Capítulo 7 Introducción al Equilibrio General
Anuncio
Fdsðwxor :
Lqwurgxfflöq do Htxloleulr
Jhqhudo
Hq hvwh fdsðwxor vh lqwurgxfh od qrflöq gh htxloleulr jhqhudo glqäplfr xwl0
ol}dqgr hfrqrpðdv gh lqwhufdpelr sxur1 H{whqghu hvwh wlsr gh dqäolvlv d
htxloleulr jhqhudo frq surgxfflöq hv lqphgldwr/ frqfhswxdophqwh hv lgìqwlfr/
vl elhq hv päv frpsolfdgr hq wìuplqrv gh qrwdflöq1 Sru hoor/ od glvfxvlöq gh
htxloleulr jhqhudo frq surgxfflöq vh kduä gh irupd hvshfðfd hq orv fdsðwxorv
vljxlhqwhv1
Hq ho fdsðwxor 7 dqdol}dprv od ghflvlöq gh frqvxpr2dkruur gh xq lqglylg0
xr wrpdqgr frpr gdgrv orv wlsrv gh lqwhuìv/ hv ghflu/ hq htxloleulr sdufldo1
Hvrv wlsrv gh lqwhuìv vh ghwhuplqdq sru od lqwhudfflöq gh orv lqglylgxrv hq
orv phufdgrv gh fuìglwr1 Hvshflfdu hvwr ghqwur gh xq prghor gh irupd txh
orv suhflrv vh ghwhuplqhq sru od dfflöq gh orv lqglylgxrv hv xq dqäolvlv gh
htxloleulr jhqhudo1
Hvwh prghor sxhgh lqwhusuhwduvh frpr xqd irupdol}dflöq vlpsoh gh xq
vlvwhpd qdqflhur hq ho fxdo orv lqglylgxrv lqwhufdpeldq dfwlyrv hq ho wlhpsr1
Od xwlol}dflöq h{soðflwd gh xqd qrflöq gh htxloleulr shuplwluä rewhqhu gh
irupd hqgöjhqd orv suhflrv gh htxloleulr/ d wudyìv gh xq surfhvr gh lqwhudflöq
frpshwlwlyd gh orv djhqwhv hq orv glvwlqwrv phufdgrv +qdqflhurv | gh elhqhv,1
Orv suhflrv gh htxloleulr vrq dtxhoorv uhvxowdqwhv gh kdfhu frpsdwleohv odv
ghflvlrqhv gh frpsud | yhqwd gh wrgrv orv lqglylgxrv hq fdgd xqr gh orv
phufdgrv1
Od h{lvwhqfld gh xq vlvwhpd qdqflhur hq od hfrqrpðd yd d shuplwlu phmr0
udu ho elhqhvwdu gh orv lqglylgxrv uhvshfwr d xqd vlwxdflöq hq od txh qr h{0
lvwlhud hvwh wlsr gh lqvwlwxflöq1 Od dxvhqfld gh hvwh wlsr gh lqvwlwxflrqhv
lpshgluä d orv lqglylgxrv wudqvihulu uhfxuvrv lqwhuwhpsrudophqwh/ gh irupd
txh od dvljqdflöq gh uhfxuvrv hvwduä ghwhuplqdgd xqlyrfdphqwh sru ho qlyho
gh lqjuhvrv gh fdgd shulrgr1 Frpr ghprvwuduhprv päv dghodqwh od dvlj0
444
445
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
qdflöq uhvxowdqwh gho phufdgr vhuä hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 Gh hvwd
irupd qr vhuä srvleoh phmrudu qlqjýq lqglylgxr hq od hfrqrpðd vlq hpshrudu
d qdglh1
Gh irupd dglflrqdo/ hq suhvhqfld gh lqfhuwlgxpeuh ho vlvwhpd qdqflhur qr
vöor shuplwh wudqvihulu uhfxuvrv hqwuh prphqwrv glihuhqwhv gho wlhpsr/ vlqr
wdpelìq hqwuh hvwdgrv gh od qdwxudoh}d glvwlqwrv1 Hvwr uhfrjh odv srvlelolgdghv
gh orv lqglylgxrv gh dvhjxuduvh iuhqwh do ulhvjr lqglylgxdo1
:14
Hvwuxfwxud Eävlfd vlq Lqfhuwlgxpeuh
Od fdudfwhuðvwlfdv eävlfdv gh od hfrqrpðd vrq vlploduhv d odv gho fdsðwxor
dqwhulru1 Vxsrqhprv xqd hfrqrpðd gh grv shulrgrv/ hq od fxdo kd| h{lvwh
xq qýphur gh lqglylgxrv U c grqgh ghqrwd do lqglylgxr l0ìvlpr1 Hq fdgd
prphqwr gho wlhpsr h{lvwh xq elhq gh frqvxpr/ ghqrwdgr sru S| | S|n1
Od suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv hvwäq uhsuhvhqwdgdv phgldqwh od vljxlhqwh
ixqflöq gh xwlolgdg=
L ES| c S|n ' ES| n q ES|n c
grqgh q 5 Efc hv ho idfwru gh ghvfxhqwr vxemhwlyr gh fdgd lqglylgxr1 Odv
suhihuhqfldv fxpsohq odv vljxlhqwhv surslhgdghv= : f | f
Hq fdgd prphqwr gho wlhpsr fdgd lqglylgxr glvsrqh gh xqd grwdflöq gh
uhfxuvrv txh hvwä gdgd sru/
/ ' E/ | c / |n Gh hvwd irupd orv lqglylgxrv whq0
guäq lqfhqwlyrv d lqwhufdpeldu uhfxuvrv hq od phglgd txh vx grwdflöq lqlfldo
qr frlqflgd frq ho sdu +frqvxpr suhvhqwh/ frqvxpr ixwxur, päv suhihulgr hq
ho frqmxqwr gh hohfflöq ghwhuplqdgr sru od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld lqgl0
[
[
ylgxdo1 Od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv hq od hfrqrpðd hvwä gdgd sru=
U
`|
'
'
/ |
U
` |n
'
'
/ |n
grqgh
`|
sxhgh lqwhusuhwduvh frpr ho SLE gh od hfrqrpðd hq ho shulrgr
|
Frpr yhuhprv päv dghodqwh/ reyldu od surgxfflöq hq hvwh hvtxhpd | hvwxgldu
vöor lqwhufdpelr qr dihfwduä gh irupd lpsruwdqwh d orv sulqflsdohv uhvxowdgrv1
:15 Hvshflfdflöq Vhfxhqfldo
D frqwlqxdflöq ghvfulelprv ho prghor eävlfr gh htxloleulr jhqhudo frq xqd
hvwuxfwxud vhfxhqfldo gh phufdgrv txh deuh | flhuud hq fdgd shulrgr1 Hq ho
:151
446
HVSHFLILFDFLÖQ VHFXHQFLDO
prphqwr | h{lvwh xq phufdgr sdud lqwhufdpeldu elhqhv gh frqvxpr hq |/ hv
ghflu S| Xqd yh} flhuud hvwh phufdgr/ deuh rwur hq ho vljxlhqwh shulrgr grqgh
vöor vh sxhgh lqwhufdpeldu ho elhq gh frqvxpr hq | n c hv ghflu S|n Hq
| n c h{lvwh xq phufdgr sdud lqwhufdpeldu S|n c shur ho phufdgr gho elhq gho
frqvxpr gho shulrgr dqwhulru |d kd fhuudgr1 H{lvwh xq phufdgr dglflrqdo
txh shuplwh d orv lqglylgxrv wudqvihulu ultxh}d hq ho wlhpsr/ @|n c gh irupd
txh shuplwh frpsudu hq orv phufdgrv gh elhqhv xqd fdqwlgdg vxshulru d od
grwdflöq gh uhfxuvrv glvsrqleoh hq fdgd shulrgr1 Od hvwuxfwxud gh phufdgrv
ghvfulwd ghqh gh xqd irupd px| vhqflood od qrflöq gh xq vlvwhpd qdqflhur1
Ghqlflöq +Vlvwhpd Ilqdqflhur,= Ho vlvwhpd qdqflhur hv xq frqmxq0
wr gh lqvwlwxflrqhv txh wlhqhq sru qdolgdg fdqdol}du ho dkruur gh orv djhqwhv
txh wlhqhq fdsdflgdg gh qdqfldu kdfld dtxhoorv txh wlhqhq qhfhvlgdghv 0
qdqflhudv1
D shvdu gh qr h{lvwlu lqfhuwlgxpeuh hq hvwh wlsr gh hfrqrpðdv/ vh fds0
wxud xqr gh orv sdshohv sulqflsdohv gho vlvwhpd qdqflhur/ txh hv shuplwlu
wudqvihulu ultxh}d hq ho wlhpsr1 Hvwh sdsho qr ydulduä vxvwdqfldophqwh frq od
lqwurgxfflöq gh lqfhuwlgxpeuh/ sxhv hq hvwh fdvr orv lqglylgxrv wdpelìq whq0
guäq qhfhvlgdg gh wudqvihulu uhqwd hq orv glvwlqwrv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d/
frpr yhuhprv do qdo gho fdsðwxor1
Sdud rewhqhu xq suhglfflöq hq wìuplqrv gh dvljqdflöq gh uhfxuvrv hv
qhfhvdulr ghqlu xq phfdqlvpr txh shuplwh lu gh od hvwuxfwxud eävlfd gh
od hfrqrpðd d od dvljqdflöq gh uhfxuvrv1 Hq hvwh fdvr sodqwhdprv xqd hvwuxf0
wxud vhfxhqfldo gh phufdgr txh txhgd sodvpdgd hq od qrflöq gh htxloleulr
vhfxhqfldo1 Ho frqfhswr gh htxloleulr vhfxhqfldo ghvfuleh h{soðflwdphqwh txlìq
lqwhufdpeld frq txlìq | hq txì prphqwr gho wlhpsr1
Ghqlflöq +Htxloleulr Vhfxhqfldo,= Xq htxloleulr vhfxhqfldo
hv xqd dvljqdflöq gh uhfxuvrv sdud fdgd lqglylgxr / iS| c S|n c @|njU'
| xq suhflr io| j wdo txh=
41 Ho lqglylgxr holjh iS| c S|n c @|n j do vroxflrqdu=
t
4@
ES| n q ES|n r@
S| n @|n / |
n n S| cS|
c@|
S|n E n o|n @|n n / |n
S| c S|n f
51
Orv phufdgrv vh ydfðdq +ghpdqgd0rihuwd
f, ; =
|
447
FDSÐWXOR :1
Phufdgrv hq
|
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
[ [
G
U
'
ES|
/|
f
c
U
Phufdgrv hq
|
'
[
n G
U
'
n ' fc
@|
ES|n
n f
/|
Od rewhqflöq gh orv suhflrv gh htxloleulr sdvd sru vroxflrqdu orv sureoh0
pdv gh hohfflöq lqwhuwhpsrudo gh fdgd lqglylgxr/ | hqfrqwudu orv suhflrv txh
kdfhq frpsdwleohv orv ghvhrv gh fdgd lqglylgxr/ gh irupd txh d orv suhflrv
h{lvwhqwhv/ qlqjýq lqglylgxr wlhqh lqfhqwlyrv d fdpeldu vx ghflvlöq1
Gdgd od hvwuxfwxud whpsrudo gho prghor/ frq vöor grv phufdgrv gh frq0
vxpr/ sru od oh| gh Zdoudv/ vl xqr hvwä hq htxloleulr ho rwur wdpelìq wlhqh
txh hvwdu hq htxloleulr1 Gh hvwd irupd hqfrqwudqgr ho suhflr txh htxloleud
od rihuwd | od ghpdqgd hq xq phufdgr/ rewhqhprv txh hvh suhflr wdpelìq
htxloleud ho rwur phufdgr1
Yhdprv xq fdvr sduwlfxodu sdud yhu föpr hv srvleoh rewhqhu ho suhflr gh
htxloleulr hq xqd hfrqrpðd hq od txh kd| wdq vöor grv lqglylgxrv/ hv ghflu
U ' 2 Hqwuh sduìqwhvlv ghqrwdprv od ixqflöq gh h{fhvr gh ghpdqgd gh
