COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 SEK-CATALUNYA COL·LEGI INTERNACIONAL SISTEMA EDUCATIU SEK Aula INTEL·LIGENT AUTO EVALUACIÓN DE SUCESIONES Ámbito Materia: Científico – Técnico Matemáticas Alumno 1 Curso: PAI 4ESO COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 2.-CRITERIOS DE EVALUACIÓN: Se evaluará siguiendo los siguientes criterios: A, C, 2.1.-CRITERIO A: CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN. a) Identificar elementos pertinentes de la matemática. b) Seleccionar estrategias apropiadas y contenidos matemáticos para resolver problemas. c) Aplicar debidamente las estrategias para la resolución de problemas y comprobar la precisión de los resultados, cuando se realizan aproximaciones en la obtención de la solución. d) Describir si la solución tiene sentido en el contexto del problema. 2.2.-CRITERIO C: COMUNICACIÓN. a) Usar el lenguaje matemático apropiado (notación, símbolos y terminología) en explicaciones tanto orales como escritas. b) Comunicar líneas de razonamiento matemático completas, coherentes y concisas. c) Organizar la información empleando una estructura lógica. CRITERIOS DE EVALUACIÓN: CRITERIO A:CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN. NIVEL DE LOGRO 0 1-2 3-4 5 -6 DESCRIPTOR El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se exponen a continuación. El alumno intenta hacer deducciones al resolver problemas sencillos en contextos conocidos.(Resuelve el ejercicio 1 y 2) En ocasiones, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas sencillos y de carácter más complejo en contextos conocidos.(El alumno resuelve el ejercicio 3 y 4 ) Por lo general, el alumno hace deducciones adecuadas al resolver problemas que 2 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 7-8 plantean un desafío en una variedad de contextos conocidos.( El alumno resuelve el ejercicio 5 y 6) El alumno hace deducciones adecuadas en todo momento al resolver problemas que plantean un desafío en una variedad de contextos, incluidas situaciones desconocidas .( El alumno es capaz de resolver el ejercicio 7 y 8) CRITERIO C: COMUNICACIÓN: NIVEL DE LOGRO 0 1-2 3-4 5-6 DESCRIPTOR El alumno no alcanza ninguno de los niveles especificados por los descriptores que se figuran a continuación. El alumno es capaz de: 1.-Usar un lenguaje matemático limitado. 2.-Usar formas de representación limitadas para presentar la información. 3.-Comunicar líneas de razonamiento que son difíciles de interpretar. El alumno es capaz de: 1.-Usar cierto lenguaje matemático apropiado. 2.-Usar formas de representación apropiadas para presentar la información adecuadamente. 3.-Comunicar líneas de razonamiento completas. 4.-Organizar información adecuadamente empleando una estructura lógica. El alumno es capaz de: 1.-Usar normalmente lenguaje matemático apropiado. 2.-Usar normalmente formas de representación apropiadas para presentar información correctamente. 3.-Cambiar normalmente de unas formas de representación matemática a otras. 3 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 7-8 4.-Comunicar líneas de razonamiento completas y coherentes. 5.-Presentar su trabajo organizado normalmente empleando una estructura lógica. El alumno es capaz de: 1.-Usar sistemáticamente lenguaje matemático apropiado. 2.-Usar formas de representación matemática apropiadas para presentar información correctamente de manera sistemática. 3.-Cambiar de unas formas de representación matemática a otras eficazmente. 4.-Comunicar líneas de razonamiento completas, coherentes y concisas. 5.-Presentar su trabajo organizado sistemáticamente empleando una estructura lógica. 1.