ' D

>
'

D

2f
'
2f
| u^ ' b`^ / hqwrqfhv
b
' ' 22D surfhvrv hq hvshud1
2f e
81 Od ýqlfd glihuhqfld hv txh dkrud b ' H/ frq or fxdo 4 '
H
2f
' fb /
E^ : 2 ' fbe ' f SDS/

' fD krudv ' f plqxwrv/
` '
2f
H
f

f
Z:
' e32 Sf ' e3 ' f .SD |
Sf
b


b
'
`^ '
, u^ ' H ' H surfhvrv1
2 2f
2f
2f
Frpr sxhgh yhuvh fodudphqwh/ ho vlvwhpd hvwä edvwdqwh päv frqjhvwlrqdgr
dkrud1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
Glvwulexflöq gho wlhpsr +hq krudv, gh hvshud hq ho vlvwhpd sdud ho fdvr b ' D
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 147
4415 Ho prghor **r
Hv xqd jhqhudol}dflöq gho prghor dqwhulru do fdvr hq txh kd|d r vhuylgruhv1
Vh wudwd sxhv gh xqd frod hq od txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv
frqvhfxwlydv hv xqd i T Eb/ od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E>
| kd| r vhuylgruhv1 Frpr hq ho fdvr dqwhulru/ od sreodflöq srwhqfldo | od
fdsdflgdg gh od frod vrq lqqlwdv | od glvflsolqd gh od frod hv ILIR1
Odv wdvdv gh oohjdgd ylhqhq gdgdv sru
b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c | odv wdvdv gh vhuylflr
>? '
Frq or fxdo
?> vl ? ' c 2c c r
r> vl ? ' r n c r n 2c ;
A
?
b?
b?3 b?32 bf
?->??
'
S? '
b
A
>? >?3 >
=
r-r?3r >?
vl ? ' c 2c c r
vl ? ' r n c r n 2c Sdud dqdol}du fxdqgr ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr edvwd hvwxgldu od frqyhu0
jhqfld gh od vhulh
"
[
S? '
?'
"
"
r3
r3
[
[
[
br [ ?3r
b?
b?
b?
n
'
n
4 /
?->? ?'r r-r?3r >? ?' ?->? r->r ?'r
?'
txh/ d sduwlu gho wìuplqr r0ìvlpr/ hv jhrpìwulfd gh ud}öq 4 |/ sru wdqwr/ frq0
yhujhqwh vlhpsuh txh 4 1 Dvð sxhv ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr vlhpsuh txh
4 / r or txh hv or plvpr/ vlhpsuh txh b r>1 Hq wdo fdvr/ od vxpd gh glfkd
vhulh hv
"
[
S? '
?'
'
"
r3
r3
[
br [ ?3r [ b?
br 
b?
n
4
'
n
?->? r->r ?'r
?->? r->r  4
?'
?'
r3
[
br
b?
/
n
?->? Er ->r3 Er> b
?'
frq or fxdo Rf ylhqh gdgr sru
Rf '
n

S"
?' S?
'
n
Sr3
b?
?' ?->?

n
br
Er3->r3 Er>3b
1
D od krud gh lpsohphqwdu ho fäofxor gh Rf gheh whqhuvh suhfdxflöq frq od
iöupxod dqwhulru sxhv/ vl r hv hohydgr/ orv wìuplqrv frq ?- hq ho ghqrplqdgru
148
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
sxhghq surgxflu huuruhv gh wlsr ryhu rz1 Dghpäv/ od lpsohphqwdflöq gl0
uhfwd gh hvdv h{suhvlrqhv vhuðd px| lqhflhqwh sru hvwdu uhslwlhqgr pxfkrv
fäofxorv vlq uhxwlol}duorv1 Dvð/ sru hmhpsor/ vl r ' ff/ hq ho ghqrplqdgru gh
SbH dsduhfhuðd bH-/ txh/ hq oxjdu gh fdofxoduor gluhfwdphqwh srguðd rewhqhuvh
pxfkr päv hflhqwhphqwh pxowlslfdqgr sru bH ho wìuplqr b.- txh dsduhfh hq
Sb. 1 Hvwh plvpr dujxphqwr wdpelìq sxhgh dsolfduvh d odv srwhqfldv b? | >? 1
Hq uhvxphq/ sduhfh päv hflhqwh ghqlu Sf '  | xwlol}du ho fäofxor uhfxuvlyr
S? ' S?3
b?3
b
' S?3 / sdud ? ' c 2c c r /
>?
?>
r
b
txh vh ghgxfh gh od ghqlflöq gh orv S? 1 Dghpäv ho wìuplqr Er3->r3
Er>3b
S"
txh uhsuhvhqwd ?'r S? | txh ghqrwduhprv sru SDr / sxhgh wdpelìq fdofxoduvh
b
1
iäflophqwh d sduwlu gh Sr3 phgldqwh SDr ' Sr3 r>3b
Whqlhqgr hq fxhqwd wrgr or dqwhulru/ vh oohjd d od vljxlhqwh irupd gh lpsoh0
phqwdu hflhqwhphqwh ho fäofxor gh Rf =

/ grqgh
?'f S? n SDr
b
' / S? ' S?3 / sdud ? ' c 2c c r 
?>
b
1
' Sr3
r> b
Rf ' Sr3
Sf
| SDr
Uhvxowd iäflo rewhqhu xqd
;
A
?
R? ' S? Rf '
A
=
h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv R? =
b?
Rf
?->r ?
b ?3r
4 Rf
r->r
vl ? ' c 2c c r
vl ? ' r n c r n 2c dxqtxh/ gh qxhyr/ hvwdv iöupxodv lpsohphqwdgdv gluhfwdphqwh vrq gh px|
hvfdvd hflhqfld frpsxwdflrqdo1 Frpr sdud ho fäofxor gh Rf / wdpelìq dtxð
srghprv surfhghu päv hflhqwhphqwh1
Xqd yh} fdofxodgr Rf | vl vh pdqwlhqhq hq phpruld orv ydoruhv gh orv S? /
ho fäofxor gh orv R? vhuðd px| vhqfloor1 Dvð/ vl ? ' c 2c c r / vh wlhqh
R? ' S? Rf +iöupxod txh/ dxqtxh wdpelìq hv yäolgd sdud ? r/ qr hv px| ýwlo
sxhv qr vh kdq fdofxodgr orv S? sdud ? r,1 Vl ? r orv R? vh sxhghq fdofxodu
uhfxuvlydphqwh |d txh Rr3 hvwä fdofxodgr |
R? ' S? Rf '
b?3
b?3
b
R?3 ' 4 R?3
S?3 Rf '
R?3 '
>?
>?
r>
sdud wrgr ? ' rc r n c Dvð/ gh irupd uhvxplgd/ vh surfhghuðd d
fdofxodu gluhfwdphqwh R? ' S? Rf sdud ? ' c 2c c r  |
uhfxuvlydphqwh R? ' 4 R?3 sdud ? ' rc r n c kdvwd ho ðqglfh txh vh ghvhh1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 149
Judfldv d od h{suhvlöq h{soðflwd rewhqlgd sdud odv R? / sxhgh hqfrqwuduvh
iäflophqwh ho ydoru gh u^ =
u^ ' . E^ ' f ERf n R n n Rr n
'
'
"
[
?'r
r
E? r
"
[
E? r R?
?'rn
"
[
"
[
br
br
?3r
R
'
R
E?
r
4
'
R
&4&
f
f
f
r-r?3r >?
r->r ?'r
r->r &'f
b?
4
b Rf
brn Rf
'
r->r E 42
Er ->r3 Er> b2
Hq od suäfwlfd/ gdgr txh SDr '
hflhqwh phgldqwh od h{suhvlöq
br
/
Er3->r3 Er>3b
u^ ' SDr
u^ sxhgh fdofxoduvh gh irupd
bRf
1
r> b
D sduwlu gh u^ sxhgh rewhqhuvh ho ydoru gh `^ ' ub^ / phgldqwh od vhjxqgd
iöupxod gh Olwwoh1 Dkrud/ vh rewhqguðd ` ' `^ n > | oxhjr u ' b` 1 Gh
wrgdv irupdv/ hv srvleoh rewhqhu h{suhvlrqhv h{soðflwdv gh hvwdv fdqwlgdghv hq
wìuplqrv gh b/ >/ r | Rf =
br Rf
c
Er ->r3 Er> b2
br Rf
` '
n
Er ->r3 Er> b2
brn Rf
n
u '
Er ->r3 Er> b2
`^ '

/
>
b
/
>
txh qr hv uhfrphqgdeoh xvdu hq od suäfwlfd sru vx pd|ru ohqwlwxg gh fäofxor
frq uhvshfwr d odv sursxhvwdv dqwhulruhv1
Gh irupd dqäorjd do fdvr gho prghor **/ vh sxhgh oohjdu d h{suhvlrqhv
sdud odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod |
150
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd1 Vrq odv vljxlhqwhv=
;
b r Rf
?

e3Er>3b| vl | f
`^ E| '
Er ->r3 Er> b
= f
vl | f
b
Hq ho fdvr
9' r  vh wlhqh
>
b r> n >`^ Ef 3>|
` E| '  n
e
r> b >
br Rf
e3Er>3b| /
n
r32
Er -> Er> b Er> b >
vl | f +f hq rwur fdvr,
b
plhqwudv txh vl
' r  vx h{suhvlöq hv
>
;
br Rf |
?
e3>| vl | f
 n
` E| '
Er ->r32 Er> b
=
f
vl | f
Odv frqvwdqwhv txh dsduhfhq hq odv h{suhvlrqhv dqwhulruhv vrq hflhqwhphqwh
fdofxodeohv d sduwlu gh or frphqwdgr dqwhulruphqwh1 Dvð/ sru hmhpsor/
`^ E| '  SDr Rf e3Er>3b| vl | f1
Judfldv d hvwd ýowlpd h{suhvlöq uhvxowd px| vhqfloor fdofxodu od suredelolgdg gh
txh xq folhqwh qr whqjd txh hvshudu hq od frod +hv ghflu/ txh sdvh gluhfwdphqwh
d vhu vhuylgr,=
EZ^ ' f ' EZ^ f ' `^ Ef '  SDr Rf '  "
[
S? Rf
?'r
' 
"
[
R? '
?'r
r3
[
R? ' E r  /
?'f
txh/ sru rwud sduwh/ uhvxowd wrwdophqwh lqwxlwlyr/ sxhv fruuhvsrqgh frq ho khfkr
gh txh fxdqgr oohjxh ho folhqwh hq fxhvwlöq kd|d dojýq vhuylgru oleuh1 Frpr
sxhgh revhuyduvh hq od vljxlhqwh jxud/ hv reylr txh od juäfd gh od ixqflöq
`^ E| hvwä vreuh od gh ` E| 1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
0.2
t
0.3
0.4
0.5
Ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr hq od frod +wud}r frqwlqxr, | gho wlhpsr
hq ho vlvwhpd +wud}r glvfrqwlqxr,
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 151
Hmhpsor 7; Fdofxodu odv fdqwlgdghv shglgdv hq orv dsduwdgrv 4 | 7 gho ýowlpr
hmhpsor vxsrqlhqgr orv plvprv gdwrv shur frqvlghudqgr xqd hvwdflöq gh wudedmr
frq wuhv vhuylgruhv lgìqwlfrv do gh glfkr hmhpsor1 Kdoodu wdpelìq ho qýphur
phglr wrwdo gh surfhvrv hq od hvwdflöq1
Vroxflöq= Reyldphqwh vh wudwd gh xq prghor **r frq r ' / b ' D |
D
' e / vlhqgr/ sru wdqwr/ ho prghor hvwdflrqdulr1
> ' 2f/ frq or fxdo/ 4 ' u2f
Odv grv sulphudv fdqwlgdghv shglgdv vljxhq vlhqgr/ reyldphqwh/ E^ : 2 |
u^ 1 Hq sulphu oxjdu ghehprv kdoodu Rf =
b
D D
' / S2 ' S
'
2f e
2 2f 2
D
| SD ' S2
' / uhvxowd=
2f D 2
H


2
'
' f e.fS1
' 2n2enbn '
Rf ' S2
SH
.
2
?'f S? n SD
Frpr Sf ' / S ' Sf
Dkrud/
E^ : 2 '  ERf n R n R2 n R n Re n RD '  Rf E n S n S2 n S n Se n SD b
b
b
b
H
n
n
n
'
n n
.
e 2 2H D2 2feH
eeb
H eeb
'
'
' f fffSHb1
'
. 2feH
eD2 eD2
Dghpäv/
u^ '
H
De .
brn Rf
'
2
Er ->r3 Er> b
2 2f2 E 2f D2

' f fe. surfhvrv1
'
SH
Vh revhuyd sxhv frpr do sdvdu gh xqr d wuhv surfhvdgruhv ho vlvwhpd h{shul0
phqwd xqd ghvfrqjhvwlöq päv txh qrwdeoh1 Or ýowlpr txh vh slgh hv

D

b
n
u ' b` ' b `^ n
' u^ n '
>
>
SH 2f

' f .Se. surfhvrv1
'
.
txh lqglfd wdpelìq srfd fdujd hq od hvwdflöq1
152
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
4416 Ho prghor **Q*g
Vh wudwd gh xq prghor frpr ho **/ |d hvwxgldgr/ shur frq oðplwdflöq g
sdud ho wdpdôr gh od frod1 Hv ghflu/ od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv lqwhqwrv
gh oohjdgdv do vlvwhpd gh folhqwhv frqvhfxwlyrv hv xqd i T Eb/ od glvwulexflöq
gho wlhpsr gh vhuylflr hv i T E> | vöor kd| xq vhuylgru1 Dghpäv ho qýphur gh
folhqwhv txh sxhghq hvwdu hq od frod hv frpr pxfkr g/ od sreodflöq srwhqfldo
hv lqqlwd | od glvflsolqd hv ILIR1 Reyldphqwh/ hq hvwh prghor vh sxhgh gdu ho
fdvr gh txh xq folhqwh txh lqwhqwh hqwudu hq ho vlvwhpd qr or frqvljd/ sru hvwdu
od frod oohqd1
D sduwlu gh odv hvshflfdflrqhv dqwhulruhv vh ghgxfhq iäflophqwh odv wdvdv
gh oohjdgd=
b vl ? ' fc c c g
b? '
f vl ? ' g n c g n 2c plhqwudv txh odv wdvdv gh vhuylflr vrq lgìqwlfdv d odv gh xq **/
>? ' >/ sdud wrgr ? ' c 2c Kdflhqgr xvr gh hvwdv wdvdv vh rewlhqhq lqphgldwdphqwh odv S? =
?
4 vl ? ' c 2c c g n 
S? '
f vl ? ' g n 2c g n c S
Gdgr txh od vhulh "
?' S? wlhqh wdq vöor xq qýphur qlwr gh wìuplqrv
glvwlqwrv gh fhur/ hv wulyldophqwh frqyhujhqwh vlq qlqjxqd frqglflöq dfhufd gh
41 Hvwr sxhgh lqwhusuhwduvh frpr txh/ sru px| iuhfxhqwh txh vhd od oohjdgd gh
folhqwhv do vlvwhpd hq uhodflöq frq od fdsdflgdg gho vhuylgru sdud gdu vhuylflr/
od sursld olplwdflöq hq ho wdpdôr gh od frod ixhu}d d od hvwdflrqdulhgdg/ sxhv
or shru txh srguðdprv lpdjlqdu hv txh suäfwlfdphqwh wrgr ho wlhpsr hvwxylhvh
ho vlvwhpd vdwxudgr +hv ghflu E ' g n  ' ,1
Od vxpd gh od vhulh gh orv S? hv uhdophqwh xqd vxpd qlwd | ydoh
; gn2
"
gn
4
? 4
[
[
vl 4 9' 
S? '
4? '
4
=
?'
?'
g n
vl 4 ' 
Hvwd glvwlqflöq/ 4 9'  ö 4 '  kdeuä txh kdfhuod d or odujr gh wrgrv orv fäofxorv
vxfhvlyrv1
Fdvr 9' = Hq sulphu oxjdu fdofxodprv Rf =
Rf '
n

S"
?' S?

'
n
gn2
4
4
4
'
4
1

4gn2
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 153
Dkrud odv R? vh rewlhqhq iäflophqwh/
;
? 4 ?
4 vl ? ' fc c c g n 
R? '
4gn2 
= f
vl ? ' g n 2c g n c Ho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpd sxhgh fdofxoduvh d sduwlu gh vx
ghqlflöq=
"
[
gn
[
gn
4 ?
E4  4 [ ?3
4 ' gn2
? R? '
? gn2
?4 u'
4
4

 ?'f
?'f
?'f
Dkrud elhq/ vljxlhqgr odv plvpdv sdxwdv txh odv xvdgdv hq ho ** sdud
fdofxodu od vxpd gh xqd vhulh frqyhuwleoh hq jhrpìwulfd/ srghprv dkrud fdofxodu
od vxpd gh xq qýphur qlwr gh wìuplqrv gh od plvpd1 Dvð/ ghqlhqgr
s E% '
gn
[
%? '
?'f
vx ghulydgd ydoh
s E% '
gn
[
?3
?%
'
%gn2 
/ sdud % 9' /
%
Eg n 2 %gn E%  %gn2 
?'f
'
E% 2
Eg n  %gn2 Eg n 2 %gn n 
1
E% 2
Gh hvwd irupd
gn
[
?'f
?4?3 '
Eg n  4gn2 Eg n 2 4gn n 
E4 2
|/ sru wdqwr/
4
Eg n  4gn Eg n 2 4gn2 n 4
 4gn2
E 42
4  4gn2 Eg n 2 4gn2 4gn
4
'
 4gn2
E 42
% &
4  4gn2
Eg n 2 4gn2 E 4
4
'
 4gn2
E 42
E 42
u '
'
Eg n 2 4gn2
4
1
4
 4gn2
Hq uhvxphq
u'
4
Eg n 2 4gn2
/
4
 4gn2
154
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
fx|r sulphu vxpdqgr hv suhflvdphqwh ho ydoru gh u sdud xq **1
Odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv sxhghq xvduvh sdud
fdofxodu odv rwudv wuhv fdqwlgdghv phgldv gh lqwhuìv1 Sdud hoor vhuä qhfhvdulr
fdofxodu b/ |d txh dkrud odv b? qr vrq frqvwdqwhv=
b '
"
[
b ? R? '
?'f
' b 
g
[
b R? ' b
?'f
4  gn
4
gn2
4

g
[
R?
?'f
gn2
'b
4
' b E Rgn b 4gn 
 E4  4gn
'
1
4gn2 
4gn2 
D sduwlu gh hvwd h{suhvlöq vh wlhqh
` '
'
'
'
'
Eg n  4gn Eg n 2 4gn2 n 4
4
 4gn2
u
E 42
gn
'
b 4

b
4gn2 
gn
4
Eg n  4
Eg n 2 4gn2 n 4
 4gn
b E 42
gn2
44
4
Eg n  E 4 4gn2
 4gn
b E 42
% &
4  4gn
4
Eg n  E 4 4gn2
 4gn
b E 42
b E 42

4
Eg n  4gn2
Eg n  4gn2
/
'
gn
b E 4
b E 4
>b
b E 4gn oxhjr
` '

Eg n  4gn2
/
>b
b E 4gn txh/ gh qxhyr/ hv px| sduhflgd d vx dqäorjd sdud ho prghor **1 D sduwlu
gh hvwd ýowlpd h{suhvlöq | whqlhqgr hq fxhqwd txh `^ ' ` > / vh wlhqh
`^ '
b
Eg n  4gn2
1
> E> b
b E 4gn Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 155
Ilqdophqwh/
u^
b 4gn 
4gn2 
>
4
Eg n 2 4gn2

b
' b`^ ' b ` 'u '
>
>
4
 4gn2
gn
gn2
4 4
Eg n 2 4
4
'
gn2
4
4
 4gn2
gn2
Eg n 2 4
4 4gn2 n 4gn 4gn
4
'
4
 4gn2
 4gn2
Eg n 2 4gn2 4gn2 E4  4  4gn2
4
'
4
 4gn2
 4gn2
 4gn2
gn2
2
Eg n  n 4 4
Eg n  n 4 4gn2
4
4
/
'
'
4
4
 4gn2
4
 4gn2
oxhjr/ hq uhvxphq/
u^ '
Eg n  n 4 4gn2
42
4
 4gn2
h{suhvlöq/ hvwd ýowlpd/ fx|r sulphu vxpdqgr hv suhflvdphqwh od iöupxod sdud
u^ hq xq prghor **1 Reyldphqwh/ vl ho remhwlyr hv fdofxodu odv fxdwur
fdqwlgdghv +u/ u^ / ` | `^ , hv päv hflhqwh rewhqhu ho ydoru gh b |/ xqd
yh} fdofxodgd xqd gh odv fxdwur/ rewhqhu odv wuhv uhvwdqwhv gluhfwdphqwh gh odv
iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv1
Dxqtxh ho prghor ***g qr frqwlhqh do ** frpr fdvr sduwlfxodu/
hq ho fdvr 4  +sdud ho fxdo ho ** hv hvwdflrqdulr, ho prghor ***g
gheh whqghu do ** fxdqgr g $ 4 +txh hv wdqwr frpr ghflu txh ho wdpdôr
pä{lpr shuplwlgr sdud od frod hv päv | päv judqgh,1 Hq hihfwr/ orv uhvxowdgrv
txh riuhfhq odv irupxodv dqwhulruhv sdud orv R? / u/ u^ / ` | `^ frlqflghq frq
orv txh dsduhfhq hq ho **1 Dvð/ d wðwxor gh hmhpsor/
4
Eg n 2 4gn2
*4
 4 g<"  4gn2
*4g<" Eg n 2 4gn2
4
4
'
' u** /
'
4

4
*4 u***g '
g<"
|d txh ho oðplwh gho qxphudgru hv fhur +xwlol}dqgr/ sru hmhpsor/ od uhjod gh
O*K÷slwdo,1
Fdvr ' = Hq hvwh fdvr orv fäofxorv uhvxowdq edvwdqwh päv vhqfloorv1 Ho ydoru
gh Rf ylhqh gdgr sru
Rf '
n

S"
?' S?
'


'
1
ng n
g n2
Frpr dghpäv S? ' 4? ' / sdud ? ' c 2c c g n / hqwrqfhv
R? '

/ sdud wrgr ? ' fc c c g n /
g n2
156
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
hv ghflu/ wlhqh glvwulexflöq xqliruph glvfuhwd vreuh vx frqmxqwr gh ydoruhv
srvleohv1
Hq hvwh fdvr/
gn
[
gn
[
 Eg n  Eg n 2
g n

'
'
/
g
n
2
g
n
2
2
2
?'f
?'f
"
g
[
[

b Eg n 
/
b '
b? R? ' b
R? ' b E Rgn ' b  '
g
n
2
g n2
?'f
?'f
u '
` '
? R? '
u
'
b
gn
2
bEgn
gn2
'
?
g n2
/
2b
g n2 
g