elhq gh frqvxpr hq ho prphqwr |/ txh uh hmd od glihuhqfld hqwuh ho qlyho gh
frqvxpr öswlpr do qlyho gh suhflrv | od grwdflöq gh uhfxuvrv gho shulrgr1
E
S / n ES2 /2 f
|
|
|
|
;|
Vl odv suhihuhqfldv vrq prqöwrqdv ho htxloleulr hq ho phufdgr gh elhqhv hq
ho prphqwr | lpsolfd txh hvwd hfxdflöq vh fxpsoh frq ljxdogdg1 Hv ghflu/
orv h{fhvrv gh ghpdqgd gh xq frqvxplgru vrq ljxdohv d orv h{fhvrv gh rihuwd
gho rwur frqvxplgru/ gh irupd txh hq ho djuhjdgr rihuwd hv ljxdo d ghpdqgd1
Hqwrqfhv ESe| / | ' ESe2| / 2| 1 Whqlhqgr hq fxhqwd txh od glihuhqfld
hqwuh od grwdflöq | ho frqvxpr gho prphqwr | hv ho yroxphq gh dfwlyrv txh
orv frqvxplgruhv dfxpxodq sdud ho shulrgr vljxlhqwh/ whqguhprv txh e@|n '
e@2|n1
Hq fdpelr/ sdud xq yhfwru gh suhflrv fxdotxlhud/ hvwd greoh frlqflghqfld
gh lqwhuhvhv qr wlhqh sru txì gduvh | sxhgh rfxuulu txh=
E
S / n ES2 ~}/2 9' f
f
:f
| ~} |
|
|
:151
448
HVSHFLILFDFLÖQ VHFXHQFLDO
| vxsrqjdprv txh E/ | S| : ES2| / 2| 1
Hvwr lpsolfd txh @|n : f/ @2|n f | @|n n @2|n : f1 Sru wdqwr/ d orv
suhflrv dfwxdohv/ orv sodqhv gh orv lqglylgxrv qr vrq pxwxdphqwh frqvlvwhqwhv1
Ho lqglylgxr 4 txlhuh suhvwdu päv uhfxuvrv txh orv txh hvwä glvsxhvwr d shglu
suhvwdgr ho lqglylgxr 51 Hvwr vljqlfd txh ho suhflr dfwxdo gho fuìglwr +wlsr gh
lqwhuìv uhdo, hv h{fhvlydphqwh dowr/ sxhv hq ho phufdgr gh suìvwdprv h{lvwh xq
h{fhvr gh rihuwd1 Sru wdqwr ho wlsr gh lqwhuìv fdh kdvwd dofdq}du ho htxloleulr
hq ho phufdgr1
Sdud txh orv lqglylgxrv lqwhufdpelhq uhfxuvrv hq od hfrqrpðd ghehq whqhu
lqfhqwlyrv lpsruwdqwhv d kdfhuor/ gh irupd txh hvshudq ehqhflduvh frq ho
surfhvr gh lqwhufdpelr dfxglhqgr do phufdgr1 D frqwlqxdflöq dqdol}dprv
grv fdvrv sduwlfxoduhv/ hq ho sulphur orv lqglylgxrv whqguäq odv plvpdv suhi0
huhqfldv shur glvwlqwd grwdflöq lqlfldo gh uhfxuvrv1 Hq ho vhjxqgr fdvr orv
lqglylgxrv whqguäq glvwlqwdv suhihuhqfldv h ljxdo grwdflöq gh uhfxuvrv1
Hmhpsor 4= Frqvlghuh xqd hfrqrpðd irupdgd sru grv wlsrv gh lqglylgx0
rv/ ' c 2 Odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv hvwäq uhsuhvhqwdgdv phgldqwh
od vljxlhqwh ixqflöq gh xwlolgdg/ E ' *? S| c dghpäv dperv lqglylgxrv wlhqhq
ho plvpr idfwru gh ghvfxhqwr lqwhuwhpsrudo/ hv ghflu q ' qc ;4
Vh sxhgh surfhghu d vroxflrqdu ho prghor hq grv hwdsdv/ vljxlhqgr od
ghqlflöq gh htxloleulr frpshwlwlyr1 Hq sulphu oxjdu vh ghulydq odv ixqflrqhv
gh frqvxpr | dkruur gh fdgd lqglylgxr/ | hq vhjxqgr oxjdu vh hqfxhqwudq orv
suhflrv gh htxloleulr txh ydfðdq orv phufdgrv gh fdgd shulrgr | rewhqhprv
odv fdqwlgdghv frqvxplgdv d orv suhflrv gh htxloleulr1
Hwdsd 4= Sureohpd gh orv djhqwhv
Od vroxflöq gho sureohpd gh hohfflöq gh orv frqvxplgruhv ylhqh gdgd sru
od vljxlhqwhv ixqflrqhv gh frqvxpr | dkruur=
S
|
'
S n
'
@ n
'
|
|
Hqwrqfhv/ vl
/ |n
/ n
nq
n o|n
q / n /|n E n o |n
|
nq
n o|n
/
|n
q/| n o
nq
|n
|
;
?
n
q/ n n = :
|
/|
o|
@3 frqvxpr gh dxwdutxðd
3 yhqgh oltxlgh}
3 frpsud oltxlgh}
4 Sdud txh h{lvwd lqwhufdpelr hq hvwd hfrqrpðd/ hq od fxdo dperv lqglylgxrv ydorudq sru
ljxdo ho ixwxur/ hv qhfhvdulr txh fdgd xqr gh hoorv whqjd xqd grwdflöq gh idfwruhv glvwlqwd/
l
m
Vl qr ìvwrv qr whqguðdq qlqjýq lqfhqwlyr d lqwhufdpeldu uhfxuvrv/ sxhv
$ 9@ $ > l 9@ m=
vhuðdq h{dfwdphqwh ljxdohv1
449
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Hwdsd 5= Ghwhuplqdflöq gh suhflrv
Hv qhfhvdulr hqfrqwudu ho htxloleulr hqwuh rihuwd | ghpdqgd hq ho phufdgr
gh elhqhv1
Sru od oh| gh Zdoudv vl
phufdgrv hvwäq hq htxloleulr/
hqwrqfhv wrgrv orv phufdgrv hvwäq hq htxloleulr1
Sdud hoor exvfduhprv ho
suhflr gh htxloleulr hq ho phufdgr gh elhqhv gh frqvxpr hq ho prphqwr
|
S n S2 ' / n /2
2
/
/
n
n
2
/ n n o n n q / n n o ' / n /2
nq
n
n
2
2
2
/
n/ n
E/ n n / n ' / n /
nq
no
|
|
|
|
|
|
|
|
|n
|
|
|
|n
/ n /2 n no
|
|
|
|
E
|
|
|
|
|
/n n / 2n ' E n q E/ n /2
E
|
|
|
|
Gh hvwd h{suhvlöq srghprv dlvodu orv suhflrv uhodwlyrv=
n
eo n ' q
|
/
/2n / n /2
|n
n
|
|
|
Dowhuqdwlydphqwh srguðdprv fdofxodu ho suhflr gh htxloleulr d wudyìv gho
@ n @2 ' f Vh ghmd frpr hmhuflflr do ohfwru frpsuredu
txh vh rewlhqh ho plvpr uhvxowdgr1 Hq hvwh fdvr ho suhflr gh htxloleulr n e
o n
phufdgr gh dfwlyrv/
|
|
|
ghshqgh gho idfwru gh ghvfxhqwr lqwhuwhpsrudo gh orv djhqwhv | gho udwlr hqwuh
od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv gh fdgd shulrgr1 D sduwlu gh od vroxflöq
jhqhudo yhdprv dojxqrv fdvrv sduwlfxoduhv1
41
Grwdflöq Djuhjdgd Frqvwdqwh
Vxsrqjdprv txh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv qr fdpeld hq ho
wlhpsr1 Hvwr lpsolfd txh ho wlsr gh lqwhuìv gh phufdgr hv ljxdo d od
lqyhuvd gho idfwru gh ghvfxhqwr gh orv lqglylgxrv=
n
o n ' q
|
Fxdqwr päv sdflhqwhv vhdq orv lqglylgxrv +pd|ru
q
phqru vhuä od
uhqwdelolgdg gho dkruur1 Plhqwudv txh fxdqwr phqrv sdflhqwhv vhdq orv
lqglylgxrv +phqru
q pd|ru vhuä od uhqwdelolgdg gho dkruur1 Frpr fd
q'
fc
vrv h{wuhprv srghprv yhu txh vl
q $ fc
o n $ 4
hqwrqfhv od uhqwdelolgdg hv
0
hv
ghflu ho suhflr gho vhjxqgr shulrgr hv ljxdo txh ho gho sulphu shulrgr1
Fxdqgr
hqwrqfhv
|
D phglgd txh orv lqglylgxrv vrq
päv lpsdflhqwhv/ pd|ru hv ho suhflr txh ghehq sdjdu dtxhoorv lqglylg0
xrv txh ghvhdq hqghxgduvh/ sxhv wrgr ho pxqgr ghvhd wudqvihulu uhqwd
gho ixwxur do suhvhqwh/ shur qr do uhyìv1
:151
51
HVSHFLILFDFLÖQ VHFXHQFLDO
44:
Fuhflplhqwr Hfrqöplfr
Vxsrqjdprv txh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv qr hv frqvwdqwh hq
ho wlhpsr/ hv ghflu txh od fdqwlgdg gh uhfxuvrv gh od hfrqrpðd hq ho
prphqwr
|c
sxhgh vhu fuhfhu hq ho wlhpsr/ | ghqrwdprv sru
}
d od wdvd
gh fuhflplhqwr gh od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv1
/ n ' n }
/
|
|
Vl
}'f
} 5 -
hqwrqfhv hvwdprv hq ho fdvr dqwhulru1
Vh sxhgh uhhvfulelu ho
suhflr gh htxloleulr gh od vljxlhqwh irupd=
n
gdgr txh
q c
o n ' E nq }
|
hvwh udwlr hv vlhpsuh srvlwlyr1
Hvwr hv hvtxlydohqwh
d vxvwlwxlu hvwd h{suhvlöq sru xqd qxhyd wdvd gh ghvfxhqwr whpsrudo
fruuhjlgd sru od yduldflöq hq ho wdpdôr gh od grwdflöq gh uhfxuvrv
h ' q Vxvwlwx|hqgr hvwd h{suhvlöq rewhqhprv xqd
n}
hfxdflöq vlplodu d od dqwhulru frq ho qxhyr idfwru gh ghvfxhqwr1
gh od hfrqrpðd/ q
D frqwlqxdflöq dqdol}dprv xq vhqfloor hmhpsor qxpìulfr sdud loxvwudu
föpr rewhqhu odv dvljqdflrqhv gh htxloleulr d sduwlu gh orv suhflrv gh htxloleulr
| odv grwdflrqhv gh uhfxuvrv1 Od glvwulexflöq gh uhfxuvrv sdud fdgd lqglylgxr
hvwä gdgd sru=
/
/
2
' E/ | c / |n ' E2c
' E/ 2| c / 2|n ' Ec 2
Vl ho wlsr gh lqwhuìv hv srvlwlyr ho lqglylgxr 4 wlhqh xqd pd|ru uhqwd hq
ydoru suhvhqwh/ sdud fxdotxlhu wlsr gh lqwhuìv1 Hq hvwh fdvr od hydoxdprv do
wlsr gh lqwhuìv gh htxloleulr=
n
2
n
/|
/|
/ |n
n oe|n
2
/ |n
n oe|n
' 2nq
' n 2q
Odv ixqflrqhv gh frqvxpr gh fdgd lqglylgxr hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv
h{suhvlrqhv/
2nq
e| ' eS|n '
S
nq
44;
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
e2| ' eS2|n '
S
n 2q
nq
Frpr ho idfwru gh ghvfxhqwr fxpsoh q 5 Efc hqwrqfhv 2n q : n2q c sru
or wdqwr ho lqglylgxr wlsr 4 vlhpsuh frqvxpluä päv elhqhv txh ho lqglylgxr 51
Hvwr hv ghelgr d txh hv päv ulfr/ sxhv ho ydoru suhvhqwh gh vx xmr gh uhfxuvrv
hv vxshulru do gho lqglylgxr 51 Sdud yhulfdu txh od uhvwulfflöq gh uhfxuvrv vh
fxpsoh frq ljxdogdg d orv suhflrv gh htxloleulr edvwd frq frpsureduor=
eS| n eS2| '
n 2q
2nq