- De una sucesión aritmética determina se conocen dos términos: a2 2, a7 27 Responde a las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el término general? Como tenemos la seguridad de que es una sucesión aritmética aplicaremos el término general: an a1 d (n 1) Como tenemos dos datos y necesitamos dos variables que son el primer término y la diferencia vamos a establecer un sistema para determinarlos: a n a1 d (n 1) a 2 2 a1 d (2 1) 2 a1 d d 2 a1 a 7 27 a1 d (7 1) 27 a1 6d 27 a1 6(2 a1 ) 27 a1 12 6a1 27 12 5a1 15 5a1 a1 3 d 5 a n a1 d (n 1) a n 3 5(n 1) 5n 8 b) ¿Cuál es el término que se encuentra en la posición 200? En este caso conocido el término general sustituimos n por 200: an 5n 8 a200 5·200 8 992 4 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 c) ¿Cuánto vale la suma de los 150 primeros términos de la sucesión? Por ser aritmética: Sn (a1 an )n (a a )150 (3 5·150 8)150 S150 1 150 55425 2 2 2 2.- Para la siguiente sucesión: 1 1 3,1, , ,.... 3 9 a) Justifica de qué tipo es y determina la expresión de su término general. En este caso podemos ver que es una progresión geométrica: a2 1 a3 1 / 3 1 a4 1 / 9 1 r a1 3 a2 1 3 a3 1 / 3 3 Entonces como el primer término es 3: an a1r n 1 1 3· 3 n 1 1 3· n1 3·31n 32n 3 b) ¿Cuál es el término que ocupa la posición 20? Utilizando el término general: a20 3220 318 0,00000000258 2,58·109 c)¿Cuánto vale la suma de los 20 primeros términos? Como es una progresión geométrica la fórmula para la suma es: a (1 r n ) 3(1 (1 / 3) 20 ) 9 Sn 1 S 20 (1 (1 / 3) 20 ) 4,499999999 1 1 r 2 1 3 d)¿Es convergente?¿por qué? Lo es porque es una progresión geométrica de razón comprendida entre -1 y 1. d) En el caso de que lo sea, determina el valor de la suma de los infinitos términos que la componen. a 3 9 S 1 1 1 r 1 2 3 Vemos que es convergente y además tiende hacia 4,5 de forma muy rápida ya que podemos ver como la suma de los primeros veinte términos está muy cerca del valor final de la suma. 5 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 3.- Un médico le ha recetado a un paciente, para superar una determinada enfermedad, que tome un medicamento en las siguientes dosis. El primer día debe tomar 100 mg y desde el segundo en adelante la dosis debe ser 5 mg menos que el día anterior. El tratamiento le ha sido prescrito para 12 días. a) ¿Cuántos mg debe tomar el día séptimo de tratamiento? Lo primero que tenemos que hacer es determinar el tipo de sucesión: 100,95,90,85……. Vemos como entre cada término hay una diferencia de -5 por lo tanto es aritmética. Luego el término general será: an a1 d (n 1) 100 5(n 1) 105 5n Luego: a7 105 5·7 105 35 70mg b)¿Cuántos mg en total de medicamente habrá tomado al final del tratamiento?. Como nos pide la cantidad total de medicamente me está pidiendo la suma de todos los términos de la sucesión, que son 12 ya que el tratamiento dura 12 días. (a a )12 (100 105 5·12)12 S12 1 12 870mg 2 2 4.- Una nadadora entrenó todos los días durante tres semanas. El primer día nadó 15 minutos, y cada día nadaba 5 minutos más que el día anterior. ¿Cuánto tiempo nadó el último día? ¿Y a lo largo de las tres semanas? Estudiemos primero la sucesión: 15,20,25,30……. Vemos que es aritmética de diferencia 5 y primer término 15, luego el término general será: an a1 d (n 1) 15 5(n 1) 10 5n Donde n representa el día. El tiempo que nadó el último día sería el término correspondiente a la posición 21: a21 10 5·21 10 105 115m int 1hora _ 55 _ m int Durante toda la semana, es la suma de los 21 términos que componen la sucesión: (a a )21 (15 115)21 S 21 1 21 1365m int 22horas _ 45m int 2 2 5.- Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse con sus estudios. Cada día es capaz de repartir 30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo día repartió 2.285 cartas: 6 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 a)¿Cuántas cartas repartió el primer día? ¿Y el décimo? Veamos qué tipo de sucesión es: Por los datos que tenemos es aritmética con una diferencia de 30, cada día 30 más que el anterior. Necesitamos conocer el primer término, esto lo podemos hacer con un dato, sabemos que el término que se encuentran en la posición veinte es 2285: a20 2285 a1 30(20 1) 2285 a1 570 a1 1715cartas an 1715 30(n 1) 1687 30n Y ahora el décimo es a_10: a10 1687 30·10 1987cartas b)¿En qué día repartió 2165 cartas? Como conocemos el término general, nos preguntan en qué posición se encuentra el término 2165: an 2165 1687 30·n 30n 2165 1687 478 478 n 15,93 16 30 c)Calcula cuántas cartas repartió hasta el día 15. Hasta significa en total, sumemos los 15 primeros términos: (a a )15 (1715 1687 30·15)21 S15 1 15 40446cartas 2 2 6.- Escribe los cinco primeros números impares y luego responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué tipo de sucesión es y cuál es su término general? 1,3,5,7,9….. Es una sucesión aritmética de diferencia 2 y primer término 1: an 1 2(n 1) 2n 1 b) ¿Cuánto vale la suma de los 300 primeros impares? (1 2·300 1)300 S300 90000 2 c)¿Es posible sumar una determinada cantidad de números impares y obtener como resultado de la suma 62750? En este caso tenemos que calcular cuántos tenemos que sumar, n, para que la suma valga el valor dado: (1 2n 1)n 2n 2 Sn 63750 n2 2 2 n 62750 250,499 Como n no ha dado un número entero significa que no es posible sumar una cantidad entera de números impares y obtener el resultado pedido. 7 COL·LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO – TÉCNICO MATEMÁTICAS 4ESO 2015/2016 7.- Una rana se encuentra en la orilla de un lago de forma circular y desea llegar saltando desde la orilla hasta el centro del lago. Decide dar un primer salto de 2m y luego los siguientes que sean la mitad del anterior. Si el lago tiene un diámetro de 20 metros, con esta táctica ¿llegará exactamente al centro del lago? La rana decide intentar llegar al centro dando saltos en progresión geométrica con un primer salto de 2 metros y luego una razón de 0,5. Si quiere llegar al centro debe recorrer una distancia de 10 metros, luego la suma de la distancia recorrido con n saltos, no sabemos cuántos, debe ser exactamente 10m. Luego tenemos que determinar cuántos saltos, el valor de n, tiene que dar para que la suma sea 10: 2(1 0,5n ) Sn 4(1 0,5n ) 10 1 0,5 Como la variable se encuentra en el exponente tenemos que resolver por iteración. Pero podemos ver que la progresión es geométrica luego si diera infinitos saltos la distancia recorrida sería: 2 S 4m 1 0,5 Luego la rana se moriría dando saltos y no llegará nunca al centro, al final recorrerá una distancia de 4 metros quedándose a 6 metros de su objetivo. 8.- Tenemos un dinero ahorrado de 10000 € y los queremos poner en un banco durante 5 años. El banco nos ofrece un interés del 3% anual. ¿Cuánto dinero recogeremos al final y qué cantidad del total recogido serán nuestras ganancias si? a) El interés se compone anualmente. En este caso tenemos: C Co (1 i) n 10000(1 0,03)5 11592,75€ Esta es la cantidad total recogida, como de la misma 10000 euros eran la inversión inicial hemos ganado la diferencia 1592,75€ b) El interés se compone trimestralmente. En este caso cada año tiene 12/3=4 trimestres, el interés compuesto trimestralmente será de ¾% y el número de períodos que dejaremos el dinero es de 5·4=20 trimestres: C Co (1 i) n 10000(1 0,75 / 100) 20 11611,84€ La diferencia respecto al capital inicial es de 1611,84€ d) El interés se compone semestralmente. En este último caso el número de períodos semestrales en un año es de 12/6=2 por lo tanto el interés pagado semestralmente es de 3/2%=1,5% y el número de períodos que dejaremos el dinero es de 5·2=10 semestres: C Co (1 i) n 10000(1 1,5 / 100)10 11605,41€ Y la ganancia es de 1605,41€ 8