'
/
'
>
2b
b
2b
g Eg n 
b Eg n  g
'
1
' b`^ '
g n2
2b
2 Eg n 2
`^ ' ` u^
Sdud fxdotxlhu ydoru gh 4 +ljxdo r glvwlqwr gh ,/ vl vh ghvhd rewhqhu odv
ixqflrqhv gh glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd | gho
wlhpsr txh xq folhqwh hvwä hq od frod/ hv qhfhvdulr suhyldphqwh ghqlu ^? / frpr
od suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho vlvwhpd mxvwr fxdqgr xqd qxhyd
oohjdgd vh hvwä surgxflhqgr1 Ghqrwdqgr/ frpr vlhpsuh/ sru ho qýphur gh
folhqwhv hq ho vlvwhpd | sru A ho wlhpsr txh idowd sdud txh vh surgx}fd od
oohjdgd gho vljxlhqwh folhqwh/ odv ^? uhsuhvhqwdq E ' ?mA 'f 1 Xvdqgr od
qrwdflöq s E|m'? sdud od ixqflöq gh ghqvlgdg gh od yduldeoh A frqglflrqdgd d
txh ' ?/ vh vljxh txh s E|m'? fruuhvsrqgh d od ghqvlgdg gh xqd i T Eb? 1
Dvð/ dsolfdqgr od uhjod gh Ed|hv/ vh wlhqh=
s Efm '? R?
b? e3b? f R?
^? ' E ' ?mA 'f ' Sg
' Sg
3b6 f R
6
6'f s Efm'6 R6
6'f b6 e
b R?
R?
/ sdud ? ' fc c c g/ plhqwudv txh
'
'
S
 Rgn
b g
6'f R6
^? ' f sdud ? ' g n c g n 2c Hv gljqr gh phqflöq txh sdud prghorv frpr ho **r +lqfox|hqgr ho fdvr
r ' ,/ vh yhulfd txh odv yduldeohv A | vrq lqghshqglhqwhv |/ sru wdqwr
^? ' E ' ?mA 'f ' E ' ? ' R? 1
Odv ixqflrqhv gh glvwulexflöq gh odv yduldeohv Z | Z^ ylhqhq gdgdv sru
` E| '  e3>|
`^ E| '  e3>|
g
[
?'f
g
[
?'
^?
^?
?
[
E>|o
o'f
?3
[
o'f
o-
/ vl | f +| ` E| ' f hq rwur fdvr,
E>|o
/ vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/
o-
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 157
hqwhqglhqgr/ hq odv h{suhvlrqhv dqwhulruhv txh fxdqgr | ' f | o ' f/ hq ho
vxpdwrulr päv lqwhuqr/ od lqghwhuplqdflöq ff vh uhvxhoyh frpr 1 Sxhgh sur0
eduvh gh irupd px| vhqflood txh `^ Ef ' EZ^ ' f ' ^f ' E ' fmA 'f 1
Xqd lpsohphqwdflöq gluhfwd gh odv ixqflrqhv ` E| | `^ E| sxhgh uhvxowdu
px| ohqwd +vreuh wrgr vl vh hydoýdq hq pxfkrv ydoruhv gh | | g hv hohydgr,1
Dvð/ sdud g ' ff/ ho greoh exfoh txh dsduhfhuðd hq od lpsohphqwdflöq gluhfwd
' DD lwhudflrqhv sdud fdgd
gh ` E| uhtxhuluðd  n 2 n n f ' fuf2
2
hydoxdflöq gh od ixqflöq hq xq |1 Hq uhdolgdg/ hvwd lpsohphqwdflöq sxhgh ovhu
|
phmrudgd pxfkðvlpr hq wìuplqrv gh hflhqfld1 Ghqrwdqgr o E| ' E>|
oS? E>|o
S?
7? E| ' o'f o- ' o'f o E|/ vh wlhqh txh 7f E| ' f E| '  | txh vh
yhulfdq odv vljxlhqwhv uhodflrqhv uhfxuvlydv
>|
o3 E| / sdud o ' c 2c c g
o
7? E| ' 7?3 E| n ? E| / sdud ? ' c 2c c g1
o E| '
Gh hvwd irupd ho fäofxor gh ` E| srguðd surjudpduvh frq xq ýqlfr exfoh/
surfhglhqgr frpr hq ho vljxlhqwh dojrulwpr=
41 Kdfhu ' / 7 '  | ' ^f 1
51 Ghvgh ? '  kdvwd g uhshwlu
| 7 ' 7 n 1
5141 Kdfhu ' >|
?
5151 Kdfhu ' n ^? 71
61 Ghyroyhu  e3>| 1
Dqäorjdphqwh vh sxhgh surfhghu sdud ho fäofxor hflhqwh gh `^ E|1
Hv reylr txh ho dkruur frpsxwdflrqdo gho dojruwlpr/ iuhqwh d od lpsoh0
phqwdflöq gluhfwd/ hv px| judqgh1 Dvð/ sdud ho hmhpsor dqwhulru frq g ' ff/
hvwd lpsohphqwdflöq uhtxhuluðd/ wdq vöor/ ff lwhudflrqhv gho exfoh +xqdv 84
yhfhv päv uäslgr txh odv DD gho pìwrgr gluhfwr,1
Hq hvwh prghor +| hq rwurv srvwhulruhv, ho vljqlfdgr gh 4 frpr lqwhqvlgdg
gh wuäfr vh ghvyluwýd1 Dtxð 4 qr sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho frflhqwh hqwuh
qýphur phglr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr | ho
qýphur phglr gh folhqwhv d orv txh ho vhuylgru whqguðd fdsdflgdg gh gdu vhuylflr
sru xqlgdg gh wlhpsr/ vlqö päv elhq frpr xq frflhqwh vhphmdqwh/ shur grqgh
ho qýphudgru uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh lqwhqwrv gh oohjdgd/ päv txh gh
oohjdgdv hihfwlydv do vlvwhpd1 Gh khfkr/ sru hvwh prwlyr 4 sxhgh vhu pd|ru r
ljxdo txh / dýq vlhqgr ho vlvwhpd hvwdflrqdulr1
Ho ydoru gh b vð uhsuhvhqwd ho qýphur phglr gh hqwudgdv hihfwlydv gh folhqwhv
hq ho vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr |/ dvð/ od yhugdghud lqwhqvlgdg gh wuäfr
srguðd phgluvh d wudyìv gh
; bEgn
A
g n
A
A gn2 '
vl 4 ' 
b ?
>
g n2
gn
4' '
3
bE4
> A
gn2
A
gn2
4
A
= 4 3 ' 4
vl 4 9' 
>
4gn2 
txh hihfwlydphqwh vð hv vlhpsuh phqru txh 1
158
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
4417 Ho prghor **r*g
Vh wudwd gh od h{whqvlöq gho prghor dqwhulru do fdvr hq txh h{lvwd xq qýphur
hqwhur fxdotxlhud/ r/ gh vhuylgruhv1 Odv wdvdv gh oohjdgd vrq fdvl lgìqwlfdv d odv
gho prghor **/ plhqwudv txh odv gh vhuylflr vrq h{äfwdphqwh ljxdohv d odv
gh xq **r=
b vl ? ' fc c c g n r 
b? '
f vl ? ' g n rc g n r n c ?> vl ? ' c 2c c r
>? '
r> vl ? ' r n c r n 2c Frpr frqvhfxhqfld vh rewlhqh=
;
b?
A
A
vl ? ' c 2c c r
A ?->?
?
?
b
S? '
vl ? ' r n c r n 2c c g n r
A
?3r
A
A r-r >?
=
f
vl ? ' g n r n c g n r n 2c S
Gh qxhyr od vhulh "
?' S? wlhqh vöor xq qýphur qlwr gh wìuplqrv glvwlqwrv gh
fhur |/ sru wdqwr/ vlhpsuh hv frqyhujhqwh1 Dvð sxhv ho vlvwhpd hv hvwdflrqdulr
vlhpsuh +lqghshqglhqwhphqwh gho ydoru gh 4,1 Sdud fdofxodu Rf qhfhvlwdprv
hqfrqwudu xqd h{suhvlöq/ or päv vhqflood srvleoh sdud od vxpd gh od vhulh=
"
[
?'
S? '
gnr
[
S? '
gnr
r3
gnr
r3
[
[
[
br [ ?3r
b?
b?
b?
n
'
n
4
?->? ?'r r-r?3r >? ?' ?->? r->r ?'r
?'
?'
;
r3
[
A
br  4gn
b?
A
A
n
A
?
?->? r->r
4
?'
'
r3
?
r
[
A
b Eg n 
b
A
A
n
A
=
?
?->
r->r
vl 4 9' 
vl 4 ' 
?'
Frpr frqvhfxhqfld/
;

A
A
A
r3
A
?
[
A
br  4gn
b
A
A
n
A
?
?->? r->r
4
?'f
Rf '

A
A
A
r3
A
[
A
br Eg n 
b?
A
A
n
A
=
?->?
r->r
?'f
vl 4 9' 
vl 4 ' 
Wdo | frpr |d vh frphqwö sdud ho prghor **r/ od lpsohphqwdflöq gl0
uhfwd gh odv irupxodv dqwhulruhv qr hv suhflvdphqwh od pdqhud päv hflhqwh gh
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 159
fdofxodu Rf 1 Dvð/ hpsohdqgr iöupxodv uhfxuvlydv sxhgh fdofxoduvh Rf phgldqwh

/ grqgh
?'f S? n SDr
b
' / S? ' S?3 / sdud ? ' c 2c c r 
?>
4 4gn2
vl 4 9'  |
' Sr3
4
' Sr3 Eg n  vl 4 ' 1
Rf ' Sr3
Sf
vlhqgr SDr
SDr
D sduwlu gh Rf / | orv sduäphwurv gh hqwudgd gho prghor/ sxhghq rewhqhuvh
h{suhvlrqhv h{soðflwdv sdud odv R? =
;
A
?
b?
Rf
?->r ?
R? ' S? Rf '
A
= b 4?3r Rf
r->r
vl ? ' c 2c c r
vl ? ' r n c r n 2c c g n r
Qxhydphqwh/ odv iöupxodv lpsohphqwdgdv gluhfwdphqwh d sduwlu gh hvwdv h{suh0
vlrqhv vrq px| srfr hflhqwhv | uhvxowd suhihuleoh surfhghu gh irupd dqäorjd
d or khfkr sdud ho **r1
Uhxwlol}dqgr orv ydoruhv S? / qhfhvdulrv sdud od lpsohphqwdflöq gho fäofxor
hflhqwh gh Rf / orv R? vh rewlhqhq gh pdqhud px| vhqflood= R? ' S? Rf / sdud ? '
c 2c c r 1 Sru rwud sduwh/ vl ? r/ ho wìuplqr R? vh fdofxod uhfxuvlydphqwh
frphq}dqgr hq Rr3 txh |d hvwä fdofxodgr=
R? '
b?3
R?3 ' 4 R?3 / sdud wrgr ? ' rc r n c c g n r
>?
Iöupxod txh/ dýq vlhqgr yäolgd sdud wrgr ydoru gh 4/ vh wulyldol}d vl 4 ' /
gdqgr frpr uhvxowdgr Rgnr ' Rgnr3 ' ' Rr ' Rr3 sdud 4 ' 1
Odv fxdwur fdqwlgdghv phgldv gh lqwhuìv +u/ u^ / ` | `^ , sxhghq fdofxoduvh
d sduwlu gh orv ydoruhv gh odv R? uhflìq hqfrqwudgdv1 Srvleohphqwh ho fäofxor
päv vhqfloor hv ho gh u^ / sru ho fxdo frphq}duhprv1 Vl 4 9' / d sduwlu gh od
ljxdogdg
gn
[
?'f
?%?3 '
Eg n  %gn2 Eg n 2 %gn n 
E% 2
160
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
ghprvwudgd | xwlol}dgd |d sdud ho ***g/ vh wlhqh
u^ '
rng
[
E? r R? '
?'rn
'
rng
[
E? r ?'r
b?
r-r?3r >?
Rf
rng
g
[
[
br
br
?3r3
R
4
R
4
E?
r
4
'
43
f
f
r
r->r
r->
?'r
'f
g4gn Eg n  4g n 
br
R
4
f
r->r
E4 2
r
b Rf 4  n g4gn Eg n  4g
'
r->r E 42
'
Sru rwud sduwh/ vl 4 '  hqwrqfhv
rng
[
u^ '
E? r R? ' Rr3
?'rn
' Rr3
rng
[
E? r
?'rn
br3 g Eg n  Rf
g Eg n 
1
'
2
Er - 2 >r3
Hq uhvxphq/ od h{suhvlöq h{soðflwd sdud ho qýphur phglr gh folhqwhv hq od
frod hv
; r
b Rf 4  n g4gn Eg n  4g
A
A
vl 4 9' 
?
r E 42
r->
u^ '
A
br3 g Eg n  Rf
A
=
vl 4 ' 
Er - 2 >r3
r elhq/ sdud xq fäofxor pxfkr päv hflhqwh +vxsxhvwrv uhdol}dgrv orv fäofxorv
hflhqwhv frphqwdgrv päv duuled,/
;  n g4gn Eg n  4g 42
A
A
?
Rr3 vl 4 9' 
E 42
u^ '
A
A
= g Eg n  Rr3
vl 4 ' 
2
Sdud srghu rewhqhu ho uhvwr gh fdqwlgdghv phgldv ghehuhprv xvdu odv iöu0
pxodv gh Olwwoh | fdofxodu/ sulphudphqwh/ b=
b'
"
[
?'f
b? R? ' b
gnr3
[
R? ' b E Rgnr /
?'f
txh hv od lpsohphqwdflöq d xvdu sdud xq fäofxor hflhqwh1 Xqd iöupxod päv
h{soðflwd sdud hvwh ydoru hv
br g
b'b 
4
R
f /
r->r
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 161
txh vh vlpsolfd d b ' b  br3
Rf vl 4 ' 1 Gh qxhyr/ hq hvwh
Er ->r3
prghor yxhoyh d rfxuulu txh 4 qr uhsuhvhqwd od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd1
Hvh ydoru sxhgh fdofxoduvh phgldqwh
br g
b
br gn
'4 
4'
4
R
4
Rf 1
'
4
f
r>
r->r
r->r
D sduwlu gh orv ydoruhv gh u^ | b/ fdofxodgrv gh irupd hflhqwh/ sxhghq
xvduvh odv iöupxodv gh Olwwoh sdud rewhqhu=
`^ '
u^
/
b

` ' `^ n /
>
u ' b` 1
Hq hvwh prghor uhvxowd edvwdqwh frpsolfdgd od glvwulexflöq gho wlhpsr txh
xq folhqwh hvwä hq ho vlvwhpd/ dxqtxh qr or hv wdqwr od gho wlhpsr txh xq folhqwh
sdvd hq od frod=
`^ E| '  e3r>|
gnr3
[
?'r
^?
?3r
[
Er>|o
o'f
o-
/ vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/
grqgh odv ^? wlhqhq ho plvpr vljqlfdgr txh hq ho prghor ***g/ hv ghflu/
suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho vlvwhpd mxvwr fxdqgr xqd oohjdgd vh
hvwä surgxflhqgr/ | ylhqhq gdgdv sru
^? '
R?
/ ? ' fc c c g n r 1
 Rgnr
Orv frphqwdulrv khfkrv vreuh od irupd gh lpsohphqwdu odv ixqflrqhv ` E| |
`^ E| hq xq prghor ***g/ vrq yäolgrv sdud od lpsohphqwdflöq gh `^ E|
hq hvwh prghor1 Dvð ho dsduhqwh greoh exfoh +hq ? | hq o,/ hq od h{suhvlöq sdud
`^ E|/ sxhgh uhgxfluvh d xq exfoh vlpsoh xwlol}dqgr xqd wìfqlfd wrwdophqwh
dqäorjd d od gh hqwrqfhv1
Xq fdvr sduwlfxodu gh hvwh prghor hv ho **r*f/ txh hv xqr gh orv
sulphurv prghorv txh hvwxglö Huodqj/ hq orv doeruhv gh od Whruðd gh Frodv/
sdud dqdol}du od suredelolgdg gh ? oðqhdv rfxsdgdv hq xqd fhqwudo whohiöqlfd
txh glvsrqh gh r oðqhdv1 Hq ho prghor od fdsdflgdg gh od frod hv g ' f/ sxhv
vh vxsrqh txh/ vl xqd oodpdgd oohjd d od fhqwudo fxdqgr wrgdv odv oðqhdv hvwäq
rfxsdgdv/ qr shupdqhfh hq hvshud vlqr txh uhfleh od vhôdo gh vdwxudflöq hq
od uhg deruwdqgr od srvlelolgdg gh frpxqlfdflöq hq hvh prphqwr1 Frpr fdvr
sduwlfxodu gh or ylvwr hq ho prghor **r*g/ vh wlhqh txh od suredelolgdg gh
162
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
? oðqhdv rfxsdgdv hq od fhqwudo ylhqh gdgd sru
b?
?->?
/ sdud ? ' fc c c r/
R? ' r
[ b
->
'f
txh hv od idprvd iöupxod gh Huodqj/ txlhq sureö txh wdpelìq hv yäolgd sdud
fxdotxlhu glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr/ hqwhqglhqgr hqwrqfhv txh > hv od
lqyhuvd gh od phgld gh glfkd glvwulexflöq1
Hmhpsor 7< Frqvlgìuhvh od hvwdflöq gh wudedmr dqdol}dgd hq orv grv ýowlprv
hmhpsorv | vxsöqjdvh txh dýq whqlhqgr wuhv surfhvdgruhv/ vöor hv srvleoh pdq0
whqhu xq ýqlfr surfhvr hq frod gh hvshud1 Fdofxodu odv wuhv fdqwlgdghv shglgdv
hq ho ýowlpr hmhpsor1
Vroxflöq= Ho prghor sdvd d vhu dkrud xq **r*g frq r ' / g ' /
b ' D | > ' 2f1 Hq sulphu oxjdu/ uhvxowd reylr txh E^ : 2 ' f/ |d txh ho
oðplwh sdud od frod hv g ' 1 Sru rwud sduwh/ dxqtxh srguðdprv xwlol}du wrgdv
odv iöupxodv rewhqlgdv dqwhulruphqwh sdud ho fäofxor gh u | u^ / gdgr txh vöor
kd| flqfr hvwdgrv srvleohv hq ho vlvwhpd + ' fc c 2c c e, txl}ä vhd päv uäslgr
fdofxoduodv gluhfwdphqwh=
b
D D
' /
Sf ' / S ' Sf ' / S2 ' S
2f e
2 2f 2
b
b
D
D
S ' S2
'
| Se ' S
'
/
2f
2H
2f D2
vlhqgr S? ' f sdud ? ' Dc Sc Gh hvwd irupd/


D2
' f e.b1
Rf '
b
b
b ' fHD '
fHD
 n e n 2
n 2H
n D2
D2
Xwlol}dqgr wrgr or dqwhulru=
u '
e
[
?R? ' Rf ES n 2S2 n S n eSe ?'f
D2 D
D2 2 b b e b
n
n
n
'
'
fHD e
2
2H
D2
fHD 2
HS
' f .D2 surfhvrv1
'
fHD
Dvlplvpr/
u^ ' f ERf n R n R2 n R n  Re '
' f ffH2bD surfhvrv1
b
'
fHD
Vh revhuyd hqwrqfhv txh ho vlvwhpd hvwä wrgdyðd phqrv fdujdgr txh dqwhv1 Od
ud}öq hv txh od olplwdflöq hq ho wdpdôr gh od frod lpslgh xq qýphur hohydgr
gh folhqwhv hq ho vlvwhpd +dxqtxh dqwhv glfkr qýphur |d hud px| lpsuredeoh,1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 163
4418 Ho prghor **Q*4*M
Hvwxglduhprv dkrud xq prghor hq ho txh od sreodflöq srwhqfldo hv qlwd/ irupd0
gd sru M lqglylgxrv1 Gdgr txh dkrud hv reylr txh od glvwulexflöq gho wlhpsr
hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd ghshqghuä gh fxäqwrv
folhqwhv hvwìq hq ho vlvwhpd/ xqd irupd ud}rqdeoh gh whqhu hvwr hq fxhqwd hv
frqvlghudu txh/ sdud fdgd folhqwh txh dfded gh vdolu gho vlvwhpd/ od glvwulexflöq
gh suredelolgdg gho wlhpsr txh idowd sdud txh yxhoyd d hqwudu hq ìo hv xqd
i T Eb1 Wdo frpr lqglfd od qrphqfodwxud lqwurgxflgd/ vh vxsrqguä xq ýqlfr
vhuylgru +txh dwlhqgh orv folhqwhv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR, | txh qr kd|
oðplwh sdud ho wdpdôr gh od frod1
Hq yluwxg gh od fduhqfld gh phpruld gh od glvwulexflöq h{srqhqfldo | gh od
suredelolgdg txh qrv gded od glvwulexflöq gho pðqlpr gh yduldv h{srqhqfldohv
lqghshqglhqwhv/ srghprv ud}rqdu fxäo vhuä od glvwulexflöq gho wlhpsr txh idowd
sdud txh ho suö{lpr folhqwh hqwuh ho vlvwhpd fxdqgr |d kd| ? folhqwhv ghqwur
gh ìo1 Dvð/ vl ' ?/ ho qýphur gh folhqwhv hq od sreodflöq srwhqfldo vhuä
M ? | ho wlhpsr kdvwd od suö{lpd hqwudgd hq ho vlvwhpd vhuä ho pðqlpr gh
M ? h{srqhqfldohv gh sduäphwur b/ lqghshqglhqwhv hqwuh vð1 Vh wudwd sru
wdqwr gh xqd i T EEM ? b1 Gdgr txh orv wlhpsrv gh vhuylflr vrq wdpelìq
h{srqhqfldohv/ ho vlvwhpd sxhgh prghol}duvh phgldqwh xq surfhvr gh qdflplhqwr
| pxhuwh frq wdvdv gh oohjdgd
EM ? b vl ? ' fc c c M
b? '
f
vl ? ' Mc M n c | wdvdv gh vhuylflr
>? ' >/ vl ? ' c 2c Dxqtxh sxhgh hqfrqwuduvh xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv S? =
;
M?
4? vl ? ' c 2c c M
S? '
EM ?= f
vl ? ' M n c M n 2c uhvxowd pxfkr päv hflhqwh rewhqhu Rf phgldqwh xq fäofxor uhfxuvlyr

Rf ' SM
?'f S?
/ grqgh
Sf ' / S? ' EM ? n  4 S?3 / sdud ? ' c 2c c M
Dghpäv/ ho uhvwr gh suredelolgdghv vh fdofxodq d sduwlu gh R? ' S? Rf / sdud
? ' c 2c c M/ |d txh R? ' f vl ? : M1 Reyldphqwh ho prghor hv vlhpsuh
hvwdflrqdulr1
164
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Hq hvwh fdvr qr uhvxowd vhqfloor rewhqhu xqd iöupxod h{soðflwd gh u ö u^ /
sxhv od vxpd uhvxowdqwh qr fruuhvsrqgh d xqd vhulh jhrpìwulfd r frqyhuwleoh hq
jhrpìwulfd1 Sru hvwh prwlyr/ ghehprv fdofxodu gluhfwdphqwh
u'
M
[
? R? 1
?'
Dghpäv/
b '
M
[
b? R? '
M
[
?'f
EM ? b R? ' b ?'f
' b EM u 1
#M
[
M R? ?'f
M
[
$
? R?
?'f
Whqlhqgr hvwr hq fxhqwd vh oohjd d txh
u
u
/
'
b EM u
b

' ` /
>
' b`^ 1
` '
`^
u^
Dghpäv/ od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv
4'
b EM u
b
'
' 4 EM u 1
>
>
Ghqlhqgr odv suredelolgdghv ^? ' E ' ?mA 'f / frpr hq prghorv dqwh0
ulruhv/ vh wlhqh
s Efm '? R?
b? e3b? f R?
' SM
^? ' E ' ?mA 'f ' SM
3b6 f R
6
6'f s Efm '6 R6
6'f b6 e
EM ? b R?
EM ? R?
' SM
' SM
S
M 6'f R6 M
6'f EM 6 b R6
6'f 6 R6
EM ? R?
/ sdud ? ' fc c c M / plhqwudv txh
'
M u
^? ' f sdud ? ' Mc M n c Hvwdv suredelolgdghv dsduhfhq hq odv h{suhvlrqhv sdud ` E| | `^ E|=
` E| '  e3>|
`^ E| '  e3>|
M3
[
?'f
M3
[
?'
^?
^?
?
[
E>|o
o'f
?3
[
o'f
o-
/ vl | f +| ` E| ' f hq rwur fdvr,
E>|o
/ vl | f +| `^ E| ' f vl | f,1
o-
Gh qxhyr/ hvwdv iöupxodv vh sxhghq lpsohphqwdu gh pdqhud pxfkr päv h0
flhqwh gh or txh srguðd sduhfhu d sulphud ylvwd/ judfldv d xq ýqlfr exfoh frq
fäofxorv uhfxuvlyrv1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 165
4419 Ho prghor **r*4*M
Jhqhudol}d ho dqwhulru d xq qýphur hqwhur/ r/ fxdotxlhud gh vhuylgruhv1 Do ljxdo
txh hq dtxho/ od sreodflöq srwhqfldo hv qlwd/ frq M hohphqwrv |/ sru wdqwr/ od
glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv do vlvwhpd
ghshqghuä gh fxäqwrv folhqwhv hvwìq hq ho vlvwhpd/ vxsrqlhqgr/ gh qxhyr/ txh
fdgd folhqwh txh dfded gh vdolu gho vlvwhpd/ yxhoyh d hqwudu hq ìo do fder gh xq
wlhpsr dohdwrulr frq glvwulexflöq i T Eb1 Ljxdo txh hq ho prghor dqwhulru od
glvflsolqd hv ILIR | od fdsdflgdg gh od frod lolplwdgd1 Hq hvwh prghor vxsrq0
guhprv r M1 Hvwd uhvwulfflöq/ dghpäv gh vhu edvwdqwh uhdolvwd/ qr vxsrqh
qlqjxqd sìuglgd gh jhqhudolgdg sxhv xq prghor frq r : M sxhgh uhvroyhuvh
kdflhqgr ho qýphur gh vhuylgruhv ljxdo d M1 Gh hvwd irupd/ fdqwlgdghv frpr u/
u^ / ` / `^ / r odv R? / fdofxodgdv d sduwlu gho prghor prglfdgr/ vhuðdq odv plv0
pdv txh sdud ho prghor ruljlqdo1 Wdq vöor dojxqdv fxhvwlrqhv frpr ho qýphur
phglr gh vhuylgruhv rfxsdgrv qhfhvlwduðdq dojýq uhdmxvwh srvwhulru sdud whqhu
hq fxhqwd ho yhugdghur ydoru gh r : M1
Orv ud}rqdplhqwrv uhdol}dgrv sdud ho prghor ***4*M/ vreuh odv wdvdv
gh oohjdgd vrq shuihfwdphqwh yäolgrv dkrud/ rewhqlhqgr/ frpr frqvhfxhqfld/
EM ? b vl ? ' fc c c M
b? '
f
vl ? ' Mc M n c Sru vx sduwh/ odv wdvdv gh vhuylflr vrq ljxdo txh sdud orv prghorv **r ö
**r*g/
?> vl ? ' c 2c c r
>? '
r> vl ? ' rc r n c Xqd h{suhvlöq h{soðflwd sdud odv frqvwdqwhv S? hv
;
Mb?
A
A
vl ? ' c 2c c r
A
A
? EM ?- ?->?
r
b
MS? '
4?3r vl ? ' rc r n c c M
A
r
A
EM
?r->
A
A
= f
vl ? ' M n c M n 2c Frqvhfxhqwhphqwh ho prghor hv hvwdflrqdulr vlhpsuh1 Gh qxhyr/ uhvxowd pxfkr
päv hflhqwh xq fäofxor uhfxuvlyr gh odv S? sdud rewhqhu Rf =