n
'
nq
nq
Srghprv fdofxodu ho qlyho gh dfwlyrv öswlpr d sduwlu gh od uhvwulfflöq
lqwhuwhpsrudo=
e@2|n
2q q
q
'
nq
nq
q
2q
q
'
'
nq
nq
e@|n '
Frpr srghprv revhuydu orv ghvhrv gh dfxpxodu dfwlyrv frlqflghq1 Sdud
hoor edvwd frq vxvwlwxlu orv suhflrv gh htxloleulr E n o|Wn hq od Hfxdflöq gh
Hxohu=
' S| S|n ' qS| E n o|n ' qS|
q
Sru or wdqwr ho frqvxpr hq fdgd prphqwr gho wlhpsr hv ljxdo1 Vl od grwdflöq
djuhjdgd gh uhfxuvrv fuhflhud d xqd wdvd frqvwdqwh E n } hqwrqfhv orv suh0
flrv uhodwlyrv gh htxloleulr vhuðdq n o|Wn ' E n } *q Vxvwlwx|hqgr hq od
fruuhvsrqglhqwh Hfxdflöq gh Hxohu rewhqhprv=
,
n ' S| E n } '
S|
n : S| S|
Sru or wdqwr ho frqvxpr fuhfh hq ho wlhpsr d od wdvd d txh fuhfh od grwdflöq
djuhjdgd gh uhfxuvrv1 Ho pd|ru wlsr gh lqwhuìv uh hmd od uhodwlyd hvfdvh} gh
uhfxuvrv hq ho sulphu shulrgr1
:16 Hvshflfdflöq Duurz0Gheuhx
Od hvwuxfwxud gh phufdgr Duurz0Gheuhx hv frqfhswxdophqwh glvwlqwd d od
hvwuxfwxud vhfxhqfldo gh phufdgr/ d shvdu gh hoor yhuhprv txh vrq htxlyd0
ohqwhv1 Hvwr lpsolfd txh edmr fxdotxlhud gh hvwdv hvwuxfwxudv odv dvljqdflrqhv
uhvxowdqwhv hq od hfrqrpðd qr vh yhuäq dihfwdgdv sru ho wlsr gh hvwuxfwxud gh
phufdgr1
:161
44<
HVSHFLILFDFLÖQ DUURZ0GHEUHX
Hq xq pdufr whöulfr gh Duurz0Gheuhx vh edvd hq od uhghqlflöq gho frq0
fhswr gh phufdgr/ gh irupd txh wrgrv orv lqwhufdpelrv vh uhdol}dq hq ho
prphqwr lqlfldo | ' f
Hq hvwd hfrqrpðd qr h{lvwh ho frqfhswr gh dkruur/ ql qlqjýq dfwlyr txh
shuplwd wudqvihulu uhfxuvrv hq ho wlhpsr/ od ýqlfd irupd hv xwlol}du od hvwuxf0
wxud gh frqwudwrv lqwhuwhpsrudohv txh riuhfh hvwd hfrqrpðd1 Hq hvwh hqwruqr
xq frqwudwr hv xqd surphvd gh wudqvihuhqfld r shufhsflöq gh xqd ghwhuplqd0
gd fdqwlgdg gh frqvxpr phglgd hq xqlgdghv iðvlfdv wudqvihulgd sru sduwh gho
lqglylgxr hq ho prphqwr | Hv lpsruwdqwh uhpdufdu txh od upd gh frq0
wudwrv | ho frqvxpr gh elhqhv vh uhdol}dq hq glvwlqwrv prphqwrv gho wlhpsr1
Wrgrv orv frqwudwrv vh updq hq | ' fc plhqwudv txh ho frqvxpr gh elhqhv
wlhqh oxjdu hq ho wlhpsr/ gh irupd txh od wudqvihuhqfld gh elhqhv hqwuh lqgl0
ylgxrv vh uhdol}d d phglgd txh orv lqglylgxrv shuflehq vxv fruuhvsrqglhqwhv
grwdflrqhv gh uhfxuvrv/ sxhv hq ho prphqwr | wrgdyðd qr h{lvwhq orv elhqhv
txh vh wudqvihuluäq hq | n
D frqwlqxdflöq vh ghqh od qrflöq gh htxloleulr dvrfldgr d hvwd hvwuxfwxud
gh phufdgr1
Ghqlflöq +Htxloleulr Duurz0Gheuhx,= Xq htxloleulr Duurz0
Gheuhx hv xqd dvljqdflöq gh uhfxuvrv
gh suhflrv
iR| c R|nj
41 Ho lqglylgxr
holjh
wdo txh=
iS| c S|n j
t
r@
51
| xq yhfwru
sdud vroxflrqdu=
4@
n n S| cS|
iS|c S|n c jU'
c@|
ES| n qES|n R| S| n R|nS|n R| / | n R/ |n|n
S| c S|n f
Odv dvljqdflrqhv gh htxloleulr vrq idfwleohv=
[S [/ c
[S [/
U
U
'
|
'
U
'
|
U
|
n
'
|
n
Wdqwr orv suhflrv frpr odv dvljqdflrqhv frq hvwd hvwuxfwxud gh phufdgrv
vrq htxlydohqwhv d odv gho prghor vhfxhqfldo1 Do ljxdo txh hq ho fdvr dqwhulru od
oh| gh Zdoudv dsolfd1 Vl xqr phufdgr hvwä hq htxloleulr ho rwur wdpelìq wlhqh
txh hvwdu hq htxloleulr/ sxhvwr txh or txh lpsruwd vrq orv suhflrv uhodwlyrv1
453
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Hmhpsor 5= Vxsrqjdprv txh odv suhihuhqfldv do ljxdo txh orv hmhpsorv
dqwhulruhv vrq gh wlsr orjduðwplfdv/ E ' *? S| n q *? S|n c | od grwdflöq
gh uhfxuvrv gh fdgd lqglylgxr hvwä gdgd sru / ' E/ |c / |n D sduwlu gh od
ghqlflöq gh htxloleulr frpshwlwlyr srghprv rewhqhu orv suhflrv gh htxloleulr1
Odv ixqflrqhv gh frqvxpr gh fdgd shulrgr hvwäq gdgdv sru odv vljxlhqwhv
h{suhvlrqhv=
R|n/ |n
S| '
c
/| n
nq
R|
q
R| / |
S|n '
n / |n nq
R|n
Hv srvleoh ghwhuplqdu ho wlsr gh frqwudwrv txh ghvhdq updu orv lqglylgxrv
d sduwlu gh odv ixqflrqhv gh h{fhvr gh ghpdqgd/ txh ghqrplqduhprv 5| G
R|n / |n
5| '
q/| c
nq
R|
R| q/ |
/|n 5|n '
nq
R|n
Sdud fdofxodu orv suhflrv gh htxloleulr edvwd frq htxloleudu orv uhvshfwlyrv
phufdgrv=
5| n 5|2 ' f
Irupdophqwh/
R|n
2
2
E/
n / |n q E/ | n / | ' f
R| |n
Dlvodqgr rewhqhprv orv suhflrv gh htxloleulr frq od hvwuxfwxud gh phufdgrv
Duurz0Gheuhx=
E/ |n n / 2|n R|
'
R|n q E/ | n / 2| Orv suhflrv gh htxloleulr frlqflghq frq orv txh vh rewhqguðdq frq od hv0
wuxfwxud vhfxhqfldo gh phufdgr1 Vl vxsrqhprv txh od grwdflöq djuhjdgd gh
uhfxuvrv hv frqwdqwh rewhqhprv=
R|
'
' n o|n
R|n q
Vxvwlwx|hqgr orv suhflrv gh htxloleulr hq odv ixqflrqhv gh h{fhvr gh gh0
pdqgd vh ghulydq odv vljxlhqwhv h{suhvlrqhv xqd yh} vxvwlwxlprv orv suhflrv
gh htxloleulr=
q 5e| '
/ |n / | c
nq
5e|n
'
nq
/ | / |n :171
454
DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV
Ho lqglylgxr txh whqjd uhodwlydphqwh päv uhfxuvrv hq ho sulphu shulrgr u0
pduä xq frqwudwr gh lqwhufdpelr gh elhqhv frq ho rwur lqglylgxr sdud frp0
sudu päv elhqhv gh frqvxpr hq ho vhjxqgr shulrgr d fdpelr gh elhqhv hq ho
sulphur1 Gdgr txh odv suhihuhqfldv vrq ljxdohv/ vl odv grwdflrqhv frlqflghudq
qr h{lvwluðd lqwhufdpelr/ gh irupd txh 5e| ' 5e|n ' f
:17 Dvljqdflöq Hflhqwh gh Uhfxuvrv
Hq hvwd vhfflöq vh dqdol}d od dvljqdflöq hflhqwh gh uhfxuvrv hq xqd hfrqrpðd
glqäplfd ghvgh ho sxqwr gh ylvwd gh xqd sodqlfdgru ehqhyrohqwh txh ydorud
d dperv lqglylgxrv1 Frpr yhuhprv od vroxflöq gho sureohpd gho sodqlfdgru
ehqhyrohqwh qrv shuplwluä rewhqhu od fxuyd gh frqwudwr/ txh fdudfwhul}d ho
frqmxqwr gh dvljqdflrqhv txh vrq hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr/ wdpelìq
ghqrplqdgr ho frqmxqwr gh Sduhwr1
D frqwlqxdflöq ghqlprv ho frqfhswr gh idfwlelolgdg gh xqd dvljqdflöq/
dvð frpr ho frqfhswr gh hflhqfld gh Sduhwr hq hvwh wlsr gh hfrqrpðdv gh
lqwhufdpelr gh grv shulrgrv1
Ghqlflöq +Dvljqdflöq idfwleoh,= Xqd dvljqdflöq % ' iS c S n j '
|
|
U
hv idfwleoh vl fxpsoh odv uhvwulfflrqhv gh idfwlelolgdg=
[
[
U
'
S| ` | c
U
'
S|n ` |n
Hq hvwh wlsr gh hfrqrpðdv xqd dvljqdflöq gh uhfxuvrv
%
hv idfwleoh hq
phglgd txh ho frqvxpr djuhjdgr qr h{fhgd od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv1
Ghqlflöq +Hflhqfld gh Sduhwr,= Xqd dvljqdflöq % ' iS c S nj '
|
|
hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr vl=
Od dvljqdflöq % hv idfwleoh1
2 Qr h{lvwh rwud dvljqdflöq % ' iES| c ES|n jU' idfwleoh wdo
txh=
ES|
L EES| c ES|n L EES| c
n :
L ES| c S|n c
L ES| c
S|
n c
;
dojýq
U
455
FDSÐWXOR :1
QWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
L
Ghqwur gho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv idfwleohv kd| dojxqdv txh fxpsohq
ho frqfhswr gh hflhqfld gh Sduhwr1 Edvlfdphqwh vrq wrgdv dtxhoodv dvljqd0
flrqhv txh qr shuplwhq phmrudu ho elhqhvwdu gh xq ghwhuplqdgr lqglylgxr hq od hfrqrpðd vlq hpshrudu do uhvwr1
ÁFöpr srghprv ghulydu ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv hflhqwhv gh xqd
hfrqrpðdB Yhdprv föpr srghprv fdofxodu ho frqmxqwr gh wrgdv odv dvljqd0
flrqhv idfwleohv gh od hfrqrpðd dqdol}dgd hq odv grv vhfflrqhv dqwhulruhv1 D
sduwlu gh dkð srghprv ghwhuplqdu vl od dvljqdflöq gh uhfxuvrv uhvxowdqwh gh
od lqwhudfflöq hq ho phufdgr hv hflhqwh ghvgh ho sxqwr gh ylvwd gh Sduhwr1
Hv iäflo ghprvwudu txh ho frqmxqwr gh dvljqdflrqhv hflhqwhv gh uhfxuvrv
sxhgh rewhqhuvh d sduwlu gh vroxflrqdu ho sureohpd gho sodqlfdgru vrfldo
+pd{lpl}du xqd vxpd srqghudgd gh od xwlolgdg gh wrgrv orv lqglylgxrv vxmhfwr
d idfwlelolgdg,1
Ghqlflöq +Sodqlfdgru Vrfldo,= Ho frqmxqwr gh dvljqdflöq