Rf ' SM
?'f S?
/ frq
b
S?3 / vl ? ' c 2c c rc
?>
' EM ? n  4 S?3 / sdud ? ' r n c r n 2c c M1
Sf ' / S? ' EM ? n  S?
Frpr vlhpsuh odv ghpäv suredelolgdghv vh rewlhqhq frpr R? ' S? Rf / sdud
? ' c 2c c M/ | R? ' f vl ? : M1
166
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Frpr fdeh hvshudu +sxhv |d rfxuuðd hq ho prghor dqwhulru frq r ' ,/ qr
srghprv rewhqhu xqd iöupxod h{soðflwd sdud u ö u^ 1 Dvð/ vh fdofxod gluhfwd0
phqwh
u'
M
[
? R? /
?'
ghprvwudqgr/ ljxdo txh hq ho prghor dqwhulru/ txh b ' bEM u1 Odv iöupxodv
gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh wlhpsrv phglrv shuplwhq dkrud rewhqhu ` / `^ |
u^ 1 Wdpelìq dkrud od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv 4 ' 4 EM u1
Od h{suhvlöq sdud ` E|/ hq hvwh prghor/ hv px| frpsolfdgd1 Vhjxlgd0
phqwh vh lqfox|h od gh `^ E|/ txh yxhoyh d ghshqghu gh ^? ' E ' ?mA 'f '
EM3?uR?
+? ' fc c c M ,/
M3u
`^ E| '  e3r>|
M3
[
?'r
^?
?3r
[
Er>|o
o'f
o-
/ vl | f +| `^ E| ' f vl | f,1
Frpr hq rfdvlrqhv dqwhulruhv/ ho dsduhqwh greoh exfoh txh frqoohyd od lpsoh0
phqwdflöq gh `^ E| hv hylwdeoh | sxhgh surjudpduvh sru phglr gh xq ýqlfr
exfoh frq fäofxorv uhfxuvlyrv1
Hmhpsor 83 Vh glvsrqh gh xq vlvwhpd lqirupäwlfr frq 8 hvwdflrqhv txh fdgd
flhuwr wlhpsr ghehq uhdol}du xq edfn0xs/ lpslghqgr gxudqwh hvh wlhpsr vx xwl0
ol}dflöq sru sduwh gh orv xvxdulrv gho vlvwhpd1 Ghelgr d odv fdudfwhuðvwlfdv gho
vlvwhpd orv edfn0xs qr vh surgxfhq d xqd krud md vlqr fdgd yh} txh vh dofdq0
}d flhuwr oðplwh gh fdsdflgdg1 Vh kd frpsuredgr txh ho wlhpsr txh wudqvfxuuh
ghvgh txh xqd gh hvwdv hvwdflrqhv whuplqd xq edfn0xs kdvwd txh or yxhoyh d
uhdol}du hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld gh 5 krudv1 Sru
vx sduwh/ od gxudflöq gho surfhvr gh edfn0xs wdpelìq hv dohdwruld | frq glv0
wulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 8 plqxwrv1 Dghpäv h{lvwhq grv xqlgdghv gh
flqwd frqwud odv txh sxhgh uhdol}duvh ho surfhvr gh edfn0xs/ shupdqhflhqgr od
hvwdflöq hq hvshud vl dpedv hvwxylhvhq vlhqgr xwlol}dgdv sru rwudv hvwdflrqhv1
Vh slgh=
41 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh xqd hvwdflöq whqjd txh hvshudu sdud lql0
fldu vx edfn0xs1
51 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv glvsrqleohv sdud orv xvxdulrvB
61 Hqfrqwudu ho wlhpsr phglr txh fdgd hvwdflöq hvwä ixhud gh vhuylflr frq
prwlyr gh xq edfn0xs1
71 ÁGxudqwh txì srufhqwdmh gh wlhpsr hv xwlol}dgd fdgd xqlgdg gh flqwdB
Vroxflöq= Vh wudwd gh xq prghor **r*4*M/ frq r ' 2 +xqlgdghv gh
D
/ h{suhvdqgr ho wlhpsr hq krudv1
flqwd,/ M ' D +hvwdflrqhv,/ b ' 2 | > ' Sf
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 167
Gh hvwr vh rewlhqh txh b '
frqvwdqwhv S? | ho ydoru Rf =

2
| > ' 21 Hq sulphu oxjdu vh fdofxoduäq odv
D 2
D
' /
2
2e
e 2
D
D
'
'
/
S
2 2 2e 2 2HH
2
D
D
'
'
/
S2
2 2 2HH eH
eSfH
2 2
D
D
'
'
/
S
2 2 eSfH 2e fDb2

D
D
'
| dvð
Se 2 '
2 2 fDb2 eH DfHeS

Sf n S n S2 n S n Se n SD

D
D
D
D
D
 n 2e
n 2HH
n eSfH
n fDb2
n DfHeS

DfHeS
' fHD
SD2Df '
SD2Df
DfHeS
Sf ' / S ' Sf
S2 '
S '
Se '
SD '
Rf '
'
'
Uhvroydprv dsduwdgr sru dsduwdgr=
41 Vh wudwd gh ^2 n ^ n ^e 1 Frpr ^? '
fdofxodu
EM3?uR?
1
M3u
Sulphudphqwh ghehprv
M u ' DRf n eR n R2 n 2R n Re ' Rf EDSf n eS n S2 n 2S n Se D
D
D
D
DfHeS
n
n2
n
'
Dne
SD2Df
2e
2HH
eSfH fDb2
DfHeS SD2D 2Defff
'
' e .bb/
'
SD2Df fDb2
SD2Df
frq or fxdo
^2 '
^ '
^e '
ED 2 D
2HH
ED D
eSfH
D
fDb2
ED DfHeS
SD2Df
2Defff
SD2Df
DfHeS
SD2Df
2Defff
SD2Df
e DfHeS
SD2Df
2Defff
SD2Df
Gh irupd txh ^2 n ^ n ^e '
D2
' f ffHHeS/
f22D
'
'
eH
' SHDb2H2 f3e /
f22D
'
D2neHn
f22D

' . S.bf. f3S 1
f22D
'
2f
f22D
' fffb222 1
51 Vh slgh M u/ txh |d ixh fdofxodgr suhyldphqwh=
M u ' e .bb hvwdflrqhv1
168
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
61 Hq sulphu oxjdu/ revìuyhvh txh
b ' b EM u '
 2Defff DS2.fff
'
' 2 bbD1
2 SD2Df
SD2Df
D sduwlu gh hvwh ydoru vh rewlhqh
D 2Defff
u
D e .bb
SD2Df
' f fH. krudv
'
' DS2.fff
2 bbD
b
SD2Df
* D plqxwrv |  vhjxqgrv1
` '
71 Od suredelolgdg gh txh xqd xqlgdg gh flqwd hvwì ghvrfxsdgd hv
S 
R n f ER2 n R n Re n RD ' Rf  n
2
2
D DfHeS
DHS.S
' f bfffb | dvð
'
 n 2e '
SD2Df
2
SD2Df
' ffbbbH1
Rghvrfxsdgd '  Rf n
Rrfxsdgd
Dvð/ vh wlhqh txh ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq ho txh fdgd xqlgdg hvwä
rfxsdgd hv oljhudphqwh lqihulru do fI +frqfuhwdphqwh ho bbbHI,1
441: Ho prghor **r*4*M frq uhsxhvwrv
Hv xqd prglfdflöq gho prghor dqwhulru txh uhvsrqgh d od lghd gh rfxsdu ho
hvsdflr ydfðr txh ghmd xq folhqwh hq od sreodflöq srwhqfldo/ do hqwudu hq ho
vlvwhpd/ frq xq qxhyr folhqwh xq wdqwr hvshfldo +oodpdgr uhsxhvwr,/ txh hq xq
sulqflslr qr vh hqfrqwuded hq hood1 Hvwr vh kduä hq wdqwr h{lvwdq uhsxhvwrv
glvsrqleohv1
Ho prghor **r*4*M frq t uhsxhvwrv vxhoh xwlol}duvh hq vlwxdflrqhv
grqgh orv folhqwhv hvwäq uhdol}dqgr flhuwr wlsr gh frphwlgr fxdqgr vh kdoodq hq
od sreodflöq srwhqfldo | hqwudq hq ho vlvwhpd fxdqgr vh dyhuðdq +uhsuhvhqwdqgr/
sru wdqwr/ ho vlvwhpd ho phfdqlvpr gh uhsdudflöq,1 Hmhpsorv uhdohv gh hvwd
vlwxdflöq sxhghq vhu
M pätxlqdv gh xqd idfwruðd txh hvwäq ixqflrqdqgr hq xqd fdghqd gh
prqwdmh +hq od fxdo qr srghprv lqvwdodu päv gh M pätxlqdv, sdud odv
fxdohv whqhprv t pätxlqdv gh uhsxhvwr sru vl vh dyhuðd dojxqd gh hoodv1
ho surslhwdulr gh M olfhqfldv gh pätxlqdv wudjdshuudv/ txh glvsrqh gh
xq vwrfn gh rwudv t pätxlqdv päv/ sdud qr ghmdu gh rewhqhu uhfdxgdflöq
fxdqgr xqd gh odv M pätxlqdv vh dyhuðd | kd gh sdvdu flhuwr wlhpsr
vlhqgr uhsdudgd1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 169
Gh irupd vlplodu d or txh rfxuuðd hq ho prghor dqwhulru/ vxsrqguhprv r t n M/ dxqtxh ho fdvr r : t n M srguðd fxeuluvh/ hq fdvl wrgr/ frq dtxìo hq
ho txh vh gd od ljxdogdg1
Plhqwudv h{lvwdq uhsxhvwrv vxflhqwhv/ odv wdvdv gh oohjdgdv gh folhqwhv gh od
sreodflöq srwhqfldo vhuäq frqvwdqwhphqwh ljxdohv d M b/ sxhv kdeuä vlhpsuh
M folhqwhv ixhud gho vlvwhpd1 D sduwlu gho fdvr ' t n / odv wdvdv ghfuhfhuäq
frpr |d or kdfðdq hq ho prghor vlq uhsxhvwrv1 Frpr frqvhfxhqfld gh wrgr hoor/
odv wdvdv gh oohjdgd vrq
;
vl ? ' fc c c t
? Mb
EM n t ? b vl ? ' tc t n c c t n M
b? '
=
f
vl ? ' t n Mc t n M n c Odv wdvdv gh vhuylflr vrq h{dfwdphqwh ljxdohv txh hq ho prghor vlq uhsxhvwrv=
>? '
?> vl ? ' c 2c c r
r> vl ? ' rc r n c Hv lqphgldwr suredu txh ho prghor hv hvwdflrqdulr vlhpsuh +|d txh kd|
vöor xq qýphur qlwr gh frqvwdqwhv S? qr qxodv,1 Dghpäv/ sxhghq rewhqhuvh
h{suhvlrqhv h{soðflwdv gh odv S? glvwlqjxlhqgr grv fdvrv= vl r t /
; ? ?
M b
A
A
A
A
?->? ?
A
A
?
A
? M b
S? '
r-r?3r >?
A
A
M t M-b?
A
A
A
?3r ?
A
A
= EM n t ?-r-r >
f
vl ? ' c 2c c r
vl ? ' rc r n c c t
vl ? ' tc t n c c t n M
vl ? ' t n M n c t n M n 2c | vl t r t n M/
; ? ?
M b
A
A
A
A
A
?->?
A
A
A
M t M-b?
?
S? '
EM n t ?-?->?
A
A
M t M-b?
A
A
A
A
A
EM n t ?-r-r?3r >?
A
=
f
vl ? ' c 2c c t
vl ? ' tc t n c c r
vl ? ' rc r n c c t n M
vl ? ' t n M n c t n M n 2c Frpr hq prghorv dqwhulruhv/ hv pxfkr päv hflhqwh fdofxodu uhfxuvlydphqwh
170
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
hvwdv frqvwdqwhv1 Sdud hoor vh kdfh Sf ' 1 Dghpäv/
Mb
S?3 / sdud ? ' c 2c c r/
?>
M 4 S?3 / sdud ? ' r n c r n 2c c t /
EM n t ? n  4 S?3 / vl ? ' t n c t n 2c c t n M1
Mb
r t n M/ kdfhu S? '
S?3 / sdud ? ' c 2c c t /
?>
EM n t ? n  b
S?3 / sdud ? ' t n c t n 2c c r/
?>
EM n t ? n  4 S?3 / vl ? ' r n c r n 2c c t n M1
Vl r t / kdfhu S? '
S? '
S? '
Vl t
S? '
S? '
Frq hvwrv ydoruhv vh fdofxoduðd

Rf ' SMnt
?'f
S?
| ho uhvwr gh suredelolgdghv qr qxodv vh rewhqguðdq d sduwlu gh R? ' S? Rf /
sdud ? ' c 2c c S
t n M1 Ho ydoru gh u kdeuä gh fdofxoduvh gluhfwdphqwh gh
nM
? R? / plhqwudv txh
vx ghqlflöq/ u ' t?'
b '
t[
nM
b ? R? '
?'f
Mb R? n
t[
nM
?'f
' Mb #
3
t
[
3
t
[
R? n Mb ?'f
' b M
t[
nM
?'t
t[
nM
R? n
$
EM n t ? b R?
?'t
t[
nM
Et ? b R?
?'t
E? t R? 1
?'t
Judfldv d odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq hqwuh orv wlhpsrv phglrv gh
hvshud hq ho vlvwhpd | hq od frod/ vh rewlhqhq iäflophqwh
` / `^ | u^ 1 Dghpäv/
S nM
b
od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd hv 4 ' r>
' 4 M t?'t
E? t R? 1
Od h{suhvlöq sdud `^ E| ylhqh gdgd sru
`^ E| '  e3r>|
M3
[
?'r
vlhqgr
^? ' E ' ?mA 'f '
^?
?3r
[
Er>|o
o'f
o-
/ vl | f +| `^ E| ' f vl | f,/
;
M R?
A
A
A
t[
nM
A
A
A
A
E6 t R6
A
? M
vl ? ' fc c c t 
6't
EM n t ? R?
A
A
A
A
t[
nM
A
A
A
A
M
E6 t R6
=
6't
vl ? ' tc c t n M 
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 171
Do ljxdo txh hq prghorv suhfhghqwhv `^ E| sxhgh lpsohphqwduvh gh pdqhud
pxfkr päv hflhqwh txh frq ho exfoh dqlgdgr txh vxjlhuh vx h{suhvlöq1 Sru vx
sduwh od ixqflöq gh glvwulexflöq gho wlhpsr gh xq folhqwh hq ho vlvwhpd/ ` E|/
hv gh h{suhvlöq pxfkr päv frpsolfdgd | od reylduhprv1
441; Ho prghor **4
Frpr vx qrpeuh lqglfd/ vh wudwd gh xq prghor frq lqqlwrv vhuylgruhv/ glv0
wulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv i T Eb/ glvwulexflöq gho wlhpsr gho vhuylflr
i T E>/ vlq olplwdflöq sdud od frod/ sreodflöq srwhqfldo lqqlwd | glvflsolqd
ILIR1 Hq uhdolgdg/ ho khfkr gh txh kd|d lqqlwrv vhuylgruhv lpsolfd txh wdqwr
od fdsdflgdg gh od frod frpr od glvflsolqd vrq sduäphwurv luuhohydqwhv1 Xqd gh
odv vlwxdflrqhv suäfwlfdv hq od txh sxhgh whqhu vhqwlgr ho frqvlghudu xq qýphur
lqqlwr gh vhuylgruhv hv dtxhood hq od txh fdgd folhqwh vh gd vhuylflr d vð plv0
pr1 Sru hvh prwlyr hvwh prghor vh ghqrplqd/ hq rfdvlrqhv/ prghor gh vhuylflr
dpsolr r gh dxwrvhuylflr1
Vlq uhdol}du fäofxor dojxqr/ hv lqwxlwlyr txh/ sdud hvwh prghor/ ^ | Z^
vhuäq yduldeohv dohdwruldv txh wrpdq ho ydoru fhur frq suredelolgdg 4/ sxhv
qxqfd kdeuä folhqwhv txh hvshuhq hq od frod +wrgrv sdvdq gluhfwdphqwh d vhu
vhuylgrv, |/ frpr frqvhfxhqfld/ u^ ' f | `^ ' f1 Sru ho prwlyr dqwhv flwdgr/
g
vh wlhqh wdpelìq txh Z ' i T E> |/ hq sduwlfxodu/ ` ' > 1 Sru ýowlpr/ od
sulphud iöupxod gh Olwwoh qrv oohyd d txh u ' >b 1
Gh pdqhud xq srfr päv suhflvd/ odv wdvdv gh oohjdgd vrq
b? ' b/ sdud wrgr ? ' fc c plhqwudv txh odv wdvdv gh vhuylflr ylhqhq gdgdv sru
>? ' ?>/ sdud ? ' c 2c Frpr frqvhfxhqfld vh wlhqh/
S? '
b?
/ vl ? ' c 2c ?->?
Gdgr txh od vhulh
"
[
?'
S? '
"
[
?
?'
b
>
?-
hv vlhpsuh frqyhujhqwh/ hqwrqfhv ho prghor vlhpsuh dofdq}d xq hvwdgr hvwd0
flrqdulr1 Dghpäv/
Rf '
n