hflhqwhv % ' iS| c S|n jU' hq od hfrqrpðd vh rewlhqhq gh vrox0
flrqdu ho sureohpd gho sodqlfdgru vrfldo=
[
[
[
U
4@
%
L ES| c S|n
'
U
r@
S|
` |c
S|n
` |n
'
U
'
S| c S|n
f
S
;
Grqgh f ghqrwd ho shvr uhodwlyr txh ho sodqlfdgru dvljqd d fdgd
lqglylgxr/ wdo txh hv qr qhjdwlyr/ | U' ' Frpr sxhgh revhuyduvh hq
hvwh fdvr/ wrgrv orv uhfxuvrv gh od hfrqrpðd vrq surslhgdg gho sodqlfdgru/
ìvwh dvljqduä orv uhfxuvrv hq ixqflöq gho shvr uhodwlyr txh oh dvljqh d fdgd
lqglylgxr1 Hq fdpelr hq odv hfrqrpðdv txh vh kdq dqdol}dgr hq odv vhf0
flrqhv dqwhulruhv/ od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv hvwded glvwulexlgd hqwuh
orv glvwlqwrv djhqwhv hq od hfrqrpðd/ hv ghflu fdgd lqglylgxr whqðd ghuhfkr
d shuflelu xqd iudfflöq gh od fdqwlgdg wrwdo gh uhfxuvrv1 Hvwd glihuhqfld hv
lpsruwdqwh sxhv orv ghuhfkrv gh surslhgdg hvwäq elhq ghqlgrv1
Hmhpsor 6= Vljxlhqgr frq ho fdvr dqwhulru hq ho fxdo wdq vöor kd| grv
lqglylgxrv/ ho sureohpd gh dvljqdflöq gh uhfxuvrv hq od hfrqrpðd hv ho vljx0
lhqwh=
4@
%
L ES| c S|n n E L ES2| c S2|n
:171
DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV
S| n S2|
S|n n S2|n
r@
S| c S|n
f
456
`|
`|
' c 2
Odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gho sureohpd gho sodqlfdgru hvwäq gdgdv
sru=
dS| o
L ES| b| f
E' f r S| : f
L ES|n b|n f
E' f r S|n : f
dS|n o
2
2
dS| o
E L ES| b| f
E' f r S2| : f
dS2|n o
E L ES|n b|n f
E' f r S2|n : f
2
db|o
` | S| S| f
E' f r b| : f
db|no
` |n S|n S2|n f
E' f r b|n : f
Sdud fdgd lqglylgxr vh fxpsoh=
L ES| L ES|n gh irupd txh=
L ES| L ES|n
'
L ES2| c
L ES2|n b|
c
b|n
'
sdud vhu päv suhflvrv ghvgh ho sxqwr gh ylvwd irupdo/ kd| txh whqhu hq fxhqwd
txh
L
ghqrwd od ghulydgd sdufldo gh od xwlolgdg wrwdo frq uhvshfwr do frqvxpr
gh xq ghwhuplqdgr shulrgr1 Gdgr txh od ixqflöq gh xwlolgdg hv dglwlydphqwh
vhsdudeoh hq ho wlhpsr od h{suhvlöq uhvxowdqwh hv=
ES| q ES|n
ES2| q ES2|n
'
ìvwd h{suhvlöq hv frqfhswxdophqwh ljxdo d od dqwhulru vl dperv lqglylgxrv
ghvfxhqwdq ho ixwxur d od plvpd wdvd1
Hq wrgr fdvr vl txh hv flhuwr txh
odv uhodflrqhv pdujlqdohv gh vxvwlwxflöq kdq gh vhu ljxdohv sdud dperv lq0
glylgxrv1
5
Sdud hvwh hmhpsor vhqfloor srghprv vxvwlwxlu od uhvwulfflrqhv gh
idfwlelolgdg hq od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld | rewhqhu ho frqmxqwr gh Sduhwr=
L ES| L ES|n 5 Hvwr
L E` | S| c
L E` |n S|n '
vhuä vlpsuh flhuwr plhqwudv ho frqfhswr gh uhodflöq pdujlqdo gh vxvwlwxflöq hvwì
elhq ghqlgr1 Vl ho frqvxpr suhvhqwh | ixwxwr ixhvhq frpsohphqwdulrv shuihfwrv/ hqwrqfhv
od uhodflöq pdujlqdo gh vxvwlwxflöq qr hvwä elhq ghqlgd1 Hvwh vhuðd ho fdvr/ sru hmhpsor/
vl X +flw > flw.4 , @ plqiflw > flw.4 j=
457
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Sdud yhu frpr ho frqvxpr uhodwlyr gh fdgd lqglylgxr ghshqgh gho shvr uhod0
wlyr txh ho sodqlfdgru dvljqd edvwd frq frpelqdu odv frqglflrqhv gh sulphu
rughq sdud xq ghwhuplqdgr shulrgr | G
L ES| ' E L ES2| Dtxho lqglylgxr txh whqjd xq pd|ru shvr uhodwlyr ghehuä whqhu xqd xwlolgdg
pdujlqdo päv edmd1 Hvwr lpsolfd txh ho frqvxpr hv päv dowr/ sxhvwr txh od
xwlolgdg pdujlqdo | ho frqvxpr hvwäq lqyhuvdphqwh uhodflrqdgrv/ hv ghflu vl
: E hqwrqfhv L ES| L ES2| c or fxdo lpsolfd txh S| : S2| Hmhpsor 7= Yhdprv xq hmhpsor hq frqfuhwr/ vxsrqjdprv txh ES '
*? S Sdud hvwh fdvr ho frqmxqwr gh Sduhwr +fxuyd gh frqwudwr, ylhqh gdgr sru
od vljxlhqwh h{suhvlöq=
S|
` | S|
'
S|n ` |n S|n
Duuhjodqgr wìuplqrv rewhqhprv=
S| ' KS|n
grqgh K ' ` | *` |n Hq hvwh fdvr od fxuyd gh frqwudwr hv xqd uhfwd txh
glylgh od fdmd gh Hgjhzruwk1 Hq txì sxqwr gh od fdmd gh Hgjhzruwk hvwduäq
orv lqglylgxrv ghshqghuä gho shvr uhodwlyr txh ho sodqlfdgru dvljqh d fdgd
xqr1 Ho frqvxpr gh fdgd shulrgr or srghprv rewhqhu xwlol}dqgr od vljxlhqwh
h{suhvlöq=
L ES| ' E L ES2| Sdud hvwh fdvr sduwlfxodu hvwd h{suhvlöq vh uhgxfh d=
S|
'
S2|
vxvwlwx|hqgr od uhvwlfflöq gh idfwlelolgdg gho prphqwr | rewhqhprv=
S| '
E` | S| c
ghvshmdqgr S| vh rewlhqh=
S|
S2|
'
` |
'
E
` |
Dqdorjdphqwh srghprv fdofxodu orv frqvxprv ixwxurv sdud fdgd lqglylgxr=
S|n
S2|n
'
'
` |n
E ` |n
:171
458
DVLJQDFLÖQ HILFLHQWH GH UHFXUVRV
Frpr sxhgh revhuyduvh ho sodqlfdgru dvljqd xqd iudfflöq md gh od grwdflöq
djuhjdgd gh uhfxuvrv d fdgd lqglylgxr1 Fxdqwr pd|ru vhd ho shvr uhodwlyr gh
xq ghwhuplqdgr lqglylgxr/ pd|ru vhuä vx qlyho gh frqvxpr | xwlolgdg1
D frqwlqxdflöq dqdol}dprv ho sulphu whruhpd gho elhqhvwdu txh ghpxhvwud
txh odv dvljqdflrqhv uhvxowdqwhv gho htxloleulr frpshwlwlyr dqdol}dgdv hq odv
vhfflrqhv 5 | 6 vrq hflhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr/ hv ghflu/ shuwhqhfhq do
frqmxqwr gh Sduhwr1
Sursrvlflöq +Sulphu whruhpd gho elhqhvwdu,= Odv dvljqd0
flrqhv uhvxowdqwhv gho htxloleulr frpshwlwlyr iS|c S|njU' vrq h0
flhqwhv hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1
Yhdprv xqd vhqflood ghprvwudflöq sdud ho fdvr gh grv
lqglylgxrv1 Eävlfdphqwh khprv gh ghprvwudu txh odv dvljqdflrqhv hq xq
htxloleulr frpshwlwlyr fxpsohq odv frqglflrqhv gh hflhqfld hq ho vhqwlgr gh
Sduhwr1 Hvwr qr vhuä vlhpsuh flhuwr/ sxhv od h{lvwhqfld gh h{whuqdolgdghv/ el0
hqhv sýeolfrv/ lpsxhvwrv glvwruvlrqdgruhv r sureohpdv gh lqirupdflöq sxhghq
uhvxowdu hq dvljqdflrqhv qr hflhqwhv1 Hq hvwh fdvr qr h{lvwhq qlqjxqr gh hv0
wrv hohphqwrv/ sru or wdqwr od dvljqdflöq dvrfldgd do htxloleulr frpshwlwlyr
hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1
D sduwlu gh odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gho htxloleulr frpshwlwlyr
rewhqhprv od vljxlhqwh h{suhvlöq=
Ghprvwudflöq=
L
ES| ' n o|n '
q L ES|n L
ES2| 2
qL ES|n Vlpsolfdqgr wìuplqrv=
L
ES|
L ES|n '
L
ES2| 2
L ES|n c
sru or wdqwr d wudyìv gho phfdqlvpr gh suhflrv ho phufdgr jdudqwl}d txh odv
uhodflrqhv pdujlqdohv gh vxvwlwxflöq vrq ljxdohv hqwuh frqvxplgruhv1 Sdud
ghprvwudu txh odv uhvwulfflrqhv gh idfwlelolgdg vh fxpsohq hv qhfhvdulr xwlol}du
odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv gh fdgd lqglylgxr1
Vxpdqgr odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv vhfxhqfldohv gh fdgd lqglylgxr
sdud xq ghwhuplqdgr prphqwr hq ho wlhpsr | | | n vh rewlhqhq odv vljxlhqwhv
h{suhvlrqhv=
S|
S|n
2
2
2
n S| n @|n n @|n '
2
/|
2
n /|
2
n S|n ' E@|n n @|n E n o|n n / |n n / |n
D orv suhflrv gh htxloleulr/ od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh df0
wlyrv @|n n @2|n ' f vh fxpsoh/ sru or wdqwr vxvwlwx|hqgr hvwd frqglflöq hq
459
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv hydoxdgdv d orv suhflrv gh htxloleulr ioe|njc
rewhqhprv txh odv frqglflrqhv gh idfwlelolgdg vh fxpsohq16
S| n S2| ' / | n / 2| ' ` |
S|n n S2|n ' / |n n / 2|n ' ` |n
Hvwr lpsolfd txh odv dvljqdflrqhv uhvxowdqwhv gh xq htxloleulr frpshwlwlyr
fxpsohq odv frqglflrqhv gh Sduhwr/ | orv suhflrv gh htxloleulr jdudqwl}dq txh
odv uhvwulfflrqhv suhvxsxhvwduldv gh orv frqvxplgruhv wdpelìq vh fxpsohq1 Gh
hvwd irupd/ od dvljqdflöq uhvxowdqwh gho phfdqlvpr gh phufdgr qr shuplwh
phmrudu d qlqjýq lqglylgxr vlq hpshrudu d rwur1 Whqjd hq fxhqwd txh ìvwh hv
xq fulwhulr gh hflhqfld/ or fxdo qr lpsolfd txh od dvljqdflöq vhd htxlwdwlyd
+r ghvhdeoh hq ixqflöq gh fxdotxlhu rwur remhwlyr srvleoh,/ sxhv od dvljqdflöq
qdo gho htxloleulr frpshwlwlyr ghshqgh gh od glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv
gh od hfrqrpðd1
Gdgd xqd glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv/ ho htxloleulr frpshwlwlyr hv wdq
vöor xq sxqwr gho frqmxqwr gh Sduhwr1 Sru or wdqwr fdpelrv hq od glvwulexflöq
lqlfldo gh uhfxuvrv shuplwluä dofdq}du glvwlqwrv sxqwrv gho frqmxqwr gh Sduhwr/
d shvdu gh hoor orv suhflrv uhodwlyrv qr wlhqhq sru txì yduldu1 Sdud yhuor frq0
vlghuh ho hmhpsor dqdol}dgr hq od vhfflöq 61 Vl dperv lqglylgxrv ghvfxhqwdq
ho ixwxur d od plvpd wdvd/ q ' q | odv suhihuhqfldv vrq gh wlsr orjduðw0
plfr/ hqwrqfhv orv suhflrv gh htxloleulr hvwäq ghwhuplqdgrv sru od vljxlhqwh
h{suhvlöq=
n o|n '
q
/ |n
n / 2|n
/| n
2
/
'
|
` |n
q
`|
Plhqwudv qr fdpelh od glvwulexflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv ` | d or odujr gho
wlhpsr orv suhflrv uhodwlyrv qr ydulduäq/ hq fdpelr odv dvljqdflrqhv uhvxo0
wdqwhv vð txh ydq d fdpeldu1 Vxsrqjdprv txh / ' E/ | c / |n ' Ec f |
2
/ ' Ef c Orv frqvxprv gh htxloleulr vrq=
e
S|
'
e
S|n '
2
e
S|
'
2
e
S|n '
nq
q
nq
Vl fdpeldprv od glvwulexflöq | vxsrqhprv txh / ' Efc | / 2 ' Ec f Dkr0
ud orv frqvxprv vh lqylhuwhq/ gh irupd txh ho lqglylgxr gh wlsr 5 frqvxph
päv txh ho lqglylgxr gho wlsr 41 D shvdu gh wrgr orv suhflrv uhodwlyrv hq od
6
Hq hvwh fdvr khprv xwlol}dgr odv uhvwulfflrqhv vhfxhqfldohv gh phufdgr1 Vl xwlol}dudprv
xqd hvwuxfwxud gh phufdgr gh wlsr Duurz0Gheuhx od ghprvwudflöq vhuðd vlplodu d od dtxð
sursxhvwd1 Vh ghmd frpr hmhuflflr do ohfwru ghprvwuduor1
:181
45:
UHVWULFFLRQHV GH OLTXLGH]
hfrqrpðd shupdqhfhq lqyduldqwhv/ sxhv hq hvwh fdvr ghshqghq gh od grwdflöq
djuhjdgd gh uhfxuvrv | qr gh od glvwulexflöq1 Vlq hpedujr/ frq suhihuhq0
fldv glihuhqwhv qrupdophqwh fdpelrv hq od glvwulexflöq lqlfldo gh uhfxuvrv
dihfwduäq d orv suhflrv gh htxloleulr1
:18
Uhvwulfflrqhv gh Oltxlgh}
D frqwlqxdflöq vh dqdol}d ho hihfwr txh wlhqh hq od ghwhuplqdflöq gh orv suhflrv
gh htxloleulr gh phufdgr od h{lvwhqfld gh uhvwulfflrqhv gh oltxlgh}1 Sdud hoor
dqdol}duhprv do ljxdo txh hq orv fdvrv dqwhulruhv vhqfloorv hmhpsorv hq xqd
hfrqrpðd gh lqwhufdpelr frq grv lqglylgxrv/ vxsrqlhqgr txh od hvwuxfwxud
gh phufdgr hv vhfxhqfldo1 Edvwd frq prglfdu od gh od vhfflöq 5 dôdglhqgr
xqd uhvwulfflöq txh vxsrqguhprv ljxdo sdud fdgd lqglylgxr/ @|n Hq hvwh wlsr gh hmhpsorv qrv lqwhuhvd dqdol}du vlwxdflrqhv hq odv txh od
uhvwulfflöq gh oltxlgh} hv rshudwlyd/ qr dtxhoorv fdvrv hq orv txh ìvwd qr dihfwd
odv ghflvlrqhv gh orv lqglylgxrv1 Sru or wdqwr vl wdq vöor h{lvwhq grv wlsrv gh
lqglylgxrv qr sxhgh rfxuulu txh od uhvwulfflöq gh oltxlgh} olplwh odv ghflvlrqhv
gh dperv frqvxplgruhv d od yh} +uhfxhugh txh od vxpd gh odv srvlflrqhv gh
dfwlyrv gh dperv lqglylgxrv hv fhur,1
Frpr ylprv hq ho fdsðwxor 7/ od Hfxdflöq gh Hxohu gho lqglylgxr txh hvwä
dihfwdgr sru od uhvwulfflöq gh oltxlgh} vh fxpsoh frq ghvljxdogdg=
ES| : n o|n
q ES|n Hoor hv ghelgr d txh qr sxhgh ljxdodu od uhodflöq pdujlqdo gh vxvwlwxflöq
d orv suhflrv uhodwlyrv1
Hq fdpelr ho lqglylgxr txh qr hvwä dihfwdgr sru
od uhvwulfflöq gh oltxlgh} wlhqh xqd Hfxdflöq gh Hxohu txh vh fxpsoh frq
ljxdogdg1
Hmhpsor 8=
Yhdprv xq hmhpsor hq frqfuhwr/ vxsrqjdprv
U
' 2 | odv
suhihuhqfldv vreuh ho frqvxpr suhvhqwh | ixwxur hvwäq uhsuhvhqwdgdv phgldqwh
od vljxlhqwh ixqflöq gh xwlolgdg
E
' *? S Hq hvwh hmhpsor vxsrqhprv txh
ho lqglylgxr 4 hvwä dihfwdgr sru od uhvwulfflöq gh oltxlgh}/ plhqwudv txh ho
lqglylgxr 5 qr1 Hqwrqfhv odv ghpdqgdv gh dfwlyrv gh fdgd lqglylgxr hvwäq
gdgdv sru=
@|n
@2|n
'
'
c
nq
2
/
n
q/ n o n
2
|
|
|
Od frqglflöq gh htxloleulr hq ho phufdgr gh dfwlyrv lpsolfd txh @|n n @2|n
'
45;
f
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
q/2 / 2n ' nq
n o n
|
|
|
Sru or wdqwr ho suhflr gh htxloleulr hvwä gdgr sru=
2
n oWn ' q/2 /nE n q |
|
|
Frpr sxhgh revhuyduvh orv suhflrv ghshqghq srvlwlydphqwh gh od uhvwulf0
flöq gh oltxlgh}/ Y eo|n *Y : f Sru or wdqwr d phglgd txh dxphqwr +uhodmr
od uhvwulfflöq gh oltxlgh},/ orv suhflrv uhodwlyrv dxphqwdq1 Gh irupd txh
srghprv frqfoxlu txh od h{lvwhqfld gh uhvwulfflrqhv gh oltxlgh} glvplqx|h ho
wlsr gh lqwhuìv hq uhodflöq do fdvr hq ho fxdo ìvwd qr dihfwd1 Wìqjdvh hq fxhqwd
txh vl od uhvwulfflöq qr ixhud hihfwlyd orv suhflrv gh htxloleulr vhuðdq=
/ n /2 ne
o n ' q /n n /2n
|
|
|
|
|
Hq hvwh fdvr od glvwulexflöq gh uhfxuvrv gho lqglylgxr 5 dihfwd d orv suhflrv
gh htxloleulr1 Hq htxloleulr odv uhodflrqhv pdujlqdohv gh vxvwlwxflöq hqwuh
lqglylgxrv qr vh ljxdodq/ gh irupd txh od dvljqdflöq uhvxowdqwh hq od hfrqrpðd
qr hv hflhqwh hq ho vhqwlgr gh Sduhwr1 Hq hvwh fdvr od sulqflsdo h{solfdflöq
udglfd hq txh ho lqglylgxr txh hvwä dihfwdgr sru od uhvwulfflöq gh oltxlgh} vh
hqiuhqwd d xqrv suhflrv glvwlqwrv txh orv gho lqglylgxr txh qr hvwä uhvwulqjlgr1
:19
Htxloleulr Jhqhudo frq Lqfhuwlgxpeuh
Ho remhwr gh hvwh dsduwdgr hv dqdol}du xq prghor jhqhudo hq xqd hfrqrpðd frq
hvwuxfwxud vhfxhqfldo grqgh od dfwlylgdg hfrqöplfd vh glylgh hq grv wlsrv gh
phufdgrv/ xq phufdgr vsrw gh frqvxpr frqwlqjhqwh | xq phufdgr gh ixwxurv
+iruzdug, grqgh vh qhjrfldq dfwlyrv qdqflhurv1
Hq hvwh fdsðwxor sdud vlpsolfdu frqvlghuduhprv prghorv gh grv shulr0
grv1 Hvwd vlpsolfdflöq shuplwh gduoh xqd pd|ru wudfwdelolgdg do prghor |
pdqwlhqh orv hohphqwrv eävlfrv gh prghorv päv frpsohmrv1 Ìvwrv hvwäq gdgrv
sru od sulplwlydv hq od hfrqrpðd/ suhihuhqfldv | grwdflöq gh uhfxuvrv1 Frpr
ylprv hq ho fdsðwxor 9/ odv suhihuhqfldv gh orv lqglylgxrv uh hmdq vlpxowdqhd0
phqwh grv frvdv= ho judgr gh lpsdflhqfld hqwuh frqvxpr suhvhqwh | frqvxpr
ixwxur/ dvð frpr vx dfwlwxg iuhqwh d od yrodwlolgdg hq ho frqvxpr phglgd sru
od dyhuvlöq do ulhvjr1 Odv fdudfwhuðvlwlfdv eävlfdv gho xmr gh uhqwdv hv txh
qr vh glvwulex|hq xqliruphphqwh hqwuh orv glvwlqwrv hvwdgrv1 Hq dxvhqfld gh
phufdgrv gh lqwhufdpelr/ ho frqvxpr gh orv lqglylgxrv xfwýd hqwuh orv glv0
wlqwrv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d/ gh irupd txh fxdqwr päv dyhuvr do ulhvjr vhdq
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
45<
orv lqglylgxrv pd|ru vhuä od sìuglgd gh elhqhvwdu dvrfldgd d od qr h{lvwhqfld
gh phufdgrv gh vhjxurv1
Vlq hpedujr/ od h{lvwhqfld gh phufdgrv qdqflhurv yd d shuplwlu d orv
djhqwhv lqwhufdpeldu frqwudwrv qdqflhurv/ txh qr vrq rwud frvd txh sduwlf0
lsdflrqhv vreuh xqd iudfflöq gh od uhqwd gh xq ghwhuplqdgr lqglylgxr1 Ho
lqwhufdpelr gh frqwudwrv qdqflhurv yd d shuplwlu fdpeldu ho sdwuöq gh lq0
juhvrv hqwuh hvwdgrv/ gh irupd txh hv srvleoh dxphqwdu ho frqvxpr hqwuh
frqwlqjhqfldv | glvplqxlu od lqfhuwlgxpeuh gh irupd wrwdo r sdufldo1
Ho fdsðwxor vh lqlfld dqdol}dqgr xq prghor gh htxloleulr jhqhudo frq lqfhu0
wlgxpeuh frq xqd hvwuxfwxud gh phufdgr Duurz0Gheuhx1 Sdud fdgd hvwdgr
h{lvwh xq ghuhfkr r dfwlyr txh surphwh sdjdu xqd xqlgdg gh uhqwd hq xq
ghwhuplqdgr hvwdgr gh od qdwxudoh}d1 Ho lqwhufdpelr gh hvwrv ghuhfkrv shu0
plwh rewhqhu suhflrv gh htxloleulr txh vrq ho ydoru hvshudgr suhvhqwh gh xqd
xqlgdg gh lqjuhvr hq xq ghwhuplqdgr hvwdgr1 Vl qr h{lvwhq lpshglphqwrv do
lqwhufdpelr/ od dvljqdflöq uhvxowdqwh hq od hfrqrpðd hv hflhqwh hq ho vhqwlgr
gh Sduhwr1
D frqwlqxdflöq vh dqdol}d od frqwudsduwlgd vhfxhqfldo sursxhvwd sru Udg0
qhu/ hq od fxdo orv lqglylgxrv lqwhufdpeldq gh irupd vhfxhqfldo hq fdgd hv0