S"
b


'S
' b ' e3 > /
b ?
E
"
>
?' S?
e>
?'f
?-
172
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
plhqwudv txh fxdotxlhu rwud suredelolgdg ylhqh gdgd sru
?
b
e3 > >b
/ ? ' c 2c R? ' S? Rf '
?D od ylvwd gh hvwr vh ghgxfh txh od yduldeoh dohdwruld wlhqh glvwulexflöq
gh Srlvvrq gh sduäphwur >b 1 Hq sduwlfxodu vx phgld hv u ' >b / wdo | frpr |d
kdeðdprv dqwlflsdgr1 Sru ýowlpr/ od lqwhqvlgdg gh wuäfr hv/ hq vhqwlgr hvwulfwr/
fhur/ sxhv od fdsdflgdg gh vhuylflr hv lqqlwdphqwh pd|ru txh od oohjdgd gh
folhqwhv do vlvwhpd1
441< Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Ho vlvwhpd gh od frod gh xq vxuwlgru gh jdvrolqd vh dghfýd d xq prghor
** hvwdflrqdulr1 Vh vdeh txh hv grv yhfhv päv suredeoh txh vh kdooh
wdq vöor xqd shuvrqd hvshudqgr sdud kdfhu xvr gho vxuwlgru txh txh hvwìq
grv hvshudqgr1 Ho qýphur phglr gh folhqwhv txh dfxghq sru krud hv gh
731 Vh slgh=
+d, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh ho vxuwlgru gh jdvrolqd hvwì ydfðrB
+e, ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh qhfhvlwd sdud oohqdu ho gh0
sövlwr gh vx yhkðfxor ghvgh txh oohjd d od jdvrolqhudB
51 Xqd vxfxuvdo edqfduld glvsrqh gh 6 fdmhurv dxwrpäwlfrv1 Gh yh} hq fxdq0
gr ho sdsho gh dojýq fdmhur vh dwdvfd | ho dsdudwr ghmd gh ixqflrqdu kdvwd
txh xqr gh orv hpsohdgrv +hvshfldophqwh dglhvwudgr sdud oohydu d fder
hvwd wduhd, frqvljxh duuhjodu od dyhuðd1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh xwl0
ol}d glfkr hpsohdgr vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43
plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr txh xq fdmhur hvwä ixq0
flrqdqgr kdvwd txh vh dwdvfd ho sdsho hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq
phgld gh 5 krudv1 Fdofxodu=
+d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq orv wuhv fdmhurv1
+e, Ho qýphur phglr gh fdmhurv dyhuldgrv1
+f, Ho wlhpsr phglr txh xq fdmhur hvwä dyhuldgr1
+g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq orv wuhv fdmhurv/ Áfxäo hv ho wlhpsr
phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB
61 D q gh hylwdu ho hqyðr pdvlyr gh surfhvrv d xqd frod gh hmhfxflöq/ xq
fhqwur gh fäofxor hvwdeohfh ho oðplwh pä{lpr gh wuhv surfhvrv hq hvshud
gh frphq}du d vhu hmhfxwdgrv +d sduwh gho surfhvr txh vh hqfxhqwuh hq hvh
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 173
prphqwr dfwlyr, edmr xqd glvflsolqd ILIR1 Orv surfhvrv vh hqyðdq vhjýq
xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh FSX gh xq
surfhvr vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 4 plqxwr1 Vh slgh=
+d, Od suredelolgdg gh txh xq surfhvr hqyldgr d frod vhd uhfkd}dgr sru
hvwdu ìvwd oohqd1
+e, Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq hvshud gh frphq}du d hmhfxwduvh1
+f, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh hqwuh od hqwudgd hq frod gh xq sur0
fhvr | ho q gh vx hmhfxflöq1
+g, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq ho txh od FSX hvwä lqdfwlyd1
71 D xqd fhqwudolwd whohiöqlfd oohjdq oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/
d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr txh hpsohd od ýqlfd whohirqlvwd hq
gluhfflrqdu fdgd oodpdgd vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld
gh 43 vhjxqgrv1 Vxsrqlhqgr txh odv oodpdgdv uhflelgdv plhqwudv od rsh0
udgrud hvwä rfxsdgd vh pdqwlhqhq hq hvshud sdud vhu dwhqglgdv vhjýq vx
rughq gh oohjdgd/ fdofxodu=
+d, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud +vlq whqhu hq fxhqwd odv txh
vh hvwäq dwhqglhqgr,1
+e, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd whqjd txh hvshudu päv gh xq
plqxwr kdvwd txh vhd gluhfflrqdgd1
+f, Dvxplhqgr dkrud txh qr hv srvleoh pdqwhqhu oodpdgdv hq hvshud
fxdqgr od whohirqlvwd hvwä rfxsdgd/ fdofxodu od suredelolgdg gh txh
xqd oodpdgd uhdol}dgd rewhqjd od vhôdo gh frpxqlfdqgr1
81 Rewhqhu xqd iöupxod/ or päv vlpsoh srvleoh/ sdud ho fäofxor gh od sured0
elolgdg gh txh kd|d päv r ljxdo txh & folhqwhv hq xq prghor **1
91 Xqd hvwdflöq gh wudedmr frq grv surfhvdgruhv/ fdgd xqr gh orv fxdohv hv
fdsd} gh dwhqghu 93 surfhvrv sru krud/ gd vhuylflr gh irupd txh xq plvpr
surfhvr vöor hv dwhqglgr sru xq ýqlfr vhuylgru | vhjýq xq uljxurvr rughq
gh oohjdgd1 Ho wlhpsr gh vhuylflr gh xq surfhvr vljxh xq glvwulexflöq
h{srqhqfldo | dghpäv/ orv surfhvrv oohjdq vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/
d ud}öq gh 433 fdgd krud1 Vh slgh=
+d, Od suredelolgdg gh txh hvwìq päv gh wuhv surfhvrv hq od hvwdflöq1
+e, Od suredelolgdg gh txh kd|d dojýq surfhvdgru oleuh1
+f, Ho qýphur phglr gh surfhvdgruhv rfxsdgrv1
:1 Xq oderudwrulr gh lqirupäwlfd frqvwd gh 8 hvwdflrqhv gh wudedmr1 Fdgd
hvwdflöq vh dyhuðd/ sru wìuplqr phglr/ xqd yh} fdgd 63 gðdv/ vlhqgr ho
wlhpsr kdvwd od suö{lpd dyhuðd/ gh glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Ho oder0
udwrulr glvsrqh gh grv shuvrqdv txh/ hq fdvr gh vhu qhfhvdulr/ sxhghq
174
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
duuhjodu hvwdv dyhuðdv1 Ho wlhpsr gh uhsdudflöq +sdud fdgd xqr gh orv
wìfqlfrv, hv h{srqhqfldo/ frq phgld gh 6 gðdv1 Fdofxodu=
+d, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv ixqflrqdqgr1
+e, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd xqr gh orv wìfqlfrv sxhgh ghglfdu
d rwudv wduhdv dmhqdv d od uhsdudflöq gh odv hvwdflrqhv1
;1 D xqd FSX oohjdq surfhvrv/ d ud}öq gh 8 sru plqxwr/ txh vrq dwhqglgrv
vreuh od edvh gh txh ho sulphur txh oohjd hv ho sulphur hq vhu hmhfxwdgr
hq vx wrwdolgdg1 Ho wlhpsr hqwuh od oohjdgd gh grv surfhvrv frqvhfxwlyrv
hv gh glvwulexflöq h{srqhqfldo | ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv
wdpelìq hv h{srqhqfldo/ whqlhqgr frpr phgld 8 vhjxqgrv1
+d, ÁHv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB ÁSru txìB
+e, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh oohjd xq
surfhvr d od FSX kdvwd txh whuplqd gh hmhfxwduvhB ÁTxì uhodflöq
jxdugd frq ho wlhpsr phglr gh hmhfxflöqB
+f, Fdofxodu od suredelolgdg gh txh xq surfhvr txh oohjd sxhgd vhu hmh0
fxwdgr vlq hvshud suhyld | ho qýphur phglr gh surfhvrv hq hvshud
gh hmhfxflöq r hq hmhfxflöq sursldphqwh glfkd1
<1 D xqd pätxlqd shuirudgrud gh xqd fdghqd gh surgxfflöq oohjdq phfdqlv0
prv gh lqwhuuxswruhv glihuhqfldohv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ frq phgld
gh 43 sru plqxwr1 Ho wlhpsr/ hq plqxwrv/ qhfhvdulr sdud oohydu d fder od
shuirudflöq gho phfdqlvpr hv gh glvwulexflöq h{srqhqfldo frq sduäphwur
451 Fxdqgr xq qxhyr phfdqlvpr oohjd d od pätxlqd shuirudgrud | ìv0
wd hvwä rfxsdgd/ djxdugd/ vhjýq ho wxuqr txh oh fruuhvsrqgd/ kdvwd txh
sxhgd vhu shuirudgr1 D wdo hihfwr/ vh vxsrqh txh od }rqd gh hvshud hq od
txh vh ydq dopdfhqdqgr orv phfdqlvprv dqwhv gh vhu shuirudgrv hv or vx0
flhqwhphqwh dpsold sdud txh qr h{lvwdq djorphudflrqhv txh vreuhsdvhq
hvwdv glphqvlrqhv1
+d, ÁFxäo hv ho srufhqwdmh gh wlhpsr gxudqwh ho fxdo od shuirudgrud hvwä
oleuhB
+e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh phfdqlvprv hq wrgd od }rqd gh shu0
irudflöq +shuirudgrud | }rqd gh hvshud,B
+f, Fdofxodu ho wlhpsr phglr txh xq phfdqlvpr sdvd hq wrgr ho surfhvr
gh shuirudflöq +ghvgh txh oohjd d hvd }rqd kdvwd txh vdoh shuirudgr,
| od suredelolgdg gh txh sdud xq phfdqlvpr vh hpsohh päv gh xq
plqxwr hq wrgr hvh surfhvr1
+g, Vl dkrud vh vxsrqh txh od }rqd gh hvshud wlhqh vöor fdsdflgdg sdud
6 phfdqlvprv | txh fxdqgr xq phfdqlvpr txh oohjd | vh hqfxhqwud
glfkd }rqd frpsohwd/ vh ghvyðd d rwud udpd gh od fdghqd gh surgxf0
flöq/ fdofxodu od suredelolgdg gh txh vh surgx}fd glfkr ghvyðr1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 175
+h, Edmr ho vxsxhvwr gho dsduwdgr dqwhulru/ Áfxäo hv dkrud ho wlhpsr
phglr ghvgh od oohjdgd gh xq phfdqlvpr kdvwd vx shuirudflöqB
431 Xq fhqwur gh fäofxor glvsrqh gh 7 hvwdflrqhv gh wudedmr1 Gh yh} hq fxdqgr
dojxqd gh odv hvwdflrqhv txhgd ixhud gh vhuylflr | xqr gh orv grv dqdoðvwdv
gho flwdgr fhqwur kd gh vxevdqdu ho sureohpd srqlhqgr gh qxhyr hq ixq0
flrqdplhqwr glfkd hvwdflöq1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh wdugd fxdotxlhud
gh orv dqdolvwdv hq ohydqwdu ho vlvwhpd gho vhuylgru vljxh xqd glvwulex0
flöq h{srqhqfldo frq phgld gh 43 plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq
gho wlhpsr txh xq vhuylgru hvwä ixqflrqdqgr/ kdvwd txh txhgd ixhud gh
vhuylflr/ hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq phgld gh 5 krudv1 Fdofxodu=
+d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq odv fxdwur hvwdflrqhv1
+e, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv dyhuldgdv1
+f, Ho wlhpsr phglr txh xqd hvwdflöq hvwä dyhuldgd1
+g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq odv fxdwur hvwdflrqhv/ Áfxäo hv ho
wlhpsr phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB
+h, Fdofxodu ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd dqdolvwd ghglfd d vxevdqdu
dyhuðdv1
441 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr gh xqd eleolrwhfd glvsrqh gh 6 ohfwruhv gh FG
txh ixqflrqdq lqlqwhuuxpslgdphqwh1 Qr revwdqwh/ gh yh} hq fxdqgr vh
surgxfh dojýq huuru gh ohfwxud hq dojxqr gh hoorv | ghmd gh ixqflrqdu kdv0
wd txh xqr gh orv hqfdujdgrv gh od eleolrwhfd +txh hv txlhq vlhpsuh oohyd
d fder hvwd wduhd, frqvljxh duuhjodu od dyhuðd1 Vh vdeh txh ho wlhpsr txh
hvwd shuvrqd xwlol}d hq glfkd uhsdudflöq vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhq0
fldo frq phgld gh 8 plqxwrv/ plhqwudv txh od glvwulexflöq gho wlhpsr txh
xq ohfwru hvwä ixqflrqdqgr kdvwd txh vh surgxfh dojýq huuru gh ohfwxud
hv wdpelìq h{srqhqfldo shur frq phgld gh 4 krud1 Fdofxodu=
+d, Od suredelolgdg gh txh ixqflrqhq orv wuhv ohfwruhv1
+e, Ho qýphur phglr gh ohfwruhv dyhuldgrv1
+f, Ho wlhpsr phglr txh xq ohfwru hvwä dyhuldgr1
+g, Vl hq xq prphqwr gdgr ixqflrqdq grv ohfwruhv/ Áfxäo hv ho wlhpsr
phglr kdvwd od suö{lpd dyhuðdB
451 Flqfr hvwdflrqhv gh wudedmr PRRQ vh hqfxhqwudq ixqflrqdqgr hq xq
fhqwur gh fäofxor1 Sru sureohpdv frq ho vlvwhpd rshudwlyr Oxqdulv 615/
odv pätxlqdv sxhghq txhgdu ixhud gh vhuylflr whpsrudophqwh kdvwd txh
ho wìfqlfr hqfdujdgr yxhoyh d kdfhuodv ixqflrqdu1 Ho wlhpsr txh wdugd
xqd hvwdflöq gh wudedmr hq dyhulduvh vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo
frq phgld gh 43 gðdv1 Ho wlhpsr gh uhsdudflöq hv wdpelìq h{srqhqfldo |
frq phgld gh flqfr krudv1 Odv pätxlqdv dyhuldgdv vrq dwhqglgdv vhjýq
xqd glvflsolqd ILIR1 Fdofxodu=
176
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
+d, Od suredelolgdg gh txh dojxqd hvwdflöq hvwì dyhuldgd1
+e, Ho qýphur phglr gh hvwdflrqhv ixqflrqdqgr1
+f, Fxdqgr xqd pätxlqd vh dyhuðd/ Áfxäqwdv krudv sdvdq/ sru wìuplqr
phglr/ kdvwd txh yxhoyh d ixqflrqduB
+g, Vl wrgdv odv hvwdflrqhv hvwäq ixqflrqdqgr/ Áfxäo hv od suredelolgdg
gh txh hq ho wudqvfxuvr gh odv suö{lpdv 73 krudv vh dyhuðh dojxqdB
461 Xq frpsxwdgru gh surfhvdplhqwr hq sdudohor glvsrqh gh vhlv xqlgdghv gh
surfhvdplhqwr lgìqwlfdv1 Ho wlhpsr txh xqd gh hvwdv xqlgdghv shupdqhfh
hq ixqflrqdplhqwr kdvwd txh vh dyhuðd vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo
gh phgld 45 gðdv1 Odv xqlgdghv dyhuldgdv vrq uhsdudgdv +sru rughq gh
dyhuðd, sru xq wìfqlfr/ do fxdo oh oohyd xq wlhpsr h{srqhqfldo gh phgld
phglr gðd uhdol}du vx wduhd sdud fdgd xqlgdg1 Vh slgh=
+d, od suredelolgdg gh txh ho wìfqlfr hvwì ghvrfxsdgr1
+e, ho qýphur phglr gh xqlgdghv gh surfhvdplhqwr hq ixqflrqdplhqwr1
471 Sru ud}rqhv wìfqlfdv/ xqd fhqwudolwd frq grv rshudgrudv vöor shuplwh pdq0
whqhu wuhv oodpdgdv hq hvshud +gh wdo irupd txh fxdotxlhu oodpdgd sur0
gxflgd fxdqgr |d kd| grv vlhqgr dwhqglgdv sru odv rshudgrudv | rwudv wuhv
hq hvshud/ uhfleh ho wrqr gh oðqhd rfxsdgd,1 Odv oodpdgdv oohjdq vhjýq
xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 9 sru plqxwr/ vlhqgr 48 vhjxqgrv od
phgld gho wlhpsr txh wdugd fdgd rshudgrud hq gluhfflrqdu xqd oodpdgd
| glfkr wlhpsr gh glvwulexflöq h{srqhqfldo1 Fdofxodu=
+d, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr hq txh fdgd rshudgrud hvwä rfxsdgd1
+e, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud1
+f, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd rewhqjd od vhôdo gh oðqhd rfx0
sdgd1
+g, Fdofxodu odv wuhv fdqwlgdghv dqwhulruhv edmr ho vxsxhvwr gh txh vöor
kxelhvh xqd rshudgrud1
481 Xqd idfwruðd glvsrqh gh fxdwur htxlsrv gh jhqhudflöq gh fruulhqwh hoìfwul0
fd txh vxplqlvwudq judq sduwh gh od hqhujðd txh qhfhvlwd glfkd hpsuhvd1
Od glvwulexflöq gho wlhpsr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq jhqhudgru frplhq0
}d d ixqflrqdu kdvwd txh vh dyhuðd hv h{srqhqfldo/ frq phgld gh 73 gðdv1
Ho wlhpsr gh uhsdudflöq gh xq jhqhudgru hv xqd yduldeoh dohdwruld gh
glvwulexflöq h{srqhqfldo | phgld 43 gðdv1 Vdelhqgr txh h{lvwh xq ýqlfr
wìfqlfr fdsd} gh uhsdudu orv jhqhudgruhv/ vh slgh=
+d, Od suredelolgdg gh txh ho wìfqlfr hvwì rfxsdgr1
+e, Ho srufhqwdmh phglr gh wlhpsr hq ho txh wrgrv orv htxlsrv gh jhqh0
udflöq hvwäq dyhuldgrv1
Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 177
+f, Ho qýphur phglr gh dyhuðdv gh htxlsrv hq xq phv1
+g, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh od dyhuðd gh xq htxlsr kdvwd
vx uhsdudflöq1
+h, Ho qýphur phglr gh htxlsrv ixqflrqdqgr1
491 Gdu xqd iöupxod/ or päv vhqflood srvleoh/ sdud ho fäofxor gh od suredelol0
gdg gh txh flhuwr vhuylgru hvwì rfxsdgr hq xq prghor gh frodv **r1
Ghprvwudu od ydolgh} gh glfkd h{suhvlöq1
4:1 Xqd hvwdflöq gh wudedmr frq fxdwur surfhvdgruhv uhfleh surfhvrv txh vrq
hmhfxwdgrv hq xqr gh orv surfhvdgruhv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR1 Od
oohjdgd gh surfhvrv rehghfh xq surfhvr hvwrfävwlfr gh Srlvvrq frq lq0
whqvlgdg gh 8 surfhvrv sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh FSX gh xq surfhvr
+wlhpsr gxudqwh ho fxdo hvwä surfhväqgrvh/ ghvfrqwdqgr ho wlhpsr gh hv0
shud suhyld, hohjlgr do d}du vljxh xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld
gh 63 vhjxqgrv1 Vh suhjxqwd=
+d, ÁHv ho surfhvr hvwdflrqdulrB ÁSru txìB
+e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv wrwdohv hq od hvwdflöqB
+f, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh ghvgh txh vh hqyðd xq surfhvr kdvwd txh
vx hmhfxflöq whuplqd +wlhpsr phglr uhdo,B H{suhvduor frpr frflhqwh
hqwuh ho wlhpsr phglr gh FSX1
+g, Fdofxodu ho qýphur phglr gh surfhvdgruhv rfxsdgrv1
+h, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh/ do hqyldu xq surfhvr/ ìvwh frplhqfh
d vhu hmhfxwdgr vlq ghprudB
4;1 D xq fdmhur dxwrpäwlfr +frq xq ýqlfr whuplqdo, oohjdq xvxdulrv vhjýq xq
surfhvr gh Srlvvrq d ud}öq gh 48 sru plqxwr1 Ho wlhpsr gh xvr gho fdmhur/
sru sduwh gh fdgd lqglylgxr/ hv xqd fdqwlgdg dohdwruld frq glvwulexflöq
h{srqhqfldo | phgld gh 6 plqxwrv1 Vh slgh=
+d, ÁHv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB ÁSru txìB
+e, ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh xvxdulrv kdflhqgr frod ixhud gho fdmhurB
+f, ÁFxäqwr wlhpsr wudqvfxuuh/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh xq xvxdulr
vh dfhufd do fdmhur kdvwd txh whuplqd vx wudqvdfflöq hq ho plvprB
H{suhvduor hq uhodflöq frq ho wlhpsr phglr gh xvr gho fdmhur sru
fdgd folhqwh1
+g, Fdofxodu od suredelolgdg gh txh ho fdmhur hvwì ghvrfxsdgr1
+h, ÁFxäqwr wlhpsr sdvduä/ sru wìuplqr phglr/ ghvgh txh xq folhqwh
oohjd do fdmhur kdvwd txh whuplqd gh xwlol}duor/ vdelhqgr txh hq ho
prphqwr gh vx oohjdgd kd| xqd shuvrqd kdflhqgr xvr gho fdmhur |
grv päv hvshudqgr ixhudB
178
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
4<1 Od ýqlfd oðqhd whohiöqlfd gh dwhqflöq do folhqwh gh xqd shtxhôd hqwlgdg
uhfleh oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/ d ud}öq gh 8 sru krud
+hq frqglflrqhv qrupdohv gh wudedmr,1 Od gxudflöq gh odv oodpdgdv hv
gh glvwulexflöq h{srqhqfldo frq xqd phgld gh 5 plqxwrv1 Fxdqgr vh
surgxfh xqd oodpdgd hq ho prphqwr hq txh ho rshudgru hvwä dwhqglhqgr
rwud/ hvwd qxhyd oodpdgd shupdqhfh hq hvshud sdud vhu dwhqglgd/ vdoyr
txh |d h{lvwd rwud oodpdgd hq hvshud/ hq fx|r fdvr rewlhqh ho wrqr gh
oðqhd rfxsdgd1 Fdofxodu=
+d, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd vhd dwhqglgd vlq ghprud1
+e, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd qhfhvlwh hvwdu hq hvshud1
+f, Od suredelolgdg gh txh xqd oodpdgd vh slhugd sru hvwdu od oðqhd
rfxsdgd1
+g, ÁFxäqwr ydoguðd od suredelolgdg shglgd hq ho dsduwdgr dqwhulru vl
vxsrqhprv txh hvwdprv hq xq shuðrgr sxqwd fruuhvsrqglhqwh d 8
oodpdgdv sru plqxwrB
531 Sdud ho vlvwhpd gh xqd frod frq oohjdgdv | vhuylflrv h{srqhqfldohv shur vlq
uhsxhvwrv +prghorv **r/ **r*g/ **r*4*M vlq uhsxhvwrv |
**4, hqfrqwudu xqd h{suhvlöq txh shuplwd kdoodu ho qýphur phglr
gh vhuylgruhv rfxsdgrv hq wìuplqrv gh u | u^ 1 Hq ho fdvr frqfuhwr gh
xq prghor **r*g/ h{suhvdu glfkd fdqwlgdg hq ixqflöq gho qýphur
gh vhuylgruhv | od lqwhqvlgdg gh wuäfr hihfwlyd1 Sru ýowlpr/ d sduwlu
gh od h{suhvlöq hqfrqwudgd/ mxvwlfdu txh od suredelolgdg gh eortxhr/
RM*L^iL / gh xq vlvwhpd **r sxhgh dfrwduvh lqihulruphqwh phgldqwh
RM*L^iL :  4 1
12
Redes de colas
Redes de colas 181
451 0
Vh hvwxglduäq dtxð orv prghorv eävlfrv gh uhghv gh frodv delhuwdv | fhuudgdv frq
glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr | glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv +vl
hv ho fdvr, h{srqhqfldo1 Dghpäv vh lpsrqguä od uhvwulfflöq gh txh orv folhqwhv
txh vdohq vhuylgrv gh xqd gh odv frodv txh frpsrqh od uhg vh pxhyhq/ lqvwdq0
wäqhdphqwh | frq flhuwdv suredelolgdghv suhmdgdv/ d fxdotxlhu rwud srvleoh frod
gh od uhg1 Hvwrv prghorv gdq oxjdu d odv oodpdgdv uhghv gh Mdfnvrq +delhuwdv |
fhuudgdv,1 Wdpelìq vh hvwxglduäq hq ho fdsðwxor rwurv prghorv sduwlfxoduhv gh
uhghv gh frodv frpr odv frodv hq vhulh +vlq | frq eortxhr, | odv uhghv flufxoduhv
gh frodv1
4514 Lqwurgxfflöq d odv uhghv gh frodv
Xqd uhg gh frodv qr hv päv txh xqd uhg hq od txh fdgd qrgr hvwä frqvwlwxlgr
sru ho vlvwhpd gh xqd frod1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xq judir rulhqwdgr hq ho
txh vh sxhghq surgxflu wudqvlflrqhv gh folhqwhv txh vdohq vhuylgrv gh xq qrgr
+txh hv xqd frod, kdfld rwur qrgr1 Od irupd päv kdelwxdo +dxqtxh qr od ýqlfd,
sdud prghol}du ho prgr hq txh orv folhqwhv vhuylgrv hq xq qrgr vh gluljhq d rwur
hv frqvlghudqgr txh or kdfhq gh dfxhugr d xqd glvwulexflöq gh suredelolgdg
glvfuhwd1
Do ljxdo txh hq orv prghorv gh xqd ýqlfd frod/ hq odv uhghv gh frodv wdpelìq
sxhghq surgxfluvh oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gho vlvwhpd +ghvgh ixhud
gh od uhg/ hq hvwh fdvr, | vdolgdv gh folhqwhv vhuylgrv kdfld ixhud gh od uhg1
D glihuhqfld gh dtxìo fdvr/ hq odv uhghv gh frodv vð wlhqh vhqwlgr ho sodqwhdu
vlwxdflrqhv hq odv txh qr kd| oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gh od uhg ql
vdolgdv kdfld ixhud gh od uhg1 Hvwr gd oxjdu d odv oodpdgdv uhghv fhuudgdv/ txh
wlhqhq od shfxoldulgdg gh txh ho qýphur wrwdo gh folhqwhv hq od uhg hv mr | or
ýqlfr txh ghvfrqrfhprv hv göqgh vh hqfxhqwudq +hq txì qrgrv frqfuhwrv, | hq
txì hvwdgr gh vhuylflr vh kdoodq1 Sru vx sduwh/ odv uhghv delhuwdv vrq dtxhoodv
hq txh vð vh surgxfhq oohjdgdv gh folhqwhv | vdolgdv kdfld ixhud gh od uhg1
Frpr vh frphqwded frq dqwhulrulgdg/ ghqrwdqgr sru c 2c c g/ orv qrgrv
txh irupdq od uhg +hv ghflu odv hwltxhwdv frq odv txh ghqrwdprv fdgd frod,
od pdqhud päv iuhfxhqwh gh prghol}du odv wudqvlflrqhv gh folhqwhv frqvlvwh hq
vxsrqhu txh fxdqgr xq folhqwh vdoh vhuylgr gh od frod gho qrgr +vlhqgr 5
ic 2c c gj, vh ghvsod}d lqvwdqwäqhdphqwh do vlvwhpd gh od frod gh fxdotxlhu
rwur qrgr 5 ic 2c c gj/ frq suredelolgdg R 1 Hylghqwhphqwh/ hq odv frodv
delhuwdv wdpelìq hv srvleoh txh ghvgh dojxqrv qrgrv vh sxhgd dedqgrqdu od
uhg1 Ghqrwdqgr frq ho ðqglfh f ho h{whulru gh od uhg/ od suredelolgdg gh txh xq
182
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
folhqwh dedqgrqh od uhg fxdqgr vdoh vhuylgr gho qrgr vh ghqrwduä sru Rf |
sxhgh fdofxoduvh d sduwlu gh odv dqwhulruhv phgldqwh
Rf '  g
[
R '
Hvwh wlsr gh hvtxhpd gh wudqvlflöq gh folhqwhv vh ghqrwduä sru hvtxhpd gh
wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv dohdwruldv gh folhqwhv1
Hq xqd vlwxdflöq frpr od dqwhulru/ odv suredelolgdghv gh wudqvlflöq gh
folhqwhv gh xqrv qrgrv d rwurv vh sxhghq h{suhvdu gh irupd pdwulfldo=
4
3
R R2 R Rg
E R2 R22 R2 R2g F
E 1
11
11
11 F
111
111
F
E 1
1
1
1 F
E 1
'E
F
E R R2 R Rg F
E 1
11 F
11
11
111
111
C 11
1 D
1
1
Rg Rg2 Rg Rgg
Hvwd hv od oodpdgd pdwul} gh wudqvlflöq gh od uhg1
Qrupdophqwh ghqrwduhprv sru b od wdvd gh hqwudgd ghvgh ixhud gho vlv0
whpd d od frod gho qrgr 5 ic 2c c gj1 Dvlplvpr > ghqrwduä od wdvd
gh vhuylflr gh fdgd xqr gh orv vhuylgruhv gho vxevlvwhpd gho qrgr 1 Gh hvwd
irupd/ edmr od klsöwhvlv gh txh orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv ghvgh ixhud gho vlv0
whpd vhdq gh glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur bA | ghqrwdqgr sru Rf
od suredelolgdg gh txh fxdqgr xq folhqwh hqwud do vlvwhpd or kdjd d wudyìv gho
qrgr / vh wlhqh txh od glvwulexflöq gho wlhpsr hqwuh grv hqwudgdv frqvhfxwlydv
gh folhqwhv do vxevlvwhpd gho qrgr hv wdpelìq h{srqhqfldo | frq sduäphwur
b ' bA Rf 1 Reyldphqwh orv ydoruhv b wdpelìq sxhghq lqwhusuhwduvh frpr
ho qýphur phglr gh folhqwhv txh hqwudq do vlvwhpd/ sru ho qrgr / sru xqlgdg
gh wlhpsr1 Ho qýphur hihfwlyr gh oohjdgdv gh folhqwhv do vxevlvwhpd gho qrgr +vhdq surfhghqwhv gh ixhud gho vlvwhpd r gh rwur qrgr gho plvpr, vh ghqrwduä
frq od ohwud odpegd pd|ývfxod \ 1 Sdud hylwdu od frqixvlöq hqwuh odv fdqwlgdghv
flwdgdv hq hvwh säuudir | od wdvdv gh oohjdgdv | vhuylflrv hq ixqflöq gho qýphur
gh folhqwhv txh kd| hq ho vlvwhpd +wudglflrqdophqwh ghqrwdgdv sru b? | >? ,/
E?
E?
sdvduhprv d ghqrwdu hvwdv ýowlpdv sru \ | > / txhulhqgr h{suhvdu ìvwdv odv
wdvdv gh oohjdgdv | vhuylflrv do vxevlvwhpd gho qrgr / fxdqgr kd| ? folhqwhv hq
glfkr vxevlvwhpd1
4515 Uhghv gh Mdfnvrq delhuwdv
Xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd qr hv päv txh xqd uhg gh frodv delhuwd +hv ghflu/
hq od txh kd| oohjdgdv gh folhqwhv ghvgh ixhud gh od uhg | vdolgdv gh folhqwhv d
ixhud gh od uhg, txh yhulfd odv wuhv surslhgdghv vljxlhqwhv=
Redes de colas 183
41 Fdgd qrgr ' c 2c c g wlhqh xq phfdqlvpr gh vhuylflr frqvlvwhqwh hq
r vhuylgruhv frq wlhpsr gh vhuylflr gh lgìqwlfd glvwulexflöq/ h{srqhqfldo
gh sduäphwur > 1
51 Orv folhqwhv txh oohjdq do qrgr ghvgh ixhud gho vlvwhpd or kdfhq vhjýq xq
surfhvr gh Srlvvrq gh lqwhqvlgdg b 1 Hvwr htxlydoh d ghflu txh orv wlhpsrv
hqwuh grv oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv ghvgh ixhud gho vlvwhpd do qrgr
/ vljxhq xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo gh glfkr sduäphwur1
61 Ho xmr gh folhqwhv vljxh ho hvtxhpd gh wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv dohdwr0
uldv1 Hv ghflu/ fdgd folhqwh txh vdoh vhuylgr gho phfdqlvpr gh vhuylflr
gho qrgr yd lqvwdqwäqhdphqwh d fxdotxlhu rwur qrgr frq suredel0
olgdg R / r elhq vlqö vdoh gho vlvwhpd +or fxdo rfxuuh frq suredelolgdg
S
Rf '  g
' R ,1
Od irupd gh srghu hqfrqwudu odv glvwlqwdv fdqwlgdghv gh lqwhuìv hq xqd
uhg gh Mdfnvrq delhuwd ylhqh gdgd sru ho Whruhpd gh Mdfnvrq txh sdvdprv d
hqxqfldu1
Whruhpd 84 +Whruhpd gh Mdfnvrq, Frqvlghuhprv xqd uhg gh Mdfnvrq delhu0
wd frq g qrgrv1 Hqwrqfhv/ odv wdvdv gh oohjdgd d fdgd qrgr gh od uhg
+\ , yhulfdq=
\ ' b n
g
[
\ R / sdud ' c 2c g1
'
Dghpäv/ ghqrwdqgr sru R E? c ?2 c c ?g od suredelolgdg gh txh kd|d h{dfwd0
phqwh ? folhqwhv hq ho qrgr / ?2 folhqwhv hq ho qrgr 2/ / ?g folhqwhv hq
ho qrgr g/ | vl \ r > / sdud ' c 2c c g/ hqwrqfhv vh wlhqh=
R E? c ?2 c c ?g ' R E? R2 E?2 Rg E?g /
vlhqgr R E? od suredelolgdg gh txh kd|d ? folhqwhv hq ho qrgr / fdofxodgd
frpr vl ho qrgr vh wudwdvh gh xq prghor **r dlvodgr/ frq wdvd gh oohjdgd
\ | wdvd gh vhuylflr > 1 Päv dýq/ ho vxevlvwhpd gh fdgd qrgr vh frpsruwd/ hq
jhqhudo/ frpr vl ixhvh xq vlvwhpd dlvodgr fruuhvsrqglhqwh d xq prghor **r
lqghshqglhqwh gh orv ghpäv1
Frpr frqvhfxhqfld gho Whruhpd gh Mdfnvrq uhvxowd iäflo rewhqhu odv sulq0
flsdohv fdqwlgdghv dfhufd gh fdgd vxevlvwhpd1 Sru dqdorjðd frq od qrwdflöq
dqwhulru/ ghqrwduhprv hvdv fdqwlgdghv sru u / u^c / ` | `^c fxdqgr vh uh0
hudq do vxevlvwhpd gho qrgr 1 Sdud kdfhu phqflöq d odv fruuhvsrqglhqwhv
fdqwlgdghv vreuh wrgr ho vlvwhpd +wrgd od uhg, xvduhprv od qrwdflöq uA / u^cA /
`A | `^cA 1
Orv sdvrv d vhjxlu sdud uhvroyhu fxdotxlhu uhg delhuwd gh Mdfnvrq vhuäq=
184
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
41 Xqd yh} hvwdeohflgdv od wdvd gh hqwudgd ghvgh ho h{whulru d fdgd vxe0
vlvwhpd +b ,/ od wdvd gh vhuylflr +> ,/ ho qýphur gh vhuylgruhv +r , | odv
suredelolgdghv gh wudqvlflöq +R ,/ sodqwhdu | uhvroyhu ho vlvwhpd gh hfxd0
flrqhv=
\ ' b n
g
[
\ R / sdud ' c 2c g/
'
r/ htxlydohqwhphqwh/ hq irupd pdwulfldo
$
$
$ $
$ \ ' b n | \ / r vlpsohphqwh/ U | \ ' b /
vlhqgr
3
E
$ E
\ 'E
C
\
\2
11
1
4
3
E
F
$ E
F |
b
'
E
F
C
D
\g
b
b2
11
1
4
F
F
F
D
bg
$
$
3 Od vroxflöq \ ' EU | b qrv sursruflrqd odv wdvdv wrwdohv gh
oohjdgd d fdgd vxevlvwhpd +yhqjdq gh ixhud r gh rwur qrgr,1
51 Xwlol}dqgr orv ydoruhv hqfrqwudgrv hq ho sdvr dqwhulru sxhghq kdooduvh
wrgrv orv ydoruhv uhohydqwhv gh fdgd vxevlvwhpd +u / u^c / ` | `^c ,/ vlq
päv txh frqvlghuduor frpr xq prghor **r / sru vhsdudgr/ frq wdvd
gh oohjdgd \ | wdvd gh vhuylflr > 61 Ghelgr d od qdwxudoh}d gho vlvwhpd +xqd uhg gh frodv, | d od klsöwhvlv gh
wudqvlflrqhv lqvwdqwäqhdv/ orv sduäphwurv gh qýphur phglr gh folhqwhv hq
wrgd od uhg | qýphur gh folhqwhv hq frod hq wrgd od uhg sxhghq fdfxoduvh
vxpdqgr vlpsohphqwh orv gh fdgd qrgr=
uA '
g
[
'
u / |
u^cA '
g
[
u^c 1
'
Sru vx sduwh/ orv wlhpsrv phglrv gh shupdqhqfld hq ho vlvwhpd gh wrgd
od uhg | gh shupdqhqfld hq od frod sdud wrgd od uhg qrq vrq gh fäofxor
wdq gluhfwr/ sxhv od wud|hfwruld gh xq folhqwh d or odujr gh od uhg gh frodv
hv dohdwruld1 Hvwdprv sxhv dqwh xqd vlwxdflöq hq od txh ho wlhpsr gh
xq folhqwh hq od uhg hvwä vxmhwr d grv wlsr gh dohdwrulhgdg1 Hq sulphu
oxjdu ghvfrqrfhprv txì qrgrv ylvlwduä +dojxqrv txl}ä uhshwlgdphqwh, ho
folhqwh/ sxhv vx hyroxflöq hq od uhg hv dohdwruld1 Hq vhjxqgr oxjdu/ dýq
frqrflhqgr fxäohv kdq vlgr orv qrgrv sru orv txh kd sdvdgr +| ho qýphur
gh yhfhv txh kd sdvdgr sru fdgd xqr, hv dohdwrulr ho wlhpsr txh yd d hvwdu
hq fdgd vxevlvwhpd +dxqtxh hq hvwh fdvr vð hv frqrflgd vx phgld= ` sdud
fdgd yh} txh sdvd sru ho qrgr ,1 Od irupd päv vhqflood gh uhvroyhu ho
Redes de colas 185
sureohpd hv xwlol}du odv iöupxodv gh Olwwoh
S jhqhudol}dgdv do vlvwhpd gh
wrgd od uhg1 Sdud hoor ghqlprv bA ' g
' b / txh hv ho qýphur phglr
gh folhqwhv txh hqwudq hq od uhg sru xqlgdg gh wlhpsr +sru fxdotxlhu
qrgr, | rewhqhprv
uA
/
bA
u^cA
1
'
bA
`A '
`^cA
Yhdprv xq hmhpsor1
Hmhpsor 85 Grv vhuylgruhv lqirupäwlfrv uhflehq surfhvrv gh xvxdulrv d ud}öq
gh 53 surfhvrv sru plqxwr ho sulphur | 63 surfhvrv sru plqxwr ho vhjxqgr1 Od
oohjdgd gh surfhvrv rehghfh xq surfhvr gh Srlvvrq1 Gdgd vx pd|ru udslgh}/
ho ýqlfr surfhvdgru gho vhuylgru 4 sxhgh dwhqghu xqd phgld gh 433 surfhvrv
sru plqxwr plhqwudv txh fxdotxlhud gh orv grv surfhvdgruhv gho 5 vöor hv fdsd}
gh dwhqghu kdvwd 58/ vlhqgr orv wlhpsrv gh surfhvdgr h{srqhqfldohv1 Vh vdeh
txh dperv vhuylgruhv dwlhqghq orv surfhvrv vhjýq xqd glvflsolqd ILIR | txh
fxdqgr xq surfhvr hvwä d sxqwr gh dfdedu vx hmhfxflöq hq ho vhuylgru 5 fuhd
rwur qxhyr surfhvr klmr hq ho 4 frq xqd suredelolgdg gho 58(/ whuplqdqgr
wrwdophqwh od hmhfxflöq hq rwur fdvr1 Sru vx sduwh/ orv surfhvrv txh hvwäq
whuplqdqgr vx hmhfxflöq hq ho qrgr 4 fuhdq rwur qxhyr hq ho plvpr vhuylgru
hq xq 53( gh orv fdvrv/ pdqgdq rwur surfhvr do vhuylgru 5 xq 43( gh odv yhfhv/
whuplqdqgr wrwdophqwh od hmhfxflöq hq fdvr frqwudulr1 Fdofxodu ho qýphur
phglr gh surfhvrv hq fdgd vhuylgru | ho wlhpsr phglr txh wdugd xq surfhvr |
wrgd vx ghvfhqghqfld hq whuplqdu gh hmhfxwduvh1
Vroxflöq= Vh wudwd gh xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd frq g ' 2 qrgrv/ sdud
od fxdo kd| r '  vhuylgru hq ho qrgr 4 | r2 ' 2 vhuylgruhv hq ho vhjxqgr1
Odv wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr +hq qýphur gh surfhvrv sru plqxwr, ghvgh ixhud
gho vlvwhpd vrq b ' 2f/ b2 ' f/ > ' ff/ >2 ' 2D1 Odv suredelolgdghv gh
wudqvlflöq gh xqrv hvwdgrv d rwurv ylhqhq gdgdv/ hq irupd pdwulfldo/ sru
f2 f
'
1
f2D f
Sodqwhdprv | uhvroyhprv ho vlvwhpd txh shuplwh hqfrqwudu odv wdvdv hihfwlydv=
\ ' 2f n f2 \ n f2D \2
\2 ' f n f \
oxhjr
\ ' 2f n f2\ n f2D Ef n f\ ' 2f n f2\ n .D n ff2D\
' 2.D n f22D\ /
186
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
2.D
frq or fxdo f..D\ ' 2.D |/ sru wdqwr/ \ ' f..D
' D eHe1 Sru rwud
sduwh \2 ' f n f\ ' DeH1 Sulphudphqwh ghehprv hqfrqwudu orv ydoruhv
u | u2 xwlol}dqgr odv iöupxodv glvsrqleohv sdud ho prghor ** frq \ '
D eHe | > ' ff | sdud ho prghor **2 frq \2 ' DeH | >2 ' 2D1 Föpr
eHe
' f DeHe  | 42 ' DeH
' f S.fbS / hqwrqfhv dperv qrgrv
4 ' Dff
2u2D
vrq hvwdflrqdulrv1 Sru wdqwr/ vh wlhqh txh
u '
4
f DeHe
' f DD1
'
 4
 f DeHe
Sru vx sduwh/ sdud ho qrgr 5/
R2 Ef '
'
n