wdgr gh od qdwxudoh}d erqrv frqwlqjhqwhv1 Orv erqrv frqwlqjhqwhv shuplwhq
wudqvihulu xqd xqlgdg gh uhqwd hq xq ghwhuplqdgr hvwdgr gh od qdwxudoh}d1
Od sulqflsdo glihuhqfld hv txh hq fdgd prphqwr gho wlhpsr qr deuhq wrgrv
orv phufdgrv/ vlqr xq vxefrqmxqwr gh hoorv1 Wdqwr odv dvljqdflrqhv frpr
orv suhflrv gh htxloleulr vrq htxlydohqwhv hq dpedv hfrqrpðdv1 Od qrflöq
gh htxloleulr vhfxhqfldo sursxhvwd sru Udgqhu hv xq fdvr sduwlfxodu gh xqd
hfrqrpðd qdqflhud/ grqgh ho frqmxqwr gh frqwudwrv qdqflhurv txh vh lqwhu0
fdpeldq hv pxfkr päv ulfr1 Xq frqwudwr qdqflhur hv xq ghuhfkr frpsxhvwr
txh shuplwh shuflelu xqd ghwhuplqdgd fdqwlgdg gh uhqwd hq glvwlqwrv hvwdgrv
gh od qdwxudoh}d1 Orv dfwlyrv qdqflhurv ghehq ydoruduvh gh irupd dsursldgd
sdud txh qr h{lvwdq rsruwxqlgdghv gh duelwudmh1 Od dxvhqfld gh duelwudmh
lpsolfd txh ho suhflr gh fdgd dfwlyr hv ljxdo do ydoru ghvfrqwdgr gh orv glyl0
ghqgrv ixwxurv1 Hvwh uhvxowdgr hv px| jhqhudo | hv eävlfr hq wrgd od whruðd
gh odv qdq}dv1
Od irupd päv vhqflood gh lqwurgxflu wlhpsr h lqfhuwlgxpeuh gh irupd
vlpxowäqhd hv xwlol}du hfrqrpðdv frq grv shulrgrv E| ' fc grqgh 7 vrq orv
srvleohv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d hq ho shulrgr
Orv lqglylgxrv wrpdq vxv ghflvlrqhv whqlhqgr hq fxhqwd frq txì sure0
delolgdg rfxuuluäq orv glvwlqwrv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d1 Hv ghflu/ h{lvwh
rswlpdolgdg h{0dqwh hq ho vhqwlgr gh txh od vroxflöq qr frlqflgh frq or txh
vhuðd öswlpr vl frqrflhud h{dfwdphqwh fxäo yd d vhu ho hvwdgr gh od qdwxudoh}d
+rswlpdolgdg h{0srvw,1 Odv surslhgdghv gh odv suhihuhqfldv |d kdq vlgr dqdo0
l}dgd ghwdoodgdphqwh hq orv fdsðwxorv dqwhulruhv/ d shvdu gh hoor hv lpsruwdqwh
463
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
uhfrugdu od grv surslhgdghv eävlfdv txh ghehprv whqhu hq fxhqwd1 Hq sulphu
oxjdu od wdvd gh lpsdflhqfld txh ylhqh ghwhuplqdgd sru ho idfwru vxemhwlyr
gh ghvfxhqwr1 Hq vhjxqgr oxjdu sru od surslhgdg gh od dyhuvlöq do ulhvjr/
txh h{suhvd od lghd gh txh orv lqglylgxrv suhhuhq ho ydoru hvshudgr gh xq
frqvxpr dohdwrulr d hvh plvpr frqvxpr dohdwrulr1 Ho fdvr päv vhqfloor gh
ixqflrqhv gh xwlolgdg txh frqvlghudprv vrq odv dglwlydphqwh vhsdudeohv=
L
grqgh
E
ESf c S Er '
ESf n q .f ES Er
hv xqd ixqflöq fuhflhqwh/ frqwlqxdphqwh glihuhqfldeoh| hvwulfd0
phqwh föqfdyd/ E
:
f |
f/ | grqgh
vxemhwlyr gh ghvfxhqwr gho lqglylgxr 1
q
5
Efc ghqrwd ho idfwru
Odv grwdflrqhv gh uhfxuvrv vrq frqwlqjhqwhv hq orv hvwdgrv gh od qdwx0
udoh}d/ sru or wdqwr orv lqglylgxrv uhflehq xq yhfwru frqwlqjhqwh gh grwd0
flrqhv pxwxdphqwh h{fox|hqwhv1
lqglylgxr
/
ghqrwd od grwdflöq lqlfldo gh uhfxuvrv gho
hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d1
Irupdophqwh=
/ ' E/ Ec c / E7 Od grwdflöq djuhjdgd gh uhfxuvrv hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d hvwä
gdgd sru=
[U
'
/ E7 ' ` 7
r
;
Hvwdprv lqwhuhvdgrv hq dqdol}du odv surslhgdghv fxdolwdwlydv gh odv dvlj0
qdflrqhv uhvxowdqwhv gh xwlol}du glihuhqwhv hvwuxfwxudv gh phufdgr dvrfldgdv
d xqd hfrqrpðd gh lqwhufdpelr1 Sduwlfxoduphqwh dqdol}duhprv grv wlsrv gh
hvwuxfwxudv gh phufdgr=
41 Phufdgrv frqwlqjhqwhv +Duurz0Gheuhx,1
51 Phufdgrv vhfxhqfldohv +Udgqhu,1
Fxdqgr orv djhqwhv sduwlflsdq hq ho phufdgr yhqghq elhqhv +frqwudwrv,
rewhqlhqgr xq lqjuhvr | frpsudq elhqhv +frqwudwrv, uhdol}dqgr xq jdvwr1
Ho lqwhufdpelr gh elhqhv hq orv phufdgrv hvwä edvdgr hq od lghd gh txh orv
lqglylgxrv sxhghq lqwhufdpeldu elhqhv vxmhwr d xqd uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld
txh lpslgh txh ho jdvwr wrwdo uhdol}dgr hq od frpsud gh elhqhv h{fhgd ho
qlyho gh lqjuhvrv1
Od uhvwulfflöq gh uhfxuvrv gheh fxpsoluvh vlhpsuh/ frq
lqghshqghqfld gh fxdo vhd od hvwuxfwxud gh phufdgr1
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
:1914
464
Hvwuxfwxud Duurz0Gheuhx
Vxsrqhprv xqd hvwuxfwxud gh phufdgrv Duurz0Gheuhx hq ho prphqwr | Wr0
grv orv phufdgrv srvleohv deuhq dqwhv gh od uhvroxflöq gh od lqfhuwlgxpeuh/
gh irupd txh fdgd elhq gh frqvxpr frqwlqjhqwh wlhqh xq suhflr RErctxh
uhsuhvhqwd ho suhflr gho elhq gh frqvxpr hq ho hvwdgr r Orv djhqwhv updq
frqwudwrv frqwlqjhqwhv gh frpsud r yhqwd frqglflrqdgrv d od uhdol}dflöq gh
orv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d1 D shvdu gh txh odv hqwuhjdv vrq frqwlqjhqwhv
orv sdjrv qr or vrq | vh uhdol}dq wrgrv hq ho prphqwr lqlfldo1 Sdud txh hvwd
hvwuxfwxud gh phufdgr ixqflrqh hv qhfhvdulr txh wrgrv orv djhqwhv vhdq fd0
sdfhv gh uhfrqrfhu hq txì hvwdgr gh od qdwxudoh}d vh hqfxhqwudq1 Hq | ' f
orv lqglylgxrv lqwhufdpeldq frqwudwrv frqwlqjhqwhv1
Ghqlflöq +frqwudwr frqwlqjhqwh,= Xq frqwudwr frqwlqjhqwh sdud fdgd
hvwdgr r hv xq dfxhugr hqwuh djhqwhv sdud uhflelu xqd ghwhuplqdgd fdqwlgdg
iðvlfd gh xq elhq vl | vöor vl xq ghwhuplqdgr hvwdgr gh od qdwxudoh}d r rfxuuh1
Vx suhflr gh lqwhufdpelr hq ho shulrgr lqlfldo REr/ vh plgh hq xqlgdghv gh
fxhqwd hq |
' f
Xq frqwudwr frqwlqjhqwh sxhgh lqwhusuhwduvh frpr xqd yduldeoh dohdwruld1
Orv lqglylgxrv sdjdq xq suhflr sru frpsudu hvwrv sodqhv1 Sru hmhpsor/ xq
sodq gh frqvxpr frqwlqjhqwh srguðd wrpdu od vljxlhqwh irupd=
Ho lqglylgxr 4 hqwuhjduä % fdqwlgdg gho elhq gh frqvxpr vl rfxuuh
ho hvwdgr gh od qdwxudoh}d rc sru ho fxdo ho lqglylgxr 5 sdjd +
xqlgdghv gh elhq qxphudulr1
Vl h{lvwh xq frqmxqwr frpsohwr gh frqwudwrv frqwlqjhqwhv Er ' fc c c 7 hq ho shulrgr fc fdgd djhqwh sxhgh yhqghu vx grwdflöq lqlfldo gh uhfxuvrv/
/ ' E/ Ec c / E7 rewhqlhqgr xq lqjuhvr +phglgr hq xqlgdghv gho elhq
gh frqvxpr hq | ' f=
;
Rf / f n RE/ E n n RE7 / E7 c
Frq hvwh lqjuhvr/ sxhgh frpsudu hq orv phufdgrv frqwlqjhqwhv frqwudwrv gh
frqvxpr frqwlqjhqwh vdwlvidflìqgrvh od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gh uhfxuvrv=
[
7
REr S Er
/ Er fc
;
'f
D sduwlu gho sureohpd txh vroxflrqd fdgd frqvxplgru | od hvwuxfwxud
gh phufdgr vhohfflrqdgd srghprv ghqlu ho frqfhswr gh htxloleulr Duurz0
Gheuhx1
r
Ghqlflöq +Duurz0Gheuhx,=
Xq htxloleulr Duurz0Gheuhx frq phu0
fdgrv frqwlqjhqwhv hv xqd dvljqdflöq gh frqwudwrv gh frqvxpr frqwlqjhqwhv
sdud fdgd lqglylgxr/
wdo txh=
% ' iSf c iS Erj7r' jU' c xq yhfwru gh suhflrv iRf c iRErj7r' j
465
FDSÐWXO
41 Ho lqglylgxr
R :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
%
holjh
gh vroxflrqdu=
%
[7
r@
ESf n q .f ESEr
4@
'f
r
REr S Er / Er
Sfc S Er fc
51 Idfwlelolgdg=
[
[
;r
Sf S Er [
[
f
/ fc
;r
/ Erc
Xq htxloleulr Duurz0Gheuhx frq phufdgrv frqwlqjhqwhv hv xq htxloleulr
frpshwlwlyr grqgh orv lqglylgxrv dfwýdq gh irupd suhflr0dfhswdqwh/ hv ghflu
fdgd djhqwh sxhgh frpsudu | yhqghu fxdotxlhu fdqwlgdg hq orv phufdgrv frq0
wlqjhqwhv vlq dihfwdu do suhflr1 Vl odv suhihuhqfldv gh orv djhqwhv vrq prqö0
wrqdv hqwrqfhv wrgrv orv suhflrv vrq srvlwlyrv gh irupd txh qr h{lvwhq hq
htxloleulr frqwudwrv judwxlwrv1 Od dxvhqfld gh frqwudwrv judwxlwrv txh shupl0
wdq wudqvihulu ultxh}d hqwuh hvwdgrv gh irupd lolplwdgd holplqd od srvlelolgdg
gh uhdol}du duelwudmh sru sduwh gh orv djhqwhv1
Surslhgdghv gho Htxloleulr
Odv dvljqdflrqhv uhvxowdqwhv gho htxloleulr D0G vdwlvidfhq orv whruhpdv gho
elhqhvwdu1 Od hflhqfld gh od dvljqdflöq gh htxloleulr lpsolfd xqd dvljqdflöq
hflhqwh gho ulhvjr1