S23
\?
2
?' ?->?
2

n
DeH
2D
n
n
\22
E23->23
E2>2 3\2 2
DeH2
2DE2u2D3DeH
' f bSbS.e
|
u2 '
\2n
\2
DeH f bSbS.e DeH
2 R2 Ef
' 2eef.
'
n
2 n
23
>2
2D
E2 ->2 E2>2 \2 2D E2 2D DeH2
Dvð sxhv kd|/ sru wìuplqr phglr/ f DD surfhvrv +hq hmhfxflöq r hq frod, hq
ho vhuylgru 4 | 2 ee hq ho vhuylgru 51 Frpr frqvhfxhqfld whqguhprv uA '
u n u2 ' 2 bbf. surfhvrv hq phgld hq wrgr ho vlvwhpd |/ xvdqgr od sulphud
iöupxod gh Olwwoh sdud wrgd od uhg vh rewlhqh
`A '
uA
2bbf.
' f fDbH plqxwrv1
'
bA
Df
Hv ghflu/ ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq surfhvr vh hqyðd do
vlvwhpd lqirupäwlfr +vlq suhmx}jdu sru txì vhuylgru hqwud, kdvwd txh ìo | wrgd
vx ghvfhqghqfld hvwä hmhfxwdgd hv f fDbH plqxwrv ' DHH vhjxqgrv1
4516 Uhghv gh Mdfnvrq fhuudgdv
Xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd hv xqd uhg gh frodv fhuudgd frq g qrgrv r vxevlv0
whpdv/ hq od fxdo fdgd ' c 2c c g wlhqh r vhuylgruhv hq vx phfdqlvpr gh
vhuylflr/ vlhqgr wrgrv orv gho qrgr frq wlhpsr gh vhuylflr gh glvwulexflöq h{sr0
qhqfldo gh sduäphwur > 1 Frpr hq fxdotxlhu uhg fhuudgd/ do qr kdehu hqwudgdv
ql vdolgdv gh folhqwhv gh od uhg/ uhvxowd lqglvshqvdeoh hvshflfdu ho qýphur gh
folhqwhv ghqwur gh od uhg/ / txh shupdqhfhuä frqvwdqwh vlhpsuh1 Sru hvwh pr0
wlyr/ uA ' | fdqwlgdghv frpr `A r `^cA / fduhfhq gh vhqwlgr1 Or uhdophqwh
Redes de colas 187
lpsruwdqwh dtxð hv ghwhuplqdu odv suredelolgdghv gh txh kd|d ? folhqwhv hq
ho qrgr sdud ' c 2c c g/ txh vh ghqrwduäq sru R? c?2 cuuu c?g 1 Reyldphqwh
ìvwdv suredelolgdghv vrq glvwlqwdv gh fhur vöor vl ? n ?2 n n ?g ' 1
Odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gh od uhg sxhghq fdofxoduvh sru
phglr gh od vljxlhqwh iöupxod=
 \ 4? /
'
C E ' @ E? g
R? c?2 cuuu c?g
grqgh
@ E? '
?
r -r?3r
vl ? r
vl ? r
|
[
C E '
? n?2 nuuun?g
vlhqgr 4 '
\
>
g
\
4? /
@ E? ' ' | orv \ fxdotxlhu vroxflöq qr qxod gho vlvwhpd
\ '
g
[
\ R
sdud ' c 2c c g1
'
Hvwh ýowlpr vlvwhpd hv ho txh vh rewlhqh hq ho whruhpd gh Mdfnvrq fxdqgr
odv wdvdv gh hqwudgd b vrq fhur1 Or txh rfxuuh dkrud hv txh glfkr vlvwhpd qr
wlhqh vroxflöq ýqlfd +|d txh vh wudwd gh xq vlvwhpd krprjìqhr,1 Gh khfkr/ sdud
hqfrqwudu xqd vroxflöq gho vlvwhpd dqwhulru edvwd mdu do ydoru 4 fxdotxlhud gh
odv \ +sru hmhpsor \ ' , | uhvroyhu ho vlvwhpd ljqrudqgr xqd fxdotxlhud gh
odv hfxdflrqhv +frpelqdflöq olqhdo gho uhvwr,1
Od lpsohphqwdflöq gluhfwd gh C E vhjýq od iöupxod dqwhulru sxhgh uhvxo0
wdu wuhphqgdphqwh lqhflhqwh fxdqgr hv judqgh |d txh ho qýphur gh hvwdgrv
glvwlqwrv gho vlvwhpd +txh
ylhqhfrlqflglhqgr frq ho qýphur gh vxpdqgrv hq od
1 Sdud hylwdu glfkr fäofxor gluhfwr h{lvwh xqd
h{suhvlöq gh C E , hv ng3
iöupxod uhfxuvlyd txh shuplwh od rewhqflöq gh
}6 E? '
[
6
\
s E? ? n?2 nuuun?6 '? '
vlhqgr
s E? '
4?
/ sdud ' c 2c c g | ? ' fc c 2c c 1
@ E?
Revìuyhvh txh hvwr uhvxhoyh ho sureohpd/ sxhv C E ' }g E1
188
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Od uhfxuvlylgdg flwdgd vh rewlhqh iäflophqwh whqlhqgr hq fxhqwd=
[
}6 E? '
6
\
s E? ? n?2 nuuun?6 '? '
'
'
?
[
?6 'f
?
[
%
[
63
\
&
s E? s6 E?6 ? n?2 nuuun?63 '?3?6 '
s6 E?6 }63 E? ?6 '
?6 'f
?
[
s6 E }63 E? 1
'f
Sru rwud sduwh sxhgh yhuvh wulyldophqwh txh } E? ' s E?/ or fxdo shuplwh
frphq}du d dsolfdu od hfxdflöq uhfxuvlyd1 Dghpäv/ uhvxowd lqphgldwr frpsur0
edu txh }6 Ef '  sdud wrgr 6 ' c 2c c g1
Hmhpsor 86 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr frqvwd gh 7 hvwdflrqhv gh wudedmr frqhf0
wdgdv hqwuh vð1 Sdud frqwuro | vhjxulgdg gho vlvwhpd kd| wuhv surfhvrv hq frq0
wlqxd hmhfxflöq hq dojxqd gh odv hvwdflrqhv1 Xqd yh} whuplqdgd od hmhfxflöq
gh xq surfhvr hq xqd gh odv hvwdflrqhv ìvwh fuhd xqd frsld gh ìo plvpr txh
vh hqyðd d hmhfxwdu d od sursld hvwdflöq r d dojxqd gh odv rwudv wuhv1 Hq od
vljxlhqwh wdeod vh uhfrjhq odv suredelolgdghv gh txh ho surfhvr klmr vh hqyðh d
od hvwdflöq / vdelhqgr txh ho txh whuplqd vx hmhfxflöq or kdfh hq od hvwdflöq
=
ruljhqqghvwlqr
4
5
6
7
4
f2D
fD
fDf
fef
5
fD
fD
f2D
ff
6
f2f
f2f
fD
f2D
7
fef
ff
ff
ffD
Vh vdeh txh orv vhuylgruhv 4 | 5 vrq elsurfhvdgruhv | fdgd xqr gh orv surfh0
vdgruhv gh dperv wlhqh xq wlhpsr gh surfhvdgr frq glvwulexflöq h{srqhqfldo |
fdsdflgdg gh 8 surfhvrv sru plqxwr1 Sru vx sduwh/ odv hvwdflrqhv 6 | 7 vrq
dpedv prqrsurfhvdgrudv | sxhghq dwhqghu uhvshfwlydphqwh d 43 | 48 surfhvrv
sru plqxwr1 Fdofxodu od suredelolgdg gh txh hvwì dojxqr gh orv wuhv surfhvrv hq
ho vhuylgru 71 ÁFxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv hq ho vhuylgru 7B ÁFxäo hv
ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd xq surfhvr do vhuylgru 7 kdvwd
txh whuplqd vx hmhfxflöqB
Vroxflöq= Whqlhqgr hq fxhqwd orv gdwrv gho hmhpsor/ vh sxhgh prghol}du
phgldqwh xqd uhg gh Mdfnvrq fhuudgd frq ' / g ' e/ > ' D/ >2 ' D/
> ' f | >e ' D1 Orv folhqwhv vrq sxhv fdgd xqr gh orv wuhv surfhvrv txh
hvwäq uhfruulhqgr ho vlvwhpd lqirupäwlfr1 Gdgd od pdwul} / hq sulphu oxjdu
wudwduhprv gh hqfrqwudu orv \ 1 Sdud hoor ghehprv kdoodu xqd vroxflöq gho
Redes de colas 189
vlvwhpd=
\
\2
\
\e
'
'
'
'
\ R n \2 R2 n \ R n \e Re
\ R2 n \2 R22 n \ R2 n \e Re2
\ R n \2 R2 n \ R n \e Re
\ Re n \2 R2e n \ Re n \e Ree
txh hq qxhvwur fdvr vh uhgxfh d
\
\2
\
\e
'
'
'
'
f2D\ n fD\2 n fDf\ n fef\e
fD\ n fD\2 n f2D\ n ff\e
f2f\ n f2f\2 n fD\ n f2D\e
fef\ n ff\2 n ff\ n ffD\e
Wrpdqgr/ sru hmhpsor/ \ ' / vh rewlhqh xqd gh odv lqqlwdv vroxflrqhv
gho vlvwhpd krprjìqhr= \ ' DS2HS/ \2 ' 2.SD/ \ '  | \e '
DSH21 Gh hvwd irupd/ whqlhqgr hq fxhqwd odv fdsdflgdghv gh vhuylflr gh
fdgd surfhvdgru gh odv glvwlqwdv hvwdflrqhv/ vh rewlhqhq orv ydoruhv=
DS2HS
' ff.2D.2
D
2.SD
' f2De22
'
D

' f 
'
f
DSH2
' f f.Sb2
'
D
4 '
42
4
4e
Sru rwud sduwh/
@ E? ' @2 E? ' 2?3 | @ E? ' @e E? '  ;?/
frq or fxdo
s E? ' 23? 4? / sdud ' c 2 | s E? ' 4? /
sdud ' c e/ vlhpsuh txh ? /
plhqwudv txh s Ef '  sdud ' c 2c c e1
Hq sduwlfxodu
} Ef ' s Ef ' / } E ' s E ' ff.2D.2/
Eff.2D.22
' e .2feb f32 /
} E2 ' s E2 '
2
Eff.2D.2
} E ' s E '
' . 2DHfSS f3 1
22
190
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Dkrud surfhghprv uhfxuvlydphqwh/ hqfrqwudqgr orv ydoruhv }2 E?=
}2 Ef ' / }2 E ' s2 Ef } E n s2 E } Ef
' ff.2D.2 n f2De22 ' fDSD.bD/
}2 E2 ' s2 Ef } E2 n s2 E } E n s2 E2 } Ef
' e.2feb f32 n f2De22 ff.2D.2 n
Ef2De222
2
' fD.SHD../
}2 E ' s2 Ef } E n s2 E } E2 n s2 E2 } E n s2 E } Ef
' .2DHfSS f3 n f2De22 e.2feb f32
Ef 2De22
Ef2De222
n
ff.2D.2 n
2
22
32
' fD.S f /
oxhjr/ orv ydoruhv } E?=
} Ef '
'
} E2 '
'
'
} E '
'
'
/ } E ' s Ef }2 E n s E }2 Ef
fDSD.bD n f ' f SSD.bD/
s Ef }2 E2 n s E }2 E n s E2 }2 Ef
fD.SHD.. n f  fDSD.b D n Ef 2
f22He.2/
s Ef }2 E n s E }2 E2 n s E2 }2 E n s E }2 Ef
fD.S f32 n f fD.SHD.. n Ef2 fDSD.bD n Ef
DDSbf f32 1
Ilqdophqwh/
C E ' }e E ' se Ef } E n se E } E2 n se E2 } E n se E } Ef
' D DSbf f32 n ff.Sb2 f22He.2
n Eff.Sb22 fSSD.bD n Ef f.Sb2
' ..2.ebeb f32 1
Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq ho vhuylgru 7 uhvxowd
ue ' f Rf n  R n 2 R2 n R
' R n 2 R2 n R / vlhqgr
[
R?e '
R? c?2 c? c?e / hv ghflu
? c?2 c? c? n?2 n? '3?e
R ' R2ff n Rf n Rf n Rf2f n Rf n Rff2 /
R2 ' Rff2 n Rff2 n Rff2 /
R ' Rfff 1
Redes de colas 191
Hq oxjdu gh fdofxodu hvwrv 43 wìuplqrv/ srghprv whqhu hq fxhqwd od irupd gh
fdgd xqr gh hoorv=
 \ 4? C E ' @ E? g
R? c?2 cuuu c?g '
sdud ghgxflu
[
Rccuuu cc?g '
R? c?2 cuuu c?g
? c?2 c c?g3 c? n?2 nuuun?g3 ' 3?g