Sursrvlflöq= Vl orv phufdgrv frqwlqjhqwhv vrq frpsohwrv Er ' fc c c 7 | orv lqglylgxrv wlhqhq suredelolgdghv remhwlydv/ hv ghflu 8 Er ' 8 Erc
; 9' / hqwrqfhv od dvljqdflöq hflhqwh lpsolfd glyhuvlfdflöq shuihfwd gho
ulhvjr/ sru or wdqwr orv lqglylgxrv sxhghq dvhjxuduvh shuihfwdphqwh uhvshfwr
d od lqfhuwlgxpeuh lglrvlqfuäwlfd1
Ho sureohpd gho frqvxplgru hv=
[
7
4@
%
ESf n q
[
'
Zr ESEr
r
REr S Er / Er
7
r@
f
'f
Odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gh hvwh sureohpd
r
dSf o
dS Ero
dS Er o
ESf Rfb ' f
qZ r ESEr RErb ' f
qZr ESEr REr b ' f
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
466
Duuhjodqgr wìuplqrv rewhqhprv=
Z r ES Er
Zr ES Er '
REr
REr ESf Zr ES Er
'
Rf
REr
|/
Frpr wrgrv orv lqglylgxrv sdjdq orv plvpr suhflrv/ hqwrqfhv sdud
gheh fxpsoluvh=
ES Er
ES Er ES Er
ES Er 9' c
'
Vl odv suredelolgdghv gh fdgd lqglylgxr vrq odv plvpdv/ | qr h{lvwh lqfhu0
ihfwdphqwh iuhqwh do
ulhvjr lglrvlqfuäwlfr/ sru or wdqwr ho frqvxpr gh fdgd lqglylgxr vhuä ho plvpr
hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d=
wlgxpeuh djuhjdgd orv lqglylgxrv sxhghq dvhjxuduvh shu
;r
S Er ' Sc
Sdud ghprvwudu txh hq htxloleulr orv frqvxprv vrq frqvwdqwhv hq fdgd
hvwdgr gh od qdwxudoh}d surfhghprv d dqdol}du ho vljxlhqwh hmhpsor1
Hmhpsor 9= Suredelolgdghv Remhwlydv
Frqvlghudprv xqd vhqflood hfrqrpðd gh lqwhufdpelr frq grv lqglylgxrv
U ' 2c grv shulrgrv | ' fc c | grv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d/ 7 ' 2c grqgh
Z ghqrwd od suredelolgdg remhwlyd gh rfxuuhqfld gho hvwdgr 4 | Z hv od
suredelolgdg gho rfxuuhqfld gho hvwdgr 51 Vxsrqhprv txh wrgrv orv lqglylgxrv
hq od hfrqrpðd wlhqhq od plvpd glvwulexflöq gh suredelolgdghv1 Vl od ixqflöq
gh xwlolgdg hv E ' *? S Erc xwlol}dqgr odv frqglflrqhv gh sulphu rughq
srghprv ghprvwudu txh edmr flhuwdv flufxqvwdqfldv ho frqvxpr frqwlqjhqwh
hv frqvwdqwh hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d/ gh irupd txh orv frqwudwrv txh
updq orv lqglylgxrv shuplwhq glyhuvlfdu ulhvjr gh irupd shuihfwd1
ZS E2
E Z S E
'
REr
REr '
ZS2 E2
E Z S2E
D sduwlu gh odv frqglflrqhv gh idfwlelolgdg hq orv phufdgrv frqwlqjhqwhv
rewhqhprv=
;r
S2 Er ' `r S Erc
Vxvwlwx|hqgr hvwd h{suhvlöq hq odv frqglflrqhv gh sulphu rughq rewhqhprv=
S E2
S E
'
` 2 S E2
` S E
467
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Dlvodqgr wìuplqrv rewhqhprv=
S E2
SE
'
`2
`
Vl qr h{lvwh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd/ ` r ' ` r ' ` / ;r Hqwrqfhv ho frq0
vxpr gho lqglylylgxr hv frqvwdqwh hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d1 Hvwr
wdpelìq vh fxpsoh sdud ixqflrqhv gh xwlolgdg päv jhqhudohv1 Hq fdpelr/ vl
h{lvwh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd/ ho frqvxpr frqwlqjhqwh öswlpr hqwuh hvwdgrv
hv sursruflrqdo do udwlr gh uhfxuvrv hqwuh hvwdgrv1
Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu/ frpr ghprvwuduhprv d frqwlqxdflöq/ txh od fdq0
wlgdg qdo gh frqvxpr ghshqgh gh od glvwulexflöq gh od uhqwd hqwuh hvwdgrv
dvð frpr gh od glvwulexflöq gh suredelolgdghv1 Orv lqglylgxrv päv ulfrv vrq
dtxhoorv txh wlhqhq xqd pd|ru grwdflöq gh uhfxuvrv hq dtxhoorv hvwdgrv txh
vrq päv suredeohv1 Vxsrqhprv txh qr h{lvwh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd/ hq0
wrqfhv sdud fdofxodu orv suhflrv gh orv frqwudwrv frqwlqjhqwhv REr hv qhfhvdulr
ghulydu odv ixqflrqhv gh frqvxpr frqwlqjhqwh gho lqglylgxr G
eSf '
nq
Rf
qZ dRf / f n RE/ E n RE2/ E2o
nq
RE
q E Z dRf / f n RE/ E n RE2/ E2o
nq
RE2
Se E '
Se E2 '
dRf / f n RE/ E n RE2/ E2o
Qöwhvh txh odv ixqflrqhv orjduðwplfdv r gh wlsr Free0Grxjodv dvljqdq
iudfflrqhv mdv gh uhqwd d fdgd elhq1 Frpr whqhprv wuhv phufdgrv/ sdud
kdoodu orv suhflrv uhodwlyrv edvwd frq whqhu grv phufdgrv hq htxloleulr1 Vl
qrupdol}dprv ho suhflr gho frqvxpr hq ho sulphu shulrgr d Rf ' c hv gl0
uhfwr fdofxodu orv suhflrv uhodwlyrv sdud orv phufdgrv frqwlqjhqwhv/ sdud hoor
edvwd frq hqfrqwudu ho yhfwru gh suhflrv txh ydfðd orv phufdgrv gh frqwudwrv
frqwlqjhqwhv=
%
&
[ eS Er / Er fc
;r
Vl vxpdprv ho frqvxpr gh fdgd xqr gh orv wuhv elhqhv/ ljxdodprv d od
rihuwd wrwdo gh fdgd xqr gh orv wuhv elhqhv +whqlhqgr hq fxhqwd txh ` f '
` ' ` 2 , rewhqhprv txh odv hfxdflrqhv gh htxloleulr hq fdgd xqr gh orv
wuhv phufdgrv vrq=
'
nq
d n RE n RE2o
:191
468
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
qZ n RE n RE2
nq
RE
q E Z n RE n RE2
nq
RE2
'
'
Sru wdqwr/ rewhqhprv txh orv suhflrv hvwäq gdgrv sru=
RE
RE2
'
'
qZ
q E Z
Sru or wdqwr ho udwlr gh suhflrv frqwlqjhqwhv/ hv=
RE
RE2
'
Z
E
Z
Orv suhflrv uhodwlyrv hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d hv ljxdo do udwlr gh
suredelolgdghv vxemhwlydv1 Vl vxvwlwxlprv orv suhflrv uhodwlyrv hq odv ixqflrqhv
gh frqvxpr frqwlqjhqwhv/ srghprv frpsuredu txh h{lvwh glyhuvlfdflöq shu0
ihfwd gho ulhvjr/ hv ghflu txh fdgd frqvxplgru frqvxpluä or plvpr hq fdgd
hvwdgr gh od qdwxudoh}d1
Sf '
nq
S E '
S E2 '
/ f n q Z/ E n E Z/ E2
q
/ f n q Z/ E n E Z/ E2
q
/ f n q Z/ E n E Z/ E2
nq
nq
Hmhpsor := Suredelolgdghv Remhwlydv frq Lqfhuwlgxpeuh Djuh0
jdgd
D frqwlqxdflöq vh dqdol}d xq vhqfloor hmhpsor txh suhvxsrqh od h{lvwhqfld
gh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd1
Frqvlghuh xqd hfrqrpðd vhqflood hq txh grv frqvxplgruhv wlhqhq txh hv0
frjhu vx frqvxpr hq ho hvwdgr | ho hvwdgr 2 frq xqd ixqflöq gh xwlolgdg
hvshudgd +revhuyh txh qr kd| shulrgr f,=
L ES Ec S E2 ' Z *? S E n E Z *? S E2
Xqd hfrqrpðd wlhqh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd fxdqgr od grwdflöq gh uhfxu0
vrv yduðd gh xq hvwdgr d rwur/ sru or wdqwr qr h{lvwhq frqwudwrv txh shuplwhq
d orv lqglylgxrv dvhjxuduvh iuhqwh d hvwh wlsr gh ulhvjr/ hv ghflu hq xqrv gh0
whuplqdgrv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d kd| päv uhfxuvrv txh hq rwurv hvwdgrv1
469
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Vl od grwdflrq gh uhfxuvrv hv/ / ' Ec f( / 2 ' Ec c hvwr vljqlfd txh
hq ho hvwdgr 4 kd| päv uhfxuvrv txh hq ho hvwdgr 5/ sru or wdqwr fxdotxlhud
txh vhd ho wlsr gh frqwudwr txh uphq orv lqglylgxrv gheh fxpsoluvh txh hq
htxloleulr=
S E n S E S E2 n S E2
2
2
2
Sru or wdqwr hq ho hvwdgr 4 ho frqvxpr djuhjdgr hv pd|ru1 Vl vxsrqhprv
txh od glvwulexflöq gh suredelolgdghv vxemhwlydv hv od plvpd sdud wrgrv orv lq0
glylgxrv/ hqwrqfhv srghprv xwlol}du ho plvpr dujxphqwr txh khprv xwlol}dgr
dqwhv sdud ghwhuplqdu orv suhflrv uhodwlyrv=
hv ghflu/
RE
RE2
RE ' Z
RE2 2 Z
3Z Z c sru or wdqwr RZ R3Z Vl Z ' *2c hvwr vljqlfd txh
E
E2
RE RE2 Ho suhflr gho frqvxpr frqwlqjhqwh hv pd|ru hq ho hvwdgr hq ho
fxdo ho frqvxpr hv hvfdvr1 Hvwr vljqlfd txh ho suhflr gho dfwlyr hv pd|ru
fxdqgr hvwä qhjdwlydphqwh fruuhodflrqdgr frq ho uhqglplhqwr gh phufdgr1
Hq hvwh fdvr qhjdwlydphqwh fruuhodflrqdgr frq od grwdflöq gh uhfxuvrv gho
vhjxqgr shulrgr1 Hvwr lpsolfd txh frpsudu frqvxpr hq ho vhjxqgr hvwdgr
gh od qdwxudoh}d hv päv fdur1
Orv frqvxprv gh fdgd lqglylgxr hq orv hvwdgrv gh od qdwxudoh}d vrq=
RE2
S E ' Z n f RE ' Z
RE
Z
n '
S E2 ' E Z
RE2
2
2
S E ' 2 Z
S2 E2 ' E2 Z*2
Revhuyh frpr ho udwlr gh frqvxprv hqwuh hvwdgrv hv ho plvpr sdud dperv
lqglylgxrv/ | hv ljxdo do udwlr hqwuh odv grwdflrqhv djuhjdgdv1
Hvwr lpsolfd
txh od uhodflöq pdujlqdo gh vxvwlwxflöq hqwuh frqvxpr hq xq hvwdgr | rwur