4?gg
'
C E @g E?g ?
[
 c?2 c c?g3 c? n?2 nuuun?g3 '3?g
g3
\
'
4? @ E? 
sg E?g }g3 E ?g '
C E Vdoyr ho wìuplqr C E 3 or uhvwdqwh hv xqr gh orv vxpdqgrv txh dsduhfh hq ho
fäofxor gh C E ' }g E 1 Hv gljqr gh phqflöq txh sdud rewhqhu od hflhqfld
gh fäofxor gh hvwh surfhglplhqwr +iuhqwh do gh rewhqhu odv 43 suredelolgdghv
dqwhv sodqwhdgdv, uhvxowd gh vxpd lpsruwdqfld txh hq orv fäofxorv deuhyldgrv
suhylrv vh kd|d ghmdgr gh ýowlpr ho qrgr 7 +sdud dvð srghu xvdu } E?,1 Hq
fdvr gh txh vh ghvhdvhq fdofxodu hvwdv suredelolgdghv pdujlqdohv sdud rwur qrgr/
uhvxowduðd päv dghfxdgr uhqrpeudu orv qrgrv gh irupd txh ho qrgr gh lqwhuìv
ixhvh ho ýowlpr gho fäofxor deuhyldgr/ |d txh ho dkruur hvwä edvdgr hq od iöupxod
uhfxuvlyd gh fäofxor gh orv }6 E?1 Hq qxhvwur fdvr/ uhvxowd px| iäflo fdofxodu
odv suredelolgdghv pdujlqdohv uhodwlydv do qrgr 7=
se Ef } E
C E
se E } E2
'
C E
se E2 } E
'
C E
se E } Ef
'
C E
Rf '
R
R2
R
DDSbf f32
' f.2fS.D2
..2.ebeb f32
ff.Sb2 f22He.2
'
' f222.b2SD/
..2.ebeb f32
Eff.Sb22 fSSD.bD
'
' DfSeeDe2 f32 /
..2.ebeb f32
Eff.Sb2
'
' DHH.Sbe. f3 1
..2.ebeb f32
'
Dvð sxhv/ od suredelolgdg gh txh hvwì dojýq surfhvr hq ho vhuylgru 7 hv
 Rf '  f.2fS.D2 ' f2.b2eHH1
Dghpäv/ hv lqphgldwr ho fäofxor gho qýphur phglr gh surfhvrv hq od hvwdflöq
7=
ue ' f222.b2SD n 2 DfSeeDe2 f32 n DHH.Sbe. f3
' fe.eeH21
192
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Sdud fdofxodu ho wlhpsr phglr txh sdvd xq surfhvr hq ho vhuylgru qýphur 7
srghprv xwlol}du odv iöupxodv gh Olwwoh/ vl elhq/ ghehprv fdofxodu suhyldphqwh
ho ydoru \e dghfxdgr1 Dqwhulruphqwh |d vh kdeðd hqfrqwudgr xqd gh odv lqql0
wdv vroxflrqhv qr qxodv gho vlvwhpd gh hfxdflrqhv txh uhodflrqd odv wdvdv gh
hqwudgd1 Ho sureohpd hv txh hvd vrxoflöq hqfrqwudgd qr wlhqh srutxì riuhfhu ho
ydoru fruuhfwr gh odv \ +vlqö päv elhq ydoruhv txh vrq sursruflrqdohv d orv \
yhugdghurv,1 Ho sureohpd sxhgh uhvroyhuvh iäflophqwh xwlol}dqgr txh ho qýphur
phglr gh folhqwhv txh hqwudq d xq qrgr hohjlgr +\ , kd gh vhu ljxdo do qýphur
phglr gh folhqwhv txh vdohq vhuylgrv gh glfkr qrgr1 Dsolfdqgr hvwd frqglflöq
do qrgr 7 rewhqhprv=
\e ' f Rf n >e ER n R2 n Re ' D f 222.b2SD n D fSeeDe2 f32 n D HH.Sbe. f3
' D f 2.b2eHb ' e HbH.e1
Dxqtxh hq hvwh fdvr qr uhvxowd gh qxhvwur lqwhuìv/ hvwr shuplwluðd hqfrqwudu
odv wdvdv gh oohjdgd do uhvwr gh orv qrgrv gh od uhg/ sxhv |d frphqwdprv txh
\ ' S\ / sdud ' c 2c c e | flhuwr S : f/ frq or fxdo
e HbH.e
\e
' S.ef | dvð
S '
'
\e
 DSH2
\ ' S.ef  DS2HS ' D D.bbH/
\2 ' S.ef 2.SD ' e SHS2./
\ ' S.ef  ' S.ef1
Ilqdophqwh/ od iöupxod gh Olwwoh jhqhudol}dgd dsolfdgd do qrgr 7 shuplwh fdo0
fxodu ho wlhpsr phglr gh shupdqhqfld gh xq surfhvr hq glfkr qrgr=
`e '
ue
f e.eeH2
' ffHDSe plqxwrv ' eHb vhjxqgrv1
'
e HbH.e
\e
4517 Rwurv prghorv gh frodv hq uhg
Frpr fdvrv sduwlfxoduhv gh uhghv gh frodv hvwxglduhprv odv frodv hq vhulh | odv
uhghv flufxoduhv gh frodv1
451714 Frodv hq vhulh
Vh wudwd gh xqd frohfflöq gh g frodv txh vh vxfhghq xqdv d rwudv gh wdo pdqhud
txh vöor hv srvleoh od hqwudgd gh folhqwhv ghvgh ixhud gho vlvwhpd d od sulphud
Redes de colas 193
gh hoodv/ surgxflìqgrvh od vdolgd gh hoorv wudv ho vhuylflr gho ýowlpr qrgr1 Frq
qxhvwud whuplqrorjðd dqwhulru/ vh wlhqh txh
b ' b : f/ b ' f ; ' 2c c c g/
 vl ' n 
R '
f vl 9' n 
Gh or txh vh ghgxfh txh
Rf ' / Rgf ' / Rf ' f sdud ' 2c c c g/
Rf ' f sdud ' c 2c c g 1
Dghpäv gh wrgr hvwr/ ho phfdqlvpr gh vhuylflr gho qrgr hvwä frpsxhvwr sru r
vhuylgruhv frq lgìqwlfd fdsdflgdg gh vhuylflr d ud}öq gh > folhqwhv sru xqlgdg
gh wlhpsr +frq gxudflöq gh vhuylflr h{srqhqfldo, | od fdsdflgdg gh od frod hv
lolplwdgd1
Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xqd uhg gh Mdfnvrq delhuwd px| sduwlfxodu/ d od fxäo
oh hv dsolfdeoh ho Whruhpd gh Mdfnvrq1 Odv hfxdflrqhv txh shuplwhq hqfrqwudu
odv wdvdv hihfwlydv gh oohjdgd vh uhgxfhq d=
\ ' b
\2 ' \
11
1
\g ' \g3
frq or fxdo
\ ' \2 ' ' \g ' b/
gh pdqhud txh vh sxhghq uhvroyhu orv prghorv gh fdgd qrgr frpr vl vh wudwdvh
gh vxevlvwhpdv gh frodv **r lqghshqglhqwhv frq wdvd gh hqwudgd b | wdvd
gh vhuylflr > 1 Gdgr txh hq hvwh fdvr ho xmr gh xq folhqwh d wudyìv gh od uhg
hv vhfxhqfldo/ ghvgh ho qrgr  kdvwd ho qrgr g/ vð vhuä flhuwr txh orv wlhpsrv
phglrv gh xq folhqwh hq ho vlvwhpd r hq od frod vrq vxpd gh orv fruuhvsrqglhqwhv
d fdgd vxevlvwhpd1 Pdwhpäwlfdphqwh hvwr vh vxvwhqwd hq txh
uA
'
`A '
bA
Sg
'
b
u
'
g
[
u
'
b
'
g
[
u
'
\
'
g
[
` 1
'
451715 Uhg gh frodv fðfolfd
Hq hvwh fdvr vh wlhqhq g vxevlvwhpdv gh frodv/ wlsr **r / frpr hq ho fdvr
dqwhulru/ shur frqhfwdgdv gh irupd flufxodu1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xqd uhg
gh Mdfnvrq fhuudgd hq od txh fdgd folhqwh txh vdoh vhuylgr gho qrgr +frq
' c 2c c g , vh gluljh do qrgr n  frq suredelolgdg 1 Vl ho folhqwh vdoh
194
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
vhuylgr gho qrgr g hqwrqfhv yd do qrgr  frq wrgd suredelolgdg1 Hv qhfhvdulr
hvshflfdu ho qýphur wrwdo gh folhqwhv hq od uhg/ / | d sduwlu gh odv wdvdv gh
vhuylflr/ > / sxhghq hqfrqwuduvh odv glvwlqwdv suredelolgdghv gh lqwhuìv1 Dvð/ ho
vlvwhpd gh hfxdflrqhv olqhdohv krprjìqhr uhvxowd=
\ ' \g
\2 ' \
11
1
\g ' \g3
or fxdo lpsolfd txh
\ ' \2 ' ' \g3 ' \g ' S/
vlhqgr S xqd frqvwdqwh srvlwlyd duelwuduldphqwh hohjlgd1 Gh hvwr vh ghgxfh txh
4 ' >S | sxhgh surfhghuvh wdo | frpr |d vh ghwdooö sdud xqd uhg gh Mdfnvrq
fhuudgd jhqìulfd1
Hq ho fdvr sduwlfxodu hq ho txh kd|d xq vöor vhuylgru hq fdgd qrgr +r ' 
sdud ' c 2c c g, | odv wdvdv gh vhuylflr gh wrgrv orv qrgrv frlqflgdq
+> ' >2 ' ' >g ' >,/ holjlhqgr od frqvwdqwh S ' > vh whqguðd txh wrgrv
orv 4 ydohq 1 Frpr @ E? '  sdud wrgr ' c 2c c g | wrgr ? f/ uhvxowd
px| iäflo rewhqhu odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gho vlvwhpd/ |d
txh wrgdv vrq ljxdohv=
R? c?2 cuuu c?g '
grqgh
C E '
[
? n?2 nuuun?g

C E ng 
'
1
'
Hq xq fdvr frpr hvh/ wdpelìq hv px| iäflo rewhqhu odv suredelolgdghv pdujlqdohv/
srqjdprv sru fdvr gho qrgr 4=
[
[

R? c?2 cuuu c?g '

R? ccuuu c '
C E ? n? nuuun? ' 3?
?2 n? nuuun?g '3?
2

g
3? ng32
'
3?
ng3
/ sdud ? ' fc c c 1
451716 Frodv hq vhulh frq eortxhr
Hq dojxqdv vlwxdflrqhv odv uhghv gh frodv txh vh h{dplqdq wlhqh fdsdflgdg
olplwdgd sdud dojxqdv r wrgdv odv frodv1 Hq wdo fdvr uhvxowd lqglvshqvdeoh hv0
shflfdu fodudphqwh txì frqvhfxhqfldv whqguä sdud ho ixwxur xmr gh folhqwhv
Redes de colas 195
txh xqd gh hvdv frodv vh hqfxhqwuh vdwxudgd1 Wðslfdphqwh hvwh wlsr gh vlwxd0
flrqhv vxhohq prghol}duvh phgldqwh orv oodpdgrv eortxhrv txh frqvlvwhq hq
txh fxdotxlhu folhqwh txh ixhvh d vdolu vhuylgr gh rwur vxevlvwhpd txh frpsrqh
od uhg shur txh vh hqfxhqwud vx frod gh ghvwlqr vdwxudgd/ pdqwlhqh eortxhdgr
ho phfdqlvpr gh vhuylflr vlq txh rwur folhqwh sxhgd dffhghu d ìo1 Hq hvwh wlsr
gh prghorv | hq pxfkðvlprv rwurv uhvxowd shuihfwdphqwh srvleoh sodqwhdu ghvgh
ho sulqflslr odv hfxdflrqhv gh edodqfh gh od uhg | uhvroyhuodv/ rewhqlhqgr dvð odv
suredelolgdghv gh orv glihuhqwhv hvwdgrv gho vlvwhpd1 Yhdprv xq hmhpsor1
Frqvlgìuhvh xq vlvwhpd irupdgr sru grv frodv gh wlsr ***f hq vhulh1
Ghqöwhvh sru b od wdvd gh oohjdgd gh folhqwhv sru xqlgdg gh wlhpsr ghvgh ixhud
gho vlvwhpd do sulphu qrgr +qr kd| hqwudgdv ghvgh ixhud do vhjxqgr, | sru >
| >2 odv wdvdv gh vhuylflr gho ýqlfr vhuylgru gho qrgr 4 | 5/ uhvshfwlydphqwh1
Gdgr txh qr hvwä shuplwlgr kdfhu frod hq qlqjxqr gh orv grv vxevlvwhpdv/
fxdqgr d xq folhqwh vh oh whuplqh ho vhuylflr hq ho sulphur gh hoorv | hqfxhqwuh
txh ho vhuylgru gho vhjxqgr vxevlvwhpd hvwä rfxsdgr/ shupdqhfhuä eortxhdqgr
ho vhuylgru gho sulphur1 Gh hvwd irupd ghqrwdqgr sru Ec xq hvwdgr jhqìulfr
gho vlvwhpd/ frq ho txh vh lqglfd txh kd| folhqwhv hq ho qrgr 4 | folhqwhv hq
ho qrgr 5/ whqguðdprv orv hvwdgrv=
Efc f c Efc  c Ec f c Ec  1
Frpr dghpäv hv srvleoh txh kd|d xq folhqwh hq ho sulphu qrgr/ |d vhuylgr/
shur eortxhdqgr ho ýqlfr vhuylgru gh glfkr qrgr +or fxdo rfxuuh fxdqgr/ d vx
yh}/ kd|d xq folhqwh vluylìqgrvh hq ho vhjxqgr qrgr, hqwrqfhv whqguhprv xq
hvwdgr päv txh ghqrwduhprv sru EKc 1 Sru or frphqwdgr dqwhulruphqwh/ vh yh
txh EKc  hv xq hvwdgr glihuhqwh gh Ec 1
Dxqtxh srguðdprv surfhghu sdvr d sdvr sdud od rewhqflöq gh odv hfxdflrqhv
gh edodqfh +wdo | frpr vh kl}r frq xq surfhvr gh qdflplhqwr | pxhuwh hvwd0
flrqdulr duelwudulr, uhvxowd päv vhqfloor h lqwxlwlyr ghgxfluodv gluhfwdphqwh gh
od lghd gh ljxdodu/ sdud fdgd srvleoh hvwdgr/ od suredelolgdg gh glfkr hvwdgr
pxowlsolfdgd sru od vxpd gh odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d irupdv gh vdolu gh hvwh
hvwdgr kdfld rwur glvwlqwr frq od vxpd gh od suredelolgdghv gh dtxhoorv hvwdgrv
ghvgh orv fxdohv vh sxhgh oohjdu do hvwdgr hq fxhvwlöq +hq xq ýqlfd wudqvlflöq,/
pxowlsolfdgdv sru odv wdvdv fruuhvsrqglhqwhv d glfkd wudqvlflöq1 Dvð vh rewlhqhq
bRff
Eb n >2 Rf
> Rf
E> n >2 R
>2 RK
Ghqlhqgr 4 '
b
>
| 42 '
b
>2
'
'
'
'
'
>2 Rf
> Rf n >2 RK
bRff n >2 R
bRf
> R
h lpsrqlhqgr od frqglflöq gh txh wrgdv odv
196
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
suredelolgdghv vxphq 4 vh oohjd do vljxlhqwh vlvwhpd gh hfxdflrqhv=
42 Rff
E n 42 4 Rf
42 Rf
E42 n 4 R
4 RK
Rff n Rf n Rf n R n RK
'
'
'
'
'
'
Rf
42 Rf n 4 RK
4 42 Rff n 4 R
4 42 Rf
42 R