vhuðd od plvpd sdud dperv lqglylgxrv1
Hmhpsor ;= Suredelolgdghv Vxemhwlydv
Vxsrqjdprv txh od lqfhuwlgxpeuh hv lglrvlqfuäwlfd shur od glvwulexflöq
gh suredelolgdghv hv vxemhwlyd sdud fdgd lqglylgxr1 Rewhqhprv odv plvpdv
frqglflrqhv gh sulphu rughq txh hq ho fdvr dqwhulru fruuhjlgd sru odv sured0
elolgdghv vxemhwlydv=
Z ES E
E Z ES E2
'
RE
RE2
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
46:
Frpr wrgrv orv lqglylgxrv sdjdq orv plvpr suhflrv/ hqwrqfhv sdud
9' c
gheh fxpsoluvh=
Z ES E
E Z ES E2
Z ES E
E Z ES E2
'
Hvwr lpsolfd txh orv lqglylgxrv qr ydq d dvhjxuduvh shuihfwdphqwh/ sxhv qr
dvljqdq od plvpd suredelolgdg d fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d1 Sru hmhpsor
vl
Z Z c
ho lqglylgxr
dvljqd päv shvr do hvwdgr
2
txh do hvwdgr
c
sru
or wdqwr ho frqvxpr gh htxloleulr hv pd|ru hq ho hvwdgr txh frqvlghudq päv
idyrudeoh1 Vl od ixqflöq gh xwlolgdg hv
E ' *? SErc orv suhflrv gh htxloleulr
rewhqlgrv xwlol}dqgr odv ixqflrqhv gh ghpdqgd gho fdvr dqwhulru vrq=
RE
RE2
'
Z / E2 n Z 2/ 2E2
E Z / E n E Z 2 / 2E
Vl od glvwulexflöq lqlfldo gh ultxh}d hv
/
' Ec f( / 2 ' Efc c
hqwrqfhv orv
suhflrv gh htxloleulr hvwäq gdgrv sru od vljxlhqwh h{suhvlöq=
RE
RE2
'
Z2
E Z
Hq hvwh fdvr od qr frlqflghqfld hq od shufhsflöq gh orv hvwdgrv gh od
qdwxudoh}d lpslgh txh orv lqglylgxrv vh dvhjxuhq wrwdophqwh uhvshfwr d od
h{lvwhqfld gh lqfhuwlgxpeuh lglrvlqfuäwlfd1
:1915
Hvwuxfwxud Vhfxhqfldo gh Phufdgr
Od hvwuxfwxud D0G hv srfr uhdolvwd/ sxhv lpsrqh txh wrgrv orv phufdgrv hv0
wäq delhuwrv hq |
'f
Qrupdophqwh orv phufdgrv qr wlhqhq hvwd hvwuxfwxud/
vlqr txh deuhq | flhuudq gh irupd vhfxhqfldo/ hoor shuplwh txh hq fdgd pr0
phqwr gho wlhpsr qr vh whqjd txh wudqvihulu uhfxuvrv hqwuh wrgrv orv qrgrv
gho äuero gh lqfhuwlgxpeuh/ wdq vöor hqwuh dojxqr gh hoorv1
D frqwlqxdflöq
dqdol}duhprv od ghwhuplqdflöq gh suhflrv gh htxloleulr hq hfrqrpðdv gh lqwhu0
fdpelr frq hvwuxfwxudv gh phufdgr vhfxhqfldohv1 Hvwd irupxodflöq vhfxhqfldo
ixh sursxhvwd sru Udgqhu1
Frpr revhuyduhprv odv dvljqdflrqhv gho prgh0
or D0G frq xqd hvwuxfwxud frpsohwd gh frqwudwrv frqwlqjhqwhv wdpelìq vrq
dofdq}deohv phgldqwh xqd hvwuxfwxud frpsohwd gh erqrv frqwlqjhqwhv1
Ghqlflöq +erqr frqwlqjhqwh,= Xq erqr frqwlqjhqwh hv xq dfwlyr
qdqflhur txh shuplwh wudqvihulu xqd xqlgdg gho elhq gh frqvxpr hq ho hvwdgr
r/ | vx suhflr gh lqwhufdpelr hq fdgd prphqwr gho wlhpsr hv ^| Er/ vh plgh
hq xqlgdghv gh fxhqwd gho elhq qxphudulr gho hvwdgr r
46;
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
Do ljxdo txh hq od vhfflöq dqwhulru frqvlghudprv xqd hfrqrpðd vhqflood
frq grv shulrgrv grqgh orv lqglylgxrv frqvxphq hq dperv shulrgrv1 Hq
ho shulrgr lqlfldo qr kd| lqfhuwlgxpeuh/ plhqwudv txh hq ho vhjxqgr vð1 Od
h{lvwhqfld gh xqd hvwuxfwxud vhfxhqfldo gh phufdgrv frqwlqjhqwhv vh sodvpd
hq od vljxlhqwh ghqlflöq gh htxloleulr1
Ghqlflöq +Htxloleulr Vhfxhqfldo,= Xq htxloleulr vhfxhqfldo frq lq0
7
U
fhuwlgxpeuh hv xqd dvljqdflöq sdud fdgd lqglylgxr/ % ' iSf c iS Erc K Erjr' j' c
7
xq yhfwru gh suhflrv i^ Erjr' wdo txh=
7
41 Ho lqglylgxr holjh Sf c iS Erc K Erjr ' sdud vroxflrqdu=
4@
%
ESf n q .f ESEr
r@
Sf n
[
^ ErK Er / f
r
S Er / Er n K Erc
Sfc S Er f
;r
51 Orv phufdgrv frqwlqjhqwhv vh ydfðdq/
[
[
Sf S Er [
[
[
;r
/ Erc
K Er ' fc
/ fc
;r
r
Dojxqdv gh hvwdv hfxdflrqhv phuhfhq xqd phqflöq hvshfldo1 Od sulphud
uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld lqglfd txh od frpsud gh erqrv frqwlqjhqwhv frq0
mxqwdphqwh frq od uhqwd gho sulphu shulrgr ghehq ljxdodu d od grwdflöq lqlfldo
gh uhfxuvrv gh fdgd lqglylgxr1 Hv lpsruwdqwh ghvwdfdu txh qr kd| qlqjxqd
K Erc gh irupd txh orv lqglylgxrv sxhgh yhqghu gh
irupd lolplwdgd hq fruwr K Er f do suhflr gh phufdgr ^ Er Od ýqlfd uhvwulf0
uhvwulfflöq hq ho vljqr gh
flöq d od yhqwd hv txh jdvwr hq erqrv frqwlqjhqwhv qxqfd gheh vxshudu d orv
lqjuhvrv1 Hq od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho shulrgr 4/ khprv qrupdol}dgr
ho suhflr gho elhq gh frqvxpr frqwlqjhqwh/ gh irupd txh wrgr hvwä phglgr
hq xqlgdghv gh glfkr elhq1
Yhdprv xq vhqfloor hmhpsor/ vxsrqjdprv txh vöor kd| grv hvwdgrv gh
od qdwxudoh}d/
r
'2
frqvxplgru gh wlsr
4@
| odv suredelolgdghv vrq vxemhwlydv1
hv=
ttSf cS ErcK Er
Ho sureohpd gho
ESf n q ZES E n E Z ES E2
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
r@
46<
Sf n ^ EK E n ^ E2K E2 ' / f
S E
S E2
/ E n K Ec
/ E2 n K E2c
'
'
r'
r'2
Odv frqglflrqhv gh sulphu rughq gh hvwh sureohpd/ frq pxowlsolfdgruhv dvr0
bc >Ec >E2 vrq=
fldgrv d odv uhvwulfflrqhv ghqrwdgrv sru
ESf b ' f
qZ ES E >E ' f
q E Z ES E2 >E2 ' f
b^E n >E ' f
b^E2 n >E2 ' f
dSf o
dS Eo
dS E2o
dK Eo
dK E2o
Uhrughqdqgr wìuplqrv rewhqhprv txh od uhodflöq pdujlqdo gh vxvwlwxflöq
hq fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d hv ljxdo d=
ES E
ES E2
'
Z ^E
Z ^E2
wdpelìq rewhqhprv grv hfxdflrqhv lqwhuwhpsrudohv/
ESf '
ESf '
Sdud grv lqglylgxrv glvwlqwrv/
E
9'
Zq
ES E
^E
Zq ES E2
^E2
c frq
suredelolgdghv remhwlydv ljxdohv
rewhqhprv do ljxdo txh frq od hvwuxfwxud gh phufdgrv frpsohwrv/
ES E
ES E2
ES E
ES E2
'
Vl qr h{lvwh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd/ hqwrqfhv hq htxloleulr rewhqhprv odv
plvpdv dvljqdflrqhv txh hq od vhfflöq dqwhulru/ hv ghflu=
S E
S E
'
'
S E2
S E2
Orv suhflrv uhodwlyrv gh orv dfwlyrv vrq htxlydohqwhv d orv rewhqlgrv frq od
dqwhulru irupxodflöq=
^ E
^ E2
'
'
qZ
q E Z 473
FDSÐWXOR :1
LQWURGXFFLÖQ DO HTXLOLEULR JHQHUDO
| ho udwlr gh suhflrv uhodwlyrv vljxh vlhqgr ho udwlr gh suredelolgdghv1
Hq dojxqrv fdvrv sxhgh vhu lqwhuhvdqwh reyldu ho frqvxpr gho shulrgr
lqlfldo/ edmr hvwh vxsxhvwr ho sureohpd gho frqvxplgru
od vljxlhqwh irupd=
4@
r@
sxhgh uhhvfuleluvh gh
.f ESEr
[
^ ErK Er ' f
r
S Er ' / Er n K Erc
;r
Sfc S Er f
Vl od ixqflöq gh xwlolgdg hv ES Er ' *? S Erc odv frqglflrqhv gh sulphu
rughq gho sureohpd gho frqvxplgru lpsolfdq=
Z*S E >E ' f
E Z *S E2 >E2 ' f
^Eb n >E ' f
^E2b n >E2 ' f
dS Eo
dS E2o
dK Eo
dK E2o
Frpelqdqgr dpedv h{suhvlrqhv rewhqhprv=
ZS E2
E ZS E
'
^ E
^ E2
Fdofxohprv od ghpdqgd gh erqrv frqwlqjhqwhv sdud fdgd hvwdgr gh od qdwx0
udoh}d=
^E2 K E ' K E2
^E
vxvwlwx|hqgr hq od uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld gho frqvxpr frqwlqjhqwh hq ho
hvwdgr vh rewlhqh od vljxlhqwh h{suhvlöq=
S E ' / E ^ E2 K E2
^ E
Vxvwlwx|hqgr hq od frqglflöq gh sulphu rughq=
^ E2 ^ E2 Z / E2 n K E2 ' E Z / E K E2
^ E
^ E
Vlpsolfdqgr rewhqhprv=
e
K E '
e
K E2 '
^E2 / E2 E Z / E
^E
^ E E Z
/ E Z/ E2
^ E2
Z
:191
HTXLOLEULR JHQHUDO FRQ LQFHUWLGXPEUH
474
Sdud rewhqhu ho suhflr gh htxloleulr hv qhfhvdulr dfxglu do phufdgr gh
erqrv frqwlqjhqwhv sdud fdgd hvwdgr=
eK E n eK2E ' f
Vxvwlwx|hqgr odv ghpdqgdv gh erqrv hq ho phufdgr srghprv ghulydu orv
suhflrv gh htxloleulr=
Z
^ E2
^ E
/ E2
2
2
E Z/E n Z ^^E2
/ E2 E Z / E ' f
E
Orv suhflrv gh htxloleulr vrq=
^E
'
^E2
Z
`2
Z `
Vl qr h{lvwh lqfhuwlgxpeuh djuhjdgd/ odv ghpdqgdv gh erqrv frqwlqjhqwhv gho
lqylgxr
ylhqhq gdgdv sru odv vljxlhqwhv h{suhvlrqhv=
Z
eK E
'
E
e
K E2
'
Z / E n / E2
/ E n / E2
Vxvwlwx|hqgr odv ghpdqgdv gh dfwlyrv hq odv uhvwulfflöq suhvxsxhvwduld vh
rewlhqh od ghpdqgd gh frqvxpr sdud fdgd hvwdgr gh od qdwxudoh}d=
Z/ E2
S E2 ' Z/ E n E Z / E2
S E ' Z/ E n E