Dvð vh rewlhqh=
Rf ' 42 Rff
4 42
4 42
R '
Rf '  2 Rff
42 n 4
42 n 4
42
42
RK '
R '
Rff
4
42 n 4
4
42 4
Rf ' 4 Rff n  R ' 4 Rff n  2 Rff
42
42 n 4
4 42 n 42 n 42 42
'
Rff
42 n 4
 ' Rff n Rf n Rf n R n RK
4 42 n 42 n 42 42
4 422
42
Rff
'
 n 42 n
n
n
42 n 4
42 n 4 42 n 4
4 n 4 n 422 n 24 42 n 42 n 42 42 n 4 422 n 42
Rff
/ ' 2
42 n 4
Gh hvwd irupd/ ghqrwdqgr sru ' 42 n 4 n 422 n 24 42 n 42 n 42 42 n 4 422 n 42 /
vh wlhqh=
Rff '
Rf '
Rf '
R '
RK '
4 n 42
4 42 n 422
4 42 n 42 n 42 42
4 422
42
Hq ho fdvr sduwlfxodu hq txh orv vhuylgruhv gh dperv qrgrv whqjdq od plvpd
Redes de colas 197
fdsdflgdg gh vhuylflr +> ' >2 ' >, hqwrqfhv/ ghqrwdqgr 4 '
Rff '
Rf '
Rf '
R '
RK '
b
>
vh wlhqh=
2
2 n e4 n 42
24
2 n e4 n 42
24 n 42
2 n e4 n 42
42
2 n e4 n 42
42
2 n e4 n 42
D sduwlu gh hvwdv fdqwlgdghv sxhgh rewhqhuvh xqd iöupxod sdud ho qýphur phglr
gh folhqwhv hq ho vlvwhpd=
u ' fRff n  ERf n Rf n 2 ER n RK '
e4 n D42
1
2 n e4 n 42
Frpr sxhgh yhuvh/ vl 4 wlhqgh d fhur/ glfkr qýphur wdpelìq wlhqgh d fhur
+frpr hud gh hvshudu,1 Sru ho frqwudulr/ vl 4 $ 4 hqwrqfhv u $ D 21 Od
h{solfdflöq gh hvwh khfkr hv txh/ dxqtxh od hqwudgd gh folhqwhv vhd ghvphvxudgd
uhvshfwr do vhuylflr/ ho khfkr gh txh odv wdvdv gh vhuylflr vhdq ljxdohv hq dperv
vhuylgruhv suryrfd txh/ fxdqgr 4 $ 4/ Rf $  | sru wdqwr qr wlhqgh d hvwdu
vlhpsuh ho vlvwhpd oohqr1 Ho wlhpsr phglr gh xq folhqwh hq wrgr ho vlvwhpd
sxhgh kdooduvh iäflophqwh phgldqwh od iöupxod gh Olwwoh jhqhudol}dgd1 Dvð/
b ' b ERff n Rf ' b
2 n 24
2 n e4 n 42
|/ sru wdqwr/
` '
u
Db n e>
e4 n D42
1
'
'
b
E2
n
24
2b>
n 2>2
b
4518 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Do vhuylflr wìfqlfr gh od fdvd gh rughqdgruhv pdufd DFPH oohjdq dsdudwrv
dyhuldgrv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq d ud}öq gh 49 fdgd gðd +mruqdgd
oderudo gh ; krudv,1 Hq ho 58( gh orv fdvrv/ ghelgr do wlsr gh dyhuðd
ghvfulwd sru ho xvxdulr/ orv rughqdgruhv vrq uhplwlgrv gluhfwdphqwh +shu0
glhqgr xq wlhpsr ghvsuhfldeoh, do vhuylflr fhqwudo/ grqgh vhuäq uhsdudgrv
sru xqr gh orv fxdwur hpsohdgrv dvljqdgrv do hihfwr1 Hq wdo fdvr/ ho wlhp0
sr gh uhsdudflöq hv h{srqhqfldo frq phgld gh 7 krudv1 Hq ho :8( uhvwdqwh
198
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
gh orv fdvrv orv rughqdgruhv vrq h{dplqdgrv +| srvleohphqwh uhsdudgrv,
sru xqr gh orv grv wìfqlfrv gho surslr vhuylflr wìfqlfr/ txlhqhv hpsohdq
sdud hoor xq wlhpsr h{srqhqfldo/ vlhqgr fdsdfhv gh dwhqghu fdgd xqr d
xqd phgld gh ; fdgd mruqdgd oderudo1 Dýq dvð/ xq 58( gh orv dsdudwrv
txh vrq uhylvdgrv hq ho vhuylflr wìfqlfr qr sxhghq duuhjoduvh dooð | kdq
gh lu ghqlwlydphqwh do vhuylflr fhqwudo1 Fdofxodu=
+d, Ho qýphur phglr gh gðdv oderudeohv txh xq dsdudwr hohjlgr do d}du
wdugduä hq vhu duuhjodgr1
+e, Od plvpd fdqwlgdg txh dqwhv sdud dtxhoorv rughqdgruhv txh vrq
hqyldgrv gluhfwdphqwh do vhuylflr fhqwudo1
+f, Ho qýphur phglr gh rughqdgruhv dyhuldgrv txh vh hqfxhqwudq hq ho
vhuylflr fhqwudo hq hvshud gh vhu dwhqglgrv1
+g, Ho srufhqwdmh gh wlhpsr txh fdgd uhsdudgru hvwduä ghvrfxsdgr hq
ho vhuylflr wìfqlfr | hq ho vhuylflr fhqwudo uhvshfwlydphqwh1
51 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr hqyðd phqvdmhv txh oohjdq/ vhjýq xq surfhvr gh
Srlvvrq gh sduäphwur b/ phgldqwh xq ýqlfr vhuylgru1 Ho wlhpsr txh wdugd
hq wudqvplwluvh ho phqvdmh | uhflelu/ ho vhuylgru/ dfxvh gh uhfhsflöq/ vh
dmxvwd d xqd h{srqhqfldo gh sduäphwur >1 Vh vxsrqh txh frq flhuwd
suredelolgdg/ S/ ho phqvdmh kd vlgr fruuhfwdphqwh wudqvplwlgr | vljxh vx
fdplqr/ plhqwudv txh hq fdvr frqwudulr/ ho phqvdmh yxhoyh d kdfhu frod
hq ho vhuylgru sdud vhu hqyldgr qxhydphqwh1 Vdelhqgr txh od glvflsolqd
hq ho vhuylgru hv ILIR/ Áfxäo gheh vhu od frqglflöq sdud txh hvwh vlvwhpd
vhd hvwdflrqdulrB Gdu xqd h{suhvlöq/ or päv vhqflood srvleoh/ hq ixqflöq
gh b/ > | S/ sdud ho qýphur phglr gh phqvdmhv txh hvshudq d frpsohwdu
wrwdophqwh vx wudqvplvlöq1
61 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr hvwä frpsxhvwr sru grv hvwdflrqhv gh wudedmr
prqrsurfhvdgrudv lgìqwlfdv/ frqhfwdgdv hqwuh vð1 D od hvwdflöq 4 oohjdq
surfhvrv ruljlqdgrv ixhud gho vlvwhpd/ d ud}öq gh b sru xqlgdg gh wlhpsr/
dvð frpr wdpelìq rwurv surfhghqwhv gh od hvwdflöq 51 Fdgd yh} txh vh
whuplqd od hmhfxflöq gh xq surfhvr gh od hvwdflöq 4/ frq suredelolgdg gh
xq <3(/ ìvwh jhqhud xq qxhyr surfhvr d hmhfxwdu hq od hvwdflöq 51 Hq ho
43( gh fdvrv uhvwdqwhv/ ho surfhvr whuplqd vlq fuhdu päv surfhvrv kl0
mrv1 Fxdqgr xq surfhvr +klmr gh rwur, dfded vx hmhfxflöq hq od hvwdflöq
5/ sxhgh fuhdu rwur klmr hq od hvwdflöq 4 +frq suredelolgdg gh xq 43(, r
h{wlqjxluvh frpsohwdphqwh +hq ho <3( gh fdvrv,1 Vdelhqgr txh ho wlhpsr
gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv +hq dpedv pätxlqdv, vh dmxvwd d xqd glv0
wulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur > | txh ho wlhpsr hqwuh oohjdgdv gh
grv surfhvrv d od hvwdflöq 4 hv wdpelìq h{srqhqfldo gh sduäphwur b/ vh
slgh=
+d, ÁSdud txì ydoruhv gh 4 hv ho vlvwhpd hvwdflrqdulrB
Redes de colas 199
+e, Wrpdqgr 4 ' fb/ Áfxäo hv ho qýphur phglr gh surfhvrv wrwdohv hq
fdgd hvwdflöq gh wudedmrB
+f, Hq odv klsöwhvlv gho dsduwdgr dqwhulru | wrpdqgr b ' D surfhvrv
sru plqxwr/ Áfxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd
xq surfhvr d od hvwdflöq 4 kdvwd txh ìo | wrgrv vxv ghvfhqglhqwhv vh
h{wlqjxhqB
71 Xqd hvwdflöq gh wudedmr uhfleh shwlflrqhv vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/
d ud}öq gh 53 fdgd krud1 Orv wlhpsrv gh FSX gh orv wudedmrv vljxhq
xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh grv plqxwrv1 Vh vdeh txh/ do
qdol}du fdgd surfhvr/ hq xq 53( gh orv fdvrv ìvwh fuhd rwur surfhvr klmr/
frq lgìqwlfdv fdudfwhuðvwlfdv txh orv wudedmrv txh uhfleh ruljlqdophqwh od
hvwdflöq/ | txh kd gh surfhvduvh qxhydphqwh sru od plvpd1 Fdofxodu
+d, ho wlhpsr phglr txh wdugd xq wudedmr hq vhu surfhvdgr1
+e, ho wlhpsr phglr txh wdugd xq wudedmr | wrgd vx ghvfhqghqfld +sur0
fhvrv klmr/ qlhwr/ hwf1, hq vhu surfhvdgrv1
+f, ho qýphur phglr gh wudedmrv txh hvshudq hq wuäplwh gh surfhvduvh
+lqfox|hqgr ho txh hvwä vlhqgr surfhvdgr,1
+g, od suredelolgdg gh txh xq surfhvr sxhgd hmhfxwduvh gluhfwdphqwh vlq
ghprud1
81 D xqd frod/ / gh wlsr ** oohjdq folhqwhv vhjýq xqd wdvd b 1 Gl0
fkrv folhqwhv vrq dwhqglgrv sru xq vhuylgru hq xq wlhpsr dohdwrulr frq
glvwulexflöq h{srqhqfldo gh sduäphwur > 1 Fdgd folhqwh txh vdoh vhuyl0
gr gho vlvwhpd vh dghqwud hq xqd qxhyd frod/ / od fxdo glvsrqh gh
xq phfdqlvpr gh vhuylflr frq xq vöor vhuylgru txh wdugd hq gdu vhuylflr
xq wlhpsr h{srqhqfldo | hv fdsd} gh dwhqghu > folhqwhv sru xqlgdg gh
wlhpsr1 ÁFxäohv vrq odv frqglflrqhv sdud txh h{lvwd hvwdflrqdulhgdg hq
wrgr ho vlvwhpd irupdgr sru dpedv frodvB Vxsrqlhqgr txh vh dofdq}d
xqd frqglflöq gh hvwdgr hvwdflrqdulr/ fdofxodu +hq ixqflöq gh b / > / b
| > , ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh slhugh hq ho vlvwhpd frqmxqwr1
91 Grv hvwdflrqhv gh wudedmr frqhfwdgdv hq uhg hmhfxwdq surfhvrv txh oohjdq
ghvgh ixhud gho vlvwhpd +vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq, d ud}öq gh 9 sur0
fhvrv sru plqxwr d od hvwdflöq 4 | ; surfhvrv sru plqxwr d od hvwdflöq
51 Ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh orv surfhvrv hq fdgd hvwdflöq vh dmxvwd d
xqd glvwulexflöq h{srqhqfldo frq phgld gh 6 vhjxqgrv sdud od hvwdflöq
4 | gh 2D vhjxqgrv sdud od hvwdflöq 51 Fxdqgr xq surfhvr whuplqd vx
hmhfxflöq hq od hvwdflöq 4/ hq xq <3( gh orv fdvrv ìvwh qr jhqhud qlqjýq
qxhyr surfhvr klmr/ ho 9( gh odv yhfhv fuhd xq qxhyr surfhvr txh vh hq0
yðd +lqvwdqwäqhdphqwh, d od hvwdflöq 5 | ho 7( uhvwdqwh vh fuhd xq qxhyr
surfhvr txh vh hmhfxwduä hq od hvwdflöq 41 Dojr vhphmdqwh rfxuuh frq orv
surfhvrv hmhfxwdgrv hq od hvwdflöq 5/ vlhqgr xq <8( od suredelolgdg gh
200
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
txh qr vh jhqhuh xq qxhyr surfhvr/ xq 6( od gh txh vh hqyðh xq qxhyr
surfhvr d od hvwdflöq 4 | xq 5( od gh txh vh fuhh xq qxhyr surfhvr d
hmhfxwdu hq od hvwdflöq 51 Vh slgh=
+d, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq surfhvr vh hqyðd d od
hvwdflöq 5 kdvwd txh whuplqd vx hmhfxflöq1
+e, Ho qýphur phglr gh surfhvrv hq fdgd hvwdflöq1
+f, Od suredelolgdg gh txh/ hqwuh odv grv hvwdflrqhv/ kd|d päv gh fxdwur
surfhvrv qr wrwdophqwh hmhfxwdgrv1
+g, Gdgr xq surfhvr hohjlgr do d}du/ fdofxodu ho wlhpsr phglr txh wudqv0
fxuuh ghvgh vx hqwudgd hq ho vlvwhpd kdvwd ho q gh od hmhfxflöq
gh wrgrv orv surfhvrv txh/ gluhfwdphqwh r lqgluhfwdphqwh/ ixhurq
fuhdgrv d sduwlu gh ìo1
:1 Frqvlgìuhvh xqd uhg gh frodv fðfolfd irupdgd sru wuhv frodv/ hv ghflu/ xq
wrwdo gh frodv gh wdo irupd txh fxdqgr xq folhqwh vdoh vhuylgr gho qrgr
+ ' c 2, sdvd d od frod gho qrgr n  | txh fxdqgr ho folhqwh vdoh
gho qrgr / vh gluljluä do qrgr 1 Hq ho fdvr gh txh orv phfdqlvprv
gh vhuylflr hq wrgrv orv qrgrv frqvwhq gh xq ýqlfr vhuylgru | gh txh ho
wlhpsr gh vhuylflr gho plvpr vhd h{srqhqfldo/ hqfrqwudu odv hfxdflrqhv
gh edodqfh hq ho fdvr gh txh h{lvwdq 2 folhqwhv hq wrgd od uhg1 Fdofxodu odv
suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv hq ho fdvr gh txh orv sduäphwurv
gh odv glvwulexflrqhv h{srqhqfldohv gh orv uhvshfwlyrv wlhpsrv gh vhuylflr
ixhvhq > ' c >2 ' 2c > ' e
;1 Sru xq shtxhôr vlvwhpd gh frpxqlfdflrqhv frq wuhv rughqdgruhv hq uhg
flufxodq frqvwdqwhphqwh grv sdtxhwhv gh elwv txh wdugdq hq vhu surfh0
vdgrv hq fdgd rughqdgru +frq xq ýqlfr surfhvdgru, xq wlhpsr frq glv0
wulexflöq h{srqhqfldo1 Orv wlhpsrv phglrv gh surfhvdgr +hq vhjxqgrv,
sdud fdgd rughqdgru ylhqhq gdgrv sru od vljxlhqwh wdeod=
Rughqdgru
4 5 6
Wlhpsr phglr gh surfhvdgr +vhj1, 43 53 63
Ho <3( gh odv yhfhv txh xq sdtxhwh whuplqd gh vhu surfhvdgr sru ho
rughqdgru 4/ vh gluljh oxhjr do rughqdgru 6/ plhqwudv txh hq fdvr frq0
wudulr yxhoyh d surfhvduvh hq ho rughqdgru 41 Xqd gh fdgd fxdwur yhfhv
txh xq sdtxhwh hv surfhvdgr hq ho rughqdgru 5/ yxhoyh d vhu surfhvdgr
qxhydphqwh hq ho plvpr rughqdgru plhqwudv txh odv rwudv wuhv gh fdgd
fxdwur yhfhv vh glulmh do rughqdgru 61 Ilqdophqwh/ ho 73( gh odv yhfhv
txh xq sdtxhwh vh surfhvd hq ho rughqdgru 6/ yxhoyh d glfkr rughqdgru/
uhsduwlìqgrvh ho 93( uhvwdqwh gh irupd htxlsuredeoh hqwuh orv rwurv grv
rughqdgruhv1 Vh slgh=
+d, ÁFxäo hv od suredelolgdg gh txh kd|d dojýq sdtxhwh surfhväqgrvh
hq ho rughqdgru 4B
Redes de colas 201
+e, Fdofxodu ho qýphur phglr gh sdtxhwhv surfhväqgrvh hq ho rughqdgru
61
+f, ÁFxäo hv ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh oohjd xq sd0
txhwh do rughqdgru 6 kdvwd txh whuplqd gh surfhvduvh +vlq lqfoxlu
uhdolphqwdflöq,B
<1 Xq vlvwhpd lqirupäwlfr frqvwd gh grv hvwdflrqhv gh wudedmr prqrsurfh0
vdgrudv1 Orv wlhpsrv gh surfhvdgr gh orv wudedmrv vrq gh glvwulexflöq
h{srqhqfldo | phgld gh 9 | 48 vhjxqgrv sdud odv hvwdflrqhv 4 | 5 uhvshf0
wlydphqwh1 Vh vdeh txh ho 93( gh orv wudedmrv surfhvdgrv hq od sulphud
hvwdflöq vrq hqyldgrv d od vhjxqgd/ uhdolphqwäqgrvh od sulphud hvwdflöq
hq xq 53( gh orv fdvrv | vdolhqgr wrwdophqwh hmhfxwdgrv orv surfhvrv hq
ho 53( uhvwdqwh1 Sru vx sduwh/ rfkr gh fdgd glh} surfhvrv hmhfxwdgrv hq
od hvwdflöq 5 vrq hqyldgrv d od hvwdflöq 4/ vlhqgr whuplqdgd od hmhfxflöq
hq vx wrwdolgdg hq ho 53( uhvwdqwh gh orv fdvrv1 Vdelhqgr txh odv oohjdgdv
gh surfhvrv do vlvwhpd rehghfhq xq surfhvr gh Srlvvrq frq phgld gh
453 surfhvrv sru krud/ Ágh txì pdqhud gheh glvwulexluvh glfkd hqwudgd
gh surfhvrv hqwuh odv grv hvwdflrqhv sdud txh ho qýphur phglr wrwdo gh
surfhvrv hq ho vlvwhpd vhd pðqlprB ÁFxäqwr ydoh glfkr qýphur phglr
pðqlprB ÁKdfh hvwr pðqlpr ho wlhpsr phglr wrwdo hq ho vlvwhpdB ÁSru
txìB
431 Hq xq vlvwhpd lqirupäwlfr/ txh frqvwd gh wuhv hvwdflrqhv gh wudedmr/ vh
glvsrqh gh xq phfdqlvpr gh vhjxulgdg frqvlvwhqwh hq od hmhfxflöq vxfhvl0
yd gh grv surjudpdv lgìqwlfrv gh ghwhfflöq gh lqwuxvrv hq odv glvwlqwdv
pätxlqdv1 Dvð/ sdud xq surjudpd mr/ sulphur vh hmhfxwd frpsohwdphqwh
hq od hvwdflöq 4/ oxhjr vh hmhfxwd hq od 5/ xqd yh} whuplqdgd vx hmhfxflöq
vh hmhfxwd hq od hvwdflöq 6/ oxhjr sdvd d hmhfxwduvh gh qxhyr hq od 4 |
dvð vxfhvlydphqwh1 Ghelgr d odv fdudfwhuðvwlfdv gho vlvwhpd vh vdeh txh
orv grv surjudpdv qr sxhghq hmhfxwduvh vlpxowäqhdphqwh hq xqd plvpd
hvwdflöq/ hvshudqgr/ ho ýowlpr hq oohjdu/ d txh whuplqh od hmhfxflöq ho
sulphur1 Reyldphqwh/ fxdqgr orv surjudpdv vh hqfxhqwudq hq glvwlq0
wdv pätxlqdv/ od hmhfxflöq hv vlpxowäqhd1 Ho wlhpsr gh hmhfxflöq gh fdgd
surjudpd hv dohdwrulr | frq glvwulexflöq h{srqhqfldo gh phgld 4 vhjxqgr/
sdud odv hvwdflrqhv 4 | 5/ | 5 vhjxqgrv sdud od hvwdflöq 6 +frq surfhvdgru
päv ohqwr,1 Fdofxodu=
+d, Od suredelolgdg gh txh qr kd|d qlqjýq ghwhfwru gh lqwuxvrv hq od
hvwdflöq 41
+e, Ho qýphur phglr gh ghwhfwruhv gh lqwuxvrv hq od hvwdflöq 61
+f, Ho wlhpsr phglr txh wudqvfxuuh ghvgh txh xq ghwhfwru gh lqwuxvrv
oohjd d od hvwdflöq 6 kdvwd txh whuplqd wrwdophqwh vx hmhfxflöq1
+g, Ho wlhpsr phglr txh wdugd xq ghwhfwru gh lqwuxvrv hq gdu xqd
yxhowd frpsohwd gh frpsuredflöq hq ho vlvwhpd1
202
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
441 Grv lpsuhvrudv gh xq fhqwur gh fäofxor vh dyhuðdq frq pxfkd iuhfxhqfld1
Sdud fdgd lpsuhvrud/ ho wlhpsr kdvwd od suö{lpd dyhuðd wlhqh glvwulexflöq
h{srqhqfldo frq phgld gh 48 gðdv1 Fdgd yh} txh xqd gh hoodv hvwä ixhud
gh vhuylflr/ hq xq :8( gh orv fdvrv od lqwhqwd uhsdudu xq wìfqlfr gho
surslr fhqwur gh fäofxor/ vlhqgr ho wlhpsr txh hpsohd/ h{srqhqfldo frq
phgld gh 9 gðdv1 Hq ho 58( uhvwdqwh gh orv fdvrv od lpsuhvrud hv hqyldgd
gluhfwdphqwh d xq vhuylflr wìfqlfr/ hq ho txh kd| xq rshudulr txh wdugd
hq vxevdqdu od dyhuðd xq wlhpsr h{srqhqfldo frq phgld gh 6 gðdv1 Hq
uhdolgdg/ ghvsxìv gh txh xqd lpsuhvrud dyhuldgd kd|d vlgr uhylvdgd hq
ho fhqwur gh fäofxor/ h{lvwh od srvlelolgdg +hq od whufhud sduwh gh fdvrv,
gh qhfhvlwdu wrgdyðd ho vhu uhsdudgd sru ho vhuylflr wìfqlfr1 ÁFxäo hv od
suredelolgdg gh txh odv grv lpsuhvrudv hvwìq ixhud gh vhuylflrB
13
Colas con distribuciones
arbitrarias de llegada y servicio
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 205
461 0
Hq hvwh fdsðwxor vh hvwxglduäq dojxqdv vlwxdflrqhv hq odv txh od glvwulexflöq gho
wlhpsr hqwuh oohjdgdv r od gho wlhpsr gh vhuylflr ghmd gh vhu h{srqhqfldo1 Hq
od suäfwlfd kdelwxdo ududphqwh hvwdv glvwulexflrqhv vh dmxvwdq d xqd h{srqhq0
fldo shur/ frpr vh yhuä ho khfkr gh ghvkdfhuqrv gh hvwd uhvwulfflöq dfduuhduä
qrwdeohv sureohpdv gh fäofxor sdud ghgxflu orv ydoruhv gh orv sduäphwurv gh
frpsruwdplhqwr gho vlvwhpd1 D or odujr gh hvwh whpd qrv fhqwuduhprv wdq vöor
hq ho hvwxglr gh xqr gh orv prghorv päv vlpsohv txh srghprv lpdjlqdu/ ho
*C*/ hv ghflu ho fdvr gh xqd frod frq xq vöor vhuylgru/ wlhpsrv hqwuh ooh0
jdgdv h{srqhqfldohv | wlhpsrv gh vhuylflr frq glvwulexflöq jhqhudo/ C1 Frpr
froriöq lqfoxluhprv dojxqdv lghdv px| jhqhudohv vreuh föpr xwlol}du od vlpx0
odflöq d prgr gh khuudplhqwd sdud srghu dsur{lpdu odv vroxflrqhv d sureohpdv
gh whruðd gh frodv fxdqgr qrv ghvyldprv gh odv klsöwhvlv gh h{srqhqfldolgdg1
4614 Ho prghor P2J24
Frpr vx qrpeuh lqglfd/ vh wudwd gho vlvwhpd gh xqd frod frq xq ýqlfr vhuylgru/
frq wlhpsr hqwuh oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv frq glvwulexflöq h{srqhqfldo
| frq wlhpsr gh vhuylflr gh glvwulexflöq duelwuduld/ C1 Hq hvwh frqwh{wr/ b
vhjxluä vlhqgr ho sduäphwur gh od h{srqhqfldo txh uljh orv wlhpsrv hqwuh grv
oohjdgdv gh folhqwhv frqvhfxwlyrv1 Hvwr vljqlfd txh ho qýphur gh folhqwhv txh
oohjdq do vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr vhuä wdpelìq b1 Frpr od glvwulexflöq
C qr wlhqh srutxì vhu h{srqhqfldo/ ho sduäphwur > sdvduä dkrud d vljqlfdu ho
lqyhuvr gho wlhpsr phglr gh vhuylflr/ hv ghflu
>'

1
. EC
Lqwxlwlydphqwh jxdugd xqd uhodflöq gluhfwd frq ho qýphur phglr gh folhqwhv
txh hv fdsd} gh vhuylu ho vhuylgru sru xqlgdg gh wlhpsr +dxqtxh sxhghq qr
frlqflglu h{dfwdphqwh,1
Hq or txh vljxh wudwduhprv gh ghgxflu odv iöupxodv txh qrv shuplwdq rewhqhu
orv ydoruhv gh orv sduäphwurv gh lqwhuìv hq xq vlvwhpd frpr hvwh1 Sdud hoor/
ghqrwduhprv sru f? od yduldeoh dohdwruld txh frqwdelol}d ho qýphur gh folhqwhv
hq ho vlvwhpd fxdqgr ho ?0ìvlpr folhqwh or dedqgrqd1 Ghqöwhvh sru ? ho
qýphur gh folhqwhv txh oohjdq gxudqwh ho wlhpsr gh vhuylflr gho ?0ìvlpr folhqwh1
Uhvxowd iäflo uhodflrqdu dpedv fdqwlgdghv gh od vljxlhqwh irupd=
f?n ' f? L Ef? n ?n /
206
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
grqgh
L Ef? '
 vl f? : f
f vl f? ' f
Wrpdqgr hvshudq}dv hq od h{suhvlöq dqwhulru | vxsrqlhqgr hvwdflrqdulhgdg
+l1h1/ u ' . Ef? ' . Ef?n , vh wlhqh=
u ' u . EL Ef? n . E?n /
frq or fxdo=
. EL Ef? ' . E?n ' Ef? : f 1
Hvwd ýowlpd fdqwlgdg sxhgh kdooduvh xvdqgr od glvwulexflöq gh od yduldeoh dohdwr0
uld 7?n / txh ghqrwd ho wlhpsr gh vhuylflr gho E? n 0ìvlpr folhqwh/ txh hq hvwh
fdvr wlhqh glvwulexflöq jhqhudo/ txh vxsrqguhprv frqwlqxd | frq ghqvlgdg }=
l ] " k . E?n ' . . ?n m7?n '
. ?n m7?n '| } E| _|
f
] "
b
'
b|} E| _| ' b. E7?n ' 'G 41
>
f
Orv fäofxorv vhuðdq vhphmdqwhv vl od glvwulexflöq gh 7?n ixhvh glvfuhwd r lqofxvr
frq sduwh frqwlqxd | sduwh glvfuhwd1 Hq fxdotxlhu fdvr ho uhvxowdgr qdo do txh
vh oohjd hv ho plvpr1
Sru rwud sduwh/ hohydqgr do fxdgudgr orv wìuplqrv gh od h{suhvlöq txh uhod0
flrqd f?n frq f? | ?n / vh rewlhqh=
2
f?n
' f?2 n L Ef? 2 n 2?n 2f? L Ef? n 2f? ?n 2L Ef? ?n
' f?2 n L Ef? n 2?n 2f? n 2f? ?n 2L Ef? ?n 1
Wrpdqgr gh qxhyr hvshudq}dv | whqlhqgr hq fxhqwd od lqghshqghqfld hqwuh f?
| ?n vh vljxh=
2 . f?n
' . f?2 n . EL Ef? n . 2?n 2. Ef? n2. Ef? . E?n 2. EL Ef? . E?n ' . f?2 n 4 n . 2?n 2u n 2u4 242 1
Xwlol}dqgr rwud yh} od hvwdflrqdulhgdg oohjdprv d
2u 2u4 ' 4 242 n . 2?n / frq or fxdo
2u E 4 ' 4 242 n . 2?n | dvð
4 242 n . 2?n
1
u '
2 E 4
Sdud hqfrqwudu
h{suhvlöq fhuudgd gh u ghehprv rewhqhu rwud txh shuplwd
2 xqd
h{suhvdu . ?n hq wìuplqrv gh fdqwlgdghv frqrflgdv=
. 2?n ' T @o E?n n . E?n 2 ' T @o E?n n 42 /
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 207
shur/ d vx yh}/
l
k l
k
T @o E?n ' . T @o ?n m7?n n T @o . ?n m7?n
' . Eb7?n n T @o Eb7?n ' b

n b2 j 27 ' 4 n b2 j 27 /
>
vlhqgr j 27 od yduldq}d gho wlhpsr gh vhuylflr +hv ghflu j 27 ' T @o EC,1 Dvð/
srghprv oohjdu d od h{suhvlöq
. 2?n ' 4 n b2 j27 n 42 /
txh qrv shuplwh qdophqwh rewhqhu od gho qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlv0
whpd=
24 242 n 42 n b2 j 27
4 242 n 4 n b2 j 27 n 42
'
2 E 4
2 E 4
2 2
2
4 n b j7
' 4n
1
2 E 4
u '
Hvwd ýowlpd h{suhvlöq=
u'4n
42 n b2 j 27
2 E 4
hv od oodpdgd iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh | d sduwlu gh hood sxhghq rewh0
qhuvh ` / `^ | u^ |d txh vljxhq yhulfäqgrvh odv iöupxodv gh Olwwoh | od uhodflöq
hqwuh wlhpsrv phglrv hq ho vlvwhpd | hq od frod1
Hv gljqr gh phqflöq txh/ frpr fdvr sduwlfxodu/ vh rewlhqh od |d frqrflgd
iöupxod sdud ho prghor **/ sxhv/ hq ho fdvr C '  vh wlhqh txh j 27 ' >2 /
frq or fxdo
u** ' 4 n
42
4 42 n 42
4
42 n 42
'4n
'
'
1
2 E 4
4
4
4
Reyldphqwh/ od glvwulexflöq C txh suryrfd xq ydoru gh u phqru +mdgr >,
hv od glvwulexflöq ghjhqhudgd hq ho ydoru > +txh ghqrwduhprv sru (,/ txh
fruuhvsrqgh frq xq vhuylflr gh gxudflöq frqvwdqwh h ljxdo d glfkr ydoru1 Hvwr
hv lqphgldwr sxhv j 27 ' f |/ sru wdqwr
u*(* ' 4 n
24 242 n 42
4 4
42
'
'

/
2 E 4
2 E 4
4
2
txh hq ho fdvr oðplwh +4 $ 3 , whqghuðd d vhu od plwdg gho
**1
Gh od iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh sxhgh ghgxfluvh
od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr hq ho qýphur phglr
vlvwhpd sru xqlgdg gh wlhpsr sxhgh vhu lqqlwdphqwh judqgh1
dqäorjr sdud xq
txh ho hihfwr gh
gh folhqwhv hq ho
Dvð/ sru hmhpsor/
208
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
frqvlghudqgr sdud ho wlhpsr gh vhuylflr/ 7/ xqd glvwulexflöq glvfuhwd frq pdvd
gh suredelolgdg vreuh ho fhur | rwur sxqwr sdud txh vx phgld vhd > / whqhprv=
E7 ' f '  R

7'
' R
>R
frq R 5 Efc o1 Hv hylghqwh txh . E7 ' > 1 Dghpäv/
. 72 '

>2 R2
R'
frq or fxdo
j27 ' T @o E7 '

>2 R

/
>2 R
2

R
' 2 1
>
>R
Gh hvwd pdqhud/ od iöupxod gh Sroodf}hn0Nklqwfklqh qrv oohyd d
42  n 3R
42 n b2 3R
2
R
42
> R
'4n
'4n
u'4n
2 E 4
2 E 4
2 E 4 R
txh hv xqd fdqwlgdg txh wlhqgh d 4 fxdqgr R $ fn 1 Glfkr hq rwurv wìuplqrv/
dýq frqvlghudqgr ydoruhv mrv gh b | >/ ho qýphur phglr gh folhqwhv hq xq
vlvwhpd *C* sxhgh vhu wdq hohydgr frpr vh ghvhh vlq päv txh hohjlu xqd
glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr vxflhqwhphqwh ghvidyrudeoh +hv ghflu frq
yduldq}d vxflhqwhphqwh judqgh,1 Hvwr lqflgh/ xqd yh} päv/ hq odv judyhv
frqvhfxhqfldv txh sxhgh whqhu ho hvshflfdu lqfruuhfwdphqwh od glvwulexflöq
gho wlhpsr gh vhuylflr1
Frpr vh kd ylvwr/ od rewhqflöq gh xqd iöupxod sdud u hq xq prghor *C*
jhqhudo hv dojr edvwdqwh oderulrvr1 Wrgdyðd päv or hv ho fäofxor gh odv sured0
elolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv gho vlvwhpd | dýq shru sdud odv ixqflrqhv gh
glvwulexflöq ` E| | `^ E|1 Gduhprv vöor xqd lghd jhqhudo gh föpr fdofxodu
odv R? 1
Sxhgh ghprvwuduvh txh odv suredelolgdghv gh orv glvwlqwrv hvwdgrv +R? , vrq
vroxflöq gho vljxlhqwh vlvwhpd gh lqqlwdv hfxdflrqhv=
R? ' Rf &? n
?n
[
R6 &?36n / sdud ? ' fc c 2c 6'
vlhqgr
; U " e3b| Eb|?
? f
} E| _| hq ho fdvr frqwlqxr
?S e3br Ebr ?
&? ' E6 ' ? '
vl 7 hv glvfuhwd frq
=
^
?^ = pdvd gh suredelolgdg
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 209
Gdgr txh hq pxfkdv rfdvlrqhv uhvxowd gliðflo uhvroyhu ho vlvwhpd vxhoh dfx0
gluvh d odv ixqflrqhv fdudfwhuðvwlfdv sdud hqfrqwudu od vroxflöq1 Od lghd frqvlvwh
hq ghqlu
E5 '
"
[
R? 5 ? | g E5 '
?'f
"
[
&? 5 ? /
?'f
txh hvwäq uhodflrqdgdv d wudyìv gh od ljxdogdg
E5 '
E 4 E 5 g E5
1
g E5 5
Gdgr txh odv frqvwdqwhv &? vrq fdofxodeohv +frq pd|ru r phqru glfxowdg, d
sduwlu gh od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr | kdelgd fxhqwd gh odv uhodflrqhv
hqwuh odv frqvwdqwhv gho ghvduuroor hq vhulh gh odv ixqflrqhv fdudfwhuðvwlfdv | vxv
ghulydgdv vxfhvlydv hq ho sxqwr fhur
Ef ' Rf / g Ef ' &f
Ef ' R / g Ef ' &
Ef ' 2R2 / g Ef ' 2&2
11
1
E?
Ef ' ?-R? / g E? Ef ' ?-&?
11
1
srghprv hqfrqwudu iöupxodv txh shuplwdq ho fäofxor gh odv R? 1 Yhdprv xq
hmhpsor1
Hmhpsor 87 Gdgr xq prghor *(*/ fdofxodu odv iöupxodv sdud odv sured0
elolgdghv gh ? folhqwhv hq ho vlvwhpd1
Vroxflöq= Do vhu ghjhqhudgd od glvwulexflöq gho vhuylflr vh wlhqh

'
7'
>
|/ sru wdqwr/
&? '
?

e3b > b >
?-
'
e34 4?
/ sdud wrgr ? ' fc c 2c ?-
Gh hvwr vh vljxh txh
g E5 '
"
[
&? 5 ? '
?'f
34 45
' e e
"
[
e34 4?
?'f
4E53
'e
?1
5 ? ' e34
"
[
E45?
?'f
?-
210
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
Xwlol}dqgr hvwd h{suhvlöq uhvxowd
E5 '
5
E 4 E 5 e4E53
1
' E 4
e4E53 5
 5e34E53
Hq sduwlfxodu
Rf ' Ef '  4c
5
c
E5 ' E 4
 5e34E53
 n e34E53 5 2 4 n e34E53 54e34E53
c
E5 ' E 4
2
E 5e34E53 R ' Ef ' E 4 Ee4  c
E5 ' E 4 e34E53
2 e54 n 5 2 42 n 24 542 n e34E53 E5 42 2 n 254 5 2 42 c
E n 5e34E53 Ef
E 4 e4 E2 n 2e4 24
R2 '
'
2
2
' E 4 e4 E n e4 4 1
Frq fäofxorv vhphmdqwhv shur oderulrvrv vh sxhgh rewhqhu
R '
'
Re '
'
'
Ef
E 4 e4 ES4 n 42 n Se24 Se4 24e4 '
S

4
2
24
4
E 4 e 4 n 4 n e e E24 n  c
2
Ee
Ef
eE 4 e4 EeH4e4 2ee24 242 e4 n eH42 e4 .2e24 4 n 2ee4 2e


4
4
24
2
2 4
24
4
1
E 4 e 24e e 4 4 n 24 e e 4 n e
2
S
Gh khfkr/ sxhgh ghprvwuduvh sru lqgxfflöq od vljxlhqwh iöupxod jhqhudo
+
R? ' E 4 e?4 n
sdud ? ' fc c 2c ?3
[
'
%
?3 4
E
e
E4?3
E4?33
n
E? - E? -
&,
/
Dxqtxh hq ho hmhpsor dqwhulru vh sxgr rewhqhu xqd iöupxod jhqhudo sdud
wrgrv orv &? | hvwö shuplwlö hqfrqwudu xqd h{suhvlöq fhuudgd sdud od ixqflöq
g E5 hvwr qr hv vlhpsuh srvleoh1 Gh wrgrv prgrv hv iäflo gduvh fxhqwd gh txh
edvwd frqrfhu xq qýphur qlwr gh &? +orv sulphurv, sdud srghu lu rewhqlhqgr
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 211
xqdv fxdqwdv R? 1 Od irupd gh frqvhjxluor hv ghulydu irupdophqwh vxfhvlydphqwh
dperv plhpeurv gh od h{suhvlöq
E5 '
E 4 E 5 g E5
g E5 5
h lu hydoxdqgr glfkdv ghulydgdv vxfhvlydv hq 5 ' f1 Frq hvwr vh luäq hqfrq0
wudqgr h{suhvlrqhv gh odv vxfhvlydv R? hq wìuplqrv gh &f c & c c &? 1 Dvð/ sru
hmhpsor=
Ef '
E 4 &f
E 4 E f g Ef
'
'  4/
g Ef f
&f
frq or fxdo vh wlhqh txh
Rf ' Ef '  4
sdud fxdotxlhu prghor *C*1 Dghpäv
E5 ' E 4
|/ sru wdqwr/
dg E5 n E 5 g E5o dg E5 5o E 5 g E5 dg E5 o
dg E5 5o2
Ef ' E 4 idg Ef n E f g Efo dg Ef fo
32
Ef4foidg
E f g Ef dg Ef
oj'dg E
Ef
Ef n E f g Efo dg
E f g Ef dg Ef oj dg Ef fo32
E&f n & &f &f E& 
E&f n & &f &f E& 
' E 4
&f2 ' E 4
&f2

&f2 n &f

' E 4
' E 4
&1f2 n &f
2
' E&
' E 4
&f
f 4
&f2
&f
Sxglhqgr vhjxlu +frq ho lqfrqyhqlhqwh gh od frpsohmlgdg gh fäofxor, wdqwr frpr
vh ghvhh1
4615 Dsur{lpdflöq phgldqwh vlpxodflöq
Frpr khprv ylvwr hq ho fdvr gh xq prghor *C* od uhvroxflöq dqdoðwlfd gh
xq prghor gh frodv sxhgh frpsolfduvh pxfkr fxdqgr od glvwulexflöq gho wlhpsr
hqwuh oohjdgdv r od gho wlhpsr gh vhuylflr qr vrq h{srqhqfldohv1 Od vlpxodflöq
sursruflrqd xqd khuudplhqwd txh shuplwh hqfrqwudu/ gh irupd dsur{lpdgd/ orv
ydoruhv gh odv fdqwlgdghv txh kdelwxdophqwh qrv lqwhuhvdq hq wdohv prghorv1
Frpr vdehprv/ xqd idvh suhyld d od uhvroxflöq gh xq sureohpd phgldqwh
vlpxodflöq hv od prghol}dflöq gh od uhdolgdg1 Hvwr frqvlvwh hq hvshflfdu odv
212
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
yduldeohv uhdophqwh lpsruwdqwhv txh sduhfhq uhjlu ho vlvwhpd uhdo | odv uhod0
flrqhv txh h{lvwhq hqwuh hoodv1 Hq rfdvlrqhv od idvh gh prghol}dflöq hv px|
oderulrvd frq iuhfxhqwhv uhdolphqwdflrqhv hq odv txh vh yd ghsxudqgr ho prghor
frqvwuxðgr sdvr d sdvr1 Hq hvwh vhqwlgr/ od whruðd gh frodv hv suhflvdphqwh xqd
glvflsolqd txh wudwd gh prghol}du vlwxdflrqhv uhdohv hq odv txh h{lvwh hvshud
sdud gdu xq vhuylflr1 Dvð/ sru wdqwr/ vxsrqguhprv txh ho sureohpd |d vh kd
h{suhvdgr frpr xq prghor gh whruðd gh frodv | txh vh kdq hvshflfdgr |d odv
glvwulexflrqhv gho wlhpsr hqwuh oohjdgdv | gho wlhpsr gh vhuylflr1 Reyldphqwh
hvwr ýowlpr kd gh uhtxhulu xqd h{shulphqwdflöq uhdo suhyld sru od fxdo vh kd|dq
lgr revhuydqgr orv wlhpsrv sdud xqd vhulh gh folhqwhv gh dpedv yduldeohv1 Ql
txì ghflu wlhqh txh/ vlhpsuh txh ho prghor sxhgd uhvroyhuvh gh irupd dqdoðwl0
fd +sru hmhpsor xq **r*4*M, ìvwd vhuä suhihuleoh d od dsur{lpdflöq sru
vlpxodflöq/ sxhv gd xqd vroxflöq h{dfwd1 Gh wrgdv irupdv/ hq pxfkrv fdvrv
+vreuh wrgr dqwh od idowd gh h{srqhqfldolgdg, glfkd uhvroxflöq dqdoðwlfd qr vhuä
idfwleoh r vhuä px| frvwrvd | hv hqwrqfhv fxdqgr od dsur{lpdflöq sru vlpxodflöq
uhvxowd px| ýwlo1
Sdud mdu odv lghdv/ frqvlghuhprv xq prghor gh frodv px| vhqfloor shur
sdud ho txh qr glvsrqhprv +frq orv frqrflplhqwrv ylvwrv kdvwd dkrud, gh xqd
khuudplhqwd dqdoðwlfd sdud uhvroyhuor1 Shqvhprv hq xqd frod frq xq ýqlfr vhuyl0
gru/ fdsdflgdg gh kdvwd wuhv folhqwhv hq od frod | ixhqwh gh hqwudgd lolplwdgd1
Vxsrqjdprv txh/ hq edvh d h{shulphqwdflöq suhyld/ khprv hqfrqwudgr txh od
irupd ud}rqdeoh gh prghol}du orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv hv od glvwulexflöq gh
Zhlexoo/ ` Eqc k/ txh hv xqd jhqhudol}dflöq gh od glvwulexflöq i T Ek1 Vx
ixqflöq gh ghqvlgdg gh suredelolgdg hv
k
s E% ' kq k %k3 e3Eq% / sdud wrgr % f1
g
Frpr vh yh/ ` Eqc  ' i T Eq/ shur qrvrwurv vxsrqguhprv txh hq qxhv0
wur hmhpsor orv wlhpsrv hqwuh oohjdgdv +hq plqxwrv, sduhfhq dmxvwduvh d xqd
` Efc f2D1 Gh irupd sduhflgd/ wudv orv hvwxglrv rsruwxqrv khprv oohjdgr d
od frqfoxvlöq gh txh od gxudflöq hq plqxwrv gho wlhpsr gh vhuylflr vljxh xqd
L E2c H1 Vh wudwd/ sru wdqwr/ gh xq prghor `*L**1
Sdud hqfrqwudu phgldqwh vlpxodflöq dsur{lpdflrqhv gh odv fdqwlgdghv gh
lqwhuìv srghprv surfhghu gho vljxlhqwh prgr=
41 Vxsrqhu lqlfldophqwh txh qr kd| qlqjýq folhqwh hq ho vlvwhpd +l1h1 ' f,1
51 Vlpxodu duwlfldophqwh ho wlhpsr txh wdugduä hq oohjdu ho sulphu folhqwh
+gh dfxhugr d xqd glvwulexflöq ` Efc f2D,1
61 Xqd yh} ghmdgr wudqvfxuulu glfkr wlhpsr hq ho furqöphwur duwlfldo gho
vlvwhpd/ dfwxdol}du ho qýphur gh folhqwhv gho vlvwhpd + ' ,/ rewhqhu/
phgldqwh ho dojrulwpr gh jhqhudflöq gh qýphurv dohdwrulrv vhjýq xqd
L E2c H/ ho ydoru gho wlhpsr txh wdugduðd hq gäuvhoh vhuylflr d glfkr folhqwh
| wdpelìq ho wlhpsr txh wudqvfxuuluðd kdvwd od oohjdgd do vlvwhpd gho
vhjxqgr folhqwh +vhjýq xqd ` Efc f2D,1
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 213
71 Frpsdudu dperv wlhpsrv sdud vdehu fxäo gh dpedv frvdv vxfhghuä dqwhv
| ghmdu wudqvfxuulu ho wlhpsr gh hvh vxfhvr +ho txh dqwhv vxfhgh,1
81 Vl or txh rfxuuh dqwhv hv txh oohjd ho qxhyr folhqwh hqwrqfhv vh kduðd
' 2/ frqwdelol}dqgr ho wlhpsr gxudqwh ho fxäo kd kdelgr xq folhqwh hq
ho vlvwhpd1 Dghpäv ghehuðdprv vlpxodu ho wlhpsr kdvwd od oohjdgd gho
whufhu folhqwh | vhjxlu ho surfhvr1
91 Hq ho fdvr gh txh ho phqru gh orv wlhpsrv gho sdvr 7 ixhvh ho gh vhuylflr/
vh dfwxdol}duðd gäqgroh ho ydoru f | whqlhqgr hq fxhqwd ho wlhpsr gx0
udqwh ho fxäo kd kdelgr xq folhqwh hq ho vlvwhpd1 Oxhjr kdeuðd txh ghmdu
wudqvfxuulu or txh uhvwd gh wlhpsr kdvwd od oohjdgd gho vhjxqgr folhqwh |
frqwlqxdu ho surfhvr1
:1 Vhjýq ho hvtxhpd dqwhulru vh vlpxoduðdq odv oohjdgdv gh qxhyrv folhqwhv
do vlvwhpd | orv wlhpsrv gh vhuylflr gh folhqwhv/ whqlhqgr hq fxhqwd od
uhvwulfflöq dglflrqdo gh txh vl ho lqvwdqwh gh oohjdgd +whöulfr, gh xq folhqwh
do vlvwhpd vh surgxfh fxdqgr |d kd| wuhv hq frod +dghpäv gho txh hvwä
vlhqgr vhuylgr, hqwrqfhv od olplwdflöq gh od frod suryrfduðd txh hvh folhqwh
qr sxhgh hqwudu/ vlpxoäqgrvh ho wlhpsr kdvwd od vljxlhqwh oohjdgd1
Frpr vh sxhgh yhu hq orv sdvrv dqwhulruhv/ xqd vlpxodflöq gh hvwd qdwxudoh}d
+od oodpdgd vlpxodflöq sru hyhqwrv, uhtxhuluðd od frqwdelol}dflöq gh xqd vhulh
gh yduldeohv txh qrv yd|dq gdqgr ho hvwdgr gho vlvwhpd hq fdgd lqvwdqwh= ho
qýphur gh folhqwhv hq ho vlvwhpd/ ho wlhpsr txh idowd sdud txh vh surgx}fd od
vljxlhqwh oohjdgd | ho wlhpsr txh uhvwd sdud whuplqdu ho vhuylflr gho folhqwh txh
hvwä vlhqgr vhuylgr +vl or hvwä vlhqgr dojxqr,1 Oöjlfdphqwh/ sdud lpsohphqwdu
hvwd vlpxodflöq vhuä qhfhvdulr xwlol}du orv dojrulwprv ylvwrv hq orv sulphurv
fdslwxorv/ txh shuplwluäq rewhqhu ydoruhv duwlfldohv txh vljdq odv glvwulexflrqhv
hvshflfdgdv1
Dvð/ hq hvwh fdvr txh hvwdprv ylhqgr d wðwxor gh hmhpsor/ sxhgh xvduvh ho
pìwrgr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu iäflophqwh odv glvwulexflrqhv ` Efc f2D |
L E2c H1 Sdud hoor edvwd rewhqhu sulphudphqwh vxv ixqflrqhv gh glvwulexflöq=
]
8 E% '
f
%
]
s E| _| '
' e
3Eq%k
f
%
l
k
k
k |'%
kq k |k3 e3Eq| _| ' e3Eq|
|'f
c vl % f/ sdud od Zhlexoo/
3Efu%f2D
frq or fxdo/ 8 E% '  e
c vl % f/ sdud od ` Efc f2D |
] %
] %

_|
} E| _| '
C E% '
2
2 S
%2
'
c vl % 5 d2c Ho/ sdud od L E2c H
S
214
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas
Ricardo Cao Abad
| oxhjr hqfrqwudu vxv uhvshfwlydv lqyhuvdv=
f2D
f2D
8 E% ' + /  e3Efu% ' + / e3Efu% '  +
/ Ef %f2D ' *? E + / f % ' d *? E +oe
/ % ' f d *? E +oe / 8 3 E+ ' f d*? E +oe /
%2
C E% ' + /
' + / % ' S+ n 2 / C3 E+ ' S+ n 21
S
Ilqdophqwh/ orv dojrulwprv sdud vlpxodu dpedv glvwulexflrqhv vhuðdq=
Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq ` Efc f2D
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu f ' f d*? E L oe 1
Dojrulwpr gh lqyhuvlöq sdud vlpxodu od glvwulexflöq L E2c H
41 Jhqhudu L L Efc 1
51 Ghyroyhu t ' SL n 21
Phgldqwh xqd surjudpd gh vlpxodflöq frpr ho hver}dgr päv duuled vhuðd
srvleoh rewhqhu dsur{lpdflrqhv sdud odv fdqwlgdghv gh lqwhuìv1 Dvð/ sru hmhp0
sor/ od suredelolgdg gh txh kxelhvh 5 folhqwhv hq ho vlvwhpd vh dsur{lpduðd
phgldqwh od iudfflöq gho wlhpsr vlpxodgr hq ho txh ho vlvwhpd duwlfldo wxyr
hvh qýphur gh folhqwhv1 Ho wlhpsr phglr txh xq folhqwh sdvd hq od frod sxhgh
dsur{lpduvh phgldqwh vlpxodflöq xwlol}dqgr ho surphglr gh orv wlhpsrv hq od
frod gh orv folhqwhv txh kdq sdvdgr sru od vlpxodflöq1
4616 Hmhuflflrv sursxhvwrv
41 Wrpdqgr frpr mdv odv wdvdv gh oohjdgd | vhuylflr hq xq prghor *C*/
Áfxäo hv od glvwulexflöq gho wlhpsr gh vhuylflr txh sursruflrqd xq phqru
qýphur phglr gh folhqwhv hq ho vlvwhpdB ÁTxì uhodflöq jxdugd glfkr ydoru
pðqlpr frq ho fruuhvsrqglhqwh d xq prghor **B
51 D xqd fhqwudolwd whohiöqlfd oohjdq oodpdgdv/ vhjýq xq surfhvr gh Srlvvrq/
d ud}öq gh 7 sru plqxwr1 Ho wlhpsr txh hpsohd od ýqlfd whohirqlvwd hq
gluhfflrqdu fdgd oodpdgd vljxh xqd glvwulexflöq glvfuhwd frq orv ydoruhv
gh 8 vhjxqgrv/ frq suredelolgdg 2 | 48 vhjxqgrv frq suredelolgdg 2 1
Vxsrqlhqgr txh odv oodpdgdv uhflelgdv plhqwudv od rshudgrud hvwä rfxsd0
gd vh pdqwlhqhq hq hvshud sdud vhu dwhqglgdv vhjýq vx rughq gh oohjdgd/
fdofxodu=
+d, Ho qýphur phglr gh oodpdgdv hq hvshud +lqfox|hqgr od txh hvwä
dwhqglhqgr od whohirqlvwd,1
Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 215
+e, Od suredelolgdg gh txh kd|d päv gh xqd oodpdgd hvshudqgr d vhu
dwhqglgd sru od whohirqlvwd1
61 Gdgr xq prghor *K E^ >c ^ */ rewhqhu ho ydoru gho qýphur phglr gh
folhqwhv hq ho vlvwhpd frpr ixqflöq gh od wdvd gh oohjdgdv/ b/ | orv grv
sduäphwurv lqyroxfudgrv hq od glvwulexflöq gho vhuylflr/ > | ^1 Gdgr txh
^
' > / glvfxwlu orv ydoruhv txh
od phgld gh od glvwulexflöq gh vhuylflr hv >u^
vh rewlhqhq sdud od fdqwlgdg dqwhulruphqwh kdoodgd/ frq uhvshfwr d od gh
xq prghor ** +frq wdvd gh oohjdgdv b | wdvd gh vhuylflrv >,/ vhjýq
orv ydoruhv gh ^ : f1 ÁD txh ydoruhv wlhqgh glfkd fdqwlgdg hq orv fdvrv
h{wuhprv +^ $ fn | ^ $ 4,B
14
Bibliografía
Bibliografía 219
471 0
Doohq/ D1R1 +4<<3,1 Suredelolw|/ vwdwlvwlfv dqg txhxhlqj wkhru| zlwk frpsxwhu
vflhqfh dssolfdwlrqv1 Dfdghplf Suhvv1
D}dudqj/ P1 U1 | Jdufðd Gxqqd/ H1 +4<<9,1 Vlpxodflöq | dqäolvlv gh prghorv
hvwrfävwlfrv1 PfJudz0Kloo1
Eudwoh|/ S1/ Ir{/ E1 O1 | Vfkudjh O1 H1 +4<<3,1 D jxlgh wr vlpxodwlrq1 Vsulqjhu0
Yhuodj1
Exqgd|/ E1G1 +4<<9,1 Dq lqwurgxfwlrq wr txhxhlqj wkhru|1 Duqrog1
Ghyur|h/ O1 +4<;9,1 Qrq0xqlirup udqgrp yduldwh jhqhudwlrq1 Vsulqjhu0Yhuodj1
Jhohqeh/ H1 | Sxmrooh/ J1 +4<;:,1 Lqwurgxfwlrq wr txhxhlqj qhwzrunv1 Zloh|1
Jhqwoh/ M1H1 +4<<;,1 Udqgrp qxpehu jhqhudwlrq dqg Prqwh Fduor phwkrgv1
Vsulqjhu0Yhuodj1
Jurvv/ G1 | Kduulv/ F1P1 +4<;8,1 Ixqgdphqwdov ri txhxhlqj wkhru|1 Zloh|1
Nduldq/ ]1D1 | Gxghzlf} H1M1 +4<<4,1 Prghuq vwdwlvwlfdo v|vwhpv dqg JSVV
vlpxodwlrq1 Frpsxwhu Vflhqfh Suhvv1
Nohlqurfn/ O1 +4<:8,1 Txhxhlqj v|vwhpv1 Yroxph L= Wkhru|1 Zloh|1
Nohlqurfn/ O1 +4<:8,1 Txhxhlqj v|vwhpv1 Yroxph LL= Frpsxwhu dssolfdwlrqv1
Zloh|1
Odz/ D1P1 | Nhowrq/ Z1G1 +4<<4,1 Vlpxodwlrq/ prgholqj dqg dqdo|vlv1 PfJudz0
Kloo1
Phgkl/ M1 +4<<4,1 Vwrfkdvwlf prghov lq txhxhlqj wkhru|1 Dfdghplf Suhvv1
Prhvfkolq/ R1/ Ju|fnr/ H1/ Srko/ F1 | Vwhlqhuw/ I1 +4<<;,1 H{shulphqwdo vwr0
fkdvwlfv1 Vsulqjhu0Yhuodj1
Qhovrq/ U1 +4<<8,1 Suredelolw|/ vwrfkdvwlf surfhvvhv/ dqg txhxhlqj wkhru| = wkh
pdwkhpdwlfv ri frpsxwhu shuirpdqfh prghoolqj1 Vsulqjhu0Yhuodj1
Urvv/ V1 P1 +4<<<,1 Vlpxodflöq1 Suhqwlfh Kdoo1
Vddw|/ W1O1 +4<;6,1 Hohphqwv ri txhxhlqj wkhru| zlwk dssolfdwlrqv1 Gryhu1
Wulyhgl/ N1V1 +4<;5,1 Suredelolw| dqg vwdwlvwlfv zlwk uholdelolw|/ txhxhlqj wkhru|
dqg frpsxwhu vflhqfh dssolfdwlrqv1 Suhqwlfh Kdoo1
Ydq Glmn/ Q1P1 +4<<6,1 Txhxhlqj qhwzrunv dqg surgxfw irupv1 D v|vwhpv
dssurdfk1 Zloh|1